ARCO. Introducción. Propiedades de los arcos

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(1)

ARCO

Introducción

Los arcos son uno de los tres elementos estructurales de forma activa. Por ello, a continuación se indica las propiedades del arco como elemento estructural sometido a flexocompresión, con el propósito de indicar el comportamiento que rige el elemento, así como las unidades adicionales requeridas para el diseño con elementos tipo arco, asimismo se indica el procedimiento para estimar las dimensiones de la sección transversal del arco requerido para el diseño arquitectónico.

Para distinguir las propiedades del arco primero se define el elemento donde se indica las ventajas, comportamiento ante las cargas que se aplican, relación con el cable, materiales empleados para la construcción, elementos necesarios y los principales usos dados a esta unidad estructural. Posteriormente se señala la geometría ideal, las relaciones entre las cargas que se aplican, las tablas para resolver los arcos y las cargas de diseño.

Propiedades de los arcos

Definición

Cuando no es necesaria una cubierta plana para satisfacer las exigencias funcionales de la estructura, generalmente resulta que una cubierta de elementos con simples o doble curvaturas tales como los arcos o las cáscaras delgadas resultan más económicas en consumo de materiales, debido a la capacidad de absorber las cargas con intervención mínima de flexión y corte. Este sistema es el método estructural más antiguo utilizado para puentes cuando las luces son demasiado grandes para poder utilizar vigas rectas. Los esfuerzos en los arcos son proporcionales a las cargas y a la luz, e inversamente proporcionales a la altura del arco. Para minimizar los esfuerzos a una luz entre apoyos dada, el arco debe ser lo más liviano posible y tener una altura tan alta como sea económicamente posible. (Salvadori y Heller, 1963; Winter y Nilson, 1977)

Comportamiento

Si se invierte la forma parabólica que toma un cable sobre el cual actúan cargas uniformemente distribuidas según una horizontal, se obtiene la forma ideal de un arco que sometido a ese tipo de carga desarrolla sólo compresión, los momentos flectores y las fuerzas cortantes se reducen al mínimo e incluso, en algunas estructuras, se eliminan completamente.

Figura 1. Arco funicular de carga

La forma de un arco debe ser funicular para las cargas más pesadas a fin de minimizar el momento. Los arcos funiculares ocupan un extremo de la escala de tensiones, con ausencia de flexión; las vigas ocupan el extremo opuesto, trabajando sólo a la flexión. La carga permanente es la usada para dar forma al arco, así no produce momento por ser funicular a esta carga, el momento introducido es debido a la carga variable.

(2)

Ventajas

El arco es en esencia una estructura de compresión utilizado para cubrir grandes luces. Un arco lleva una combinación de compresión y flexión debido a no puede cambiar su forma para los tipos de carga, por lo que el material a usar debe soportar algo de flexión además de la compresión que se genera por la forma curva. (Salvadori y Heller, 1963, 1998; Winter y Nilson ,1977).

Materiales

Pueden ser de concreto armado, acero, mampostería (piedra o ladrillos).

(a)

(b)

(c)

Figura 2. Tipos de arcos

Elementos

En los apoyos los arcos generan un empuje hacia fuera que debe ser absorbido por los cimientos o mediante contrafuertes, cuando esto no es posible, se coloca un tensor para resistir el empuje que en algunos casos puede estar enterrado.

Los arcos pueden ser doblemente empotrados (empotrados Fig. 2.a) o doblemente articulados (articulados Fig. 2b.). Los últimos permiten la rotación de los contrafuertes ante la acción de las cargas y de las variaciones de temperatura; son relativamente flexibles, y ante variaciones de temperatura o asentamientos del suelo, no desarrollan tensiones elevadas de flexión. Si los cambios de temperaturas causan muchos problemas se puede introducir una tercera articulación en el tramo (véase Fig. 2.c), el cual permite deformaciones y no introduce esfuerzos adicionales. Por otra parte, los arcos empotrados son más rígidos y en consecuencia, más sensibles a las tensiones provocadas por variaciones de temperatura y por asentamiento de los apoyos pero las cargas debido a las acciones verticales son menores. (Salvadori y Heller, 1963, 1998)

Figura 3. Esquema de sistemas de arcos paralelos, radiales y diagonales.

Nota. De Sistemas de Estructuras, por Engel, H., 2001, Barcelona, España: Editorial Gustavo Gili, S.A.

