Estrategias de configuración de acciones políticas con valoraciones subjetivas. Búsqueda geométrica.

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Estrategias de configuraci´

on de acciones pol´ıticas con

valoraciones subjetivas. B´

usqueda geom´etrica.

Rodrigo, Javier

∗

L´

opez, M

a

_Dolores

†

_Lantar´

_{on, Sagrario}

‡

_{Caro, Raquel}

§

Resumen

En este trabajo se ponen en práctica diversas técnicas de la Geometr´ıa Computacional para analizar un problema de toma de decisiones y configuración de estrategias pol´ıticas a lo largo de un mandato, en el que Gobierno y oposición perfilan sus propuestas de actuación sobre dos temas de relevante importancia para los ciudadanos. Se considera una componente variable, tanto en la importancia de los temas a tratar como en la presunción de las estrategias a tomar por los partidos. La finalidad del trabajo se centra en encontrar las estrategias óptimas a seguir por los dos partidos mayoritarios de un pa´ıs permitiéndoles variar en un cierto grado sus propuestas. Además, el proceso tiene un carácter dinámico ya que se pretende que dichas propuestas vayan modificándose según las previsiones de actuación del partido contrario. Este enfoque junto con la consideración de componentes subjetivas representa la aportación del estudio. El tratamiento del problema se realiza desde un punto de vista geométrico y se desarrolla un algoritmo de búsqueda de estrategias óptimas. Palabras clave: Teor´ıa de Juegos, Competición Pol´ıtica, Algoritmos de Búsqueda, Localización.

1 Introducci´

on

Este trabajo aborda la resolución de un tipo de problema de Econom´ıa Pol´ıtica ([17], 1999; [20], 2001) a través de herramientas geométricas ([19], 1985). Los puntos del plano, que se denomina plano de pol´ıticas, representan las diferentes opciones pol´ıticas sobre dos temas de importancia. Se asume que la distancia entre dos puntos da una idea sobre la afinidad de las pol´ıticas relativas a esos dos tópicos ([15],1987; [16], 2000). Como la importancia de los temas a tratar no tiene por qué ser igual, ni siquiera estar perfectamente determinada, se propone incorporar un parámetro en ella, la ponderación. Por la subjetividad de la valoración de la importancia de los temas, este parámetro introduce un aspecto variable que ha sido tratado también en distancias como la distancia relativa de Hamming de ponderación convexa ([10], 1996; [12], 1996; [8], 1980). En este trabajo, como enfoque alternativo se considera la distancia eucl´ıdea ponderada. La finalidad del estudio se centra en encontrar las estrategias óptimas a seguir por los dos partidos mayoritarios de un pa´ıs (Gobierno y oposición) permitiéndoles variar en un cierto grado sus propuestas. Además el proceso tiene un carácter dinámico ya que se pretende que dichas propuestas vayan modificándose según las previsiones de actuación del partido contrario. Este enfoque junto con la consideración de componentes subjetivas representa la aportación del trabajo. En cualquier proceso de toma de decisiones, el modelo matemático empleado se verá afectado por los valores numéricos introducidos. Debemos ser conscientes de que la validez de los resultados puede depender de la asignación numérica a parámetros desconocidos, para los que sólo podemos tener en cuenta estimaciones o conjeturas. No obstante, el modelo presentado tiene en cuenta estos factores y arroja resultados fiables que pueden ser aplicados por los partidos pol´ıticos. La estructura del trabajo es la siguiente: El modelo y los preliminares del problema se desarrollan en la sección 2. Las estrategias de búsqueda de posiciones óptimas se tratan en la sección 3. La sección 4 presenta el algoritmo de búsqueda de esas estrategias óptimas.

