Razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo

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(1)

MEDIDAS DE ÁNGULOS

Ángulo es la porción del plano limitada por dos semirrectas de origen común. Los ángulos se pueden medir en grados sexagesimales o en radianes.

Medidas en grados (unidades sexagesimales):

El grado es el ángulo plano que, teniendo su vértice en el centro de un círculo, intercepta sobre la circunferencia de este círculo un arco de longitud

r

o

360

2

.

Un grado es igual a 60 minutos. Un minuto es igual a 60 segundos.

Un ángulo recto mide 90. Un ángulo llano mide 180. Un ángulo completo mide 360. • Medidas en radianes

En el sistema internacional, SI, la unidad de medida del ángulo es el radián (rad).

El radián es el ángulo plano que, teniendo su vértice en el centro de un círculo, intercepta sobre la circunferencia de este círculo un arco de longitud igual al radio.

Teniendo en cuenta la longitud de una circunferencia (2r), y con la definición de radián dada, podemos deducir que una circunferencia cualquiera medirá 2 radianes.

Un ángulo recto mide 2 rad. Un ángulo llano mide  rad. Un ángulo completo mide 2 rad. • Equivalencia entre grados y radianes.

Para pasar de grados, minutos y segundos, a radianes, se multiplica por  y se divide por 180. Para pasar de radianes a grados, minutos y segundos, se multiplica por 180 y se divide por .

Razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo

Seno del ángulo  es la razón entre el cateto

opuesto y la hipotenusa. Se designa por sen .

hipotenusa

opuesto

cateto

=

sen

Coseno del ángulo  es la razón entre el cateto

adyacente y la hipotenusa. Se designa por cos .

hipotenusa

contiguo

cateto

=

cos

(2)

Tangente del ángulo  es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. Se designa por tg .

contiguo

cateto

opuesto

cateto

=

tg

A partir de estas tres razones, definimos otras tres inversas de ellas:

Cosecante del ángulo  es la razón que existe entre la hipotenusa y el cateto opuesto.

sen

1

cos

=

=

opuesto

cateto

hipotenusa

ec

Secante del ángulo  es la razón que existe entre la hipotenusa y el cateto contiguo.

cos

1

sec

=

=

contiguo

cateto

hipotenusa

Cotangente del ángulo  es la razón que existe entre el cateto contiguo y el cateto opuesto.

tg

1

cot

=

=

opuesto

cateto

contiguo

cateto

g

RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Observando la figura obtenemos que:

r

y

=

sen

,

r

x

=

cos

.

Elevando al cuadrado ambas igualdades y

sumando obtenemos:

(

sen

) (

cos

)

2

1

2 2 2 2 2 2 2

+

=

+

=

=

r

r

r

x

r

y

, que

se llama relación fundamental y suele escribirse:

sen

2

+

cos

2

=

1

.

Dividiendo la relación fundamental entre

sen

2

0

:

+

=

2 2 2 2 2

sen

1

sen

cos

sen

sen

2 2

cos

cot

1

+

g

=

ec

Dividiendo la relación fundamental entre

cos

2

0

:

+

=

2 2 2 2 2

cos

1

cos

cos

cos

sen

2 2

sec

1

tg

+

=

(3)

Razones trigonométricas de:

30

,

45

y

60

 Los ángulos de 

30

,

45

 y

60

 aparecen con mucha frecuencia en las formas geométricas. Sus razones trigonométricas se calculan fácilmente a partir del triángulo equilátero y el cuadrado.

2

3

2

2 2

a

a

a

h

=

=

2

3

:

2

3

º

60

sen

=

=

a

a

=

a

h

2

2 2

a

a

a

d

=

+

=

2

2

2

1

º

45

sen

=

=

=

d

a

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA

Consideramos unos ejes coordenados de origen O. Con centro en O, trazamos una circunferencia de radio r.

Un ángulo es positivo si el giro del primer lado al segundo se realiza en sentido contrario al de las agujas del reloj. Si el sentido de giro coincide con el de las agujas del reloj, el ángulo es negativo. Situamos un ángulo “” con su vértice en el origen O y su primer lado en el semieje positivo OX. Se dice que el ángulo es del cuadrante en el que esté el segundo lado. El segundo lado corta a la circunferencia en el punto P de coordenadas (x,y).