Usos

Los arcos son usados en una variedad de combinaciones para techos curvos, uno de las más simples es la de los techos con arcos paralelos con elementos transversales y placas como techo. Pueden ser colocados de forma diagonal y radial (véase Figura 3). En estos tipos de techos los elementos de conexión de los arcos

(3)

trasmiten la carga del techo a los arcos por acciones de flexión o de arcos y los arcos llevan la carga al suelo. Los rangos de luces para el uso de arcos son de 25 a 70 m. (Engel, 2001; Salvadori y Heller, 1963)

Predimensionado

Geometría ideal

Generalmente, se hace que coincida el eje del arco con el funicular de las cargas permanentes (parábola). Procediendo así, los momentos flectores que aparezcan se deberían a la sobrecarga exclusivamente.

L

x

c

L

h

r

=

;

=

;

y

=

4

rLc

2

;

tan

θ

=

8

rc

;

(

2

)

3 8

1

2

r

L

s

=

+

(1)

donde: r≡ Parámetro adimensional de la relación de altura;

c≡ Parámetro adimensional de la distancia horizontal;

L≡ Luz entre apoyos del arco (véase Figura 4);

θ≡ Angulo con respecto a la horizontal en cualquier punto del arco (véase Figura 4); x, y Coordenadas con respecto al origen (véase Figura 4);

s Longitud en la directriz del arco.

Figura 4. Geometría del arco

Cargas

La carga permanente (g) suele estar casi uniformemente repartida a los largo de la directriz. La carga por metro lineal de luz se distribuirá, por tanto, en la forma representada de la figura

Figura 5. Distribución del peso propio g en la dirección del arco (directriz). θ y X L h g

(4)

Figura 6. Proyección vertical del peso propio en el extremo del arco.

′ =

g

g

g

cos

θ

(2)

donde: g´ carga por metro en la dirección horizontal.

Figura 7. Esquema de la distribución de carga del peso propio

La sobrecarga tendrá que ser colocada de forma que dé lugar a los máximos momentos flectores o esfuerzos, condición que se cumplirá generalmente cuando el arco se halle parcialmente cargado. Los momentos se obtienen por superposición de la tabla de momentos para arcos (Winter y Nilson, 1977).

Cargas de diseño del arco

Las cargas de diseño en un arco son la carga axial P y el momento flector M en la sección señalada. Por lo tanto la obtención de las dimensiones del arco sigue el esquema de diseño de un elemento sometido a compresión, (específicamente diseño a flexocompresión) debido a que la dirección de la carga axial es tangente al arco, este valor varia tanto de dirección como de magnitud. El valor de la carga axial es según la Ecuación 3 que se basa en el esquema de la Figura 9.

θ

θ

cos

sen

H

V

P

=

+

(3)

Figura 9. Esquema de la carga axial.

Tabla de arcos

Con las magnitudes de las cargas se usa la tabla de momentos y reacciones, para determinar los valores de diseño del arco según el tipo de apoyo (biarticulado y empotrado) (Winter y Nilson, 1977).

g V θ V g g’ V H P θ

(5)

Caso I Caso II

Caso III Caso IV

Caso V1

Figura 8. Esquema de la posición de la carga en arco. Tabla 1. Momentos y reacciones para arcos biarticulados.

Caso I Caso II Caso III Caso IV Caso V Rl

2

gl

6

l

g′

0

,

35

pl

0

,

15

pl

Rr

2

gl

6

l

g′

pl

35

,

0

61

,

3

*

10

−3

pl

90

,

3

*

10

−3

pl

H

h

gl

8

2

h

l

g

42

2

h

pl

2 3

10

*

49

,

68

h

pl

2 3

10

*

5

,

56

h

pl

2 3

10

*

48

− Mc 0

338

2

l

g′

7

,

25

*

10

−3

pl

2

7

,

25

*

10

−3

pl

2 0 Ml/4 0

234

2

l

g′

0 0

16

,

4

*

10

−3

pl

2

Nota. De Proyecto de Estructuras de Hormigón (p. 526), por Winter, G. y Nilson, A., 1977, Bogotá, Colombia: Editorial Reverté Colombiana, S.A.

