REDUCCIÓN DE PLACAS FOTOGRÁFICAS EN GEODESIA POR SATÉLITES 1

REDUCCIÓN DE PLACAS FOTOGRÁFICAS EN

GEODESIA POR SATÉLITES

1

Por M. J. SEVILLA

Facultad de Ciencias Matemáticas Universidad Complutense

1

Técnica Topográfica. Vol. IV, Nº 11, pp. 3-11. Madrid. (1976)

PRELIMINARES

Consideremos una placa fotográfica de una cierta zona del cielo, obtenida en una operación de Geodesia por satélites. Según el tipo de satélite observado y el de la cámara utilizada, las imágenes de las estrellas y del satélite adoptarán distintas configuraciones.

En primer lugar, el satélite puede ser «activo» o «pasivo»: es activo si emite luz propia, en tal caso (satélites tipo GEOS) dicha emisión de luz se produce a intervalos regulares de tiempo, por lo que en la placa fotográfica aparecerán imágenes puntuales del satélite directamente; el satélite es pasivo si no tiene luz propia, sino que refleja la del Sol, en este caso (satélites tipo ECHO y PAGEOS) no es observable en todo tiempo, lógicamente lo será cuando esté fuera del cono de sombra de la Tierra y durante las noches que se encuentre por encima del horizonte del observador.

Fig. 1. Cámara BAKER-NUNN de cuatro ejes.

La imagen de dicho satélite sobre la placa sería entonces un trazo continuo que incluiría todos los puntos de la trayectoria en el campo de la cámara, a no ser que dicha traza se descomponga en imágenes puntuales; esto es lo que se hace por medio de un sistema de obturación, a intervalos regulares, que lleva acoplado la cámara fotográfica. En ambos casos, son imágenes puntuales del satélite las que aparecen sobre la placa y son estas imágenes las que serán posteriormente medidas en un comparador para obtener sus coordenadas.

Fig. 2. Cámara WILD-BC4 con montura altaacimutal.

En segundo lugar, las cámaras fotográficas pueden tener diversos tipos de montura: desde las altaacimutales o cámaras fijas (IGN, WILD-BC4, figura 1), hasta las más complicadas de cuatro ejes (BAKER-NUNN, ZEISS-SBG, figura 2). En general podemos decir que si la montura es ecuatorial las imágenes de las estrellas serán puntuales sobre la placa o filme, mientras que si la montura es horizontal las estrellas van a describir sobre la placa los trazos correspondientes al movimiento diurno; otra vez será preciso recurrir a sistemas de obturación para aislar imágenes puntuales.

En definitiva, y en cualquier caso, podemos distinguir las imágenes correspondientes a las estrellas por una parte y al satélite por otra (figura 3), y a estas imágenes les podemos asignar unas coordenadas obtenidas en la medida de la placa en un comparador (figura 4).

Fig. 4.—Comparador GRUBB-PARSON PM-20S con consola de perforación automática.

Identificadas las estrellas cuyas imágenes aparecen sobre la placa, a partir de sus posiciones obtenidas de un catálogo y convenientemente reducidas, por un procedimiento como el especificado en (Sevilla M. J. 1974), podemos obtener unas coordenadas teóricas en un sistema de referencia cuyo plano principal es el definido por el plano focal de la cámara fotográfica, la orientación del cual conocemos, y cuyos ejes X e Y con origen en el punto principal imagen teórico, tengan direcciones ortogonales según las marcas fiduciales de dicha placa.

El problema de la reducción de placas consiste en el establecimiento de una relación matemática entre los puntos del espacio objeto (coordenadas teóricas:

x y

_t

,

_t) y los puntos del espacio imagen (coordenadas medidas:

x

_m

,

y

_m) que nos permita pasar de uno a otro.

Sean pues









,

,

,

,

t x m m x t y m m y

x

H

x

y

p

y

H

x

y

p





dichas relaciones donde

p

x y

p

y son unos

parámetros que hay que determinar, así como la forma de las funciones bien definidas

H

_x y

H

_y. TEORÍA DE LA PROYECCIÓN CENTRAL. CORRESPONDENCIA HOMOGRAFICA

La hipótesis de base que tomaremos en este caso, consiste en suponer que entre el espacio objeto y el espacio imagen existe una proyectividad; habiendo tenido en cuenta los efectos de aberración y refracción en el cálculo de coordenadas teóricas, y los de distorsión y errores del comparador (Ortiz y otros, 1973) en las coordenadas medidas.

