Tema 6. Interferencia y difracción de ondas

Tema 6.

Interferencia y difracción de ondas

Superposición de ondas

Ondas coherentes

Dispositivos de ondas coherentes.

Interferencias debidas a dos fuentes sincrónicas

Interferencias debidas a varias fuentes sincrónicas.

Láminas delgadas

Difracción de Fraunhofer por una rendija rectangular

Difracción de Fraunhofer por varias rendijas

Redes de difracción

Difracción de rayos X

Superposición de ondas armónicas

El resultado de la superposición de 2 ondas depende de la diferencia entre sus fases.

Sean dos fuentes puntuales de ondas S

y S

que oscilan en fase con la misma

frecuencia y con amplitudes



y



,

dando lugar a ondas armónicas de la forma:

= 

_o1

sen(k

₁

·

r

₁

-t)

= 

_o2

sen(k

₂

·

r

₂

-t)

Al llegar a P hay un desfase entre ellas:



=

k

₂

·

r

₂

- k

₁

·

r

₁

k·(r

₂

-r

₁

)=

= (r

₂

-r

₁

)

S

₁

S

₂

P

r

₁

r

₂

r

₁

, r

₂

>>

Suma de ondas armónicas: Fasores

Las interferencias se forman como consecuencia de la superposición de 2 ó más ondas en un punto del espacio. Estas ondas tienen fases diferentes. Sus funciones de onda en ese punto son:

E

=A

sen

E

=A

sen()

Para sumarlas recurrimos a los fasores,

en los que representamos las ondas como vectores, cuyo módulo es la amplitud y cuya fase es el

ángulo que forma con el eje x

Al sumarlos nos dará otro fasor de módulo diferente y fase tambien diferente

La amplitud en P es (th. del coseno):



_o

2

=

o1

2

+ 

o2

2

+2 

o1



o2

cos

La amplitud resultante está comprendida entre



_o1

+ 

_o2

y 

_o1

-



_o2

,

según el valor que tome cos .

= (r

₂

-r

₁

)=

n2

máximo

(2n+1) mínimo

(r

₂

-r

₁

)=

n

(2n+1)

Para r

-r

= ++2+3+... La amplitud alcanza

máximos.

Para r

-r

= ++3+5+... La amplitud

alcanza mínimos

kr

kr





₀₁



₀₂

_

0

Teorema del coseno

Sea un triángulo ABC, α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados opuestos a estos

ángulos , la relación entre los lados es:

Las interferencias aparecen cuando se superponen dos ondas provenientes de distintas fuentes.

Ondas coherentes son ondas de la misma frecuencia y amplitud.

S1

S

S2

Biprisma de Fresnel

Doble rendija de Young

Principio de Huygens

Ondas coherentes

Interferencias por una doble rendija de Young

S1 d S2

D

x

r

r





d<<D,



=

+

+2



cos



+

+2



cos

+2 

cos

2

cos

2

cos

1

2

cos

2

)

cos

1

(

2

























<<, sentg=x/D

r

-r

=d sendx/D

=(2/ (r

-r

)= 2dx/D)

Como la intensidad de la onda es proporcional al cuadrado de la amplitud

:

I_oes la intensidad para

x=0, (=0), I

=4

Se produce un máximo de intensidad cuando

cos(ax/D)=+1

(dx/D)=nx=(nD/d), ó

dsenn  d senn

La separación entre dos franjas consecutivas es:

2 2 o o

δ

πdx

I

_I

_cos

_I

_cos

(

)

2

λD





Dλ

Δx

d



Interferencias producidas por varias fuentes sincrónicas

d

S5

S4

S3

S2

S1



Por cada 2 rayos hay un desfase

de

=2(r

-r

)= (2 d sen

sumando los sucesivos desfases.