1 Los casos hacen referencia a la tabla de momentos (Véase Tabla 1 y Tabla 2).

L h g L h g´ L αl αl p L αl p h L αl p

pl

335

,

0

(6)

Tabla 2. Momentos y reacciones para arcos doblemente empotrados.

Caso I Caso II Caso III Caso IV Caso V Rl

2

gl

6

l

g′

pl

375

,

0

0

,

125

pl

0

,

35

pl

Rr

2

gl

6

l

g′

pl

375

,

0

0

,

125

pl

0

,

05

pl

H

h

gl

8

2

h

l

g

56

2

h

pl

2 3

10

*

8

,

68

h

pl

2 3

10

*

2

,

56

h

pl

2 3

10

*

7

,

39

− Ml 0

210

2

l

g′

6

,

9

*

10

−3

pl

2

6

,

9

*

10

−3

pl

2

17

,

3

*

10

−3

pl

2

Caso I Caso II Caso III Caso IV Caso V

Mr 0

210

2

l

g′

6

,

9

*

10

−3

pl

2

6

,

9

*

10

−3

pl

2

11

,

5

*

10

−3

pl

2 Mc 0

560

2

l

g′

5

,

4

*

10

−3

pl

2

5

,

4

*

10

−3

pl

2

2

,

6

*

10

−3

pl

2 Nota. De Proyecto de Estructuras de Hormigón (p. 527), por Winter, G. y Nilson, A., 1977, Bogotá, Colombia: Editorial Reverté

Colombiana, S.A.

Ejemplo 1

Predimensionar el arco de la figura

l= 80 m; h= 25m; wcp= 600 kgf/m; wcv= 350 kgf/m

Los datos adaptados a la Tabla de arcos son: wcp=g y wcv= p, es decir g= 600 kgf/m y p= 350 kgf/m

Cálculo de g’

Aplicando la Ecuación 1

L

h

r

=

tenemos

80

25

=

r

r 0,31 rc θ 8

tan = ; para determinar θ en el apoyo c=0,5; tenemostanθ=8*0,31*0,5 tanθ 1,25

l

h

(7)

si θ=tan−1

( )

8rc ; tenemos θ 51,3401917 Aplicando la Ecuación 2

′ =

g

g

g

cos

θ

; tenemos

cos

51

,

34

600

600

=

g

g´ (kgf/m) 360,47

Resolución de casos de la Tabla de arcos

De la Tabla 2 (Momentos y reacciones para arcos doblemente empotrados), se aplica las fórmulas indicadas, tenemos:

Caso I 

Figura 8. Esquema de las reacciones en el apoyo Caso I.

Reacción vertical

2

gl

R

=

; tenemos

2

80

*

600

=

R

R 24000 Reacción Horizontal

h

gl

H

8

2

=

; tenemos

25

*

8

80

*

600

2

=

H

H 19200

Momento en el apoyo izquierdo (l) o derecho (r) Ml=Mr 0

Caso II  Reacción vertical

6

l

g

R

=

; tenemos

6

80

*

47

,

360

=

R

R 4806,25 Reacción Horizontal

h

l

g

H

56

2

=

; tenemos

25

*

56

80

*

47

,

360

2

=

H

H 1647,86 Momento en el apoyo

210

2

l

g

M

=

; tenemos

210

80

*

47

,

360

2

=

M

Ml=Mr -10985,7

Figura 9. Esquema de las reacciones en el apoyo Caso II.

Caso V 

Para resolver la carga viva solo se aplica el caso V por ser el más desfavorable. De cada fórmula se escoge la que proporcione el mayor valor.

Reacción vertical R=

0

,

35

pl

; tenemos

R

=

0

,

35

*

350

*

80

R 9800

4806,25

1647,9 10985,7

24000 19200

(8)

Reacción Horizontal

h

pl

H

2 3

10

*

7

,

39

=

; tenemos

25

80

*

350

*

10

*

7

,

39

−3 2

=

H

H 3557,12

Momento en el apoyo

M

l

=

17

,

3

*

10

−3

pl

2; tenemos 2 3

*

350

*

80

10

*

3

,

17

=

l

M

Ml -38752

Figura 10. Esquema de las reacciones en el apoyo Caso V.

Cargas de diseño

La carga axial se determina por

P

=

V

sin

θ

+

H

cos

θ

y sabiendo que los Casos I y II corresponden a la carga permanente (CP) y el Caso V a la carga variable (CV), sumamos las componentes verticales (R) y horizontales (H).

