RESPUESTAS FORZADAS Y RESPUESTA FRECUENCIAL

(1)

RESPUESTAS FORZADAS Y RESPUESTA FRECUENCIAL

1. Uso de las transferencias

Supongamos una transferencia cualquiera

Se resuelve hallando las componentes naturales y la forzada. Para la respuesta natural planteo la ecuación homogénea:

Propongo la solución exponencial y reemplazo en la ecuación homogénea

Así obtengo las n raíces de la ecuación (s1, s2,…, sn), las cuales pueden ser

reales o complejas(los n exponentes y las n soluciones), entonces la respuesta natural será: t S n t S t S n n e A e A e A + + + = Ω 1 2 ... 2 1 La ecuación característica es

Podemos decir entonces que toda la información de la respuesta natural está en el denominador de la función transferencia.

0 1 1 1 0 1 1 1 ... ... ) ( ) ( ) ( a p a p a p a b p b p b p b r denominado numerador p D p N p T _n n n n m m m m + + + + + + + + = = = ₋ − − − ) p ( T ) Jp B )( Lp R ( ) k ( k ) t ( u ) t ( 2 = + + + φ φ = Ω ) t ( u ) b p b ... p b p b ( ) t ( ) a p a ... p a p a ( m1 ₁ ₀ 1 m m m 0 1 1 n 1 n n n + + + + ⋅Ω = + + + + ⋅ − − − − 4 4 4 4 3 4 4 4 4 2 1 4 4 4 4 3 4 4 4 4 2 1 ) t ( f 0 1 m m m ) t ( ) p ( D 0 1 n n n b u dt du b ... dt u d b a dt d a ... dt d a Ω+ + Ω+ Ω= + + + Ω ⋅ ) t ( f ) t ( ) p ( D ⋅Ω = ) t ( 0 a dt d a ... dt d a n 1 0 n n n + Ω= ⇒Ω Ω + + Ω st n(t)=Ae Ω 0 ...+ 1 + 0 = + st st st n ns Ae asAe a Ae a 0 ) s ( D 0 ) p ( D = ⇒ =

(2)

Para la respuesta forzada con valores constantes de excitación:

Para excitación exponencial:

Para excitación armónica:

Supongamos una excitación

) cos( )

(t =U ⋅ ωt+α

u max ⇒U& =Umax∠α

) cos( )

( =Ω ⋅ ω +β

Ω t _max t ⇒Ω& =Ωmax∠β β α θ⋅ ∠ =Ω ∠ ∠ = ⋅ =

Ω& T& U& T Umax max

⇒Ω_max =T⋅U_max,β =α+θ de manera que: 0 1 1 1 0 1 1 1 ... ... ) ( a p a p a p a b p b p b p b p T _n n n n m m m m + + + + + + + + = ₋ − − −

y, para excitación exponencial será:

) )...( )( ( ) )...( )( ( ... ... ) ( 2 1 0 1 0 1 n m b a n n m m s s s s s s s s s s s s K a s a s a b s b s b s T − − − − − − = + + + + + + = Donde: K= factor de escala

s1, s2, ..., sn son raíces de la ecuación característica, polos de la función

transferencia

sa, sb, ..., sm son ceros de la función transferencia

Suponiendo los siguientes polos y ceros: 0 1= s

s

₂

=

−

α

s

₃

=

s

₄

=

−

α

'

±

j

ω

'

0 ≠ a s ) 0 ( D ) 0 ( N ) 0 ( T = ) s ( D ) s ( N ) s ( T = θ ω ω ω = =T =T∠ j D j N j T & ) ( ) ( ) (

(3)

Analizando la constelación de polos y ceros se puede determinar la

característica de la respuesta a excitación armónica viendo cómo varían para distintos jω (desplazándose por el eje imaginario) los módulos |jω -si| y sus

ángulos αi de las raíces y se podrá graficar el módulo |T| y ángulo θ de la

función transferencia en función de ω.

