CORRECCIÓN PRUEBA 2ª EVALUACIÓN OPCIÓN A EJERCICIO nº1 Sea la matriz 1 0 0 A 0 1 0 a 0 b ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
a) ¿Cuándo el determinante de A es el seno de algún número real? b) Calcula la inversa de A cuando exista.
c) Determina todos los pares (a, b) para los que A coincide con su inversa.
Solución
a) Calculando el determinante de A vemos que es igual b, luego para que sen x = b ha de ser b Î[-1, 1].
b) Realicemos transformaciones elementales en el siguiente esquema:
3ªf (a )1ªf (1 / b)3ªf 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 a 0 b a 0 1 0 0 b a / b 0 1/ b 0 0 1 − ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ≈ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ≈ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜− ⎟⎜ ⎟ ⎜− ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
de donde obtenemos la inversa de A:
1 1 0 0 A 0 1 0 a / b 0 1/ b − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜− ⎟ ⎝ ⎠
luego b debe ser distinto de cero para que exista dicha inversa. c) 1 1 0 0 1 0 0 Si A A 0 1 0 0 1 0 a / b 0 1/ b a 0 b − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⇔⎜ ⎟ ⎜= ⎟ ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
con b ¹ 0, igualando tenemos:
2 a a b 1 b b 1 b 1 b ⎫ = − ⎪⎪ ⎬ ⎪ = ⇒ = ⇒ = ± ⎪⎭ . · si b = 1, entonces a = 0
· si b = -1, entonces a es cualquier número real.
Los pares (a,b) pedidos son (0,1) y (a,-1) para todo a ÎÂ. EJERCICIO nº2
Determinar a y b para que los planos de ecuaciones:
b az y x 3 2 z y x 3 z y x 2 = − − = + − = + −
se corten en una recta r.
Solución
Sean p, q y m los tres planos dados.
Los planos p y q son fijos y no son paralelos puesto que no lo son los vectores ( 2, -1, 1 ) y ( 1, -1, 1 ), perpendiculares respectivamente a p y q. Por tanto, estos dos planos determinan una recta r.
Todo plano que pasa por r es combinación lineal de p y q, es decir, de la forma: t ( 2x - y + z - 3 ) + s ( x - y + z - 2 ) = 0 (1)
Para que el plano m pase por la recta r determinada por p y q, habrá de ser de la forma (1); luego habrán de ser proporcionales los coeficientes de (1) y los de la ecuación de m, es decir: b s 2 t 3 a s t 1 s t 3 s t 2 − − − = − + = − − − = + de donde se deduce: 0 s ) b a 2 ( t ) b a 3 ( 0 ) s t )( 1 a ( 0 s 2 t = + + + = + + = + y de aquí se obtiene: a = -1, b = 4
Hemos visto que todo plano que pasa por la recta r tiene la forma (1), sustituyendo las coordenadas del punto ( 2, 1, 3 ) y simplificando se obtiene la ecuación del plano pedido:
x + y - z = 0 EJERCICIO nº3
Hallar el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de los planos p1 : 2x + y - 2z + 3 = 0 y p2 : 2x - 2y - z -1 = 0.
Solución
Calculamos las ecuaciones normales de los planos: u1 =3 u2 =3 r r Ecuación Normal de p1 : 0 1 z 3 2 y 3 1 x 3 2 + − + = Ecuación Normal de p2 : 0 3 1 z 3 1 y 3 2 x 3 2 − − − =
La ecuaciones del lugar geométrico son:
) 3 1 z 3 1 y 3 2 x 3 2 ( 1 z 3 2 y 3 1 x 3 2 3 1 z 3 1 y 3 2 x 3 2 1 z 3 2 y 3 1 x 3 2 − − − − = + − + − − − = + − + O bien simplificando: 3y - z + 4 = 0 4x - y - 3z + 2 = 0
EJERCICIO nº4
Hallar un plano que pasando por A ( 0, 2, 0 ) y B ( 0, 0, 2 ), corte al eje OX en un punto C, tal que el área del triángulo ABC valga 4.