CP 

La vertical carga permanente

V

cp

=

R

I

+

R

II; tenemos

V

cp

=

24000

+

4806

,

25

V 28806,25 La horizontal carga permanente

H

cp

=

H

I

+

H

II; tenemos

86

,

1647

19200

+

=

cp

H

H 20847,9 Si θ=51,3401917 y

P

=

V

sin

θ

+

H

cos

θ

34

,

51

cos

*

86

,

20847

34

,

51

sin

*

28

,

28806

+

=

cp

P

Pcp 35517,5

El momento de empotramiento por carga permanente

M

cp

=

M

I

+

M

II

71

,

10985

0

=

cp

M

Memp -10985,7 CV 

La vertical carga variable

V

cv

=

R

V; tenemos

V

cv

=

9800

V 9800 La horizontal carga variable

H

cv

=

H

V; tenemos

H

cp

=

3557

,

12

H 3557,12

Si θ=51,3401917 y

34

,

51

cos

*

12

,

3557

34

,

51

sin

*

9800

cos

sin

+

=

+

=

V

H

P

cv

P

θ

θ

Pcv 9874,63

El momento de empotramiento por carga variable

M

cv

=

M

V

M

cv

=

38752

Memp -38752

Carga mayorada 

CP

U

1

=

1

,

4

;

1

,

4

1

,

4

*

35517

,

5

1 1

=

CP

U

=

U

P

P

P

Pu (kgf) 49724,4

7

10985

*

4

,

1

4

,

1

1 1

M

M

,

M

U

=

CP

U

=

Mu (kgf*m) 15380,0 t

CV

CP

U

2

=

1

,

2

+

0

,

5

;

6

,

9874

*

5

,

0

5

,

35517

*

2

,

1

5

,

0

2

,

1

2 2

=

CP

+

CV

U

=

+

U

P

P

P

P

t Pu (kgf) 47 558,3

38752

*

5

,

0

7

10985

*

2

,

1

5

,

0

2

,

1

2 2

=

M

+

M

M

=

,

+

M

U CP CVt U Mu (kgf*m) 32 558,9 9800 3557,12 38752

(9)

t

CV

CP

U

3

=

1

,

2

+

1

,

6

;

6

,

9874

*

6

,

1

5

,

35517

*

2

,

1

6

,

1

2

,

1

3 3

=

CP

+

CV

U

=

+

U

P

P

P

P

t Pu (kgf) 58 420,4

38752

*

6

,

1

7

10985

*

2

,

1

6

,

1

2

,

1

3 3

=

M

+

M

M

=

,

+

M

U CP CVt U Mu (kgf*m) 75 186,1

Diseño del arco

Acero 

Con los valores de las cargas mayoradas Pu =58420,35 kgf; Mu = 75186,05 kgf*m; k= 0,65 y l tomado

como 3,2 m (longitud de arriostrado del arco) y siguiendo el procedimiento de elementos sometidos a fuerzas de compresión, tenemos:

a. Se selecciona un perfil de tanteo (en este caso un perfil W12x152) del cual se obtiene las propiedades geométricas A, Zmax y rmin, para luegocomprobar que

kL

r

min

200

;

para el perfil, las propiedades geométricas son

Perfil A (cm2) Z y (cm3) Zz (cm3) ry (cm) rz (cm) KL/rmin W 12x152 289,00 3980 1840 14,40 8,09 25,7 b. Se calculó øcFcr

(

c cr

)

tabla

F

r

kL

min

⎯ →

φ

y øcPn

(

φ

c

P

n

=

φ

c

F

cr

A

)

para el perfil de tanteo con

el coeficiente de esbeltez redondeado a cero cifras tenemos;

KL/rmin ØFcr ØPn

26 2054 kgf/cm2 593606 kgf

c. El perfil de tanteo se revisa con la formula de interacción, si la resistencia de diseño es muy cercana al valor requerido puede ensayarse el siguiente tamaño tabulado.

Fórmula de Interacción

1

9

8

2

,

0

si

+

n b u n c u n c u

M

M

P

P

P

P

φ

φ

φ

Pu/ØPn Interaccion

0,10 0,89 Según la segunda ecuación

El perfil W12x152 cumple para el arco.

