CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Prof. A. Elizondo M.
Desde los inicios de la probabilidad, esta ha estado asociada con los juegos de azar, es de todos conocido que en Costa Rica el juego de la lotería nacional1, los números del 00 al 99 todos tienen la misma probabilidad
matemática de “un chance de 100 posibles” sin embargo los jugadores se inclinan por la compra de los números bajos que se asocian con las fechas de nacimiento de los jugadores, como si la divina fortuna les cobijase desde su nacimiento y este hecho que tiene una probabilidad de “un chance en aproximadamente 31 días” estuviese relacionado de alguna forma mágica con su destino... de igual forma, no es bien visto por los jugadores de lotería jugar el mismo número que salió en el sorteo anterior, es como pensar que la bolita guardara en su memoria que salió en el sorteo anterior y por ende su probabilidad de ser seleccionada nuevamente es menor en el sorteo inmediatamente siguiente, esto evidentemente no es así pues los eventos: sorteo 1 y sorteo 2 son independientes, es decir la probabilidad de uno no afecta al otro, enteder como funcionan los eventos probabilísticos es fundamental para deapegarse de las supersticiones.
Los principales responsables del desarrollo de la probabilidad son matemáticos como: Pascal, Fermat, Bayes, Tartaglia, Pacioli, Galileo, Cardano. Otros más profundizaron en los estudios de este nuevo campo de la matemática como Huygens y J. Bernoulli, no se podría dejar de mencionar al marqués de Laplace y a los rusos Chebychev, Markov, Lyapunov y al gran Kolmogorov. Es mi esperanza que una vez concluido este tema, seamos menos “aguizoteros” y más racionales respecto a los eventos probabilísticos.
Definición informal:
Si U es el universo asociado a una experiencia aleatoria A, denotaremos por P (A) a la “medida de certeza” que se asignará a la ocurrencia de A. Esta definición para P (A) satisface las siguientes condiciones:1 P (A) ≥ 0 para todo evento A de U .
2 P (A ∪ B) = P (A) + P (B) para cualquier par de eventos excluyentes o incompatibles. 3 P (U ) = 1 si U es el universo.
1Curiosidad:Hasta no hace mucho, las bolitas que utilizaron durante años en los sorteos de la Lotería Nacional eran bolitas talladas en madera del árbol Boj y traídas desde España, no todas tenían el mismo tamaño ni peso, lo cuál se pensaba que influía en que no todos los números tuviesen la misma probabilidad de ser seleccionados de la tómbola, sin embargo, estudios de la Universidad de Costa Rica, determinaron que las diferencias entre pesos no resultaban significativas en los números favorecidos en los sorteos.
CÁLCULO DE PROBABILIDADES:
Para realizar el cálculo de probabilidades, se recurre a dos métodos fundamentales que son: 1 Mediante experimentación. 2 Mediante el cálculo matemático.
En el estudio que haremos, se procederá desde el punto de vista del cálculo matemático.
Definición:
A todo procedimiento o regla para la asignación de valores a los eventos asociados a un universo que cumpla las tres condiciones anteriores, se le llamaLey de Probabilidadessobre el universo U y al valor P (A), asignado a A,probabilidad de A.
En el siglo XIX Laplace propuso que dado un universo U finito, es posible asignar a cada evento A que pertenezca al conjunto de partes de U, el valor
P (A) = Card(A) Card(U ) =
“casos favorables (al evento A)” “total de casos posibles”
Ejemplo 1 ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par cuando se lanza un dado? Solución:
P (“obtener un número par”) = 3 6 =
1
2, puesto que el número de casos favorables es tres (2, 4, 6) de los 6 posibles (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Ejemplo 2 Supongamos que 40 personas realizan una experiencia de lanzar una moneda de radio 1, y esta es lanzada treinta veces por cada persona, se contabiliza las veces que cae la moneda dentro de una malla de triángulos equiláteros de lado 4 (evento A) y esto se verificó en 21 veces. La frecuencia relativa del evento A sería de:
fR(A) = 21 30 · 40 = 21 1200 = 7 400 = 0, 0175
Se induce que la probabilidad del evento A es: P (A) = 0, 0175, es decir el evento se verifica en forma aproximada 7 de cada 400 veces, o lo que equivale decir, el evento tiene una probabilidad de 1,75 %.
