MECÁNICA DE FLUIDOS
Contenido
PRESIÓN ... 2
1. FLUIDOS EN EL MOVIMIENTO DEL CUERPO RÍGIDO ... 2
1.1. Aceleración traslacional constante de un líquido ... 2
1.1.1. Aceleración horizontal constante ... 2
1.1.2. Aceleración vertical constante ... 5
1.2. Rotación constante de un líquido ... 6
CINEMÁTICA DE FLUIDOS ... 10
2. CLASIFICACIÓN DE LOS FLUJOS DE FLUIDOS ... 10
2.1. Regiones viscosas de flujo en comparación con las no-viscosas ... 10
2.2. Flujo interno en comparación con el externo... 11
2.3. Flujo compresible en comparación con el incompresible ... 12
2.4. Flujo laminar en comparación con el turbulento ... 12
2.5. Flujo natural en comparación con el forzado... 13
2.6. Flujo estacionario en comparación con el no estacionario ... 14
2.7. Flujo unidimensional, bidimensional y tridimensional ... 14
3. FORMAS DE VISUALIZACIÓN DE FLUJO ... 16
3.1. Líneas de corriente y tubos de corriente ... 16
3.1.1. Líneas de corriente ... 16 3.1.2. Tubos de corriente ... 18 3.2. Líneas de trayectoria ... 19 3.3. Líneas de traza ... 20 3.4. Líneas fluidas ... 22 4. REFERENCIAS ... 24
PRESIÓN
1. FLUIDOS EN EL MOVIMIENTO DEL CUERPO RÍGIDO
Se demostró que la presión en un punto dado tiene la misma magnitud en todas
direcciones y es una función escalar. Se obtendrán relaciones para la variación de la presión en los fluidos que se mueven como un cuerpo sólido, con o sin
aceleración, en ausencia de cualesquiera esfuerzos cortantes (es decir, ningún movimiento entre las capas de fluido una con relación a las otras).
Muchos fluidos, como la leche y la gasolina, se transportan en camiones-tanques. En un camión de este tipo que acelera, el fluido se mueve con rapidez hacia la parte posterior y se presenta alguna salpicadura inicial. Pero, a continuación, se forma una nueva superficie libre (por lo general no horizontal), cada una de las partículas del fluido adquiere la misma aceleración y todo el fluido se mueve como un cuerpo rígido. Ningún esfuerzo cortante se desarrolla dentro de la masa del fluido, ya que no se tiene deformación y ningún cambio en la forma. También se presenta el movimiento de cuerpo rígido de un fluido cuando éste está en un tanque que gira alrededor de un eje.
1.1. Aceleración traslacional constante de un líquido
1.1.1. Aceleración horizontal constante
Si el recipiente de líquido en la Figura 1.1 tiene una velocidad constante, vc, entonces la
superficie del líquido permanecerá horizontal desde que se produce el equilibrio.
Figura 1.1
Como resultado, la presión ejercida sobre las paredes del recipiente se puede determinar de la manera habitual usando 𝜌 = 𝛾ℎ. Sin embargo, si el contenedor sufre una aceleración constante, ac, entonces la superficie del líquido comenzará a girar en el
sentido de las agujas del reloj alrededor del centro del contenedor y eventualmente mantendrá una posición inclinada fija 𝜃, Figura 1.2.
Figura 1.2
Después de este ajuste, todo el líquido se comportará como si fuera un sólido. No se desarrollará esfuerzo cortante entre las capas del líquido ya que no hay movimiento relativo entre las capas. Se considerará un análisis de fuerza usando un diagrama de cuerpo libre de elementos diferenciales verticales y horizontales del líquido para estudiar los efectos de este movimiento.
1.1.1.1. Elemento vertical
Para este caso, el elemento diferencial se extiende hacia abajo una distancia h desde la superficie del líquido y tiene un área de sección transversal A,Figura 1.3.
Figura 1.3
Las dos fuerzas verticales que actúan sobre él son el peso del líquido contenido, Δ𝑊 = 𝛾Δ𝑉 = 𝛾(ℎΔ𝐴), y la fuerza de presión que actúa hacia arriba en su fondo, 𝑝Δ𝐴. El
equilibrio existe en la dirección vertical ya que no ocurre aceleración en esta dirección.
+↑ ∑𝐹𝑦= 0; pΔA − γ(hΔA) = 0
𝑝 = 𝛾ℎ
Este resultado indica que la presión a cualquier profundidad desde la superficie del líquido inclinado es la misma que si el líquido fuera estático.
1.1.1.2. Elemento horizontal
Aquí el elemento diferencial tiene una longitud x y un área de sección transversal A, Figura 1.4.