Concreto armado 

Con los valores de las cargas mayoradas Pu =58420,35 kgf; Mu = 75186,05 kgf*m y materiales a emplear de ݂௖ᇱ= 250 kgf/cm2 ; fy= 4200 kgf/cm2. Para elemento de concreto armado a flexocompresión se

siguen las indicaciones señaladas en el diseño de elementos sujetos a cargas axiales. i. Se selecciona la cuantía de acero ρ entre [0,02; 0,03] y calcular

c y

f

f

=

85

,

0

ρ

ω

, por ello se escoge ρ=0,025 y la cuantía mecánica es

0

,

49

250

*

85

,

0

4200

*

025

,

0

=

=

ω

ω

.

1

2

2

,

0

si

<

+

n b u n c u n c u

M

M

P

P

P

P

φ

φ

φ

(10)

ii. Se escoger como valor tentativo para h, 70 cm

h

r

h 2

=

γ

por lo que la relación de forma queda

85

,

0

70

5

*

2

70

=

=

γ

γ

, se escoge el ábaco γ=0,90.

Figura 12. Abaco seleccionado.

iii. Calcular el valor e/h y trazar una línea radial que represente este valor.

287

,

1

5

,

58420

05

,

75186

=

=

=

M

P

e

e

e

u u m; por lo tanto

839

,

1

70

7

,

128

=

=

h

e

cm

cm

h

e

. Para trazar la línea radial se aplica la relación

ν

μ

=

h

e

y se escoge ν=0,1 para establecer el valor correspondiente de μ para 0,1;

184

,

0

839

,

1

*

1

,

0

=

=

=

μ

μ

μ

ν

h

e

. El punto señalado en la Figura 13 corresponde a las coordenadas (μ=0,184; ν=0,1). Este punto se une con el origen para obtener la línea radial e/h=1,839.

Figura 13. Trazado de la línea radial e/h=1,839.

iv. Donde corta la línea radial e/h= 1,839 con la curva ω =0,49 se lee el correspondiente valor de ν de 0,09 (véase la Figura14).

(11)

Figura 14. Valor de ν obtenido del corte de la línea radial e/h=1,839 con la curva ω=0,49.

v. Se calcula el área requerida Ag con el valor obtenido de ν, según la relación

g c u

A

f

P

=

85

,

0

φ

ν

, tenemos

4699

,

49

09

,

0

*

250

*

85

,

0

*

65

,

0

5

,

58420

=

=

g g

A

A

cm2. vi. Se determina

h

A

b

=

g

con el área obtenida y altura h establecida

67

,

1

70

49

,

4699

=

=

b

b

cm.

vii. Se revisa la proporción de la sección

1

70

,

0

70

,

0

=

=

h

b

que está dentro del rango [0,6; 1]. Las dimensiones del arco son 70x70 cm.

Ejemplo 2

Predimensionar el arco de la figura.

l= 80 m; h= 25m; wcp= 600 kgf/m; wcv= 350 kgf/m

Los datos adaptados a la Tabla de arcos son: wcp=g y wcv= p, es decir g= 660 kgf/m y p= 350 kgf/m

Cálculo de g’

Aplicando la Ecuación 1

L

h

r

=

tenemos

80

25

=

r

r 0,31 rc θ 8

tan = ; para determinar θ en el apoyo c=0,5; tenemostanθ=8*0,31*0,5 tanθ 1,25 si θ=tan−1

( )

8rc ; tenemos θ 51,3401917

h

l

(12)

Aplicando la Ecuación 2

′ =

g

g

g

cos

θ

; tenemos

600

34

,

51

cos

600

=

g

g´ (kgf/m) 360,47

Resolución de casos de la Tabla de arcos

De la Tabla 1 (Momentos y reacciones para arcos biarticulados), se aplica las fórmulas indicadas:

Caso I 

24000

19200

Figura 15. Esquema de las reacciones en el apoyo, Caso I.