Ejemplo 3 ¿Halle la probabilidad de seleccionar 4 ases de una baraja de 52 cartas? Solución: P (AS) = 4
52 = 1
Ejemplo 4 ¿Halle la probabilidad de seleccionar una carta de bastos de una baraja de 52 cartas?2 Solución: P (♠) = 13 52 = 1 4 = 0, 25 = 25 %
Ejemplo 5 Determínese (matemáticamente) la probabilidad de que al lanzar una moneda de radio 1, esta no caiga sobre una línea en una malla triangular formada por triángulos equiláteros de lado 4. Solución: √ 3 ` A B C O0 O 1 2 1
Para que la moneda caiga dentro de la malla triangular, la moneda debe tener su centro dentro del triángulo de lado `, de lo contrario intersecara al triángulo, tal como lo muestran la moneda de centros O y O0. Realicemos los siguientes cálculos:
1. Longitud del lado del triángulo pequeño: ` = 4 − 2√3 2. Área3 del triángulo ABC: A
4ABC = 42√3
4 = 4 √
3
3. Área del triángulo de lado `: A4 =
4 − 2√32√3 4 = 7 √ 3 − 12 4. P (A) = A4pequeño A4grande = 7 √ 3 − 12 4√3 = 7 − 4√3 4 ≈ 359 20000 = 1, 795 %
Esto siginifica que la moneda solo caerá dentro del triángulo unas 359 veces de cada 20000 intentos.
La probabilidad obtenida por este método es sensiblemente igual a la obtenida por el método experimental.
2Para problemas de cartas, usaremos la simbolgía usual:corazones: ♥; bastos:♠, tréboles: ♣; diamante:3 3El área de un triángulo equilátero de lado “L” se determina por la foŕmula A =L
2·√3 4
REPASO DE LOS CONCEPTOS DESDE UN PUNTO DE VISTA MÁS FORMAL:
1. Experiencia aleatoria:Es aquella experiencia cuyo resultado depende del azar. Ejemplo: Cuando se lanza un dado, ignoramos que cara quedará hacia arriba, es una experiencia aleatoria.
Nota: Una experiencia que no es aleatoria se le llama experiencia determinista, esto es cuando podemos predecir el resultado de una experiencia, como al lanzar un proyectil podemos determinar donde caerá con cierto grado de seguridad.
2. Evento aleatorio:Es un acontecimiento que ocurrirá o no dependiendo del azar.
Ejemplo: Los accidentes, viajes, número de clientes que acuden a un negocio, estos son sucesos aleatorios de estudio difícil pues dependen de muchas variantes, experiencias aleatorias más elementales son el lanzamiento de dados, extraer cartas de una baraja, sacar la bolita del premio mayor de la lotería, etc.
3. Espacio muestral o universo:Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria. Lo designaremos por la letra U .
Ejemplo:
a) Para una moneda se tiene: U = {cara, cruz} ó U = {C, +} b) Para un dado: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
4. Evento:Se llama evento a cualquier subconjunto de U . Los elementos de U se llaman eventos individuales o eventos elementales, también se pueden llamar casos.
Hay dos casos extremos en los eventos:
a) Evento imposible: Es un evento que no puede darse, es como obtener un 7 cuando se lanza un dado, o que se obtenga un 2 y un 5 a la vez. La probabilidad de este evento es: 0.
b) Evento seguro: Es un suseso que no podría no darse, es como cuando se obtiene cara o cruz al lanzar una moneda.La probabilidad de este evento es: P ({C, +}) = 1. Al conjunto de todos los posibles eventos de una experiencia aleatoria lo llamaremos S. Si U tiene n elementos, entonces el número de eventos de S es 2n.