Para un ángulo cualquiera  la definición de las razones trigonométricas directas es la siguiente:

r

y

radio

ordenada =

=

sen

r

x

radio

abscisa =

=

cos

x

y

abscisa

ordenada =

=

tg

y

x

P

de

ordenada

P

de

abscisa

g

=

=

cot

y

r

P

de

ordenada

radio

ec

=

=

cos

x

r

P

de

abscisa

radio

=

=

sec

(4)

Las razones trigonométricas son independientes del radio de la circunferencia elegida. Al aumentar o disminuir el radio de ésta, lo único que hacemos es construir diferentes triángulos rectángulos semejantes, y las razones trigonométricas sólo dependen del ángulo, no del triángulo. Por comodidad, tomaremos la circunferencia de radio unidad y centrada en el origen de coordenadas, que se llama

circunferencia goniométrica. Así, para un

ángulo  tendremos:

sen  = y; es decir, el valor de la ordenada del punto P. cos  = x; es decir, el valor de la abscisa del punto P.

Los ángulos mayores que 360º tendrán su segundo lado en el cuadrante que corresponda después de restarles una ó más vueltas completas. (Para un ángulo mayor que 360º, dividimos entre 360 –no entre 36, aunque se pudiera simplificar-, el cociente nos proporciona el número de vueltas dada a la circunferencia y el resto sería el ángulo que tiene las mismas razones trigonométricas que el dado.

Signo de las razones trigonométricas

0

sen

sen

0

sen

0

0

cos

cos 

0

cos 

0

0

tg

tg

0

tg

0

En todo triángulo rectángulo se verifica que la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos, y como el seno y el coseno de un ángulo es la razón entre un cateto y la hipotenusa, en consecuencia se cumplirá que:

-1  sen a  +1 y –1  cos a  +1

(5)

El signo de las razones trigonométricas seno y coseno, en cada uno de los cuadrantes, viene dado por el signo que en éste tenga la ordenada y la abscisa. El signo de la tangente se obtiene por cociente. El signo de las restantes razones trigonométricas se obtiene a partir de éstas tres.

Ejemplo: ¿Cuáles son las razones trigonométricas del ángulo , sabiendo que

4

3

tg

=

y que está en el cuarto cuadrante?

Por estar en el cuarto cuadrante, se deduce que el seno y tangente son negativas.

5

4

cos

=

;

5

3

sen

=

Además: Ángulo 

0

90

180

270

 Seno 0 1 0 -1 Coseno 1 0 -1 0

Tangente 0 No existe 0 No existe

RELACIONES ENTRE LAS RAZONES DE CIERTOS ÁNGULOS

Se llama reducir al primer cuadrante a relacionar las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera con las razones de un ángulo agudo.

Ángulos complementarios:  y 90 -  ( y /2 - )

En la figura se observa que el valor del seno de  es igual al valor del coseno de 90- y que el valor del coseno de  es igual al valor del seno de 90-.

sen (90 - ) = cos  cos (90 - ) = sen  tg (90 - ) = cotg 

(6)

Ángulos suplementarios:  y 180 -  ( y  - )

En la figura se observa que los valores de los senos son iguales y los valores de los cosenos son opuestos.

sen (180 - ) = sen  cos (180 - ) = - cos  tg (180 - ) = - tg 

Ángulos que difieren en 180:  y 180 +  ( y  + )

Si dos ángulos difieren en 180º, sus senos y sus cosenos son opuestos y sus tangentes son iguales.

sen (180 + ) = - sen  cos (180 + ) = - cos  tg (180 + ) = tg 

Ángulos opuestos:  y -  o que suman 360º:  y 360º- ( y 2-)

sen (- ) = sen(360º-) = - sen  cos (- ) = cos(360º-) = cos  tg (- ) = tg(360º-) = - tg 

Si dos ángulos son opuestos o suman 360º, sus cosenos son iguales y sus senos y sus tangentes son opuestas.

