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Transformación Funciones II

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Academic year: 2020

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Transformación de gráfica de funciones

La graficación de las funciones es como un retrato de la función. Nos ayuda a tener una idea de cómo transforma la función los valores que le vamos dando.

A partir de la gráfica de la función podemos encontrar el dominio, el contradominio, describir su comportamiento: dónde crece, dónde decrece, dónde se hace cero, dónde tiene un mínimo o un máximo, etc.

Para graficar una función de la manera más sencilla, basta sustituir valores de x en la función y calcular los valores correspondientes paray, ubicar estos puntos en el sistema de coordenadas cartesianas y unir los puntos por una curva suave.

En el análisis que se presenta aquí no usaremos ese método. En su lugar, describiremos cómo se comporta la función y haremos un estudio más bien descriptivo. El objetivo consiste en que tú logres «ver» la gráfica de la función antes de empezar a graficarla, es decir, que conozcas el comportamiento de la función, más que los puntos precisos por donde pasa.

Algunas veces no se requiere precisión, sino un bosquejo es suficiente para obtener la información que requerimos.

Ejemplo 1 Grafica la función:y=x.

• La gráfica de esta función es inmediata. Esta función, estrictamente hablando, “no trans-forma” los valores dexque le damos.

• En palabras dice: “el mismo valor que me des de x, se lo asignaré a la variable y, sin hacerle ningún cambio”.

• En realidad no requerimos tabular distintos valores de x y calcular los valores de y. La gráfica de esta función forma un ángulo de 45◦con ambos ejes:

x

−3 −2 −1 0 1 2 3

y

−3 −2 −1 1 2 3

y=x

• En la gráfica se observa claramente que a cada valor de xle corresponde un valor dey. En este casoy=x, que es como se definió la función.

(2)

• La gráfica de esta función es hermana de la anterior.

• Esta función, en palabras dice: “al valor que me des de x le sumaré 1, y ese valor se lo asignaré a la variable y.

• De nuevo, no requerimos tabular distintos valores dexy calcular los valores dey.

• La gráfica de esta función forma un ángulo de 45◦ con ambos ejes, como la anterior, pero ahora no pasa por el origen del sistema de coordenadas:

x

−3 −2 −1 0 1 2 3

y

−3 −2 −1 1 2 3

y=x+1

y=x

• La gráfica en palabras nos dice: “A los antiguos valores de y (de la función y=x) les sumo 1; en otras palabras, estoy moviendo la gráfica de la función y = x una unidad hacia arriba y obtengo la gráfica de la función y=x+1”.

Ejemplo 3 Grafica la función: y=x−1.

• La gráfica de esta función es hermana de las dos anteriores.

• Esta función, en palabras dice: “al valor que me des de x le restaré 1, y ese valor se lo asignaré a la variable y.

• Como la gráfica anterior, ésta no pasa por el origen del sistema de coordenadas.

(3)

x

−3 −2 −1 0 1 2 3

y

−3 −2 −1 1 2 3

y=x−1 y=x y=x+1

• La gráfica en palabras nos dice: “A los antiguos valores de y (de la función y = x) les resto 1; en otras palabras, estoy moviendo la gráfica de la función y =x una unidad hacia abajo y obtendo la gráfica de la función y=x−1”.

A partir de estos tres ejemplos tú fácilmente puedes graficar la funcióny =x+k, dondekes un número real.

Definición 1 Translación vertical

Si a la gráfica de la función y= f(x)la trasladamos verticalmente k unidades, obtenemos la gráfica de la función y= f(x) +k.

Ahora veremos una nueva transformación.

Ejemplo 4 Grafica la función:y=2x.

• La gráfica de esta función es hermana de las anteriores.

(4)

x

−3 −2 −1 0 1 2 3

y

−3 −2 −1 1 2 3 4

y=2x

y=x

x x

2x

• Al comparar las dos gráficas, vemos que la transformación consistió en aumentar al doble las alturas de los puntos de la gráfica de la función.

Ejemplo 5 Grafica la función: y= 1 2x.