Por ejemplo para una moneda se tiene que ha de tener 22 = 4 eventos que son: S = {∅, {C}, {+}, {C, +}} Así el evento ∅, es un evento vacío o imposible, los eventos {C} y {+} son eventos individuales mientras que {C, +} es un evento seguro.
a) P (∅) = 0, que es la probabilidad de que no salga ni cara ni cruz.(suceso o evento imposible)
b) P ({C}) = 12, que es la probabilidad de que salga cara. c) P ({+}) = 1
2, que es la probabilidad de que salga cruz.
d ) P ({C, +}) = 1, que es la probabilidad de que salga cara o cruz.(evento seguro)
OPERACIONES CON EVENTOS Si A y B son eventos, entonces:
a) A ∪ B corresponde a la unión de los eventos A y B, formado por todos los elementos de A y B.
b) A ∩ B corresponde a la intersección de los eventos A y B, formado por todos los elementos que son simultáneamente de A y B.
c) A − B corresponde a la diferencia de los eventos A y B, formado por todos los elementos de A y no B.
d ) Ac= U − A se llama evento complementario de A y consiste en todos los elementos de U que no están en A.
e) Dos eventos A y B son incompatibles o excluyentes cuando no tienen ningún elemento en común, es decir A ∩ B = ∅.
PROPIEDADES DE LAS PROBABILIDADES
AXIOMAS:
1 Para todo evento A se tiene que P (A) ≥ 0.
2 Para dos sucesos incompatibles o excluyentes, es decir dos eventos tales que A∩B = ∅, se tiene que P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
3 P (U ) = 1 TEOREMAS: a) P (Ac) = 1 − P (A). b) P (∅) = 0 c) Si A ⊂ B entonces P (B) = P (A) + P (B − A) d ) Si A ⊂ B entonces P (A) ≤ P (B)
e) Si A1, A2, . . . An, son eventos incompatibles o excluyentes dos a dos, o sea son eventos que no tienen ningún elelmento en común, entonces
P (A1∪ A2 ∪ · · · ∪ Am) = P (A1) + P (A2) + · · · + P (An) f ) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
g ) Si el espacio muestral o universo U es finito, y un evento es A = {x1, x2, x3, . . . xn}, se tiene entonces que P (A) = P (x1) + P (x2) + · · · + P (xn)
LEY DE LAPLACE4
Si U = {x1, x2, . . . , xn} y P (x1) = P (x2) = · · · = P (xn), entonces: P (A) = número de elementos de A
n O se puede interpretar como:
P (A) = número de “casos favorables” a A número de “casos posibles”
Son instrumentos aleatorios de Laplace, los dados balanceados, una moneda, una baraja. etc... pues los sucesos individuales de estos son equiprobables, esto no sucede siempre, por ejemplo cuando se lanza un chinche, este solo podría caer de dos formas posibles, sin embargo estos dos sucesos no tienen una probabilidad del 0, 5 para cada caso.
DEMOSTRACIÓN DE ALGUNAS PROPIEDADES:
Si A es un evento cualquiera definido en un universo U , se tiene que:
Denotaremos por Ac al evento complementario del evento A, entonces A ∩ Ac = ∅ y que A ∪ Ac= U . De acuerdo con el axioma 2 se tiene que:
P (A ∪ Ac) = P (A) + P (Ac) Además, en virtud del axioma 3 :
P (A ∪ Ac) = P (U ) = 1 De las ecuaciones anteriores se deduce que: P (Ac) = 1 − P (A)
Aplicando el axioma 1 , como: P (Ac) ≥ 0 ⇒ 1 − P (A) ≥ 0 ⇒ P (A) ≤ 1.