(7)

EJERCICIOS

19.- Utilizando los valores de las razones de 30º, 45º y 60º, determina las razones trigonométricas siguientes:

a) sen 120º b) cos 210º c) tg 300º d) tg 225º e) sen 330º f) cotg 150º g) sec 240º h) cos(-60º) i) tg 210º j) sen(-45º) k) cosec 225º l) sec 315º m) sen 1215º n) sec 4440º o) tg(18750º)

Soluciones: a)

2

3

b)

2

3

c)

3

d) 1 e)

2

1

f)

3

g) -2 h)

2

1

i)

3

3

j)

2

2

k)

2

l)

2

m)

2

2

n)

2

o)

3

3

21.- Sin utilizar la calculadora, halla el valor exacto de las siguientes expresiones: a)

2

sen

3

5

sen

3

2

3

sen

4

2

sen

3

2

+

b)

6

8

3

4

6

7

cos

3

2

tg

tg

sen

+

+

c)

cos

4

cos

2

6

sen

4

+

+

d)

2

sen

2

6

sen

4

3

2

sen

3

2

+

e)

4

7

sen

4

3

cos

4

5

sen

+

f)

6

7

tg

3

4

tg

3

5

cos

+

g)

3

sen

3

2

4

cos

2

6

sen

6

cos

3

+

Soluciones: a) 3 b)

3

3

c) 2 d) 3 e)

2

2

f)

6

3

4

3 +

g) -2

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS

Observando la figura, se tiene: OB=1

OA = OB · cos = cos AB = OB · sen = sen

Expresamos el segmento OP de dos formas distintas:

OP = OB · cos(+) = cos(+) OP = OQ - PQ;

OQ = OA · cos = cos · cos; PQ = AB · cos(90º-) = sen · sen Igualando y sustituyendo, tenemos:

(

)

cos

cos

sen

sen

(8)

De esta se deduce:

(

+

)

=

cos

90

º

+

(

+

)

=

cos

(

90

º

+

)

+

=

cos

(

90

º

+

)

·cos

sen

(

90

º

+

)

·sen

=

sen

sen

·cos

cos

·sen

=

sen

·cos

+

cos

·sen

=

. Luego:

(

)

sen

·cos

cos

·sen

sen

+

=

+

(

)

(

(

)

)

·tg

tg

1

tg

tg

·cos

cos

·sen

sen

·cos

cos

·cos

cos

·cos

cos

·sen

cos

·cos

cos

·cos

sen

·sen

sen

·cos

cos

·sen

cos

·cos

sen

cos

sen

tg

+

=

+

=

+

=

+

+

=

+

Luego:

(

)

·tg

tg

1

tg

tg

tg

+

=

+

Como

+

=

+

(

)

, se tiene:

(

)

cos

cos

sen

sen

cos

=

+

(

)

sen

cos

cos

sen

sen

=

(

)

tg

tg

1

tg

tg

tg

+

=

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE

A partir de las razones trigonométricas de la suma de dos ángulos y haciendo =, se tiene:

2

sen

cos

2

sen

=

2 2

sen

cos

2

cos

=

2

tg

1

tg

2

2

tg

=

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD

Tenemos:



+

=

=

=

2

cos

2

sen

1

2

sen

2

cos

2

2

cos

cos

2 2 2 2

. Sumando y restando ambas igualdades:



=

=

+

2

·sen

2

cos

1

2

·cos

2

cos

1

2 2

. Despejando, obtenemos:

(9)

2

cos

1

2

sen

=

2

cos

1

2

cos

=

+

cos

1

cos

1

2

tg

+

=

Sumas y diferencias de senos y cosenos (transformación en productos)

Llamaremos A=+ y B=-, entonces:

2

B

A +

=

,

2

B

A −

=

. Sabemos que:

(

)

sen

·cos

cos

·sen

sen

+

=

+

(

)

sen

cos

cos

sen

sen

=

Sumando:

sen

(

+

)

+

sen

(

)

=

2

·sen

·cos

Restando:

sen

(

+

)

sen

(

)

=

2

·cos

·sen

También sabemos que:

(

)

cos

cos

sen

sen

cos

+

=

(

)

cos

cos

sen

sen

cos

=

+

Sumando:

cos

(

+

)

+

cos

(

)

=

2

·cos

·cos

Restando:

cos

(

+

)

cos

(

)