Solución
Sea C ( m, 0, 0 ) el punto en el que el plano pedido corta al eje OX. Se tiene: mk mj i m k j i AC AB y m AC AB 4 2 2 0 2 2 2 0 ) 0 , 2 , ( , ) 2 , 2 , 0 ( = + + − − = × − = − =
El área del triángulo ABC es:
2 2 4 4 16 2 1 2 1 m m AC AB× = + +
Según el enunciado, ha de ser igual a 4 Þ 8m2 = 48 Þ m=± 6 Para ) 0 , 2 , 6 ( , ) 2 , 2 , 0 ( 6 = − = ± − ± = es AB AC m
y el plano pedido es: 0 0 2 6 2 2 0 2 = − − − z y x o bien: 0 6 2 ) 2 ( 6 2 4x+ y− + z= y la otra solución es:
6 2 4x−
OPCIÓN B EJERCICIO nº1
Resolver la siguiente ecuación (operando en el determinante antes de desarrollarlo):
1 x x x x 1 x x 0 x x 1 x x x x 1 − − = − − Solución
Facilitaremos el desarrollo del determinante si antes realizamos las siguientes operaciones: · sumar a la primera fila las restantes
· sacar (3x - 1) factor común
· sumar a la segunda, tercera y cuarta filas la primera multiplicada por (-x) Veamos:
3 3 1 x x x 3x 1 3x 1 3x 1 3x 1 1 1 1 1 x 1 x x x 1 x x x 1 x x (3x 1) x x 1 x x x 1 x x x 1 x x x x 1 x x x 1 x x x 1 1 1 1 1 0 1 x 0 0 (3x 1) 0 0 1 x 0 0 0 0 1 x 1 (3x 1)( 1 x) 3 x (x 1) 3 − − − − − − − − = = − = − − − − − − − − − = − − − − ⎛ ⎞ = − − − = − ⎜ − ⎟ + ⎝ ⎠
Igualando el determinante a cero se obtienen las siguientes soluciones a la ecuación: x = 1/3, x = -1 (triple).
EJERCICIO nº2
Sea el paralelepípedo de la figura.
a) Si A ( 2, 3, 1 ) , B ( 4, 1, -2 ) , C ( 6, 3, 7 ) , D ( -5,-4, 8 ). Hallar el volumen del tetraedro ABCD.
b) Hallar la longitud de la altura de vértice D.
A B C D E F G H Solución
a) El volumen del tetraedro es 1/6 del volumen: 308 7 7 7 6 0 4 4 2 2 V = − − − − = Luego: 308 6 1 VABCD= b) 26 308 h 26 AC AB ) 8 , 24 , 6 ( AC AB h AC AB 6 1 308 6 1 = ⇒ = × − − = × ⋅ × =
EJERCICIO nº3
Hallar la mínima distancia entre las rectas : 4 1 z 2 1 y 1 1 x s 1 6 z 3 10 y 2 8 x r = − = − − − ≡ − = − = + ≡ Solución r ≡ [ A = ( -8, 10, 6 ), ur=(2,3,1)] s ≡ [ B = ( 1, 1, 1 ) , vr=(−1,2,4)]
Volumen del paralelepípedo definido por los vectores: v , u ), 5 , 9 , 9 ( AB= − − r r 136 4 2 1 1 3 2 5 9 9 V = − − − =
Base de dicho paralelepípedo:
230 ) 7 , 9 , 10 ( 4 2 1 1 3 2 z y x v u ) B ( Área = − = − = × = r r
La altura del paralelepípedo es la mínima distancia entre las dos rectas: 230 136 ) B ( área V h= = EJERCICIO nº4
Dados los puntos A ( 1, 3 ) y B ( 3, 4 ) se construye el punto C simétrico de A respecto de la recta:
x - y = 2. Se pide:
a) Hallar las coordenadas de C.
b)¿ Tiene algún ángulo obtuso el triángulo ABC? Razonar el resultado.
c) Construir el paralelogramo de centro C, y del cual A y B son vértices consecutivos, y hallar las coordenadas de los otros dos vértices.
Solución
a) Calculamos la ecuación de la recta normal desde A a x - y = 2: y - 3 = - ( x - 1 )
Y el punto de corte con x - y = 2 es entonces ( 3, 1 ), que será el punto medio de AC:
2 3 1 2 1 3 c c y x + = + =
b) 5 ) 3 4 ( ) 1 3 ( − 2+ − 2 = = AB 29 ) 1 4 ( ) 5 3 ( − 2+ + 2 = = BC 2 4 ) 3 1 ( ) 1 5 ( − 2+ − − 2 = = AC
Tomamos el mayor valor, AC, de tal modo que 2 ) 29 ( ) 5 ( ) 2 4 ( 2 = 2+ 2+k → k=− Y recordando la fórmula B ac c a b2 = 2+ 2−2 cos ˆ resulta 0 145 1 ˆ cosB= >
luego Bˆ es el mayor ángulo por oponerse al mayor lado, tiene positivo su coseno y por lo tanto es menor que 90º. ABC no tiene ningún ángulo obtuso.
c) Como C es el centro del polígono , A´ será simétrico de A respecto a C y B´ será simétrico de B respecto a C. Coordenadas de A´: 2 3 1 2 1 5 A A y x ′ ′ + = − + =
de aquí obtenemos A´( 9, -5 )
2 4 1 2 3 5 B B y x ′ ′ + = − + = de aquí obtenemos B´( 7, -6 )