Nota 1 La probabilidad de un evento siempre es a la sumo igual a 1
Demostración de la regla para la probabilidad de la unión de eventos:
Probabilidades totales:
Si A y B son dos eventos cualesquiera (A, B ∈ P(U )), entonces P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)Representación del evento de intersección y la descomposición de un evento A:
A B U A ∩ B A B U A ∩ B A ∩ Bc
Demostración: Debido a que A se puede expresar como la unión de dos eventos incompa-tibles a saber: A ∩ Bc y A ∩ B, se obtiene que:
P (A) = P (A ∩ Bc) + P (A ∩ B) y similarmente P (B) = P (B ∩ Ac) + P (A ∩ B), además A ∪ B se puede representar como la unión de tres eventos mutuamente excluyentes: A ∩ Bc, B ∩ Ac y A ∩ B, por lo cual, aplicando el axioma 2 se obtiene:
P (A ∪ B) = P (A ∩ Bc) + P (B ∩ Ac) + P (A ∩ B)
= P (A ∩ Bc) + P (B ∩ Ac) + P (A ∩ B) + P (A ∩ B) − P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Nota 2 Un concepto importante y que no hemos considerado, es la probabilidad de eventos independientes, definamos primero que entendemos por evento independiente:
Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia del evento A no cambia la probabilidad del evento B. Cuando dos eventos sean independientes, estos satisfacen la propiedad:
P (A ∩ B) = P (A)P (B)
y viceversa, si se da esta propiedad, los eventos serán independientes. En caso de que los eventos estén condicionados, se habla de probabilidad condicional, se define de esta forma: Si el evento A está condicionado al evento C, se escribe: P (A/C) y se calcula por medio de: P (A/C) = P (A ∩ C)
Ejemplo 6 En una baraja de 40 cartas se han suprimido varias cartas, entre las que quedan se tienen las siguientes probabilidades al ser extraídas: P (Rey) = 0, 15, P (Bastos) = 0,3, P (carta que no sea rey ni bastos) = 0,6.
1. ¿Está entre ella el rey de bastos? 2. ¿Cuántas cartas hay?
Solución:
P (rey ∪ bastos) = 1 − P (no rey ni bastos) = 1 − 0,6
= 0,4 Luego:
0,4 = P (rey) + P (bastos) − P (rey ∩ bastos) = 0,15 + 0,3 − P (rey ∩ bastos)
De aquí: P (rey ∩ bastos) = 0,05 = 1
20, se deduce que la probabilidad de obtener un rey de bastos es de 0,05 y que hay 20 cartas.
Ejemplo 7 Si en una bolsa se tienen las siguientes bolas numeradas y pintadas:
1 2 3 4 5 6 7 8
Determine: P (par/verde), P (par/rojo), P (par/azul) Solución:
1. P (par/verde) = P (par y verde)P (verde) = 13 Hay una bola par entre las tres verdes. 2. P (par/rojo) = P (par y rojo)P (rojo) = 24 = 12 Hay dos pares rojas entre las cuatro rojas. 3. P (par/azul) = P (par y azul)P (azul) = 11 = 1 La única bola azul es par.
Nota 3 P (A/C) mide la proporción de veces que ocurre A de entre las que ocurre C.
Ejemplo 8 Sean A y B dos eventos de un mismo espacio muestral tales que P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 6 y P (A ∪ B) = 0, 9. Justifique si A y B son eventos independientes.
Ejemplo 9 Considere dos eventos A y B tales que P (A) = 1 2, P (B) = 1 3 y P (A ∪ B) = 3 4. Determine P (A ∩ B), P (A ∩ Bc) y P (Ac∩ Bc).
Solución: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) ⇒ P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) − P (A ∪ B) = 12 +13 − 3
4 = 1 12
Dado que A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ Bc) y (A ∩ B) ∩ (A ∩ Bc) = ∅, entonces P (A) = P (A ∩ B) + P (A ∩ Bc) ⇒ P (A ∩ Bc) = P (A) − P (A ∩ B) = 1 2 − 1 12 = 5 12.
Para calcular P (Ac ∩ Bc), nótese que Ac ∩ Bc = (A ∪ B)c, de donde: P (Ac ∩ Bc) = P ((A ∪ B)c) = 1 − P (A ∪ B) = 1 − 34 = 14
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1 En un instituto se ofertan tres horarios M, T y N y dos idiomas excluyentes, inglés y francés. La modalidad M es elegida por un 50 % de los alumnos, la T por un 30 % y la N por un 20 %. También se conoce que han elegido inglés el 80 % de los alumnos de la modalidad M, el 90 % de la modalidad T y el 75 % de la N, habiendo elegido francés el resto de los alumnos.
1. ¿Qué porcentaje de estudiantes del instituto han elegido francés?