• La gráfica de esta función es el reflejo de la funcióny=2xrespecto a la funcióny=x.

• Esta función, en palabras dice: «al valor que me des de x lo multiplicaré por 1

2, y ese valor se lo

(5)

x

−3 −2 −1 0 1 2 3 4

y

−3 −2 −1 1 2 3

y= 1

2x y=2x

y=x

1

2x

1

2x

x

• En el ejemplo anterior la altura de cada punto aumentó al doble; en este ejemplo la altura disminuyó a la mitad.

Definición 2 Dilatación

Si a la gráfica de la función la transformamos de manera que la altura de cada uno de sus puntos lo multiplicamos por la constante k, entonces obtenemos la gráfica de la función y=k·f(x).

Hasta aquí hemos visto dos transformaciones: traslación vertical, cuando le sumamos una constante a la función, su gráfica se corre hacia arriba o hacia abajo, dependiendo de que el valor de la constante sea positivo o negativo; dilatación, que ocurre cuando multiplicamos la variablex por un número, la gráfica “se estira” si el coeficiente (el número que usamos para multiplicar) es mayor que 1, o se hace “más chaparra” o se “aplana” cuando el coeficiente es menor a 1 y mayor a cero.

Ahora trabajaremos con una nueva transformación. Esta transformación se llama reflexión (re-specto al ejex) y consiste en multiplicar la variablex por un número negativo. Empezamos con el caso más sencillo.

Ejemplo 6 Grafica la función:y=−x.

• Esta función es un reflejo de la función: y=xrespecto del ejex.

(6)

x

−3 −2 −1 0 1 2 3

y

−3 −2 −1 1 2 3

y=x

y=−x

• Si comparamos esto con la función: y =x la gráfica diría: “...a lo que antes era positivo ahora lo consideraré negativo, y viceversa, lo que antes era negativo, ahora lo consideraré positivo...”

• Así que lo que antes estaba arriba del eje x, ahora estará por debajo, y a la misma distancia del eje, y viceversa, lo que antes estaba por encima del ejex ahora estará por debajo, y a la misma distancia.

• El nombre de esta transformación viene del hecho que parece que la gráfica de la función

y=x se reflejórespecto al ejex, como si el ejexfuera un espejo.

• Debes observar que en este caso la pendiente de la rectam= −1, es decir, es negativa y la gráfica de la función desciende conforme avanzamos en la dirección positiva del ejex.

• Esto indica que la función siempre decrece.

• Por cada unidad que nos movemos hacia la derecha, la gráfica de la función desciende uno.

• Es decir, por cada uno que nos movemos en la dirección positiva del ejexla gráfica se mueve uno hacia abajo en el sentido del ejey.

Ejemplo 7 Grafica la función: y=−2x+1.

• Realizaremos la gráfica de esta función en 4 pasos:

Paso i. Graficamos la funcióny=x.

Paso ii. Hacemos la reflexión del la gráfica anterior para obtener la gráfica de la funcióny=−x. Paso iii. Dilatamos la función y = −x multiplicándola por 2, así obtenemos la gráfica de la

función: y=−2x.

Paso iv. Hacemos una traslación vertical: sumamos 1 a la función anterior y obtenemos la grá-fica de:y=−2x+1

(7)

x

−3 −2 −1 0 1 2 3

y

−3 −2 −1 1 2 3 4

y=x(Paso 1)

y=−x(Paso 2)

y=−2x(Paso 3) y=−2x+1

• Ahora encuentra la pendiente de la recta y tanto el dominio como el contradominio de la función.

En realidad, graficar una función lineal es muy sencillo. Solamente tienes que pensar en términos de las transformaciones sucesivas que se realizaron sobre las gráficas.

Comentario Para graficar una función lineal empieza siempre con la reflexión, después aplica la dilatación

y termina con la traslación.

El orden en las transformaciones geométricas sí importa porque afecta el resultado final. Así que sigue el orden que se da en el tip anterior.

Ahora recordaremos cómo graficar una función polinomial de segundo grado, es decir, una parábola.

Ejemplo 8 Grafica la función:y=x2.