La proyectividad entre dos planos es una homografía cuando se verifica: a) a un punto le corresponde un punto, b) a una recta le corresponde una recta, c) a un punto de una recta le corresponde un punto de la recta homologa. En las condiciones anteriores consideramos que entre los planos de las teóricas y medidas existe una correspondencia homográfica cuyas ecuaciones vamos a determinar. Sean



x y z, ,



y



x y z', ', '



las coordenadas homogéneas de puntos homólogos. La homografía vendrá dada por

1 1 1 2 2 2 3 3 3

'

'

'

'

'

'

'

'

'

x

x

y

z

y

x

y

z

x

y

z

z





































homogeneizando el sistema tendremos

1 1 2 2 3 3 3

'

'

'

'

'

'

t m m t m m m m

zx

z x

z y

z

zy

z x

z y

z

z

z x

z y

z

1 2

'

'

'





































siendo

x z

_t



x y z

,

_t



y x z

,

_m

'



x

',

y z

_m

'



y

'

. Dividiendo las dos primeras ecuaciones por la tercera obtenemos

1 1 3 3 2 2 3 3

'

'

'

'

'

'

'

'

m m t m m m m t m m

z x

z y

z

x

z x

z y

z

z x

z y

z

y

z x

z y

z

1 3 2 3

'

'

'

'













































multiplicando y dividiendo por



₃

z

'

y llamando

1 1 1 3 3 3 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3

1,

,

,

',

' 1,

',

,

a

b

a

b

P

Q

c

c

































 







 







para unificar coeficientes resultan las expresiones de la nomografía en la forma









1 1 ' 1 ' 1 m m t m m m m t m m a x by c x Px Qy a x b y c y Px Qy             '

0



Los coeficientes a a Q se denominan parámetros de placa, y el problema de la reducción consiste en obtenerlos. Para ello supongamos que conocemos las coordenadas teóricas y medidas de las estrellas; cada imagen da lugar a dos ecuaciones del tipo

0

'

'

'

m m m t m t m t m m m t m t m t

ax

by

c

Px x

Qy x

x

x

a x

b y

c

Px y

Qy y

y

y



 











 









con cuatro estrellas se resolvería el problema, pero como es lo normal en estos casos, se tienen más datos y se aplica el método de los mínimos cuadrados.

En (SEVILLA M. J. 1974) se analiza el proceso de cálculo dando un método autocorrector para la resolución de los sistemas, se estudian y calculan las matrices de varianza-covarianza y se da un método automático para la eliminación de observaciones aberrantes mediante la definición de un estadístico invariante frente a ciertas transformaciones. Todo el proceso va acompañado de los correspondientes programas en Fortran IV para ordenadores electrónicos.

Una vez obtenidos los parámetros de placa , si son



, , , ', ', ', ,

aa b c a b c P Q

x y_{s s} las

coordenadas medidas de un punto imagen del satélite sus correspondientes coordenadas homográficas vendrán dadas por









1 1 ' 1 ' 1 s s h s s s s h s s a x by c x Px Qy a x b y c y Px Qy       '      

y siendo F la distancia focal o constante de cámara, las coordenadas en el sistema instrumental definido por la cámara fotogramétrica, serán (figura 5):

Fig. 5.-Dirección de la cámara. Sistema instrumental.

i h i h i

x

x

y

y

z

F





 

de manera que los cosenos directores en este sistema serán i i

x

x

R

y

y

R

F

z

R











siendo R x_i2 y_i2 z_i2

Normalizando el sistema y sustituyendo las expresiones anteriores es fácil llegar a













1 1 1 ' 1 ' 1 s s s s s s x a x by D ' c y a x b y c D F z Px Qy D   _    _   _        siendo D R Px



s Qys 1



El proceso de mínimos cuadrados nos permitió determinar la matriz de varianza-covarianza de los parámetros de placa a, b, ... Q que designaremos por (pp) y, por otra parte, también es posible determinar la matriz de varianza-covarianza de las cordenadas



x y_{s s}



fácilmente que designaremos por (cc). Entonces a partir de estos datos y de las relaciones funcionales últimas debemos determinar la matriz de varianza-covarianza de las direcciones del satélite que después intervendrán en el ajuste y compensación de la triangulación.