N

P



O

C

Q

2

δ

sen

2ρ

ξ

2

Nδ

sen

2ρ

2QP

OP

ξ









2

δ

sen

2

Nδ

sen

ξ

ξ



N=2

2

δ

cos

ξ

2

2

δ

sen

2

δ

cos

2

δ

2sen

ξ

2

δ

sen

senδ

ξ

ξ







Para N fuentes la intensidad la intensidad resultante se puede poner como

2 2 0 0 2

Nπ d senθ

Nδ

_sen

sen

_λ

2

I I

_δ

I

πdsenθ

sen

_sen

2

λ













































I

_o

 

₁₀

2

Los máximos corresponden a los mínimos del denominador y aparecen para

d sen/= n

Q





N

P



O

2 o 2

N

sen

2

I I

sen

2

2π d senθ

λ











senN

2

n π;

N

2

_sen

2









 

Todos los





=N 

Además, la intensidad se anula cuando el numerador se hace 0

N=m;

m toma los valores 1, 2,3, 4 N-1, N+1, N+2, 2N-1, 2N+1...., se excluyen los valores N, 2N, 3N..., pues corresponden a los máximos

m

π

2

N



_

Láminas delgadas

Control de calidad de lentes mediante el estudio de los anillos de Newton. El espacio entre los dos vidrios es una película delgada de aire de espesor variable. Cuando la lente es iluminada desde arriba con luz monocromática, en las cercanías del centro el espesor de la película de aire es casi nulo, no hay diferencia de camino entre los dos rayos, el rayo reflejado en la superficie inferior aire-vidrio sufre un desfase de  radianes que no ocurre en la superficie superior vidrio-aire, por tanto se produce interferencia destructiva y el centro es un punto oscuro. A partir de ese punto, aparece un patrón de franjas claras y obscuras a medida que se van alternando las condiciones de interferencia constructiva y destructiva. Los máximos se producen cuando la diferencia de camino es un múltiplo de /2, pues así compensa el desfase de  que se produce en la reflexión aire/vidrio.

La lámina tiene espesor a e índice de refracción n. Las sucesivas reflexiones y refracciones son

equivalentes a un problema de N fuentes sincrónicas. Las interferencias se producen entre las onda reflejadas en la superficie superior y la inferior.

Los máximos de interferencia ocurren cuando

=2n.

B’D=BD sen

BD=2a tg

B’D=2 a tg

sen

,

B’D= 2 a n tg

sen

= 2a n (sen



/ cos

)

BCD= 2BC= 2a/cos

n

θ

sen

θ

sen

_

Ley de Snell

t

= B’D/c= (2a n/c) (sen



/ cos

)

t

=BCD/v= (2a n/c) (1/cos

)

θ

cos

c

2an

)

θ

sen

(1

θ

cos

1

c

2an

t

t









θ

cos

λ

an

4π

θ

cos

c

2an

ω

)

t

t

ω(

δ









Además al pasar de un medio menos denso a uno más denso se produce un cambio de fase de



.

π

θ

cos

λ

an

4π

δ





La condición de máximo es

=2l,

.

t t

4 an

2 l

cos

_θ

π;

λ

4a n cos

_θ

(2l 1)λ













Se podría haber hecho lo mismo para los rayos transmitidos y se habría obtenido

2a n cos

=l

En esta configuración el rayo 1 está desfasado  con respecto al 2

En este caso los dos están desfasados , Por consiguiente ese desfase no contribuye

El interferómetro de Michelson, inventado por Albert Abraham Michelson, permite medir distancias con una precisión muy alta. Su funcionamiento se basa en la división de un haz coherente en dos haces para que recorran caminos diferentes y luego converjan nuevamente en un punto. De esta forma se obtiene lo que se denomina la figura de interferencia que permitirá medir pequeñas variaciones en cada uno de los caminos seguidos por los haces. Este interferómetro fue usado por Michelson junto con Edward Morley para intentar probar la existencia del éter, en el famoso experimento de Michelson-Morley.

Demostrar que el éter carecía de propiedades mesurables, resultando insostenible la hipótesis del éter. Se sugería un nuevo principio físico, la velocidad de la luz en el espacio libre es la misma en todas partes,





(

' 2 ) (

' 2 ) 2(

)

2

4 (

)

2 (

)

cos

cos

2

2 (

)

:

2 (

)

min :

2

1

2

r

_r

_r

D d

_d

D d

_d

_d

_d

r

_d

_d

d

d

I

_I

_I

d

d

Max

m

d

d

_m



















_









   

 



 























_

_







_



_

_

La difracción es un fenómeno de interferencia entre los rayos de un número

infinito de fuentes.

