EC 1311 Temario 15 – Resistencia pdf

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(1)Resistencia Densidad de corriente y la ley de Ohm Corriente de convección. Figura 1 Corriente de conducción ocasionada por el movimiento de deriva de portadores de carga a través de una superficie. Considere el movimiento permanente de algún tipo de portadores de cargas, cada uno con una carga q (negativa en el caso de electrones), con velocidad u a través de un elemento de superficie ∆a, como se ilustra en la figura 1. Si N es el número de portadores de carga por unidad de volumen, entonces en el tiempo ∆t cada portador se mueve una distancia u∆t, y la cantidad de carga que pasa par la superficie ∆a es  Q=Nq u⋅1n  a  t. (C).. (1). Puesto que la corriente es la razón de cambio de la carga con el tiempo, tenemos I=. Q =Nq U⋅1 n  a=Nq u⋅ a t. (A). (2). En la ecuación (2) hemos escrito  a=1n  a como cantidad vectorial. Es conveniente definir una función puntual vectorial, la densidad de corriente de volumen o simplemente densidad de corriente, J, en amperes por metro cuadrado. J =Nq u. (Am-2). (3). de manera que podemos escribir la ecuación (2) como  I =J⋅ a. (4). La corriente total I que fluye por una superficie arbitraria S es entonces el flujo del vector J por S:.

(2) I =∫ J⋅d a. (A).. S. (5). De hecho, el producto Nq es la carga libre por unidad de volumen, así que podemos reescribir la ecuación (3) como J =v u. (Am-2),. (6). que es la relación entre la densidad de corriente de convección y la velocidad del portador de carga.. Corriente de conduccion En el caso de las corrientes de conducción puede haber más de un tipo de portador de carga (electrones, huecos, iones) moviéndose con distintas velocidades. Debemos generalizar la ecuacion (3) para que se lea como J =∑ N i q i u i i. (Am-2).. (7). Las corrientes de conducción son el resultado del movimiento de deriva de los portadores de carga bajo la influencia de un campo eléctrico aplicado. Los átomos permanecen neutrales (ρv = 0). Es posible justificar de manera analítica que, para la mayoría de los materiales conductores, la velocidad de deriva media es directamente proporcional a la intensidad de campo eléctrico. En el caso de los conductores metálicos escribimos u e =−e E (ms-1),. (8). donde µe es la movilidad del electrón, medida en (m2V-1. s). La movilidad del electrón en el cobre es de 3.2 x 10-3 (m2V-1s), en el aluminio es de 1.4 x 10-4 (m2V-1s) y en la plata es de 5.2 x 10-3 (m2V-1s). A partir de las ecuaciones (3) y (8) obtenemos J =−e e E. (9). donde ρe = -Ne es la densidad de carga de los electrones en movimiento y es una cantidad negativa. La ecuación (9) puede reescribirse como J = E. (Am-2),. (10). donde la constante de proporcionalidad, =−e e , es un parámetro constitutivo macroscópico del medio denominado conductividad. La ecuación (10) es la forma puntual de la ley de Ohm. En el caso de los semiconductores, la conductividad depende de la concentración y de la movilidad tanto de los electrones como de los huecos:.

(3) =−e e h h ,. (11). donde el subíndice h denota un hueco. En terminos generales e ≠h . Los valores típicos para el germanio son µe = 0.38, µh = 0.18; para el silicio, µe = 0.12, µh = 0.03 (m2V-1 s). La ecuación (10) es una relación constitutiva de un medio conductor. La unidad de σ es amperes por volt-metro (AV-1 m) o siemens por metro (Sm-1). El cobre, el conductor más común, tiene una conductividad de 5.80 x 107 (Sm-1). Por otra parte, la conductividad del germanio es aproximadamente de 2.2 (Sm-1) y la del silicio es de 1.6 x 10-3 (Sm-1). La conductividad de los semiconductores depende en gran medida de la temperatura (aumenta con ésta). El caucho duro, un buen aislante, tiene una conductividad de 10-15 (Sm-1). El inverso de la conductividad se denomina resistividad y se mide en ohms por metro (Ωm). Preferimos usar la conductividad; no hay una razón de peso para usar a la vez la conductividad y la resistividad. De la ley de Ohm de la teoría de circuitos recordamos que el voltaje V12 a través de una resistencia R, por donde fluye una corriente I del punto 1 al punto 2, es igual a RI, es decir, V12 = RI.. (12). Normalmente R es un pedazo de material conductor de longitud determinada; V12 es el voltaje entre dos terminales 1 y 2; e I es la corriente total que fluye del terminal 1 al terminal 2 a través de una sección transversal finita. La ecuación (12) no es una relación puntual.. Figura 2 Conductor homogéneo con sección transversal constante Ahora utilizaremos la forma puntual de la ley de Ohm, la ecuación (10), para derivar la relación voltaje-corriente de una muestra de material homogéneo con conductividad σ, longitud l y seccion transversal uniforme S, como se ilustra en la figura 2. En este material conductor, J = σE, donde J y E tienen la dirección del flujo de corriente. La diferencia de potencial o voltaje entre los terminales 1 y 2 es V12 = El o.