Figura N°1 Suponiendo una transferencia con 2 polos y 2 ceros:

) )( ( ) )( ( ) ( 2 1 j s s j s j s j K T T a b − − − − = = ω ω ω ω θ &

si αn son los ángulos de (jω-sn) y β los de (jω-sm)

4 4 4 3 4 4 4 2 1 & Módulo b a s j s j s j s j K T 2 1⋅ − − − ⋅ − = ω ω ω ω 2 1

α

β

+

−

∠

_a _b

Se puede hallar θ gráficamente. 1.1. Ejemplo Cp Lp R p Z( )= + + 1 ) ( ) ( 1 1 1 1 1 ) ( 2 2 _u _t t i LC p L R p p L LCp RCp Cp Cp Lp R p Y = + + ⋅ = + + = + + = σ jω S1 S4 S3 S2 α2 α4 α3 jω-S3 jω-S4 jω-S1 Sa βa

(4)

) ( ) ( ) 0 ( 1 1 1 ) ( ) ( 2 1 2 s s s s s L LC s L R s s L s U s I − ⋅ − − ⋅ = + + = Figura N°2 2 1 1 ) ( l l l L j Y a ⋅ ⋅ = ω

∠

β

_a

−

α

₁

−

α

₂

Si varía ω a lo largo del eje imaginario y se van midiendo la, l1, l2 y βa, α1, α2 se

podrá graficar fase y modulo de Y(jω) en función de ω.

2. Representación de Bode

2.1. Introducción

Sea un cuadripolo como el de la figura N°3, cuya transferencia de tensión V2/V1

es T(p):

Figura N°3

Supongamos que a la entrada de este cuadripolo tengamos aplicada una tensión del tipo

t

V

t

V

₁

(

)

=

₁

⋅

sen

ω

La respuesta al estado estacionario (si el cuadripolo es estable) esta dada por:

)

sen(

)

sen(

)

(

)

(

₁ ₂ 2

t

=

T

j

ω

⋅

V

⋅

ω

t

+

θ

=

V

⋅

ω

t

+

θ

V

Donde T(p) V1 V2 I1 I2 σ jω Sa S2 S1 α2 α1 βa l2 la l1

(5)

] 1 [ ) ( ) ( 1 2 2 1

ω

T j V V V V j T ⋅ = ⇒ = Función módulo

]

2 [

)

(

arg

ω

θ

=

T

j

Función fase T(jω) se determina de T(p) reemplazando p=jω.

Ahora bien, de lo expuesto debe asimilarse correctamente que la función módulo representa la relación entre las magnitudes que componen la transferencia, y la función fase representa el desfasaje entre ellas.

Figura N°4

También es importante saber que ambas funciones son dependientes de la frecuencia. Las representaciones de Bode consisten en dos gráficos que corresponden a las variaciones de módulo y fase de la función transferencia, usando como variable ω.

2.2. Diagramas de Bode

2.2.1. Diagrama de módulo

Como sabemos una transferencia que corresponda a un bloque circuital, toma la forma de una función racional de coeficientes positivos, la cual puede ser factoreada en raíces del numerador y denominador:

0 1 0 1 ... ... ) ( a p a p a b p b p b p T _n n m m + + + + + + = ) )...( )( ( ) )...( )( ( ) ( 2 1 0 02 01 pn p p m p p p p p p p p p p p p K p T − − − − − − = donde: ) ( . min ,..., ) ( . ,..., min , 2 , 1 02 , 01 p T de Polos ador deno del raíces las son p p p T de Ceros numerador del raíces las son p p escala de factor ado deno b a K p p m n = Para p=jω ] 3 [ . ) ( ) )...( )( ( ) )...( )( ( ) ( ( ) 2 1 0 02 01 _ω ω ω ω ω ω ω ω ω Φ = − − − − − − = j Módulo pn p p m e j T p j p j p j p j p j p j K j T 8 7 6

Se define atenuación en decibeles como V2

V1

θ

Comentario [A1]: rev 18-4-10

(6)

] 4 [ ) ( log 20 ) (ω T jω T_dB =

El diagrama de módulo de Bode gráfica TdB en función de la frecuencia ω.

Tanto las escalas verticales como las horizontales son logarítmicas. La escala horizontal es logarítmica de ω, y la vertical logarítmica de T(jω).

Figura N°5 Vemos que

Cuando ω2/ω1=2 se dice que correspondió un salto en frecuencia de una

octava. Cuando ω2/ω1=10 correspondió un salto de una década.

Aplicando [4] en [3] obtengo:

















−

⋅

=

pn p p m dB

p

j

p

j

p

j

p

j

p

j

p

j

K

T

ω

...

.

...

.

log

20 )

(

2 1 0 02 01

∑

= =

−

+

=

n j pj i m i dB

K

j

p

j

p

T

1 0 1

log

20 log

20 )

(

ω

Como se puede observar 20 log |K| es una constante y todos los demás términos son una suma algebraica de factores TidB=20 log |jω-pi| .