Figura 1.4
Las únicas fuerzas horizontales que actúan sobre él son causadas por la presión del líquido adyacente en cada uno de sus extremos. Como la masa del elemento es Δ𝑚 =
Δ𝑊 𝑔 =
𝛾(𝑥Δ𝐴)
𝑔 , la ecuación de movimiento se convierte en: + → ∑𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥; 𝑝2Δ𝐴 − 𝑝1Δ𝐴 = 𝛾(𝑥Δ𝐴) 𝑔 𝑎𝑐 𝑝2− 𝑝1= 𝛾𝑥 𝑔 𝑎𝑐
Usando 𝑝1 = 𝛾ℎ1 y 𝑝2= 𝛾ℎ2, podemos escribir esta expresión como:
ℎ2− ℎ1
𝑥 =
𝑎𝑐
𝑔
Como se observa en la Figura 1.4, el término a la izquierda representa la pendiente de la superficie libre del líquido. Como esto es igual a tan , entonces:
tan 𝜃 =𝑎𝑐 𝑔
Si el recipiente está completamente lleno de líquido y tiene una tapa cerrada en su parte superior, como en la Figura 1.5, entonces el líquido no puede pivotar alrededor del centro del recipiente.
Más bien, la tapa restringe el líquido, de modo que la presión hacia arriba sobre la tapa obliga a su "superficie imaginaria" a girar desde la esquina B. En este caso, todavía podemos encontrar el ángulo 𝜃 usando la ecuación tan 𝜃 = 𝑎𝑐/𝑔 . Una vez que se
establece la superficie, la presión en cualquier punto del líquido se puede determinar al encontrar la distancia vertical desde esta superficie imaginaria hasta el punto. Por ejemplo, en A, 𝑝𝐴 = 𝛾ℎ𝑎. Además, en el fondo del recipiente en C, la presión es 𝑝𝑐 =
𝛾ℎ𝑐.
1.1.2. Aceleración vertical constante
Cuando el contenedor se acelera hacia arriba con ac, la superficie del líquido mantiene
su posición horizontal; sin embargo, la presión dentro del líquido cambiará. Para estudiar este efecto, nuevamente seleccionaremos elementos diferenciales horizontales y verticales y utilizaremos sus diagramas de cuerpo libre.
1.1.2.1. Elemento horizontal
Dado que el elemento horizontal en la Figura 1.6 está a la misma profundidad en el líquido, la presión del líquido adyacente en cada uno de sus extremos ejerce fuerzas como se muestra.
Figura 1.6
No se produce movimiento en esta dirección, así que:
+
→ ∑𝐹𝑥 = 0; 𝑝2Δ𝐴 − 𝑝1Δ𝐴 = 0
𝑝2 = 𝑝1
Por lo tanto, como en el caso estático, para la aceleración vertical, la presión es la
1.1.2.2. Elemento vertical
Las fuerzas que actúan sobre el elemento vertical de profundidad h y la sección transversal A, Figura 1.7, consisten en el peso del elemento Δ𝑊 = 𝛾Δ𝑉 = 𝛾(ℎΔ𝐴) y la fuerza de presión en su parte inferior.
Figura 1.7
Como la masa del elemento es Δ𝑚 =Δ𝑊
𝑔 = 𝛾(ℎΔ𝐴) 𝑔 𝑎𝑐, la aplicación de la ecuación de movimiento produce: +↑ ∑𝐹𝑦= may; pΔA − γ(hΔA) = 𝛾(ℎΔ𝐴) 𝑔 𝑎𝑐 𝑝 = 𝛾ℎ (1 +𝑎𝑐 𝑔)
Por lo tanto, la presión dentro del líquido aumentará en 𝛾ℎ(𝑎𝑐/𝑔) cuando el recipiente
se acelere hacia arriba. Si tiene una aceleración hacia abajo, la presión disminuirá en esta cantidad. Si se produce una caída libre, entonces 𝑎𝑐 = −𝑔 y la presión (del
manómetro) en todo el líquido será cero.
1.2. Rotación constante de un líquido
Si se coloca un líquido en un recipiente cilíndrico que gira a una velocidad angular constante 𝜔, Figura 1.8, el esfuerzo cortante desarrollado dentro del líquido comenzará a hacer que el líquido rote con el recipiente.
Figura 1.8
Eventualmente, no se producirá ningún movimiento relativo dentro del líquido, y el sistema rotará como un cuerpo sólido. Cuando esto sucede, la velocidad de cada partícula de fluido dependerá de su distancia desde el eje de rotación. Las partículas que están más cerca del eje se moverán más lentamente que las que están más lejos. Este movimiento hará que la superficie del líquido forme la forma de un vórtice forzado.