∗_{Departamento de Matem´}_{atica Aplicada. E.T.S. de Ingenier´ıa. Universidad Pontificia Comillas de Madrid}

†_{Departamento de Matem´}_{atica Aplicada de la E.T.S.I. Caminos, Canales y Puertos. Universidad Polit´}_{ecnica de}

Madrid, ma08@caminos.upm.es

‡_{Departamento de Matem´}_{atica Aplicada de la E.T.S.I. Caminos, Canales y Puertos. Universidad Polit´}_{ecnica de}

Madrid

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2 El modelo

El problema es una adaptación a este nuevo planteamiento de modelos de la literatura ([1], 2006; [13], 2007). Dicha adaptación se hace de la siguiente forma: Se consideran el plano de pol´ıticas definido a partir de dos ´ıtems de actual relevancia, dos partidos pol´ıticos que adoptan pol´ıticas en esos dos ´ıtems, representadas por los puntos t1 y t2 y la localización de n tipos de votantes representados

por los puntos v1, . . . , vn ([20], 2001). Con la consideraci´on de la mediatriz adecuada a la distancia

considerada, es posible calcular el número de votantes que elegir´ıan a cada uno de los partidos por proximidad o afinidad a su pol´ıtica. Se acepta que cada partido puede alterar su pol´ıtica en un cierto entorno con el objetivo de obtener el mayor número posible de seguidores. La finalidad es encontrar las situaciones óptimas que le garantizan ese mayor número de seguidores. Suponiendo que ese partido elegir´ıa una de esas posiciones, se desea determinar cuál ser´ıa la respuesta del otro partido, es decir, la estrategia óptima a preparar para la posible propuesta de su oponente. Este planteamiento puede ser visto como una versión discreta del Juego de Voronoi. En este juego, dos jugadores se localizan en el plano con la finalidad de ganar el mayor área posible ([11], 2003; [7], 2003; [18], 2004; [6], 2004). En el presente trabajo dos puntos se localizan con el propósito de ganar el mayor número posible de puntos de un conjunto dado, en lugar de mayor área. Modelos similares de localización se han planteado en diferentes campos como la organización industrial, tratamiento de imágenes, movimientos de robots, etc. También se han dado modelos de estrategia óptima para la localización de los partidos en trabajos de la Econom´ıa Pol´ıtica. La mayor´ıa de ellos consideran la población como un continuo ([2], 2001). En este art´ıculo, la nueva visión consiste en el trabajo con una población discreta, as´ı como en la aplicación de técnicas de la Geometr´ıa Computacional adaptada al problema y en la consideración de entornos y distancias ponderadas y parámetros de incertidumbre. Se considera que a lo largo del periodo electoral existe un debate sobre dos temas detectados de interés en la sociedad. Se asume que cada uno de ellos tiene importancia distinta lo que se representa a través de una ponderación. Sea la pol´ıtica adoptada por Gobierno y oposición en cada uno de los dos temas representada como los puntos t1 = t11, t12 y t2 = t21, t22 y sean vi = vi1, v2i

con i = 1, . . . , n, las coordenadas que representan las preferencias respecto a estos temas de los n tipos de votantes de una cierta poblaci´on. Se define en el juego planteado la funci´on de utilidad de una pol´ıtica tj para cada tipo vi como:

γ (tj, vi) = –d (tj, vi) 2

donde d (tj, vi) representa la distancia eucl´ıdea ponderada entre la postura

pol´ıtica tj y el tipo vi: d (tj, vi) = r αvi 1− t j 1 2 + (1 − α)vi 2− t j 2 2

. El par´ametro α ∈ (0, 1) mide la importancia de cada uno de los temas a tratar. Las funciones de ganancia en el juego presentado vienen dadas por: Π1_(t

1, t2) = n´umero de puntos vitales que d (vi, t1) ≤ d (vi, t2), Π2(t1, t2) = n´umero

de puntos vi tales que d (vi, t1) > d (vi, t2) = n − Π1(t1, t2), si t1 6= t2. El conjunto de puntos del

primer partido será el formado por aquellos tipos que están más cerca de la posición t1 que de la del

segundo partido. Para localizar estos tipos se utiliza la mediatriz del segmento que une t1 y t2. ´Esta