Veamos los distintos casos que podemos encontrar: 2.2.1.1. Ceros o polos sobre el eje real (no en el origen)

Tomemos un TdB correspondiente a un cero simple, para estudiar su variación

con respecto a la frecuencia ω, teniendo en cuenta que para un polo se tienen las mismas consideraciones pero el TdB es negativo. O sea:

i i

j

p

0 dB

20 log

T

=

ω

−

con p0i ≠0 1 2 1 2 1

2 log log log ω ω ω ω − = = − u u ΤdB u=log ω ω=1 u=0 para ω1=a para ω2=b u1=log a u2=log b u=-∞⇒ω=0

(7)

Figura N°6

Se toma como referencia p0i y se analiza la variación de Ti para valores de

ω>>p0i y ω<<p0i.

Para ω>>p0i

T

_dB_i

≅

20 log

ω

=

20 u

[5]

Para ω<<p0i

T

_dB_i

≅

20 log

p

₀_i [6]

Para ω=0 (o sea u=-∞)

T

_dB_i

=

20 log

p

₀_i

En [5] y [6] se puede apreciar que para ω grandes Ti se confunde con una recta

de pendiente 20 y para ω chicos, con una cte. de valor 20Log|p0i|.

Representado gráficamente obtenemos:

Figura N°7

Tomemos ω2/ω1=10. Para la recta 20u, a una variación desde ω1 hasta ω2,

corresponde una variación 20u2 – 20u1 = 20 log ω2 – 20 log ω1 = 20 log ω2/ω1 =

20 log 10 = 20 dB. O sea, que la recta 20u corresponde una variación de atenuación de 20 dB/década.

Si hubiera sido ω2/ω1=2 la variación de atenuación correspondería a 6

dB/octava. jω σ P0i ω=1 TdB u=log ω ω=p0i 20dB curva real Recta de referencia u1=Logω1 u2=Logω2 20u 20Log|p0i| Para ω2=10ω1

(8)

2.2.1.2. Ejemplo T= jω−100

Figura N°8

El mayor apartamiento se produce en p0i. Hallaremos este valor:

i dBi j p T =20log ω− 0 2 0 2 0i pi p jω− = ω + 2 0 2 0 2 0 2

0) 20log 20log 2 10log2

( 0 i i p i i i dB p p p p T i ⋅ = ⋅ = + = = = ω ω ω error de valor recta de valor p p T_dB_i(ω = ₀_i)=20log ₀_i +10log2= + dB 3 2 log 10 =+ = ε El error ε es de 3dB positivos.

Todas estas consideraciones son también para un polo simple:

100 1 − = ω j T pj dBj j p T =20log ω− Figura N°9 jω σ ppj ω=1 TdB u=log ω ω=p0i=102 20dB curva real Recta de referencia ω=103 20u 20Log 100=40dB ε Mayor apartamiento ω=104

(9)

Figura N°10 2.2.1.3. Ceros o polos de orden n (no en el origen) Estos serían de la forma:

Cero de orden n

(

j a

)

n j a T_a=20log ω− n =20⋅ ⋅log ω− Polo de orden n

(

j b

)

n j b Tb=20log ω− n =20⋅ ⋅log ω−

El mayor apartamiento será +n.3dB para cero de orden n y –n.3dB para un polo de orden n.

Para el caso de n=2 el gráfico es:

Figura N°11a y b

Una vez hecho este análisis, la atenuación total se obtiene como suma de todas las contribuciones de los ceros y de los polos.

2.2.1.4. Ejemplo ΤdB u=log ω ω=1 ω=ppj curva real Recta de referencia ε=-3dB -20dB/dec=-6dB/octava -20Log|ppj| Tdb u=log ω ω=1 ω=a1 40dB/dec=12dB/oct curva real ε=+6dB Tdb u=log ω ω=1 ω=b1 -40dB/dec=-12dB/oct curva real ε=-6dB 40Log|a1| -40Log|b1|

(10)

Hallar el diagrama de módulo de: 1 ) 5 , 2 ( 2 ) ( + + = p p p H Será: | 1 | 20 | ) 5 , 2 ( | 20 2 20 + + − +

= Log Log jω Log jω

T_dB

Figura N°12

Figura N°13

La representación total (TdBtotal) es suma de todas las contribuciones. Para

hallarla, debe prestarse atención a las subidas o caídas de las pendientes de cada una de las contribuciones, así como también en sus valores constantes. 2.2.1.5. Ceros o polos sobre el origen

Figura N°14a y b σ jω p0j=0 σ jω ppj=0 jω -1 -2,5

(11)

Para este caso p0i=ppj=0

Tomemos primero un cero simple sobre el origen:

(

j

p

_i

)

j

u

i

=

20 log

ω

−

0

=

20 log

ω

=

20 log

ω

=

20 α

obtenemos como resultado una recta de pendiente 20 dB/década.