=

2

·sen

·sen

Sustituyendo por A y B, queda:

2

·cos

2

·sen

2

sen

sen

A

+

B

=

A

+

B

A

B

2

·sen

2

·cos

2

sen

sen

A

B

=

A

+

B

A

B

2

·cos

2

·cos

2

cos

cos

A

+

B

=

A

+

B

A

B

2

·sen

2

·sen

2

cos

cos

A

B

=

A

+

B

A

B

(10)

EJERCICIOS

26.- Si

5

3

sen

=

y cos  < 0, calcula:

a)

cos

(

+

)

b)

sen

2

c)

2

tg

d)

 −

2

sen

e)

tg

(

)

f)

 +

6

sen

Soluciones: a) 4/5 b) 24/25 c) -3 d) –4/5 e) –3/4 f)

10

4

3

3

30.- Sabiendo que

13

12

sen

=

y

7

24

tg

=

y que 270º <  < 360º y 180º <  < 270º, calcula:

(

+

)

sen

,

cos

(

+

)

y

tg

(

+

)

. Soluciones:

(

)

325

36

sen

+

=

;

(

)

325

323

cos

+

=

;

(

)

323

36

tg

+

=

33.- Simplifica las siguientes expresiones:

a)

º

20

cos

º

40

cos

º

20

sen

º

40

sen

+

+

b)

º

75

sen

º

195

sen

º

75

sen

º

195

sen

+

c)

º

40

sen

º

60

sen

º

40

cos

º

60

cos

Soluciones: a)

3

3

b)

3

c) –tg 50

(11)

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Son ecuaciones en las que aparecen razones trigonométricas actuando sobre un ángulo incógnita que, como en todas las ecuaciones, hay que despejar. Salvo que se pida expresamente, el valor de la incógnita se puede dar en grados o en radianes. Las soluciones que se obtengan deben ser comprobadas sobre la ecuación inicial, pues frecuentemente aparecen soluciones extrañas.

Para resolver una ecuación trigonométrica, se utilizan las fórmulas trigonométricas anteriores, aplicando el siguiente procedimiento:

a) Despejamos el mismo ángulo en todas las razones trigonométricas. b) Pueden presentarse dos casos:

• Que nos quede toda la ecuación en función de una razón trigonométrica.

• Que nos quede la ecuación como un producto de factores igualado a cero, de forma que en cada factor sólo haya una razón trigonométrica.

c) Escribimos la solución:

Dada una razón trigonométrica hay infinitos ángulos con esa misma razón.

Por ejemplo, sabiendo que

2

3

sen

=

, para hallar los ángulos que tienen esa razón primero se determinan los cuadrantes a los que puede pertenecer el ángulo “”, observando el signo de la razón trigonométrica. Como el seno es positivo, “” puede pertenecer al primero y al segundo cuadrante. Hay dos ángulos comprendidos entre 0º y 360º cuyo seno vale

2

3

, que son 60º y 180º-60º=120º. Si a cada uno de estos ángulos le sumamos un número entero de vueltas, obtenemos ángulos con el mismo seno. Por tanto, las soluciones son:

 = 60º + 360º·k =

3

+ 2K, con k  Z  = 120º + 360º·k =

3

2

+ 2K, con k  Z

(12)

SISTEMAS DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Ejemplo: Resuelve:

=

+

=

+

1

cos

cos

3

y

x

seny

senx



=

+

=

+

1

2

·cos

2

·cos

2

3

2

·cos

2

·sen

2

y

x

y

x

y

x

y

x

. Dividiendo miembro a miembro:

3

2

·cos

2

·cos

2

2

·cos

2

·sen

2

=

+

+

y

x

y

x

y

x

y

x

3

2

cos

2

sen

=

+

+

y

x

y

x

3

2

tg

x

+ y

=



+

=

=

+

=

+

=

+

=

+

solución

misma

y

x

y

x

I

y

x

y

x

120

360

480

240

2

)

(

120

60

2

. Entonces:

3

2

·cos

60

·sen

2

x

− y

=

3

2

·cos

2

3

·

2

x

− y

=

1

2

cos

x

− y

=

0

2

=

− y

x

 x – y = 0 (II)