Si se considera el diagrama de cuerpo libre de un elemento diferencial vertical de altura h y área de sección transversal A, (Figura 1.8), entonces, como en la prueba de la ecuación 𝑝 = 𝛾ℎ, la presión en el líquido aumentará con la profundidad desde la superficie libre, es decir, 𝜌 = 𝛾ℎ. Esto se debe a que no hay aceleración en esta dirección.
Sin embargo, la rotación angular constante 𝜔 del sistema cilindro-líquido produce una diferencia de presión o gradiente en la dirección radial debido a la aceleración radial de las partículas líquidas. Esta aceleración es el resultado del cambio de dirección de la velocidad de cada partícula. Si una partícula está a una distancia radial r del eje de rotación, entonces de la dinámica (o física), su aceleración tiene una magnitud de 𝑎𝑟 =
𝜔2𝑟, y actúa hacia el centro de rotación. Para estudiar el gradiente de presión radial, consideraremos un elemento de anillo que tiene un radio r, grosor Δ𝑟 y altura h, Figura 1.9. Las presiones en los lados interno y externo del anillo son p y 𝑝 + (𝜕𝑝/𝜕𝑟)Δ𝑟, respectivamente1.
Figura 1.9
Como la masa del anillo es Δ𝑚 =Δ𝑊
𝑔 = 𝛾Δ𝑉
𝑔 = 𝛾(2𝜋𝑟)Δ𝑟Δℎ/𝑔,
la ecuación de movimiento en la dirección radial da: ∑𝐹𝑟 = 𝑚𝑎𝑟: − [𝑝 + ( 𝜕𝑝 𝜕𝑟) Δ𝑟] (2𝜋𝑟Δℎ) + 𝑝(2𝜋𝑟Δℎ) = − 𝛾(2𝜋𝑟)Δ𝑟Δℎ 𝑔 𝜔 2𝑟 𝜕𝑝 𝜕𝑟= ( 𝛾𝜔2 𝑔 ) 𝑟 Integrando se obtiene: 𝑝 = (𝛾𝜔 2 2𝑔) 𝑟 2+ 𝐶
Podemos determinar la constante de integración siempre que conozcamos la presión en el fluido en un punto específico. Considere el punto en el eje vertical en la superficie libre, donde r = 0 y p0 = 0, Figura 1.10.
Figura 1.10 Entonces C = 0, y así: 𝑝 = (𝛾𝜔 2 2𝑔) 𝑟 2
La presión aumenta con el cuadrado del radio. Como 𝑝 = 𝛾ℎ, la ecuación de la superficie libre del líquido, (Figura 1.10), se convierte en:
ℎ = (𝜔
2
2𝑔) 𝑟
2
Esta es la ecuación de una parábola. Específicamente, el líquido en su conjunto forma una superficie que describe un paraboloide de revolución. Como el radio interior del contenedor es R, la altura de este paraboloide es 𝐻 = 𝜔2𝑅2/2𝑔,(Figura 1.10). El
volumen de este paraboloide es la mitad de su área de base 𝜋𝑅2 veces su altura, H. Como resultado, durante la rotación, los puntos alto y bajo de la superficie del líquido estarán a la mitad de la superficie del líquido cuando el líquido esté en reposo. Si el recipiente giratorio tiene una tapa cerrada, entonces se puede establecer una superficie imaginaria libre del paraboloide sobre la tapa, y la presión en cualquier punto del líquido se determina midiendo la profundidad h desde esta superficie.
CINEMÁTICA DE FLUIDOS
2. CLASIFICACIÓN DE LOS FLUJOS DE FLUIDOS
Al principio se definió mecánica de fluidos como la ciencia que trata del comportamiento de los fluidos en reposo o en movimiento, así como de la interacción con sólidos u otros fluidos, en las fronteras. Existe una amplia variedad de problemas del flujo de fluidos que se encuentran en la práctica y suele ser conveniente clasificarlos sobre la base de algunas características comunes, para que sea factible estudiarlos en grupos. Existen muchas maneras de clasificar los problemas del flujo de fluidos y, enseguida, se presentan algunas categorías generales.
2.1. Regiones viscosas de flujo en comparación con las no-viscosas
Cuando dos capas de fluido se mueven una en relación con la otra, se desarrolla una fuerza de fricción entre ellas y la capa más lenta trata de desacelerar a la más rápida. Esta resistencia interna al flujo se cuantifica mediante la propiedad de viscosidad delfluido, la cual es una medida de la adherencia interna de éste. La viscosidad es causada
por las fuerzas de cohesión entre las moléculas, en los líquidos, y por las colisiones moleculares en los gases. No existe fluido con viscosidad cero y, en consecuencia, en todos los flujos de fluidos intervienen los efectos viscosos en cierto grado. Los flujos en donde los efectos de la fricción son significativos se llaman flujos viscosos. Pero, en muchos flujos de interés práctico, se tienen regiones (por lo general regiones que no están cercanas a superficies sólidas) en donde las fuerzas viscosas son despreciablemente pequeñas en comparación con las fuerzas de inercia o de presión. Despreciar los términos viscosos en esas regiones no-viscosas de flujo simplifica mucho el análisis, sin pérdida considerable en la exactitud.