(4) E=. V 12 l. (13). La corriente total es I =∫ J⋅d a S. o J=. I A. (14). Sustituyendo las ecuaciones (13) y (14) en la ecuacion (10) obtenemos V I = 12 , S l o.  . V 12=. l I =RI A. (15). que es lo mismo que la ecuación (12). A partir de la ecuación (15) obtenemos la fórmula de la resistencia de una muestra recta de material homogéneo con sección transversal uniforme para corriente constante (corriente continua): R=. l A. (Ω). (16). La conductancia, G, o el inverso de la resistencia, es útil para combinar resistencias en paralelo. La unidad de conductancia es (Ω-1) o siemens (S). 1 A G= = R l. (S).. (17). Ecuación de continuidad y ley de la corriente de Kirchhoff El principio de conservación de carga es uno de los postulados fundamentales de la física. Las cargas eléctricas no se crean ni se destruyen; todas las cargas, ya estén en reposo o en movimiento, deben considerarse en todo momento. Considere un volumen arbitrario V limitado por una superficie S. Dentro de la región existe una carga neta Q. Si fluye una corriente I a traves de la superficie hacia fuera de la región, la carga en el interior del volumen debe disminuir con una razón igual a la corriente. A la inversa, si fluye una corriente neta a través de la superficie hacia el interior de la region, la carga en.

(5) el interior del volumen debe aumentar con una razón igual a la corriente. La corriente que sale de la región es el flujo total de salida del vector de densidad de corriente a través de la superficie S. Tenemos I =∮ J⋅d a=− S. dQ d =− ∫ v dv dt dt V. (18). Podemos invocar el teorema de la divergencia para convertir la integral de superficie de J en la integral de volumen de ∇⋅J . Para un volumen estacionario tenemos. ∫ ∇⋅J dv=−∫ V. V. ∂ v dv ∂t. (19). Al pasar la derivada temporal de ρv dentro de la integral de volumen, es necesario usar la diferenciación parcial porque ρv puede ser una funcion del tiempo y de las coordenadas espaciales. Los integrandos deben ser iguales, ya que la ecuación (19) debe ser válida sin importar la elección del volumen. Tenemos entonces ∇⋅J =−. ∂ v ∂t. (Am-3).. (20). Esta relación puntual derivada del principio de conservación de carga se denomina ecuación de continuidad. En el caso de corrientes estacionarias, la densidad de carga no cambia con el tiempo, ∂ v /∂ t=0 . La ecuación (20) se convierte en ∇⋅J =0. (21 ). Por consiguiente, las corrientes eléctricas estacionarias tienen divergencia nula, o sea, son solenoidales. La ecuación (21) es una relación puntual y también es válida en el punto donde ρv = 0 (sin fuente de flujo). Esto quiere decir que las líneas de flujo de las corrientes estacionarias se cierran sobre si mismas, a diferencia de las líneas de la intensidad de campo electrostático, que se originan y terminan en cargas. La ecuación (21) nos conduce a la siguiente forma integral para cualquier superficie cerrada:. ∮ J⋅d a=0 S. (22). que puede escribirse como. ∑ I j =0 j. (23). La ecuación (23) es una expresión de la ley de la corriente de Kirchhoff. Establece que la suma algebraica de todas las corrientes que salen de una unión en un circuito eléctrico es cero..