est´a dada por: n_{(x, y) ∈ R}2/α x − t11

2 + (1 − α) y − t12 2 = α x − t21 2 + (1 − α) y − t22 2o . Dado que la pol´ıtica es un proceso dinámico, con respuestas de cada partido a las propuestas presentadas por su opuesto, plantearemos el juego de elección de posturas pol´ıticas a seguir por cada partido de la siguiente manera: Partiendo de las propuestas planteadas por los partidos mayoritarios de un pa´ıs sobre los temas a tratar, el partido gobernante busca una estrategia óptima que le acerque al mayor número posible de ciudadanos dentro de un entorno que representa su flexibilidad ideológica. Por su parte, la oposición espera esta reacción del Gobierno y prepara otra estrategia distinta en su entorno de flexibilidad para encontrar la mejor respuesta a cualquiera de las posibles posiciones óptimas tomadas por el Gobierno. Se entra as´ı en una evolución de las posiciones de los partidos dentro de unos entornos de flexibilidad. Estos tipos de juegos secuenciales ya han sido estudiados, con otras técnicas, en el caso continuo ([20], 2001). Los entornos de flexibilidad también se verán afectados por la ponderación otorgada a cada tema. Se definen como:

Definici´on 2.1. Partiendo de la posici´on inicial de cada partido , i = 1, 2, se define su entorno de flexibilidad como: Ni = n (x, y) ∈ R2_{/α x − x}i 1 2 + (1 − α) y − xi 2 2 ≤ R2 i o , donde Ri con i = 1, 2,

representa el grado de flexibilidad de cada partido, es decir, Ni es la regi´on interior de la elipse de

centro la postura inicial adoptada por el partido y semiejes _√Ri α y

Ri √

1−α.

Se observa que a menor trascendencia de uno de los temas a considerar, por ejemplo en el primero (α m´as cercano a cero) la flexibilidad que el partido puede llevar a cabo en ´el es mayor. Este

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compor-tamiento es lógico ya que en temas de gran relevancia, los partidos deben mantenerse más cercanos a su postura ideológica inicial. A lo largo del trabajo se supone que los entornos de cada partido son disjuntos, es decir, N1∩ N2= Ø. Esto asegura el que los partidos no ofrezcan las mismas pol´ıticas.

2.1 Clasificaci´

on de los votantes por regiones

El entorno de flexibilidad de cada partido le asegura cierto n´umero de votantes sea cual sea la posici´on tomada por su oponente dentro de su entorno. De esta forma, los puntos del conjunto de votantes se clasifican en tres regiones:

• Votantes seguros para el primer partido. • Votantes seguros para el segundo partido.

• Votantes indecisos que pueden ser captados por aquel partido que se situ´e en la zona adecuada de su entorno. Estos votantes pueden ser decisivos y hacia ellos debe orientarse la campa˜na y las propuestas pol´ıticas.

A continuaci´on se determinan e interpretan las regiones. Figura 1.

• Puntos que el primer partido captura siempre: Los puntos (vi1, vi2) que pertenecen al conjunto:

{(x, y) / max {[(x, y) , (c1, c2) , / (c1, c2) ∈ N1]} ≤ d [(x, y) , N2]} La frontera de este conjunto es:

q α (x − x2 1) 2 + (1 − α) (y − x2 2) 2 − q α (x − x1 1) 2 + (1 − α) (y − x1 2) 2 = R1+ R2 Los votantes

seguros para el primer partido resultan aquellos que se sit´uan en la regi´on limitada por esta curva en la que se encuentra el partido.

• Puntos que el segundo partido captura siempre: Los puntos (vi1, vi2) que pertenecen al conjunto:

{(x, y) / max {[(x, y) , (c1, c2) , / (c1, c2) ∈ N2]} ≤ d [(x, y) , N1]} La frontera de dicho conjunto es:

q α (x − x1 1) 2 + (1 − α) (y − x1 2) 2 − q α (x − x2 1) 2 + (1 − α) (y − x2 2) 2 = R1+ R2

Los votantes seguros para el segundo partido serán aquellos que se sitúan en la región limitada por esta curva en la que se encuentra el partido. Los votantes indecisos serán aquellos que se sitúan entre las dos curvas determinadas anteriormente.

Figura 1: Regiones de captaci´on de votantes.