En la Figura 2.1 se muestra el desarrollo de regiones viscosas y no-viscosas de flujo como resultado de la inserción de una placa plana paralela al flujo en una corriente de fluido de velocidad uniforme.
Figura 2.1
El fluido se pega a la placa en ambos lados debido a la condición de no-deslizamiento y la delgada capa límite en la cual los efectos viscosos son significativos, cercana a la superficie de la placa es la región de flujo viscoso. La región de flujo en ambos lados, lejana a la placa y que no es afectada por la presencia de ésta es la región de flujo no-viscoso.
2.2. Flujo interno en comparación con el externo
Un flujo de un fluido se clasifica como interno o externo, dependiendo de si a ese fluido se le obliga a fluir en un canal confinado o sobre una superficie. El flujo de un fluido no limitado sobre una superficie, como una placa, un alambre o un tubo, es flujo externo. El flujo en un tubo o ducto es flujo interno si el fluido queda por completo limitado por las superficies sólidas. Por ejemplo, el flujo de agua en un tubo es flujo interno y el flujo de aire sobre una pelota o sobre un tubo expuesto durante un día de viento constante es flujo externo (Figura 2.2).
Figura 2.2. Flujo externo sobre una pelota de tenis
El flujo de líquidos en un ducto se conoce como flujo en canal abierto si ese ducto sólo está lleno en forma parcial con el líquido y se tiene una superficie libre. Los flujos de agua en los ríos y zanjas de irrigación son ejemplos de estos flujos. Los flujos internos están dominados por la influencia de la viscosidad en todo el campo de flujo. En los flujos externos, los efectos viscosos quedan limitados a la capa límite cercana a las superficies sólidas y a las regiones de la estela corriente abajo de los cuerpos.
2.3. Flujo compresible en comparación con el incompresible
Un flujo se clasifica como compresible o incompresible, dependiendo del nivel de
variación de la densidad del fluido durante ese flujo. La incompresibilidad es una
aproximación y se dice que el flujo es incompresible si la densidad permanece aproximadamente constante a lo largo de todo el flujo. Por lo tanto, el volumen de todas las porciones del fluido permanece inalterado sobre el curso de su movimiento cuando el flujo (o el fluido) es incompresible.
En esencia, las densidades de los líquidos son constantes y, así, el flujo de ellos es típicamente incompresible. Por lo tanto, se suele decir que los líquidos son sustancias incompresibles.
Cuando se analizan los cohetes, las naves espaciales y otros sistemas en los que intervienen flujos de gas a velocidades altas, la velocidad del flujo a menudo se expresa en términos del número adimensional de Mach que se define como:
𝑀𝑎 =𝑉 𝑐 =
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑜𝑛𝑖𝑑𝑜
en donde c es la velocidad del sonido cuyo valor es de 346 [m/s] en el aire a temperatura ambiente al nivel del mar. Se dice que un flujo es sónico cuando Ma = 1, subsónico cuando Ma < 1, supersónico cuando Ma > 1, e hipersónico cuando Ma >> 1.
Los pequeños cambios en la densidad de los líquidos correspondientes a cambios grandes en la presión todavía pueden tener consecuencias importantes. Por ejemplo, el irritante “golpe de ariete” en un tubo de agua es causado por las vibraciones del tubo generadas por la reflexión de ondas de presión que se presentan después del cierre repentino de las válvulas.
2.4. Flujo laminar en comparación con el turbulento
Algunos flujos son suaves y ordenados en tanto que otros son considerados caóticos. El movimiento intensamente ordenado de un fluido, caracterizado por capas no-alteradas de éste se menciona como laminar. La palabra laminar proviene del movimiento de partículas juntas adyacentes del fluido, en “láminas”. El flujo de los fluidos intensamente viscosos, como los aceites a bajas velocidades, por lo general es laminar.
velocidades altas y se caracteriza por fluctuaciones en la velocidad se llama turbulento (Figura 2.3).
Figura 2.3. Flujo laminar, de transición y turbulento
El flujo de fluidos de baja viscosidad, como el aire a velocidades altas es por lo común turbulento. El régimen de flujo influye significativamente en la potencia requerida para el bombeo. Un flujo que se alterna entre laminar y turbulento se conoce como de transición. Los experimentos conducidos por Osborn Reynolds en la década de 1880 dieron como resultado el establecimiento del número adimensional de Reynolds, Re, como el parámetro clave para determinar el régimen de flujo en los tubos.