2. Si se elige al azar un estudiante de francés, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la modalidad M?
Solución:
1. P (francés) = 0, 18 2. P (A/francés) = 5
9
Ejercicio 2 Tres bolsas idénticas contienen bolas de cristal: la primera, 6 lisas y 4 rugosas; la segunda, 5 lisas y 2 rugosas; y la tercera, 4 lisas y 7 rugosas. Determine:
1. La probabilidad de que al extraer una bola al azar de una bolsa al azar sea rugosa. 2. Se ha hecho una extracción de una bola al azar de una bolsa al azar y ha resultado ser
lisa. ¿cuál es la probabilidad de que haya sido extraída de la primera bolsa?
3. En la extracción anterior se nos ha caído una bola y se ha roto. ¿cuál es la probabilidad de que en una nueva extracción al azar de una bolsa al azar salga rugosa?
1. P (Rugosa) = 0, 44 2. P (A/lisa) = 0, 36
3. Sabemos que la bola rota es lisa.
a) Si la bola es de la bolsa A: P (Rugosa) = 274 b) Si la bola es de la bolsa B: P (Rugosa) = 1
9 c) Si la bola es de la bolsa C: P (Rugosa) = 7
30
Luego P (Rugosa) = 0, 49
Ejercicio 3 En un esperimento aleatorio, la probabilidad de un evento A es dos veces la probabilidad de otro evento B, y la suma de la probabilidad de A y la probabilidad del evento complementario del evento B es 1, 3. Se sabe además que la probabilidad de la intersección de A y B es 0, 18. Calcule la probabilidad de que:
1. Se verifique el evento A o se verifique el evento B.
2. Se verifique el evento complementario de A o se verifique el evento complementario de B.
3. ¿Son independientes los eventos A y B? Solución:
1. P (A ∪ B) = 0, 72 2. P (Ac∪ Bc) = 0, 82 3. Si
Ejercicio 4 Se dispone de tres monedas. La primera de ellas está trucada, de forma que la probabilidad de obtener cara es 0, 4. La segunda moneda tiene dos cruces y la tercera moneda también está trucada de modo que la probabilidad de obtener cara es 0, 6. Se pide:
1. Escribir el espacio muestral correspondiente al lanzamiento de estas tres monedas, suce-sivamente y en el orden indicado.
2. La probabilidad de obtener exactamente dos cruces. 3. La probabilidad del evento A={cara, cruz,cara}
4. La probabilidad de obtener, al menos una cara. Solución:
1. E = {CXC, CXX, XXC, XXX} 2. P (XX) = 0, 52
3. P (“al menos una cara”) = 0, 76
Ejercicio 5 Tres máquinas A, B y C, producen el 50 %, el 30 % y el 20 % respectivamente, del total de los objetos de una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son respectivamente 3 %, el 4 % y el 5 %.
1. Si se selecciona un objeto al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el objeto seleccionado sea defectuoso?
2. Suponiendo que es defectuoso, ¿cual es la probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina A?
Solución:
1. P (defectuoso) = 0, 037 2. P (A/defectuoso) = 0, 405
Ejercicio 6 En el experimento de tirar sucesivamente tres monedas, sea el suceso A sacar más caras que cruces, y el suceso B, sacar una o dos cruces. Hallar todos los casos que integran el suceso o evento A ∪ B.
Solución:EA∪B= {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC}
Ejercicio 7 La probabilidad de que un cazador cace una pieza es 1
3. Si dispara tres veces, ¿cual es la probabilidad de cazar, al menos, una pieza?
Solución: 19 27
Ejercicio 8 Una urna contiene dos monedas de plata y tres de cobre. Otra urna contiene cuatro monedas de plata y tres de cobre. Si se elige una urna al azar y se extrae una moneda al azar. ¿cuál es la probabilidad de que la moneda extraída sea de plata?
Ejercicio 9 Un dado está trucado de manera que son iguales las probabilidades de obtener 2,4,ó 6. También son iguales las probabilidades de sacar 1,3 ó 5 y la probabilidad de obtener 2 es el doble que la probabilidad de sacar un 1. Deduzca razonadamente, ¿cuál es la probabilidad de que, al lanzar el dado dos veces, se obtenga una suma de puntos igual a 7?
Solución: P (“obtener 7”) = 4 27