Reacción vertical

2

gl

R

=

; tenemos

2

80

*

600

=

R

R 24000 Reacción Horizontal

h

gl

H

8

2

=

; tenemos

25

*

8

80

*

600

2

=

H

H 19200

Momento en el centro (l/2)y un cuarto (l/4) Ml/4=Mc 0

Caso II  Reacción vertical

6

80

*

47

,

360

6

=

=

g

l

R

R

R 4806,25 Reacción horizontal

25

*

42

80

*

47

,

360

42

2 2

=

=

H

h

l

g

H

H 2197,14 Momento en el centro

338

80

*

47

,

360

338

2 2

=

=

c c

M

l

g

M

Mc -6825,4 Momento a un cuarto

234

80

*

47

,

360

234

2 4 / 2 4 /

=

=

l l

M

l

g

M

Ml/4 9859,0 4806,25 9859 2197,14 6825,4

Figura 16. Esquema de las reacciones en el apoyo y momentos en el tramo Caso II.

Caso V 

Para resolver la carga viva solo se aplica el caso V por ser el más desfavorable. De cada fórmula se escoge la que proporcione el mayor valor.

(13)

Reacción horizontal

25

80

*

350

*

10

*

48

10

*

48

−3 2 −3 2

=

=

H

h

pl

H

H 4300,8 Momento en el centro M=0 Mc 0 Momento a un cuarto 2 3 4 / 2 3 4 /

=

16

,

4

*

10

l

=

16

,

4

*

10

*

350

*

80

l

pl

M

M

Ml/4 36736 9380 36736 4300,8

Figura 17. Esquema de las reacciones en el apoyo y momentos en el tramo Caso V.

Cargas de diseño

La carga axial se determina por

P

=

V

sin

θ

+

H

cos

θ

y sabiendo que los Casos I y II corresponden a la carga permanente (CP) y el Caso V a la carga variable (CV), sumamos las componentes verticales (R) y horizontales (H). Se plantea entonces el problema que la fuerza P se calcula en el centro y a un cuarto del arco (l/4) en contraste con los arcos doblemente empotrados, en la Figura 18 se observa que el valor de P en el

centro es el mismo valor de H, mientras que a l/4 la componente vertical de la fuerza no es la reacción en el

apoyo sino la fuerza cortante en esa sección. La Figura 19 señala que la fuerza cortante a l/4 es la diferencia

de R menos la resultante de la carga aplicada por lo que la Ecuación 4 indica los valores de esta fuerza para los tres casos que se analizan.

P

Figura 18. Esquema de la fuerza axial en el centro y a l/4.

V

Caso

4

II

Caso

4

2

I

Caso

4

l

p

R

V

l

g

R

V

l

g

R

V

V II I

=

=

=

(4)

P

(14)

l/4 g R g*l/4 V l/4 g’ R g’/2*l/4 V l/4 p R p*l/4 V (a) (b) (c)

Figura 19. Esquema de la fuerza cortante a l/4.

CP 

La reacción por carga permanente

R

cp

=

R

I

+

R

II; tenemos

R

cp

=

24000

+

4806

,

25

R 28806,25 La horizontal carga permanente

H

cp

=

H

I

+

H

II; tenemos

H

cp

=

19200

+

2197

,

14

H 21397,14

Para el centro tenemos

Pcp=Hcp Pcp 21397,14

El momento en el centro por carga permanente

M

cp

=

M

I

+

M

II

M

cp

=

0

10985

,

71

Mc -6825.44

Para l/4 tenemos La carga vertical es

4

2

4

l

g

l

g

R

V

cp

=

cp

; tenemos

V

cp

=

28806

,

25

12000

3604

,

69

Vcp 13201,6

Para l/4 c=0,25 y el ángulo es

θ

=

tan

−1

( )

8

rc

; tenemos

θ

=

tan

−1

(

8

*

0

,

31

*

0

,

25

)

θ 32,0053832

Con θ=32,0053832 y

P

=

V

sin

θ

+

H

cos

θ

; tenemos

005

,

32

cos

*

14

,

21397

005

,

32

sin

*

6

,

13201

+

=

cp

P

Pcp 25141,55 El momento a l/4 es

M

cp

=

M

I

+

M

II ; tenemos

M

cp

=

0

+

9858

,

97

Ml/4 9858,97 CV 

Los valores para carga variable son iguales a los resultados del caso V, entonces Rcv=9380;

Hcv=4300,8; Ml/4= 36736 y Mc=0 en consecuencia las cargas de diseño son

La carga vertical a l/4

4

l

p

R

V

cv

=

cv

; tenemos

4

80

350

9380

=

cv

V

Vcv 2380,00 Hcv 4300,80

Con θ=32,0053832 y

P

=

V

sin

θ

+

H

cos

θ

; tenemos

005

,

32

cos

*

8

,

4300

005

,

32

sin

*

2380

+

=

cv

P

P 4908,47 Ml/4 36736,00 En el centro Pcv=Hcv Pcv 4300,8 Mc 0 Carga mayorada  En el centro tenemos:

CP

U

1

=

1

,

4

;

1

,

4

1

,

4

*

21397

,

14

1 1

=

CP

U

=

U

P

P

P

Pu (kgf) 29956,0

(15)

44

,

6825

*

4

,

1

4

,

1

1 1

=

CP

U

=

U

M

M

M

Mu (kgf*m) -9555,6 t

CV

CP

U

2

=

1

,

2

+

0

,

5

;

8

,

4300

*

5

,

0

14

,

21397

*

2

,

1

5

,

0

2

,

1

2 2

=

CP

+

CV

U

=

+

U

P

P

P

P

t Pu (kgf) 27827,0

0

*

5

,

0

44

,

6825

*

2

,

1

5

,

0

2

,

1

2 2

=

CP

+

CV

U

=

+

U

M

M

M

M

t Mu (kgf*m) -8190,5 t

CV

CP

U

3

=

1

,

2

+

1

,

6

;

8

,

4300

*

6

,

1

14

,

21397

*

2

,

1

6

,

1

2

,

1

3 3

=

CP

+

CV

U

=

+

U

P

P

P

P

t Pu (kgf) 32557,9

0

*

6

,

1

44

,

6825

*

2

,

1

6

,

1

2

,

1

3 3

=

CP

+

CV

U

=

+

U

M

M

M

M

t Mu (kgf*m) -8190,5 En l/4 tenemos:

CP

U

1

=

1

,

4

;

1

,

4

1

,

4

*

25141

,

55

1 1

=

CP

U

=

U

P

P

P

Pu (kgf) 35198,2

97

,

9858

*

4

,

1

4

,

1

1 1

=

CP

U

=

U

M

M

M

Mu (kgf*m) 13802,6 t

CV

CP

U

2

=

1

,

2

+

0

,

5

;

47

,

4908

*

5

,

0

55

,

25141

*

2

,

1

5

,

0

2

,

1

2 2

=

CP

+

CV

U

=

+

U

P

P

P

P

t Pu (kgf) 32624,1

36736

*

5

,

0

97

,

9858

*

2

,

1

5

,

0

2

,

1

2 2

=

CP

+

CV

U

=

+

U

M

M

M

M

t Mu (kgf*m) 30198,8 t

CV

CP

U

3

=

1

,

2

+

1

,

6

;

47

,

4908

*

6

,

1

55

,

25141

*

2

,

1

6

,

1

2

,

1

3 3

=

CP

+

CV

U

=

+

U

P

P

P

P

t Pu (kgf) 53884,0

36736

*

6

,

1

97

,

9858

*

2

,

1

6

,

1

2

,

1

3 3

=

CP

+

CV

U

=

+

U

M

M

M

M

t Mu (kgf*m) 70608,4 Acero 

Con los valores de las cargas mayoradas Pu = 53884,0 kgf; Mu = 70608,4 kgf*m; k= 0,65 y l tomado

como 3,2 m (longitud de arriostrado del arco) y siguiendo el procedimiento de elementos sometidos a fuerzas de compresión, tenemos:

a. Se selecciona un perfil de tanteo (en este caso un perfil W12x152) del cual se obtiene las propiedades geométricas A, Zmax y rmin, para luegocomprobar que

kL

r

min

200

; para el perfil,

las propiedades geométricas son:

Perfil A (cm2) Z

y (cm3) Zz (cm3) ry (cm) rz (cm) KL/rmin W 12x152 289,00 3980 1840 14,40 8,09 25,7

b. Se calculó øcFcr

(

kL

r

min

tabla

⎯ →

φ

c

F

cr

)

y øcPn

(

φ

c

P

n

=

φ

c

F

cr

A

)

para el perfil de tanteo con

el coeficiente de esbeltez redondeado a cero cifras tenemos;

KL/rmin ØFcr ØPn

26 2054 593606

c. El perfil de tanteo se revisa con la formula de interacción, si la resistencia de diseño es muy cercana al valor requerido puede ensayarse el siguiente tamaño tabulado.