2.5. Flujo natural en comparación con el forzado
Se dice que el flujo de un fluido es natural o forzado, dependiendo de cómo se inicia el movimiento de ese fluido. En el flujo forzado, un fluido se obliga a fluir sobre una superficie o en un tubo por medio de medios externos, como una bomba o un ventilador. En los flujos naturales, cualquier movimiento del fluido se debe a medios naturales, como el efecto de flotación, el cual se manifiesta como la elevación del fluido más caliente (y por consiguiente, más ligero) y la caída del fluido más frío (y por tanto, el más denso) (Figura 2.4).
Figura 2.4
En esta imagen en la que se captan las venas del flujo turbulento de un fluido transparente, de una muchacha en traje de baño, la subida del aire más caliente y más ligero adyacente a su cuerpo indica que
Por ejemplo, en los sistemas de celdas solares para agua caliente, es común que se aplique el efecto de termosifón para reemplazar las bombas cuando se coloca el tanque de agua lo suficientemente arriba de los colectores solares.
2.6. Flujo estacionario en comparación con el no estacionario
Con frecuencia, en ingeniería, se usan los términos estacionario y uniforme; en consecuencia, es importante entender con claridad sus significados. El término estacionario implica que no hay cambio en un punto con el tiempo. Lo opuesto a estacionario es no-estacionario. El término uniforme implica que no hay cambio con el lugar sobre una región especificada.
A menudo se usan los términos no-estacionario y transitorio de manera intercambiable, sin embargo, no son sinónimos. En mecánica de fluidos, no-estacionario es el término más general que se aplica a cualquier flujo que no sea estacionario, pero transitorio es común aplicarlo para flujos en desarrollo. Por ejemplo, cuando se dispara un cohete, se tienen efectos transitorios (la presión se desarrolla en el interior del motor del cohete, el flujo se acelera, etcétera) hasta que el motor se estabiliza y opera en forma estacionaria. El término periódico se refiere a la clase de flujo no-estacionario en el cual éste oscila en torno a una media estacionaria.
2.7. Flujo unidimensional, bidimensional y tridimensional
Un campo de flujo se caracteriza de la mejor manera mediante la distribución de velocidad y, por consiguiente, se dice que un flujo es unidimensional, bidimensional o tridimensional si la velocidad del flujo varía en una, dos o tres dimensiones, respectivamente. Un flujo típico de un fluido comprende una configuración geométrica tridimensional y la velocidad puede variar en las tres dimensiones, y dar lugar al flujo tridimensional ( 𝑉⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) en coordenadas rectangulares, o 𝑉⃗ (𝑟, 𝜃, 𝑧) en coordenadas cilíndricas). Sin embargo, la variación de la velocidad en ciertas direcciones puede ser pequeña en relación con la variación en otras y se pueden ignorar con error despreciable. En esos casos, el flujo se puede modelar de modo conveniente como unidimensional, el cual es más fácil de analizar.
Considérese el flujo estacionario de un fluido por un tubo circular sujeto a un tanque grande. La velocidad del fluido en todos los puntos sobre la superficie del tubo es cero, debido a la condición de no-deslizamiento, y el flujo es bidimensional en la región de entrada de ese tubo dado que la velocidad cambia tanto en la dirección r- como en la z.
El perfil de velocidad se desarrolla plenamente y permanece inalterado más allá de cierta distancia de la entrada (alrededor de 10 diámetros de tubo en el flujo turbulento y menos en el laminar, como se muestra en la Figura 2.5) y se dice que, en esta región, se encuentra totalmente desarrollado.
Figura 2.5
Desarrollo del perfil de velocidad en un tubo circular. V = V(r, z) y, por consiguiente, el flujo es bidimensional en la región de entrada y se convierte en unidimensional corriente abajo, cuando el perfil de
velocidad se desarrolla totalmente y permanece inalterado en la dirección del flujo, V = V(r).
El flujo totalmente desarrollado en un tubo circular es unidimensional ya que la velocidad varía en la dirección radial, pero no en las direcciones angular u- o axial z-, como se muestra en la Figura 2.5. Es decir, el perfil de velocidad es el mismo en cualquier ubicación axial z- y es simétrico respecto al eje del tubo.
Un flujo se puede tomar aproximadamente como bidimensional cuando una de sus dimensiones es mucho más grande que la otra y el flujo no cambia de manera apreciable a lo largo de la dimensión de mayor longitud. Por ejemplo, el flujo del aire sobre la antena de un automóvil se puede considerar como bidimensional, excepto cerca de sus extremos, ya que la longitud de la antena es mucho mayor que su diámetro y el flujo de aire que choca contra ella es bastante uniforme (Figura 2.6).