(6) Vimos que las cargas introducidas en el interior de un conductor se moverán a la superficie del conductor y se redistribuirán de manera que ρv = 0 y E = 0 en el interior, en condiciones de equilibrio. Ahora podemos demostrar ésto y calcular el tiempo necesario para llegar al equilibrio. Si combinamos la ley de Ohm, la ecuación (10), con la ecuación de continuidad y suponemos una conductividad σ constante, tenemos  ∇⋅E=−. ∂ v . ∂t. (24). En un medio simple, ∇⋅E=v / , y la ecuación (24) se convierte en ∂ v    =0 ∂t  v. (25). La solución de la ecuación (25) es v =0 e− /t. (Cm-3). (26). donde ρ0 es la densidad de carga inicial en t = 0. Tanto ρv como ρ0 pueden ser funciones de las coordenadas espaciales, y la ecuación (26) nos dice que la densidad de carga en un lugar determinado disminuirá exponencialmente con el tiempo. Una densidad de carga inicial ρ0 disminuinirá a 1/e o 36.8% de su valor en un tiempo igual a =.  . (s).. (27). La constante de tiempo τ se conoce como tiempo de relajación. En un buen conductor, como el cobre, para el cual σ = 5.80 x 107 (Sm-1), ε = ε0 = 8.85 x 10-12 (Fm-1), τ es igual a 1.53 x 10-19 (s), un tiempo realmente muy breve.. Disipación de potencia y ley de Joule Antes indicamos que, macroscópicamente, los electrones conductores en un conductor bajo la influencia de un campo eléctrico tienen un movimiento de deriva. A nivel microscópico, estos electrones chocan con los átomos en sus posiciones en la red. Por lo tanto, se transmite energía del campo eléctrico a los átomos por medio de la vibración térmica. El trabajo ∆w realizado por un campo eléctrico E para mover una carga q una distancia ∆l es q E⋅ l , que corresponde a una potencia p= lim t 0. w =q E⋅u t. (28). donde u es la velocidad de deriva. La potencia total suministrada a todos los portadores.

(7) de carga en un volumen dv es. . . dP=∑ pi =E⋅ ∑ N i qi u i dv i. i. que, por virtud de la ecuación (7), es dP= E⋅J dv o dP =E⋅J dv. (Wm-3).. (29). La función puntual E⋅J es entonces una densidad de potencia en condiciones de corriente estacionaria. Para un volumen V, la potencia eléctrica total convertida en calor es P=∫ E⋅J dv V. (W).. (30). Esto se conoce como ley de Joule. (Observe que la unidad de P en el SI es el watt, no el joule, que es la unidad de energía o trabajo.) La ecuación (29) es la correspondiente relación puntual. En un conductor de sección transversal constante, dv = da dl, con dl medido en la dirección J. La ecuación (30) puede escribirse como P=∫ E dl ∫ J da=VI , L. S. donde I es la corriente en el conductor. Puesto que V = RI, tenemos P= I 2 R. (W).. (31). Por supuesto, la ecuación (31) es la conocida expresión de la potencia óhmica, que representa el calor disipado en la resistencia R por unidad de tiempo.. Ecuaciones para la densidad de corriente estacionaria Como hemos visto, el vector densidad de corriente J es una cantidad básica en el estudio de las corriente eléctricas estacionarias. De acuerdo con el teorema de Helmholtz, para la descripción de J se requiere la especificación de su divergencia y su rotacional. En el caso de corrientes estacionarias, ∇⋅J =0 , como en la ecuación (21). La ecuación del rotacional se obtiene combinando la ley de Ohm (J = σE) con ∇×E=0 ; es decir, ∇× J /=0 . A continuación se presentan la forma diferencial y la forma integral correspondientes a las ecuaciones que rigen la densidad de corriente estacionaria..