Uniendo (I) y (II) se tiene:

60

0

120

=

=

=

=

+

y

x

y

x

y

x

(13)

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Un triángulo cualquiera está compuesto por seis elementos: tres lados y tres ángulos. Resolver un triángulo es hallar el valor de sus seis elementos, conocidos algunos de ellos. Para resolver triángulos rectángulos, tenemos en cuenta las siguientes relaciones entre sus elementos:

La suma de sus ángulos es: A + B + C = 180. Teorema de Pitágoras: 2 2 2

c

b

a

=

+

Razones trigonométricas básicas:

C

a

b

B

cos

sen

=

=

;

C

a

c

B

sen

cos

=

=

;

c

b

B =

tg

;

b

c

C =

tg

(14)

EJERCICIOS

2.- Resuelve los siguientes triángulos rectángulos:

a) a = 130 m B = 40º b) C = 55º c = 95 m c) a = 65 m b = 40 m d) c = 32 m B = 15º

Soluciones: a) C = 50º, b = 83,58 m, c = 99,58 m b) B = 35º, a = 115,97 m, b = 66,52 m c) A = 58,39º, B = 31,61º, c = 76,32 m d) C = 75º, a = 33,12 m, b = 8,57 m

3.- Calcula la altura de una torre sabiendo que su sombra mide 10 metros, cuando los rallos del sol forman un ángulo de 60º con el suelo.

Solución: 17,32 m

4.- Si la sombra de un poste es igual a su altura, ¿qué ángulo forman los rallos del sol con el horizonte?

Solución: 45º

5.- Las puntas de las ramas de un compás distan 7 cm y cada rama mide 12 cm. Halla el ángulo que forman las ramas del compás.

Solución: 33,92º

6.- Calcula la altura de un poste, sabiendo que dese un cierto punto del suelo el poste se ve bajo un ángulo de 30º y si nos acercamos 30 m, lo vemos bajo un ángulo de 45º.

Solución: 40,95 m

7.- Desde dos torres de observación separadas entre sí 2485 metros se ve un incendio forestal (entre ambas torres) bajo unos ángulos respectivos de 84º y de 72º. ¿A qué distancia de cada una de las torres se está produciendo el incendio?

Solución: 1879,37 m y 605,63 m

8.- Una estatua de 2,5 m está colocada sobre un pedestal. Desde un punto del suelo se ve el pedestal bajo un ángulo de 15º y la estatua bajo un ángulo de 40º. Calcula la altura del pedestal.

Solución: 1,13 m

9.- Halla la altura de la torre QR de pie inaccesible y más bajo que el punto de observación, con los datos de la figura.

Solución: 77,87 m

10.- Calcula la altura QR, cuyo pie es inaccesible y más alto que el punto donde se encuentra el observador, con los datos de la figura

(15)

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA

Teorema del seno:

En cada triángulo, el ángulo mayor tiene enfrente el lado mayor y el ángulo menor, tiene enfrente el lado menor.

Una expresión cuantitativa de este hecho es el teorema de los senos, que se enuncia así:

Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

C

c

B

b

A

a

sen

sen

sen

=

=

Demostración:

En un triángulo ABC trazamos una altura h desde el vértice A:

Los triángulos BHA y CHA son rectángulos. Por tanto, tenemos:

C

b

B

c

C

b

h

b

h

C

B

c

h

c

h

B

·sen

·sen

·sen

sen

·sen

sen

=



=

=

=

=

, de donde:

B

b

C

c

sen

sen

=

. Si trazáramos la altura desde el vértice C se obtendría:

B

b

A

a

sen

sen

=

. Aplicación:

Sirve para relacionar dos lados de un triángulo con los ángulos opuestos. Por tanto, se podrá resolver con él cualquier triángulo del que conozcamos dos ángulos y un lado, o dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

(16)

Teorema del coseno:

El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido:

A

bc

c

b

a

2

=

2

+

2

2

·cos

B

ac

c

a

b

2

=

2

+

2

2

·cos

C

ab

b

a

c

2

=

2

+

2

2

·cos

Demostración:

Supongamos que los ángulos A y C son agudos. El razonamiento es similar en los demás casos.