3. FORMAS DE VISUALIZACIÓN DE FLUJO
El estudio cuantitativo de la dinámica de fluidos exige matemáticas avanzadas; sin embargo, se puede aprender mucho con la visualización del flujo: el examen visual de las características del campo de flujo. La visualización del flujo es útil no sólo en los experimentos físicos (Figura 3.1), sino también en las resoluciones numéricas (dinámica computacional de fluidos, CFD, computational fluid dynamics).
Figura 3.1
Pelota de béisbol girando con rapidez. En la fotografía, la velocidad del flujo es alrededor de 77 ft/s y la pelota se hace girar a 630 rpm.
De hecho, precisamente lo primero que un ingeniero hace cuando utiliza CFD, después de obtener una solución numérica, es simular alguna forma de visualización del flujo, de modo que pueda ver la “imagen completa”, en vez de sólo una lista de números y datos cuantitativos. ¿Por qué? Porque la mente humana está diseñada para procesar con rapidez una cantidad increíble de información visual; como se dice: una imagen vale más que mil palabras. Existen numerosos tipos de patrones de flujo que se pueden visualizar, físicamente (experimentalmente) o en forma computacional.
3.1. Líneas de corriente y tubos de corriente
3.1.1. Líneas de corriente
Una línea de corriente es una curva que, en todas partes, es tangente al vector velocidad local instantáneo.
Las líneas de corriente son útiles como indicadores de la dirección instantánea del movimiento del fluido en todo el campo de flujo. Por ejemplo, las regiones de recirculación del flujo y de separación de un fluido de una pared sólida se identifican con facilidad por el patrón de líneas de corriente. Las líneas de corriente no se pueden
estacionario, en los cuales coinciden con las líneas de trayectoria y las líneas de traza, que se estudian a continuación. Sin embargo, desde el punto de vista matemático, se puede escribir una expresión sencilla para una línea de corriente con base en su definición.
Considere una longitud infinitesimal de arco, 𝑑𝑟 = 𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑗 + 𝑑𝑧𝑘⃗ a lo largo de una línea de corriente; 𝑑𝑟 debe ser paralelo al vector velocidad local 𝑉⃗ = 𝑢𝑖 + 𝑣𝑗 + 𝑤𝑘⃗ por definición de línea de corriente. Mediante sencillos argumentos geométricos, con el uso de triángulos semejantes, se sabe que las componentes de 𝑑𝑟 deben ser proporcionales a las de 𝑉⃗ (Figura 3.2).
Figura 3.2
Para el flujo bidimensional en el plano xy, la longitud de arco 𝑑𝑟 = (𝑑𝑥, 𝑑𝑦) a lo largo de una línea de corriente es tangente en todo punto al vector velocidad instantánea local 𝑉⃗ = (𝑢, 𝑣)
De donde: 𝑑𝑟 𝑉 = 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑑𝑦 𝑣 = 𝑑𝑧 𝑤 (1)
Ecuación para una línea de corriente
donde dr es la magnitud de 𝑑𝑟 y V es la velocidad, la magnitud de 𝑉⃗ . En la Figura 3.2, la ecuación (1) se ilustra en dos dimensiones por sencillez.
Para un campo conocido de velocidad, se puede integrar la ecuación (1) con el fin de obtener ecuaciones para las líneas de corriente. En dos dimensiones, (x, y), (u, v), se obtiene la ecuación diferencial siguiente:
(𝑑𝑦
𝑑𝑥)𝑎 𝑙𝑜 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑙í𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
=𝑣 𝑢 (2)
Línea de corriente en el plano
En algunos casos sencillos, la ecuación (2) se puede resolver en forma analítica; en el caso general, debe resolverse en forma numérica. En cualquiera de los dos casos
aparece una constante arbitraria de integración y la familia de curvas que satisfacen la ecuación (2) representa las líneas de corriente del campo de flujo.
3.1.2. Tubos de corriente
Un tubo de corriente consta de un haz de líneas de corriente (Figura 3.3), de forma muy semejante en la que un cable de comunicaciones consta de un haz de cables de fibras ópticas.
Figura 3.3
Dado que las líneas de corriente son en todo punto paralelas a la velocidad local, por definición un fluido no puede cruzar una línea de corriente. Por extensión, el fluido que se encuentra dentro de un tubo de corriente debe permanecer allí y no puede cruzar la frontera de éste. Se debe tener presente que tanto las líneas de corriente como los tubos de corriente son cantidades instantáneas, definidas en un instante en particular según el campo de velocidad en ese instante. En un flujo no estacionario, el patrón de las líneas de corriente puede cambiar de manera significativa con el tiempo. Pero, en cualquier instante, el gasto de masa que pasa a través de cualquier rebanada entre dos secciones transversales de un tubo de corriente debe seguir siendo el mismo. Por ejemplo, en una parte convergente de un campo de flujo incompresible, el diámetro del tubo de corriente debe disminuir conforme la velocidad aumenta, a fin de que la masa se conserve (Figura 3.4a). Del mismo modo, el diámetro del tubo de corriente aumenta en las partes divergentes del flujo de fluido incompresible. (Figura 3.4b).