Considerando una posición del satélite



x ys s



sobre la placa, se demuestra en (SEVILLA

M. J. 1974) que la correspondiente matriz de varianza-covarianza de la dirección (x, y, z) en el sistema instrumental viene dada por

 

T

 

T

ss s s s s

V = C cc C + P pp P

donde (cc) y (pp) ya se han definido y donde y son matrices de coeficientes obtenidos a partir de las relaciones funcionales antes mencionadas;

s

C

ss

P

T s

C

C^ y

P

_sTPT son las matrices traspuestas de y respectivamente.

s

C

ss

P

Considerando dos posiciones distintas del satélite sobre la placa



x ys s



,



x yr r



se llega por

el mismo procedimiento a obtener la matriz

 

T

r r

s s

V = P pp P

En conclusión, la matriz de varianza-covarianza de todos los pares de direcciones sobre la misma placa quedará formada por cajas con términos del tipo

ss

V

en la diagonal principal y el resto de la forma

sr

V

.

El análisis de esta matriz nos permitirá

estudiar las correlaciones que pudieran existir entre las direcciones de las distintas zonas de la placa por un lado y comparando unas con otras, entre las diferentes placas; lo que nos podría llevar a conclusiones acerca de la garantía de las hipótesis de partida y de la propia observación, incluyendo no solamente el comportamiento de los equipos y cámaras utilizadas, sino las condiciones operatorias y la estabilidad del método.

Las coordenadas de la dirección del satélite en el sistema instrumental deben pasarse en primer lugar al sistema horizontal. Si son Az y Dz los ángulos de orientación de la cámara (acimut y distancia cenital), este cambio viene dado matricialmente por

cos

sen

cos

sen

sen

sen

cos

cos

cos

sen

0

sen

cos

u

Az

Az

Dz

Az

Dz

v

Az

Az

Dz

Az

Dz

w

Dz

D

  

 

  

_{ }

 

  

 

  

_

 

  

 

x

y

z

z

En el sistema horizontal efectuamos las correcciones por aberración de la luz, corrigiendo el tiempo, en vez de en posición; y por refracción atmosférica para objetos a distancia finita del observador.

A fin de referir la dirección observada al centro geométrico del satélite, se puede aplicar una corrección por fase, lo que es fácil si pasamos a un sistema de referencia ecuatorial.

Por último habrá que obtener la dirección del satélite en el sistema de referencia que se utilice en las aplicaciones posteriores.

MÉTODO DE TURNER

Consideremos la esfera celeste de centro en el punto estación O y radio unidad y realicemos una proyección gnomónica oblicua de una zona restringida de su superficie en un plano tangente a la misma en su punto intersección con la dirección del eje óptico de la cámara fotográfica. Tomemos los ejes del plano proyección en las direcciones Este y Norte respectivamente. Las fórmulas de esta proyección son (DRIENCOURT et LABORDE, 1932)

0 0

0 0

0 0

sen sen

cos cos

sen sen

cos

cos sen

sen cos

cos

cos cos

sen sen

cos

M

M

M

M









































Fig. 6. Proyección gnomónica. Coordenadas standard. Siendo





90



 

,

₀



90





₀ y

M

 

 

₀.

0

,

0

 

,

son las coordenadas ecuatoriales ascensión recta y declinación del eje óptico de la cámara, y

 

las de una estrella en la zona proyectada (fig. 6). Efectuando el cambio correspondiente resulta

















0 0 0 0 0 0 0

cot sen

cot cos

cos

sen

cos

cot cos

sen

cot cos

cos

sen



 



0 0 0



 









 







 























Las coordenadas



 

,



así determinadas se denominan coordenadas standard de la estrella. Han sido obtenidas en un supuesto totalmente teórico considerando que se cumplen rigurosamente las condiciones geométricas de la proyección gnomónica. Ahora bien, en realidad esto no es así, pues existen fenómenos que hacen que no nos encontremos en el caso ideal anterior, fundamentalmente la distorsión de las lentes, aberración, refracción atmosférica, etc., por consiguiente posteriormente deberemos introducir las oportunas correcciones.

Consideremos ahora las coordenadas x, y obtenidas al medir la placa en un comparador, correspondientes a la imagen de la estrella cuyas coordenadas standard eran



Si llamamos F a la distancia focal de la cámara fotográfica, las cordenadas de la imagen sobre la placa del punto



 

,



, en virtud de la proyectividad existente entre ambos planos, son



,

 

; a estas coordenadas x e y les llamamos coordenadas medidas.