• Esta función polinomial en palabras dice: “El número que tú le asignes a la variable x lo mul-tiplicaré por sí mismo (es decir, lo elevaré al cuadrado) y el resultado es el valor que le asignaré a la variable y”.

• Para graficar esta función observa que los valores deysiempre serán positivos (salvo cuando

(8)

x

−3 −2 −1 0 1 2 3

y

1 2 3 4 5 6

y=x2

Px,x2

• Observa que esta fución es polinomial.

• Además, dado quex2 nunca toma valores negativos, la gráfica de esta función abarca todo el lado positivo del ejey.

• Con esto, podemos afirmar que el contradominio de esta función es el conjunto de todos los números reales no negativos.

• Matemáticamente, el contradominio de esta función es: {x≥0,x∈R}.

Observa que, para la funcióny=x2se cumple f(−x) = f(x)para todax. Definición

3

Función par

Una función es par si para toda x que sea elemento de su dominio se cumple que f(x) = f(−x).

A partir del ejemplo anterior es muy fácil realizar el siguiente:

Ejemplo 9 Grafica la función:y=x21.

• Esta función polinomial en palabras dice: “El número que tú le asignes a la variable x lo mul-tiplicaré por sí mismo, al resultado le restaré 1 y el valor así obtenido se lo asignaré a la variable y”.

(9)

x

−3 −2 −1 0 1 2 3

y

−1 1 2 3 4 5 6

y=x2

y=x2−1

• Ahora encuentra el dominio y el contradominio de esta función.

• Sugerencia: Observa la gráfica y el ejey. ¿Te dice esto algo respecto al contradominio de la función?

• Se te queda como ejercicio verificar si esta función es par.

Ejemplo 10 Grafica la función:y=−x2+5.

• Graficamos esta función con los siguientes pasos:

Paso i. Graficamos la funcióny=x2

Paso ii. Hacemos una reflexión respecto al ejexmultiplicando por−1, así obtenemos la gráfica de la función: y=−x2

(10)

x

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

y

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

6 y=x

2(Paso 1)

y=−x2(Paso 2) y=−x2+5

• En el primer paso obtenemos la gráfica de la parábolay=x2. • En el segundo paso hemos encontrado su reflejo respecto al ejex.

• Observa que multiplicar por el signo negativo solamente refleja la gráfica respecto al ejex.

• En el tercer paso hacemos la traslación del al última gráfica 5 unidades hacia arriba.

Ejemplo 11 Grafica la función: y=2x23.

• De nuevo, realizamos la gráfica de esta función por pasos:

Paso 1. Graficamos la funcióny=x2

Paso 2. Dilatamos la gráfica multiplicando la función por 2; así obtenemos la gráfica de y = 2x2.

(11)

x

−3 −2 −1 0 1 2 3

y

−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

y=x2(Paso 1) y=2x2(Paso 2)

y=2x23

• Observa que ahora no hemos usado la reflexión, porque el término cuadrático no es negativo.

• Sin embargo, aparece multiplicado por dos, por eso usamos la dilatación.

Ahora estudiaremos una última transformación: la traslación horizontal.

Ejemplo 12 Grafica la función:y= (x−1)2.

• Como el binomio x−1 está elevado al cuadrado, la parábola abre hacia arriba.

• La primer pregunta que debes hacerte cuando tengas este tipo de función es: “¿qué valor debe darle a x para que y tenga el mínimo valor?”... o en otras palabras: “¿qué valor de x hace que x−1sea igual a cero?”

• Y la respuesta es: six =1, entoncesx−1=0.

• Entonces, la función: y= (x−1)2, tiene su vértice en el punto(1, 0).

• Es decir,y= x2(que tiene su vértice en(0, 0)) se trasladó horizontalmente hacia la derecha en una unidad.

(12)

x

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

y

1 2 3 4 5 6

y=x2(Paso 1) y= (x1)2

• ¿Cuál es el dominio y contradominio de esta función?

Ejemplo 13 Grafica la función: y= (x+2)2.