La consideración de pesos en la distancia como un medidor de la importancia de los temas tratados, resulta relevante. Las curvas que delimitan las regiones que clasifican los votantes van cambiando y por tanto cambian las regiones de captación según los pesos. La figura 2 ilustra estas regiones para el caso particular donde las posiciones iniciales de los partidos coinciden en alguno de los temas tratados. Por ejemplo x1₁, x1₂ = (0, 0), x2₁, x2₂ = (2, 0), R1 = R2 = 1₂ y α var´ıa de 0.2 a 0.9 con paso 0.1.

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En estos casos uno de los temas no resulta relevante ya que los dos partidos están inicialmente de acuerdo en él (en el ejemplo se trata del segundo tema). Es este caso, un mayor peso y por tanto, una mayor trascendencia del primer tema, representa que la región de votantes seguros para cada partido aumenta, conteniendo a las regiones que corresponden a pesos inferiores. Con ello el número de votantes indecisos desciende en función de la importancia que tenga el tema considerado.

Figura 2: Regiones para la captaci´on de conjuntos de votantes cuando los partidos coinciden en alguna de las pol´ıticas a ofrecer y se var´ıa el peso.

3 Estrategias para la b´

usqueda de posiciones ´

optimas

3.1 B´

usqueda de posiciones ´

optimas para el partido gobernante

El resultado presentado por los autores en [1], 2006 donde se considera la distancia eucl´ıdea, puede ser generalizado en este caso con la siguiente proposici´on:

Proposición 3.1. Una postura óptima t1para el primer partido, para una posición dada t2del segundo,

siempre se encuentra en la frontera de N1 y en el arco de la elipse localizado entre los puntos p0, p00

intersecci´on con las rectas tangentes a la elipse desde t2 (parte visible de N1 desde t2). Figura 3.

Figura 3: p0, p00delimita una zona donde se localiza el arco de m´axima captaci´on para t1.

Dentro del arco definido en la proposición 1, llamamos A a la región de máxima captación de votantes por parte del primer partido. El proceso a seguir para la determinación de A se basa en el cálculo de la zona de máxima intersección entre dicho arco y los conjuntos

n (x, y) ∈ R2/α (x − vi1) 2 + (1 − α) (y − vi2) 2 ≤ α t2 1− vi1 2 + (1 − α) t22− vi2 2o con i = 1, . . . , n.

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Figura 4: El arco marcado representa la zona de captaci´on para t1 de los puntos v1, v2 en la frontera

de N1.

3.2 Estrategias de respuesta para la oposici´

on

Como el partido de la oposición supone que a partir de su propuesta inicial, el Gobierno elegirá una postura que le garantiza un mayor número de seguidores, situada en A, la idea ahora es preparar la estrategia de respuesta adecuada. Para ello se supone que seguirá la postura más conservadora, es decir, debe encontrar la posición óptima, la que le garantice un mayor número de seguidores, sea cual sea la posición del primer partido dentro de esa región óptima.

Proposición 3.2. Dentro de N2, llamamos B a la región de máxima captación de votantes por parte

del segundo partido suponiendo que el primero se sitúa en A. La región B se calcula como la máxima intersección entre N2 y los entornos centrados en los votantes y de radio la m´ınima distancia de estos

a A: n_{(x, y) ∈ R}2/α (x − vi1) 2 + (1 − α) (y − vi2) 2 ≤ (d (vi, A)) 2o , con i = 1, . . . , n.

Calculo de la distancia de vi a A: La distancia de un punto exterior a un entorno se alcanza en la

intersecci´on del segmento que une el punto con el centro del entorno y la frontera de dicho entorno. Por tanto, si el segmento que une vi con el centro de N1 interseca a A (parte de la frontera del entorno),

la distancia de vi a A se alcanza en ese punto intersecci´on. En otro caso se alcanza en uno de los

extremos de A.

4 El algoritmo

Se desarrolla un algoritmo que permite obtener las regiones A y B de m´axima captaci´on de votantes para cada partido.

4.1 C´

alculo de la regi´

on A

En este apartado, se desarrolla el algoritmo que permite obtener A. Se trata de una adaptaci´on del algoritmo presentado en [1], 2006. La complejidad de dicho algoritmo en el peor de los casos es O (n log n) ([4], 1997). Procedimiento:

• Paso 1: Encontrar p0 _{y p}00 _(proposici´_{on 1). Definir un contador c}0 _{con valor inicial c}0_{= 0.}

• Paso 2: Sea L una lista vac´ıa y m otro contador con valor m = 0. Para cada punto vi, se

encuentran los puntos de intersecci´on de la frontera de N1 y la frontera del entorno el´ıptico

centrado en vi que pasa por t2.