(8) Ecuaciones para la densidad de corriente estacionaria Forma diferencial Forma integral ∮ J⋅d a=0 ∇⋅J =0. . J ∇× =0 . S. 1. ∮  J⋅d l =0 C. Recuerde que en una superficie de separación entre dos medias diferentes: (i) un campo con divergencia nula tiene una componente normal continua (D1n = D2n); y (ii) un campo irrotacional tiene una componente tangencial continua (E1t = E2t). La consecuencia de (i) y la ecuación (32) es J 1 n= J 2 n. (Am-2).. (34). En la superficie de separación de dos medios óhmicas con conductividades σ1 y σ2, la consecuencia de (ii) y la ecuación (33) es J 1t J 2 t = , 1  2 o J 1t 1 = . J 2t 2. (35). Antes, analizamos el procedimiento para hallar la capacitancia entre dos conductores separados por un medio dieléctrico. Estos conductores pueden ser de forma arbitraria, como se ilustró antes, reproducida aqui como la figura 3. La fórmula básica de la capacitancia puede escribirse en términos de las cantidades de campo eléctrico como. Figura 3 Dos conductores en medio de un dieléctrico con pérdidas.

(9) ∮ D⋅d a ∮  E⋅d a Q C= = S =S , V −∫ E⋅d l −∫ E⋅d l L. (36). L. donde la integral de superficie del numerador se aplica a una superficie que encierra el conductor positivo, y la integral de línea del denominador va desde el conductor negativo (potencial menor) hasta el positivo (potencial mayor). Cuando el medio dieléctrico tiene pérdidas (tiene una conductividad muy pequeña pero distinta de cero), fluirá una corriente del conductor positivo al negativo y se establecerá en el medio un campo de densidad de corriente. La ley de Ohm, J = σE, asegura que las líneas de flujo de J y E serán las mismas en un medio isotrópico. La resistencia entre los conductores es V R= = I. −∫ E⋅d l L. =. −∫ E⋅d l L. ∮ J⋅d a ∮  E⋅d a S. (37). S. donde las integrales de línea y superficie se aplican a las mismas L y S que en la ecuación (36). Al comparar las ecuaciones (36) y (37) se observa una relación interesante: RC =. C  = G . (38). La ecuación (38) es válida si ε y σ del medio tienen la misma dependencia espacial o si el medio es homogeneo (independiente de las coordenadas espaciales). En estos casos, si se conoce la capacitancia entre dos conductores, podemos obtener la resistencia (o la conductancia) directamente de la razon ε/σ, sin tener que hacer nuevos cálculos. En algunos casos, los problemas electrostáticos y los de corriente estacionaria no son exactamente análogos, incluso cuando las configuraciones geométricas son las mismas. Esto se debe a que el flujo de corriente puede estar confinado de forma muy estricta a un conductor (el cual tiene una conductividad muy grande en comparación con la del medio que lo rodea), mientras que por lo general no es posible confinar el flujo eléctrico a una muestra de dieléctrico de dimensiones finitas. El intervalo de constantes dieléctricas de los materiales disponibles es muy limitado y los efectos marginales de flujo en los bordes del conductor reducen la precisión del cálculo de la capacitancia. El procedimiento para calcular la resistencia de una muestra de material conductor entre superficies equipotenciales (o terminales) determinadas es el siguiente: 1- Elija un sistema de coordenadas apropiado para la geometría especificada. 2- Suponga una diferencia de potencial V0 entre los terminales del conductor. 3- Encuentre la intensidad de campo electrico E en el conductor. (Si el material es homogeneo, con conductividad constante, el método general consiste en resolver la ecuación de Laplace, ∇ 2 V =0 , para V en el sistema de coordenadas elegido y luego obtener E=−∇ V ).

(10) 4- Calcule la corriente total I =∫ J⋅d a=∫  E⋅d a , S. S. donde S es el area de la sección transversal por donde fluye I. 5- Calcule la resistencia R usando el cociente V0/I. Cuando la geometría es tal que podemos determinar J fácilmente a partir de la corriente total I, podemos comenzar la resolución suponiendo un valor de I. A partir de I se encuentran J y E = J/σ. La diferencia de potencial V0 se determina a partir de la relacion V 0 =−∫ E⋅d l donde la integración es desde el terminal de potencial bajo hasta el terminal de potencial alto. La resistencia R = V0/I es independiente de la I supuesta, la cual se cancelará en el proceso..

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