El fenómeno se produce cuando la onda se distorsiona por un obstáculo de

dimensiones comparables a la longitud de onda, y se produce un cambio de dirección de la luz.

Difracción

Difracción por una rendija

Difracción por una abertura circular

Difracción por un alambre Difracción por varios alambres cruzados

Richard Feynman:

No-one has ever been able to define the difference betweeninterferenceand diffraction satisfactorily. It is just a question of usage, and there is no specific important physical difference between them.

Dispositivo de Fraunhofer

En el caso general, la llamada difracción de Fresnel, la fuente y la pantalla de detección están a distancias finitas, por lo que ni los rayos incidentes ni los difractados son paralelos entre sí.

Esta situación es difícil de tratar, por ello se recurre a la difracción de Fraunhofer, que opera con rayos, paralelos, lo que permite hacer un estudio del fenómeno de la difracción mucho más sencillo.

Difracción de Fraunhofer por una rendija rectangular

Al variar el ángulo de observación se altera la distribución de franjas claras y obscuras. Además la distribución depende de la dimensión

de la rendija y de la longitud de onda.

La interferencia destructiva se producía cuando

r

-r

=(2l+1)/2

Vamos a ver que sucede para los rayos que

provienen del extremo y del centro de la rendija

.



b

r

-r

= b/2 sen=(2l+1)/2 

extinción

bsen=(2l+1) l

bsen=nn=1, 3, 5, 7..)

Entre los rayos que están separados una distancia b/4 podemos hacer algo similar y buscar la correspondiente condición de extinción

r

-r

= b/4 sen=(2l+1)/2 

extinción

bsen= 2(2l+1) l

bsen=nn=2, 6, 10, 14...)

Haciendo el mismo cálculo para rayos separados por otras distancias se llegan a completar todos los enteros, de forma que la condición general se puede poner:

Cálculo de la intensidad

Dividimos la anchura en intervalos dx

A B C

x

dx

El desfase entre A y B viene dado por:

=2/ xsen,

=2bsen/

)

λ

πbsen

(

sen

2ρ

2

α

sen

2ρ











=0;

_o es la amplitud para =0, por consiguiente nos permite poner  en función de los parámetros de la difracción

senθ

b

2ππ

λ

ρ

;

λ

senθ

b

2ππ

ρ

ρα

OP

arco













λ

θ

sen

πb

λ

θ

sen

πb

sen















_



 

 





sen

I

λ

senθ

πb

λ

senθ

πb

sen

I

I

















λ

πbsenθ





Los ceros de intensidad se producen cuando el numerador se anula

sen=n; bsen=n, n0

Los máximos se obtienen haciendo la derivada de la intensidad e igualando a cero

nπ

λ

πbsenθ 

λ

πbsenθ

λ

πbsenθ

λ

πbsenθ

cos

tg

;

sen

cos

;

0

sen

I

cos

I

d

dI

0;

d

dI

sen





































Los sucesivos máximos se producen para valores de  cada vez mayores, por consiguiente va disminuyendo la intensidad.



(sen

/

0

1

1,43

0,047

2,459

0,017

3,471

0,008

4,477

0,005

5,482

0,003

Cuando <<b, bsen=n,

Esta expresión nos da el poder separador de una rendija.

b

λ

θ

senθ

;

b

λ

n

senθ











Se observan las dos fuentes cuando el

máximo de una fuente, coincide

Resolución en microscopía óptica

D

λ

1.22

θ



Criterio de Rayleigh

1.22 λ

d=rθ

D/r



1.22 λ 1.22 λ

1.22 λ

1.22 λ

d=r

;