1. Si no existe intersecci´on por estar N1 contenido en el entorno el´ıptico centrado en vi que

pasa por t2, se incrementa m en una unidad.

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3. Si existen dos puntos de intersecci´on fuera de la parte visible de N1desde t2, se incrementa

m en una unidad. 4. En cualquier otro caso:

(a) Si los dos puntos pertenecen a la parte visible de N1desde t2, entonces se incluyen los

dos puntos en L.

(b) Si x0_i pertenece a la parte visible y x∗_i no, se incluye x0_i en L. (c) Si x∗

i pertenece a la parte visible y x0i no, se incluye x∗i en L y se incrementa c0 en una

unidad.

• Paso 3. Se ordenan los puntos de la lista L seg´un el ´angulo respecto t1 (en el sentido horario).

• Paso 4. Sea c = c0_{+ m y x = p}0_{. Se avanza en la lista L realizando lo siguiente a cada elemento:}

1. Si se encuentra un elemento x0_i se toma c = c + 1, y si c > m entonces se hace m = c y x = x0_i

2. Si se encuentra un x∗_i, se hace c = c − 1.

Nota: Si x0_i y x∗_i coinciden por ser tangentes las elipses consideradas, se toma x0_i previo a x∗_i en la lista L. Cuando el algoritmo completa la ejecución, el contador m indica el máximo número de puntos vi que el primer partido puede ganar. El extremo inicial del arco de N1 donde este partido debe

localizarse, es el punto almacenado en la variable x, y el extremo final es el punto que sigue al anterior en la lista L.

4.2 C´

alculo de la regi´

on B

Se desarrolla un algoritmo que permite obtener la región B y que obtiene el máximo número de votantes del segundo partido para cualquier posición del primero en A. La idea del algoritmo es la siguiente: Para todos los puntos (vi1, vi2), se considera Di, un entorno el´ıptico centrado en (vi1, vi2) y radio la

distancia de (vi1, vi2)a A. Se determina la m´axima intersecci´on de Di, i = 1, . . . , n que interseque con

N2. Un procedimiento para obtener dicha intersecci´on se puede realizar a trav´es del siguiente algoritmo

desarrollado por los autores: Procedimiento:

• Input: el entorno N2y las n elipses D1, . . . , Dn, que suponemos no tangentes a N2, ninguna de

ellas contenida en N2 (este caso no se puede dar en nuestro planteamiento), no todas disjuntas

de N2, ni todas conteniendo a N2 (en estos dos últimos casos la zona de máxima intersección

será N2, y la máxima intersección 0 y n respectivamente)

• Paso 1: Intersecamos las fronteras de D1 y N2, y hallamos los dos puntos de intersecci´on a1, b1

(si las fronteras son disjuntas ir al paso 3).

• Paso 2: Aplicamos el algoritmo de la sección 4.1. para encontrar la zona de máxima intersección de D2, . . . , Dn en el arco de D1 que une a1 con b1dentro de N2, y el número de elipses, k1, que

intersecan en ese arco.

• Paso 3: Repetimos los pasos 1 y 2 para D2, . . . , Dn

• Paso 4: Tomamos, de las zonas halladas en el paso 2, aqu´ellas en las que se alcanza el maxi=1,...,jki,

donde j es el n´umero de elipses que tienen frontera no disjunta con N2. Para ello se crea una

lista L con los puntos αi, βi, extremos de los arcos obtenidos en el paso 2. Los arcos en la lista

L no siguen ning´un tipo de ordenaci´on.

• Paso 5: Se deben obtener todas las regiones acotadas por los arcos obtenidos en el paso 4 o aquellas zonas acotadas por arcos obtenidos en el paso 4 y la frontera de N2. Existen dos

posibilidades:

1. La zona a encontrar est´a delimitada ´unicamente por los arcos obtenidos en el paso 4. (a) Se toman los puntos extremos que delimitan el primer arco no utilizado de la lista L.