Figura N°15 Si el cero fuera de orden n sería:

u

n

j

T

_i

=

20 log

ω

n

=

20 ⋅

log

ω

=

20 ⋅

Para n=2, Ti= 40u, que corresponde a una recta de pendiente 40 dB/década.

Graficando:

Figura N°16a y b Para polos es el mismo tratamiento:

u

n

j

T

_j

=

−

20 log

ω

n

=

−

20 log

ω

=

−

20 ⋅

jω Cero Doble σ ΤdB u=log ω ω=1 ω=10 40dB/dec 40 20Log|jω|2 u=log ω ω=1 ω=10 20dB/dec 20 20Logω TdB

(12)

Figura N°17a y b 2.2.1.6. Polos o ceros complejos conjugados:

Los polos o ceros que no están sobre el eje real σ se presentan de a pares y son complejos conjugados.

Figura N°18

Hagamos el análisis para ceros conjugados y extendamos los resultados a los polos conjugados:

{

*

}

0 0 * 0 0) ( ) 20 ( ) (p p pi p pi TdB Log j pi j pi T = − ⋅ − ⇒ = ω− ⋅ ω−    − ± = + ± = 1 1 * 0 1 1 0 jb a p jb a p i i Desarrollando la transferencia:

b

ap

p

−

_i

⋅

−

_i

=

−

_i

+

_i

+

_i

⋅

*_i

=

2

+

0 0 * 0 0 2 * 0 0

)

(

)

(

)

(

de donde:    + = ⋅ ± = 2 1 2 1 1 2 b a b a a La atenuación es para p=jω: σ jω p0i p*0i _-b 1 b1 -a1 jω Polo Simple n=1 σ Tdb u=log ω ω=1 ω=10 -40dB/dec 40 -20dB/dec 20 -20Log|jω| -20Log|jω|2

(13)

( )

j a j b

(

j a b

)

TdB = ω + ⋅ ω+ = −ω + ω + 2 2 log 20 log 20 Para ω grandes: u T_dB 20log 2 40log 40 = = ≅ ω ω Para ω pequeños: b TdB ≅20log

Esto nos indica que la pendiente para ω grande se aproxima a 40 dB/déc o 12 dB/oct.

El mayor error se comete en:

ω= b

b

es el Módulo de p0i ó p0i*

Este valor puede ser negativo o positivo. Su representación será

Figura N°19 El valor en dB de la curva real en ω= b será:

b

a

b

a

b

j

b

T

_dB

=

20 log

−

+

⋅

+

=

20 log

⋅

Luego

b

a

b

a

.

20 log

log

20 −

=

+

−

=

ε

2 1 2 1 1

2 log

20 log

20 b

a

b

a

+

−

=

∴

ε

Ahora bien, si:

ΤdB u=log ω ω=1 ω=b 1/2 40dB/dec=12dB/oct. curva

real Representación con

Error ε=0 Representación con ε>0 Representación con ε<0 20Log|b|

(14)

ε

+

⇒

>

⇒

>

1 Log

0 b

a

ε

−

⇒

<

⇒

<

1 Log

0 b

a

Como caso particular veremos los complejos conjugados que están sobre el eje jω para ω grandes. O sea, el caso en que a1≈0.

−∞

=







∴

=

⇒

=

b

a

b

a

b

a

log

20

0

2 1

ε

El gráfico será: Figura N°20 Figura N°21

Para polos conjugados lo expuesto anteriormente es igual, salvo el signo menos:

{

*

}

20 _pj _pj

dB Log j p j p

T =− ω− ⋅ ω−

En la última página, figura 40 se muestra el gráfico detallado del caso de polos complejos conjugados. Cada una de las TdB se dan como función de un

parámetro ξ de forma que 0≤ξ≤1 (ξ=1/2 │a/√b│). Tdb u=log ω ω=1 ω=b1/2 =b1 40dB/dec curva real 20 log b ω=0 jω Cero Conjugado Simple σ b1 -b1

(15)

Este gráfico detallado puede extenderse a ceros complejos conjugados, con la salvedad de que estas representaciones se invierten.