Fórmula de Interacción

1

9

8

2

,

0

si

+

n b u n c u n c u

M

M

P

P

P

P

φ

φ

φ

Pu/ØPn Interaccion

0,09 0,83 Según la segunda ecuación

1

2

2

,

0

si

<

+

n b u n c u n c u

M

M

P

P

P

P

φ

φ

φ

(16)

El perfil W12x152 cumple para el arco, así como el W12x136; interacción 0,94 Para los demás casos de carga la fórmula de interacción para el perfil W12x136 es:

W A (cm2) Z

y (cm3) Zz (cm3) ry (cm) rz (cm) KL/rmin KL/rmin øFcr

12x136 258,00 3510 1620 14,20 8,02 25,9 26 2054

Caso Pu (kgf) Mu (kgf*m) Pu/Pn Interacción

Centro U1 29956 9556 0,06 0,15 Centro U2 27827 8191 0,05 0,13 Centro U3 32558 8191 0,06 0,13 l/4 U1 35198 13803 0,07 0,21 l/4 U2 32624 30199 0,06 0,41 Concreto armado 

Con los valores de las cargas mayoradas Pu =58420,35 kgf; Mu = 75186,05 kgf*m y materiales a emplear de ݂௖ᇱ= 250 kgf/cm2 ; fy= 4200 kgf/cm2. Para elemento de concreto armado a flexocompresión se

siguen las indicaciones señaladas en el diseño de elementos sujetos a cargas axiales. i. Se selecciona la cuantía de acero ρ entre [0,02; 0,03] y calcular

c y

f

f

=

85

,

0

ρ

ω

, por ello se escoge ρ=0,025 y la cuantía mecánica es

0

,

49

250

*

85

,

0

4200

*

025

,

0

=

=

ω

ω

.

ii. Se escoger como valor tentativo para h, 70 cm

h

r

h 2

=

γ

por lo que la relación de forma queda

85

,

0

70

5

*

2

70

=

=

γ

γ

, se escoge el ábaco γ=0,90.

Figura 20. Abaco seleccionado.

iii. Calcular el valor e/h y trazar una línea radial que represente este valor.

31

,

1

53884

4

,

70608

=

=

=

M

P

e

e

e

u u m; por lo tanto

871

,

1

70

03

,

131

=

=

h

e

cm

cm

h

e

. Para trazar la línea radial se aplica la relación

ν

μ

=

h

e

y se escoge ν=0,1 para establecer el valor correspondiente de μ para 0,1;

187

,

0

871

,

1

*

1

,

0

=

=

=

μ

μ

μ

ν

h

e

. El punto señalado en la Figura 21 corresponde a estas coordenadas (μ=0,187; ν=0,1). Este punto se une con el origen para obtener la línea radial e/h=1,871.

(17)

Figura 21. Trazado de la línea radial e/h=1,87.

iv. Donde corta la línea radial e/h= 1,87 con la curva ω =0,49 se lee el correspondiente valor de ν de 0,09 (véase la Figura 22).

Figura 22. Valor de ν obtenido del corte de la línea radial e/h=1,87 con la curva ω=0,49.

v. Se calcula el área requerida Ag con el valor obtenido de ν, según la relación

g c u

A

f

P

=

85

,

0

φ

ν

, tenemos

4334

,

6

09

,

0

*

250

*

85

,

0

*

65

,

0

53884

=

=

g g

A

A

cm2. vi. Se determina

h

A

b

=

g

con el área obtenida y altura h establecida

61

,

9

70

6

,

4334

=

=

b

b

cm.

vii. Se revisa la proporción de la sección bien proporcionada

0

,

93

70

,

0

65

,

0

=

=

h

b

que está dentro del rango [0,6; 1].

Las dimensiones del arco son 65x70 cm.

Bibliografía

Engel, H. (2001). Sistemas de Estructuras. Barcelona, España: Editorial Gustavo Gili, S.A Salvadori, M. y Heller, R. (1963). Structure in Architecture. s/d: Prentice-Hall.

Salvadori, M. y Heller, R. (1998). Estructuras para Arquitectos. Buenos Aires, Argentina: Kliczkowski Publisher.

(18)

Winter, G. y Nilson, A. (1977). Proyecto de Estructuras de Hormigón. Bogotá, Colombia: Editorial Reverté Colombiana, S.A.

Figure

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Referencias

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