Figura 3.4
En un campo de flujo incompresible, un tubo de corriente a) disminuye en diámetro a medida que el flujo se acelera o converge y b) aumenta en diámetro a medida que el flujo se desacelera o diverge.
3.2. Líneas de trayectoria
Una línea de trayectoria es la trayectoria real recorrida por una partícula de fluido durante algún periodo.
Las líneas de trayectoria son los patrones de flujo más fáciles de entender. Una línea de trayectoria es un concepto lagrangiano en el que sencillamente se sigue de una partícula de fluido conforme se desplaza en el campo de flujo (Figura 3.5).
Figura 3.5
De donde, una línea de trayectoria es lo mismo que el vector de posición material (xpartícula(t), ypartícula(t), zpartícula(t)), al que se le sigue el rastro durante algún intervalo finito.
En un experimento físico, se puede imaginar una partícula trazadora del fluido marcada de alguna manera —mediante un color o haciéndola que brille— tal que se puede distinguir con facilidad respecto de las partículas circundantes del fluido. Ahora, imagine una cámara con el obturador abierto durante un cierto periodo, tinicio < t < tfin, en el cual
se registra la trayectoria de la partícula; la curva resultante se llama línea de trayectoria. En la Figura 3.6, se muestra un ejemplo interesante para el caso de las olas que se desplazan a lo largo de la superficie del agua en un tanque.
Figura 3.6
Líneas de trayectoria producidas por partículas trazadoras blancas suspendidas en agua y capturadas por una fotografía con exposición de tiempo; conforme las olas pasan en dirección horizontal, cada partícula
se desplaza en una trayectoria elíptica durante el periodo de una ola.
Partículas trazadoras, neutralmente flotantes, están suspendidas en el agua y se toma una fotografía con exposición de tiempo durante un periodo completo de la ola. El
resultado son líneas de trayectoria que tienen forma elíptica, que muestran a las partículas de fluido que se mecen hacia arriba y abajo, y hacia delante y atrás, pero regresan a su posición original después de completar un periodo de la ola; no se tiene un movimiento neto hacia delante. El lector puede haber experimentado algo semejante cuando se mece hacia arriba y abajo sobre las olas del océano.
También se pueden calcular las líneas de trayectoria en forma numérica para un campo conocido de velocidad. Específicamente, la ubicación de la partícula trazadora se integra sobre el tiempo, desde la ubicación de inicio, 𝑥 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜 inicio e instante de inicio, tinicio hasta
algún instante posterior t.
𝑥 = 𝑥 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜+ ∫ 𝑉⃗ 𝑡 𝑡𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜
𝑑𝑡 (3)
Ubicación de la partícula trazadora en el instante t
Cuando se calcula la ecuación (3) para t entre tinicio y tfin, una gráfica de 𝑥 (𝑡) es la línea
de trayectoria de la partícula de fluido durante ese intervalo, como se ilustra en la Figura 3.5.
Para algunos campos sencillos de flujo, la ecuación (3) se puede integrar en forma analítica. Para flujos más complejos, debe llevarse a cabo una integración numérica.
Si el campo de velocidad es estacionario, cada una de las partículas de fluido seguirá líneas de corriente; por tanto, para el flujo estacionario, las líneas de trayectoria son idénticas a las líneas de corriente.
3.3. Líneas de traza
Una línea de traza es el lugar geométrico de las partículas de fluido que han pasado de manera secuencial por un punto prescrito en el flujo.
Las líneas de traza constituyen el patrón de flujo más común generado en un experimento físico. Si se inserta un tubo pequeño en un flujo y se introduce una corriente continua de fluido trazador (tinte en un flujo de agua o humo en flujo de aire), el patrón que se observa es una línea de traza. En la Figura 3.7 se muestra un trazador que se inyecta en un flujo libre que contiene un objeto, como el borde delantero de un ala. Los círculos representan partículas separadas que se inyectan con fluido trazador, y que se liberan a intervalos uniformes.
Figura 3.7
Se forma una línea de traza por la introducción continua de tinte o humo desde un punto en el flujo. Las partículas trazadoras numeradas (1 a 8) se introdujeron de manera secuencial.