2.2.1.7. Ejemplo

Hallar el diagrama de módulo de Bode de:

) 10 40 )( 10 ( 10 ) ( ) 98 20 )( 98 20 )( 10 ( 10 ) 10 40 )( 10 ( 10 ) ( 4 2 5 5 4 2 5 + + − + = + + − + + = + + + = ω ω ω ω ω j j j j H j p j p p p p p p p p H

Puede verse la “constelación de polos y ceros en la Figura N°26. Luego: 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 2 1 4 4 4 3 4 4 4 2 1 43 42 1 43 42 1 4 3 2 1 | ) 10 40 ( | 20 | ) 10 ( | 20 | | 20 10 20 ) ( 5 2 4 T T T T

dB Log Log j Log j Log j

T ω = + ω − ω+ − −ω + ω+

Analicemos cada término por separado: Término T1:

→

=

100 dB

10 log

20

5 recta cte. que pasa por 100dB:

Figura N°22 Término T2:

→

=

j

dB

dec

T

₂

20 log

ω

20 log

ω

20 /

un cero en el origen introduce una asíntota recta de pendiente 20dB/dec.

100dB

logω TdB

(16)

Figura N°23 Término T3:

Aquí debemos analizar qué sucede con T3 para frecuencias muy grandes

)

(

ω

→

∞

y para frecuencias pequeñas

(

ω

→

0 )

por lo que tendremos 2 asíntotas de diferente pendiente. La pendiente cambiará en el llamado “punto de quiebre”, que en este caso es el polo (en escala logarítmica)

1 log

,

10 =

=

ω

. entonces: Si

ω

→

∞

:

T

₃

→

−

20 log

ω

⇒

T

₃

=

−

20 dB

/

dec

Si

ω

→

0

:

T

₃

→

−

20 log

10 ⇒

T

₃

=

−

20 dB

Figura N°24 Término T4: 4 2 4

=

−

20 log

−

ω

+

40 j

ω

+

10 T

de la misma manera: Si

ω

→

∞

:

T

₄

→

−

20 log

ω

2

⇒

T

₄

=

−

40 dB

/

dec

Si

ω

→

0

:

T

₄

→

−

20 log

10

4

⇒

T

₄

=

−

80 dB

Ahora, el “punto de quiebre” será el módulo de los polos complejos conjugados:

1 2 -20 -40 logω TdB 1 2 20dB logω TdB ω=1 logω=0

(17)

2

102 log

102

98

20 )

98

20 (

2

+

2

=

2

+

2

=

⇒

≅

Figura N°25

el error entre la curva real y la asíntota será, en este caso (p=20±j98):

dB

b

a

dB

20 log

0 .

4

8

4 .

0

100

40

2

2 1 2 1 1

₌

_⇒

₌

+

=

ε

(Ver la figura 27)

En realidad, el error real para nuestro caso es un poco menor que 8dB (analice por qué).

El gráfico de Bode será entonces:

Figura 26: Constelación de Polos y Ceros

2 3 -80 -120 logω TdB jω -10 0 +j98 --j98 -20 _σ

(18)

18 de 26 (Versión 23/04/11) FIGURA 27

(19)

2.2.2. Diagrama de fase

Hallaremos para cada caso el diagrama de fase correspondiente 2.2.2.1. Ceros o polos simples (no en el origen)

Sea un cero simple (sobre σ negativo):

Figura N°28 Para ω>>p0i :

( )

=

°

=

arg

ω

90 φ

j

Para ω=0:

(

−

)

=

°

=

arg

p

_0i

0 φ

Si se gráfica la variación de φ=f(ω) se obtiene:

Figura N°29 ) p j arg( ) j ( T arg ω = ω− ₀_i = φ φ(ω) u=log ω ω=1 ω=p0i ω2=10 p0i

curva real (φ=arg(jω-p0i) con p0 sobre el eje σ<0) Recta de referencia ω1=p0i/10 90º 0º 45º σ jω p0i jω - p0i φ Vector que se desplaza sobre el eje

(20)

Detalle: se muestran los apartamientos de la asíntota en p0i/10 (-5,7º), los máx

apartamientos positivo y negativo (-6º y +6º) y en 10 p0i (+5,7º)

Figura N°30 Para un polo simple es:

) ( 1 arg pj p j − = ω φ Para ω>ppj ° − = 90 φ Para ω=0 ° = 0 φ

Los apartamientos en 0°, -32°, -58° y 90° son los mismos que en el caso del cero. El gráfico es:

Figura N°31 φ(ω) u=log ω ω=1 ω=ppj ω2=10 ppj Recta de referencia ω1=ppj/10 -45º 0º -90º

curva real (φ=arg1/(jω-ppj con ppj sobre el eje σ<0 6° 5,7° 58° 5,7° 32° 6° 45°

(21)

2.2.2.2. Cero o polo de orden n (no en el origen)

Para el caso que sean polos o ceros de orden n los gráficos de Bode son:

Figura N°32

Figura N°33 2.2.2.3. Polos o ceros sobre el origen Para el caso de un cero sobre el origen es:

.