F

F











los errores introducidos en la medida por el propio comparador, tales como errores de orientación, perpendicularidad de ejes, sistemas de centraje, etc., hacen que las coordenadas standard y medidas no coincidan.

El método de Turner (SMART, 1965) supone que si se combinan todos los efectos considerados las diferencias entre las coordenadas standard y medidas pueden escribirse en forma lineal como funciones de x e y tales como

x

ax

by

c

y

dx

cy

f





 





 





siendo a, b, ... f pequeños parámetros que dependen de los errores instrumentales, de aberración y refracción, estos parámetros se denominan constantes de placa.

De forma análoga pudiéramos haber escrito

x

a

b

c

y

d

c

f













 





 





en función de las coordenadas standard.

El conocimiento de las coordenadas standard y medidas de tres estrellas permite establecer, con las ecuaciones anteriores, un sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas; tres ecuaciones de la forma

i

x

i

ax

i

by

i

c











que permiten obtener a, b y c, y otras tres ecuaciones de la forma

i

y

i

dx

i

cy

i

f











que permiten obtener d, e y f.

Si en vez de tres estrellas tuviésemos un número superior, aplicaríamos el método de los mínimos cuadrados para obtener los valores más probables de las constantes de placa. No obstante, el número de estrellas consideradas no es grande dadas las condiciones de validez de la proyección gnomónica considerando despreciables las deformaciones lineales, lo que restringe la zona útil de la placa a 2° ó 3° en las cercanías de la imagen del satélite que se pretende restituir.

Sobre este método existen ciertas variantes

entre las que podemos indicar las siguientes (MULLER, 1964).

La transformación entre las coordenadas standard y las coordenadas medidas puede hacerse por una transformación afín necesaria a causa de que se suponen que las distorsiones en la escala se presentan en todas direcciones. Entonces se aplican las ecuaciones de la transformación lineal de la forma

Ax

By

E

Cx

Dy

F

















siendo A a F las constantes de placa, definidas por

0 0 cos sen sen cos A k C k B k D k E F    













      

donde

k k

_

,

_ son los factores de escala en las direcciones

 

,

respectivamente;  es el ángulo entre los ejes



, x, medido desde



; en sentido de las agujas del reloj;

 

₀

,

₀ son las coordenadas standard del origen verdadero.

Estas ecuaciones se aplican con suficiente precisión hasta distancias cenitales inferiores a 60°. Si se sobrepasan estos límites se deberán incluir términos de segundo o tercer orden; en este caso, resultan ecuaciones del tipo (GOOD, 1962).









2 2 2 2 2 2

a

bx

cy

dxy

ex

f x

y

x

g

hx

iy

jxy

ky

l x

y

y





 











 

 







y como aparecen 12 constantes de placa, para su obtención será preciso un mínimo de seis estrellas, aunque como en el caso anterior suele utilizarse un número superior y se aplica el método de mínimos cuadrados.

En cualquiera de los casos planteados, una vez obtenidas las constantes, si son



x y_{s s}



las coordenadas medidas del satélite, aplicando las relaciones de la transformación obtenemos las correspondientes coordenadas standard del satélite, por ejemplo sería

s s s s s s

Ax

By

E

Cx

Dy

F

















y si dividimos por la distancia focal F obtendremos las coordenadas correspondientes en el plano de la proyección gnomónica, es decir resultará

s s s s

F

F













La dirección del satélite en el sistema ecuatorial original se obtendrá aplicando la transformación inversa de la proyección. Las ecuaciones correspondientes se obtienen fácilmente sin más que considerar por una parte la ecuación de los meridianos en la proyección gnomónica, que es













0 0

0 0

cos

sen

sen

cos

sen



 





 



 













0



esta ecuación procede de eliminar  entre las ecuaciones de la proyección. Dividiendo por



0

cos

 

 y despejando tan



 

 ₀



resulta



0



0 0

tan

cos

sen



 













Por otra parte, de la expresión de



T) se obtiene inmediatamente



0 0

 



0 0

sen

cos

cos

tan

cos

sen

0







 

















Sustituyendo en estas ecuaciones las coordenadas



 

_s

,

_s



obtendremos sus correspondientes



 

_s, _s



ecuatoriales.

Dado que las constantes de placa se determinan a partir de las estrellas de referencia, incluyen los efectos de refracción astronómica

3

58".294 tan

0."0668 tan

z

_

z

 



z

las direcciones del satélite tendrán incluido el efecto total de dicha refracción, de la que habrá que eliminar la refracción diferencial por encontrarse el satélite a distancia finita.