A medida que las partículas son forzadas por el objeto a salir de su camino, se aceleran moviéndose a lo largo de la superficie de éste, como lo indica la distancia incrementada entre cada una de esas partículas trazadoras en esa región. La línea de traza se forma al conectar todos los círculos por medio de una curva suave. En los experimentos físicos en un túnel de viento o de agua, el humo o el tinte se inyectan en forma continua, no como partículas separadas y, por definición, el patrón resultante de flujo es una línea de traza. En la Figura 3.7, la partícula trazadora 1 se liberó un instante anterior al correspondiente de la partícula 2, y así de manera sucesiva.
Desde el momento de su inyección en el flujo hasta el instante presente, la ubicación de cada una de las partículas trazadoras se determina por el campo de velocidad alrededor de objeto. Si el flujo es no estacionario, el campo de velocidad cambia y no se puede esperar que la línea de traza resultante se semeje a una de corriente o a una de trayectoria en cualquier instante dado. Sin embargo, si el flujo es estacionario, las líneas de corriente, las de trayectoria y las de traza son idénticas (Figura 3.8).
Figura 3.8
Líneas de traza producidas por fluido coloreado que se introdujo corriente arriba; como el flujo es estacionario, estas líneas de traza son las mismas que las líneas de corriente y las de trayectoria.
A menudo, las líneas de traza se confunden con las de corriente y las de trayectoria. Aun cuando los tres patrones de flujo son idénticos en el flujo estacionario, pueden ser bastante diferentes en el no estacionario. La diferencia principal es que una línea de corriente representa un patrón instantáneo de flujo, en un instante dado, en tanto que
una de traza y una de trayectoria son patrones de flujo que tienen cierta edad y, en consecuencia, una historia asociada con ellas. Una línea de traza es una fotografía instantánea de un patrón de flujo integrado respecto del tiempo Por otra parte, una línea de trayectoria es la trayectoria de una partícula de flujo expuesta en el tiempo durante algún periodo.
Para un campo conocido de velocidad, una línea de traza se puede calcular en forma numérica, aun con cierta dificultad. Es necesario seguir las trayectorias de flujo continuo de partículas trazadoras desde el instante de su inyección en el flujo hasta el instante actual, usando la ecuación (3). Matemáticamente se integra la ubicación de la partícula trazadora sobre el tiempo, desde el instante de su inyección tinyección, hasta el instante
actual, tactual. La ecuación (3) queda:
𝑥 = 𝑥 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛+ ∫ 𝑉⃗ 𝑡𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙
𝑡𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛
𝑑𝑡 (4)
Ubicación integrada de la partícula trazadora
En un flujo complejo no estacionario, la integración debe realizarse en forma numérica, ya que el campo de velocidad cambia con el tiempo. Cuando el lugar geométrico de las ubicaciones de las partículas trazadoras en t = tactual se conectan por medio de una curva
suave, el resultado es la línea de traza deseada.
3.4. Líneas fluidas
Una línea fluida (línea de tiempo) es un conjunto de partículas adyacentes de fluido que se marcaron en el mismo instante (anterior).
Las líneas fluidas son particularmente útiles para situaciones en donde se va examinar la uniformidad de un flujo (o la falta de ello). En la Figura 3.9 se ilustran las líneas fluidas de un flujo en un canal entre dos paredes paralelas.
Las líneas fluidas se forman marcando una línea de partículas de fluido y, a continuación, se observa el movimiento (y la deformación) de esa línea a través del campo de flujo; se muestran las líneas fluidas en t
= 0, t1, t2, y t3.
Debido a la fricción en las paredes, la velocidad del fluido es cero (la condición de no deslizamiento) y el extremo superior e inferior de la línea fluida están anclados en sus lugares de arranque. En regiones del flujo alejadas de las paredes, las partículas marcadas de fluido se mueven a la velocidad local de éste, deformando la línea fluida. En el ejemplo de la Figura 3.9, la velocidad en el centro del canal es bastante uniforme, pero las pequeñas desviaciones tienden a amplificarse con el tiempo, conforme se estira la línea fluida. Las líneas fluidas se pueden generar en forma experimental en un canal de agua por medio del uso de un hilo de burbujas de hidrógeno. Cuando se produce, durante un intervalo corto, una corriente eléctrica por el alambre catódico, se presenta electrólisis del agua y en la superficie de alambre se forman burbujas diminutas de gas de hidrógeno. Debido a que las burbujas son tan pequeñas, su flotación es casi despreciable y siguen bien el flujo del agua (Figura 3.10).
Figura 3.10
Se usan las líneas fluidas producidas por un hilo de burbujas de hidrógeno con el fin de visualizar la forma del perfil de velocidad de la capa límite. El flujo es de izquierda a derecha y el hilo de burbujas de hidrógeno está localizado a la izquierda del campo de visión. Las burbujas cercanas a la pared revelan
4. REFERENCIAS
▪ Fundamentals of fluid mechanics, Munson, 2012 ▪ Fluid Mechanics, Hibbeler 2016