90 )

arg(

j

=

°

=

cte

=

ω

φ

Representando: Figura N°34 u=log ω φ(ω) curva real 90º 0º φ(ω) u=log ω ω=1 ω=ppj ω2=10 ppj curva real Recta de referencia ω1=ppj/10 -n.45º 0º -n.90º Polos de orden n φ(ω) u=log ω ω=1 ω=p0i ω2=10 p0i curva real Recta de referencia ω1=p0i/10 n.90º 0º n.45º Ceros de orden n n 5,7°

(22)

Si fuera de orden n sería:

Figura N°35 Para un polo sobre el origen es lo inverso:

°

⋅

−

=

90 )

(

1 arg

n

j

ω

n

φ

Figura N°36 2.2.2.4. Complejos conjugados: Figura N°37 Para ceros conjugados es:

φ

=

φ

₁

+

φ

₂

Para jω=0:

φ

₁ =

φ

₂ ycomosonde≠signo⇒

φ

=0 Para jω grande:

φ

₁

=

φ

₂

=

90 °

⇒

φ

=

180 °

El gráfico está dado en función del siguiente valor 1 0≤ξ ≤ φ(ω) u=log ω curva real n.90º 0º φ(ω) u=log ω curva real -n.90º 0º σ jω p0i φ1 φ2 p*0i

(23)

2 1 2 1 1 2 1 b a a b a + = = ξ

Cuando ε=0, los complejos conjugados estarán sobre el eje imaginario jω:

Figura N°38

Para polos conjugados el gráfico de fase detallado se da en la figura 40 Este gráfico detallado puede extenderse a polos complejos conjugados con la salvedad que estas representaciones se inviertan.

2.2.2.5. Ejemplo

Hallar el diagrama de fase de Bode de :

)

3 )(

1 (

)

2 (

2 )

(

+

=

p

T

El valor de la constante “2” también contribuye en el diagrama de fase. Si k>0 ⇒ recta cte. de 0°

Si k<0 ⇒ recta cte. de 180°

Como vimos en el caso del diagrama de módulo, aplicaremos aquí el mismo criterio, o sea:

∑

= todaslascontribuciones

total ) (ω φ entonces: ) 3 )( 1 ( ) 2 ( 2 ) ( + + + = ω ω ω ω j j j j H

Ver gráfico en la página siguiente (Figura 39) . ω=1 φ(ω) u=log ω ω=b1/2 ω2=10 b 1/2 ω1=b 1/2 /10 180º 0º 90º ξ=0 ξ=0.2 ξ=0.5 ξ=0.7

(24)

24 de 26 (Versión 23/04/11) Figura N°39

(25)

Figura N°40

Gráfico superior: Diagrama de módulo para polos conjugados con el ξ como parámetro Gráfico inferior: Diagrama de fase para polos conjugados con ξ como parámetro

(26)

3. Indice

1. USO DE LAS TRANSFERENCIAS ... 1

1.1. EJEMPLO...3

2. REPRESENTACIÓN DE BODE ... 4

2.1. INTRODUCCIÓN...4

2.2. DIAGRAMAS DE BODE...5

2.2.1. Diagrama de módulo ...5

2.2.1.1. Ceros o polos sobre el eje real (no en el origen) ... 6

2.2.1.2. Ejemplo ... 8

2.2.1.3. Ceros o polos de orden n (no en el origen) ... 9

2.2.1.4. Ejemplo ... 9

2.2.1.5. Ceros o polos sobre el origen ... 10

2.2.1.6. Polos o ceros complejos conjugados: ... 12

2.2.1.7. Ejemplo ... 15

2.2.2. Diagrama de fase ...19

2.2.2.1. Ceros o polos simples (no en el origen)... 19

2.2.2.2. Cero o polo de orden n (no en el origen) ... 21

2.2.2.3. Polos o ceros sobre el origen ... 21

2.2.2.4. Complejos conjugados: ... 22

2.2.2.5. Ejemplo ... 23