• Como el binomio x+2 está elevado al cuadrado, la parábola abre hacia arriba. • «¿Qué valor de x hace que x+2sea igual a cero?»

• Y la respuesta es: six =−2, entoncesx+2=0.

• Entonces, la función: y= (x+2)2, tiene su vértice en el punto(−2, 0).

• Es decir,y=x2(que tiene su vértice en(0, 0)) se trasladó horizontalmente hacia la izquierda en dos unidades.

x

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

y

1 2 3 4 5 6

(13)

• Calcula el dominio y el contradominio de esta función.

Definición 4 Traslación horizontal

Si a la gráfica de la función y= f(x)la trasladamos horizontalmente k unidades, (con k>0la traslación ocurre hacia la izquierda y con k<0hacia la derecha) obtenemos la gráfica de la función y= f(x+k).

Con esta transformación podemos graficar fácilmente cualquier función cuadrática. En caso de que encuentres una función de la forma:y=a x2+b x+c, basta completar cuadrados1y convertir la función a la forma:y= (x−α)2+β.

El númeroαcausa una traslación horizontal; el númeroβcausa una traslación vertical. El peor de los casos tendremos una función de la forma: y= k(x−α)2+β, conk <0, es decir un número negativo, lo que indica una dilatación junto con una reflexión respecto al ejex.

Como ves, el álgebra elemental (productos notables y factorización) se requiere para realizar el procedimiento.

El siguiente ejemplo muestra uno de esos casos.

Ejemplo 14 Grafica la función:y=x2−4x+1.

Método 1.Completando cuadrados

• Primero debes observar que es una función cuadrática, y que se trata de una parábola.

• Vamos a completar cuadrados.

y = x2−4x+1

= (x2−4x+1) + (4−4) = (x2−4x+4) + (1−4) = (x−2)2−3

• En esta forma, es mucho más fácil y rápido hacer la gráfica de la función.

• Para completar cuadrados más fácilmente, calcula la mitad del coeficiente del término lineal, en este caso, la mitad de−4 es−2, y usa ese valor para completar el binomio.

• He aquí un segundo método de llegar al mismo resultado.

Método 2.Fórmula general

• Encontramos las raíces de la función, es decir, los puntos donde la gráfica corta al eje x, con la ayuda de la fórmula general:

x= −b± √

(14)

• En este caso: a = 1,b = −4 y c = 1. Sustituimos los valores en la fórmula general y resolvemos para encontrar los valores dex:

x = 4±

p

16−4(1)(1) 2(1) = 4±

√ 12 2

= 4±2 √

3 2 = 2±√3 • Ahora ubicamos los puntos:

x1=2+ √

3 y x2=2−

√ 3

en el eje x y a partir de estos graficamos la parábola. Sabemos que la parábola abre hacia arriba.

• En caso de que quieras mayor precisión, podemos usar la información del método 1, el vértice se encuentra en el punto(2,−3).

Método 3.Geométricamente

• Usando la interpretación geométrica de las raíces de la ecuación cuadrática, podemos fácil-mente encontrar las coordenadas del vértice:

xv=− b 2a =−

−4 2(1) =2

• Y la ordenada del vértice es: y(2) = (2)24(2) +1=−3. Entonces, el vértice es:(2,−3) • Sabemos que la parábola abre hacia arriba porque el coeficiente del término cuadrático es

positivo, y ya podemos hacer un bosquejo de la gráfica de la función.

x

−1 0 1 2 3 4 5 6

y −3 −2 −1 1 2 3 4 5 y

= (x−2)23

x1

x2

x1=2+

3 x2=2−

(15)

• Ahora tú encuentra el dominio y el rango de esta función.

Créditos

Albert Einstein Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.

Este material se extrajo del libro Matemáticas Iescrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es com-partir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor.

Autor: Efraín Soto Apolinar.

Edición: Efraín Soto Apolinar.

Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.

Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.

Productor general: Efraín Soto Apolinar.

Año de edición: 2010

Año de publicación: Pendiente.

Última revisión: 07 de agosto de 2010.

Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.

Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos.

Este material es de distribución gratuita.

Referencias

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