AH = c · cosA

HC = b – AH = b – c · cosA

Aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos AHB y BHC y teniendo en cuenta las igualdades anteriores, se obtiene:

(

b

c

A

)

h

b

c

A

b

c

A

h

HC

h

a

2

=

2

+

2

=

2

+

·cos

2

=

2

+

2

+

2

·cos

2

2

·

·

·cos

(

c

A

)

h

c

A

h

AH

h

c

2

=

2

+

2

=

2

+

·cos

2

=

2

+

2

·cos

2 Restando:

a

2

c

2

=

b

2

2

·

b

·

c

·cos

A

Por tanto:

a

2

=

b

2

+

c

2

2

bc

·cos

A

Aplicación:

El teorema de los cosenos sirve para relacionar los tres lados de un triángulo con uno de los ángulos del mismo. Por tanto, se podrá resolver con él cualquier triángulo del que se conozcan los tres lados, o bien un triángulo del que se conozcan dos lados y el ángulo comprendido.

Interpretación geométrica del Teorema del seno:

En todo triángulo, la razón de un lado al seno del ángulo opuesto (constante de proporcionalidad entre los lados de un triángulo y los senos de los ángulos opuestos) es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

R

C

c

B

b

A

a

2

sen

sen

sen

=

=

=

EJERCICIO

40.- Un ángulo de un triángulo vale 30. Calcula su lado opuesto sabiendo que el radio de la circunferencia circunscrita es 3.

(17)

ÁREA DE UN TRIÁNGULO

Veremos distintas expresiones del área de un triángulo:

1. En función de la base y la altura:

b

h

b

S

·

2

1

=

2. En función de dos lados y el ángulo comprendido:

C

a

h

a

h

C

·sen

sen

=

=

. Sustituyendo en el apartado 1:

S

b

·

a

·sen

C

2

1

=

3. En función de los lados. Fórmula de Herón.

C

a

b

S

·

·sen

2

1

=

, multiplicamos por 4:

C

a

b

S

2

·

·

·sen

4 =

, elevamos al cuadrado:

(

)

=

=

=

=

b

a

C

b

a

C

b

a

b

a

C

S

2

4

·

2

·

2

·sen

2

4

·

2

·

2

·

1

cos

2

4

·

2

·

2

4

·

2

·

2

·cos

2

16

(

)

2 2 2

·cos

·

·

2

·

·

4

b

a

b

a

C

=

, por el teorema del coseno:

(

2 2 2

)

2 2 2

·

·

4

b

a

a

+

b

c

=

, por diferencia de cuadrados:

(

2 2 2

)(

2 2 2

)

2

·

2

ba

+

a

+

b

c

ba

a

b

+

c

=

, por el cuadrado de la suma:

(

)

2 2

2

(

)

2

·

c

a

b

c

b

a

+

=

, por diferencia de cuadrados:

(

a

+

b

+

c

)(

a

+

b

c

)(

c

+

a

b

)(

c

a

+

b

)

=

·

·

·

Haciendo a + b + c = 2p y restando 2ª, 2b y 2c se obtiene: b + c – a = 2p –2a = 2 (p-a); a + c – b = 2p - 2b = 2 (p-b); a + b – c = 2p - 2c = 2 (p-c); Entonces:

=

2

·

2

(

2

(

2

(

)

16

S

2

p

p

c

p

b

p

a

(

p

a

)(

p

b

)(

p

c

)

p

S

=

2

c

b

a

p

=

+

+

p: semiperímetro

(18)

4. En función de los lados y el radio de la circunferencia circunscrita:

Por el teorema de los senos se tiene que:

=

=

R

c

C

R

C

c

2

sen

2

sen

R

abc

S

4

=

Problemas de resolución de triángulos:

Un triángulo queda determinado cuando se conocen: - tres lados.

- dos lados y el ángulo comprendido. - un lado y los ángulos adyacentes.

Resolver un triángulo es obtener, a partir de los tres datos conocidos que lo determinan, los otros tres restantes. Para ello se procede del siguiente modo:

1. Representar la figura.

2. Situar sobre la figura los datos conocidos.

3. Señalar sobre la figura los elementos que hay que hallar. 4. Utilizar las herramientas estudiadas.

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