D/r

2sen

d

2nsen

2

NA















Apertura numérica, NA=n sen

n Índice de refracción

1.22 λ

2

d

NA

Difracción de Fraunhofer por dos rendijas

b

a

Calculamos la amplitud debida a cada una de las rendijas y luego las sumamos

λ

θ

sen

πb

λ

θ

sen

πb

sen

A

A















Entre dos rayos equivalentes de las dos rendijas hay una diferencia de fase de

λ

senθ

a

2π

β



cosβ

A

A

2

A

A

A

2



1

2



2

2



1

2

A

=A





β

₂

s

A

2

cosβ

2(1

A

A

2

₁

1

1



)



co





























λ

asenθ

π

cos

λ

πbsenθ

λ

πbsenθ

sen

A

2

A

 

_





























λ

asenθ

cos

λ

πbsenθ

λ

πbsenθ

sen

I

I



El primer factor es el que obtuvimos al estudiar una rendija, el segundo factor introduce ceros adicionales:

Y máximos:

2

λ

1)

(2l

asenθ

;

2

π

1)

(2l

λ

πasenθ

_

_

_

_

λ

n'

asenθ

;

π

n'

λ

πasenθ

_

_

Redes de difracción

Cuando hay más de tres rendijas decimos que hay una red de difracción.

El ancho de las rendijas es b y la separación entre ellas a. Para el caso de N rendijas, la expresión de la intensidad viene dada por:

2 2 o

πbsenθ

N senθ

sen(

)

sen(

)

λ

λ

I I

πbsenθ

senθ

sen

λ

λ

πd

πd





 





 





 





 



Difracción

Interferencias

La diferencia con las interferencias por N rendijas, consiste en que en el estudio de las interferencias las rendijas no tenían anchura.

Cuando sobre una red de difracción incide luz policromática se producen máximos de difracción a distintos ángulos para las distintas longitudes de onda que componen la luz incidente, excepto para el orden cero que es igual para todas.

Un monocromador no puede trabajar con el máximo principal (orden cero).

El conjunto de los máximos para un orden dado constituye un espectro. Cuanto mayor es la longitud de onda mayor es la dispersión.

La dispersión de una red se define como:

dsen=n

D

θ

λ

d

d



nλ

dθ

n

n

senθ

; cosθ

; D

d

dλ

d

d cosθ







D aumenta cuando aumenta n, pero la intensidad es menor. Tambien aumenta cuando disminuye d, es decir cuanto más próximas entre sí están las rendijas.

Las redes de difracción son de 150, 300, 600, 1200, 1800, 2400, 3200 líneas /mm. A más líneas por mm más dispersión y más resolución espectral.

Difracción de rayos X por los cristales

La longitud de onda de los rayos X es muy corta, por consiguiente las redes de

difracción convencionales no sirven, sin embargo las redes cristalinas constituyen

redes de difracción naturales para los rayosX

Las distancias interatómicas son de unos pocos A, por lo que están en el orden

de magnitud de la longitud de onda de los rayos X. Cuando éstos pasan a través

de un cristal se produce difracción por los átomos ó moléculas del mismo. Como

puede haber átomos ó moléculas de diferente naturaleza, la contribución de cada

uno de ellos será diferente.

Suponiendo que solo tenemos una clase de átomos:

A B

ABC=2d sen

El desfase es

La condición de interferencia constructiva es:

=2n

2dsen=n

Ley de Bragg

2dsenθ

λ

2π

ABC

λ

2π

δ





Diagrama de Laue

Diagrama de Laue

Difracción por varios alambres cruzados

Diagrama de cristales pulverizados: diagramas de Debye-Scherrer, anillos de difracción

X-ray key enzyme of common pathogen crystallised in living cells Nanocristales de proteinas

Imágenes de difracción de rayos X de la molécula de ADN y

estructura de doble hélice deducida a partir de ellos

Imagen de difracción de rayos X del ADN obtenida por Raymond Goslingy

Rosalind Franklinen Mayo 1952 en la que se basaron, Watson, Crick y Willkins para desarrollar el modelo de doble hélice del ADN

The left image shows one plane through the three-dimensional diffraction pattern of a DNA crystal. Each spot has a characteristic intensity that is related to the distribution of electrons in the crystal. The view shows one base pair with a guanine and a bromocytosine.

The blue contours enclose most of the electrons, and show the overall shape of the bases.

Moon coronas are due to diffraction.

When the moon looks a bit hazy,

you’re seeing a corona. It’s a

diffraction effect.