Además, la atmósfera introduce un defecto debido a las irregulares turbulencias atmosféricas que hacen que las imágenes fluctúen alrededor de su

posición verdadera.

Este efecto puede reducirse utilizando cámaras de gran abertura y moderada distancia focal. Además, existen fórmulas correctoras.

Otro fenómeno que se debe tener en cuenta en el cálculo de direcciones de satélites es debido a la aberración diferencial ocasionada por la velocidad del satélite respecto al observador. Existen fórmulas correctoras de este fenómenos, tales como (VEIS, 1960)

cos s s s s s r c r c

 



 

     

donde

 



_s

,



_s son las variaciones de



 

s, s



con el

tiempo,

r

_s es la distancia observador satélite y c la velocidad de la luz.

En este momento tendremos las coordenadas topocéntricas del satélite referidas al sistema de las estrellas, a partir del cual deberemos pasar al sistema de referencia elegido para las aplicaciones que se vayan a efectuar con el satélite APLICACIONES

Reducida la placa fotográfica, disponemos de las coordenadas del satélite (u, v, w) en el caso de la reducción homográfica en el sistema horizontal, o de las



 

_s, _s



con el método de Turner en el sistema ecuatorial.

Las primeras pueden pasarse al sistema ecuatorial sin más que aplicar dos rotaciones, una alrededor del eje U de ángulo

2

 

 

y otra alrededor del eje W de ángulo

2

 

 

siendo  la latitud de la estación y  la hora sidérea local. Así resultan las coordenadas cartesianas

sen

sen cos

cos cos

cos

sen sen

cos sen

cos

sen

x

u

v

w

y

u

v

w

z

v

w























 















Las coordenadas esféricas correspondientes pueden determinarse por

REFERENCIAS: 2 2

arctan

arctan

s s

y

x

z

x

y











SCHMID, H. H.: «Photogrametry applied to Three-Dimensional Geodesy». U. S. Coastand G. C. 20230-1964.

DRIENCOURT, L., et LABORDE, J.: «Traite des projections des caries geographiques». Hernán - París 1932.

Entonces en cualquiera de los métodos de rducción

tendremos las coordenadas



 

_s, _s



del satélite. _{SMART,W. M.: «Spherical Astronomy». Cambridge} U.P. 1968.

MUELLER,I. I.: «Introduction to satellite Geodesy». Frederich U.C. New York 1964.

Estas coordenadas son precisamente las que entran en el sistema de ecuaciones de observación en la aplicación del método orbital, son las



*, *

GOOD,W. E.; BERBERT,J. H., and OOSTERHOUT,J. D.:«Reduction of the Minitrack Astrographic Piales». Photographic Science and Eng. 1962.



 

utilizadas en (SEVILLA M. J. 1976). Si se quiere aplicar el método de triangulación espacial (figura 7 habrá que calcular previamente los cosenos directores

p q r

ˆ ˆ ˆ

´, ,

y formar posteriormente el sistema de ecuaciones dado en la referencia anterior.´

ORTIZ,R.; SEVILLA,M. J., y VIEIRA,R.: «Estudio de la calibración, técnica de medida y automatización de datos en un comparador para medida de placas estelares». Urania 1973.

SEVILLA, M. J.: «Método autocorrector para el cálculo de direcciones de satélites geodésicos y análisis de los errores en la restitución de un arco de órbita». Urania 281-282 (1974).

SEVILLA, M. J.: «Métodos fotogramétricos en Geodesia por satélites». Técnica Topográfica, Vol. IV, número 10, 1976.

VEIS, G.: «Geodetic Uses of Artificial Satellites». Smithsonian contributions to Astrophysics». Vol. 3, núm. 9, 1960.

Fig. 7. Triangulación espacial.

SUMMARY

An introduction is given to the usual methods for reducing photographic plates of geodesic satellites on a background of stars. The eight parameter homographic method is taken up first, and then the Turner method. In both cases the presentation concludes with the computation of satellite directions.

RESUME

Les méthodes courantes de réduction de plaques photographiques de satellites géodésiques sur fond d'étoiles sont présentées id. Il est d'abord envisagé la méthode homographique a huit parámetros, puis la méthode de Turner; il est donné finalement pour les deux cas le calcul de direction des satellites.