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(b) Se hace una b´usqueda del punto p1 entre los extremos del resto de arcos no utilizados de la lista. Sea el arco de extremos αi, βien el que se encuentra la equivalencia, siendo

por ejemplo p1 = αi, entonces se asigna nuevo valor a p1 (p1 ← βi).

(c) Se repite el proceso de b´usqueda las veces necesarias hasta que p1 = p2. (Regi´on cerrada)

2. La zona a encontrar est´a delimitada por los arcos obtenidos en el paso 4 y por el entorno N2.

(a) Se toman los puntos extremos que delimitan el primer arco no utilizado de la lista L. Ll´amense p1, p2. Se marca el arco como utilizado (id´entico a 5.1.a)

(b) Se hace una búsqueda del punto p1 entre los extremos del resto de arcos no utilizados de la lista. Si se encuentra en algún extremo de arco, se sigue el proceso detallado en 5.1.b., continuando hasta que p1 no se encuentre en ningún extremo de arco no utilizado, entonces p1 pertenece al entorno N2, llámese pB1, asignándose a p1 el valor

p2. (p1 ← p2)

(c) De nuevo se realiza la búsqueda de p1 entre los extremos del resto de arcos no utilizados, siguiendo el proceso indicado en 5.2.b. En ese momento, el punto p1 es punto del entorno B, llámese pB2. El arco pB1, pB2, del entorno N2 pertenece a la zona de máxima

intersecci´on. (Regi´on cerrada)

• Output: Las regiones halladas en el paso 5 son las zonas de m´axima intersecci´on en N2 del

conjunto de elipses, siendo la m´axima intersecci´on: maxi=1,...,jki+ 1.

Observación 4.1. La complejidad del algoritmo viene dominada por la aplicación n veces del al-goritmo para el cálculo de la región A, presentado en la sección 4.1. Como éste tiene complejidad n log n, la complejidad del algoritmo desarrollado es n2log n. Puede observarse que el procedimiento presentado tiene la misma complejidad que el desarrollado por [3], 1979 para el cálculo de máxima intersección de un conjunto de c´ırculos, constituyendo as´ı una alternativa para el mismo en el caso de elipses. En cualquier caso existe un algoritmo que calcula la máxima intersección por medio de la construcción de un arreglo de c´ırculos, ligeramente más rápido ([9], 1992; [21], 1995, [5], 2005). No obstante, el aqu´ı desarrollado resulta más fácil de implementar y por ello más práctico.

5 Conclusiones

En este trabajo se aborda el diseño de estrategias pol´ıticas óptimas ante cualquier cambio importante de la situación en la que resulta necesario flexibilizar las exigencias. El estudio se realiza a través de un modelo geométrico discreto basado en técnicas de la Geometr´ıa Computacional. Es sabido que conceptos de la Geometr´ıa Computacional pueden ser aplicados a algunos campos de la Econom´ıa, permitiendo resolver ciertos problemas en el área de la Econom´ıa Pol´ıtica. En este estudio, las técnicas empleadas presentan una nueva visión donde las aportaciones más relevantes se centran, por un lado en la consideración subjetiva y variable de la importancia de los elementos a tratar en cada momento de la actualidad pol´ıtica de cada pa´ıs, por otro en la consideración de entornos que representan la flexibilidad pol´ıtica que los partidos pueden permitirse en cada uno de los temas a tratar. Dicha flexibilidad también se ve afectada por un factor de importancia para dichos temas que puede considerarse indeterminado o impreciso. Estas técnicas desarrolladas permiten diseñar estrategias de respuesta jugando con las opciones que el adversario pol´ıtico es probable que vaya a realizar. Además, se da un algoritmo que obtiene las soluciones óptimas para la captación máxima de votantes en ese proceso de variación de propuestas, por medio del cálculo de la zona de máxima intersección en un conjunto de elipses. Aunque existen algoritmos para hallar la región de máxima intersección en un arreglo de curvas de complejidad ligeramente inferior al presentado, éste presenta la ventaja de resultar más sencillo de implementar.

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