Convolución de medidas radonianas con valores en álgebras de Banach separables

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(1)Vol. XX, No 1, Junio (2012) Matemáticas: 49–62. Matemáticas: Enseñanza Universitaria c Escuela Regional de Matemáticas Universidad del Valle - Colombia. Convolución de medidas radonianas con valores en álgebras de Banach separables Liliana Posada Vera. Guillermo Restrepo. Universidad del Valle. Universidad del Valle. Recibido Ago. 9, 2011. Aceptado Feb. 10, 2012. Abstract Let S be a topological group, and (s, t) 7→ θ(s, t) = st from S × S in S the group multiplication. If µ and ν are Radon measures defined on the σ-algebra A of Borel sets in S with values in a separable Banach algebra X, we will define the convolution product µ ∗ ν as a Radon measure defined on the Borel subsets of S with values in X. The definition of µ ∗ ν is closely related to the linearization of the bilinear map m : X × X → X, (x, y) 7→ m(x, y) = xy (product in X). Our definition of µ ∗ ν for Radon measures resembles that given by Kawabe in [4] for τ -smooth measures. Keywords: Radon measures, product Radon measure, convolution of Radon measures. MSC(2000): 28C05 Resumen Sea S un grupo topológico y (s, t) 7→ θ(s, t) = st de S × S en S la operación multiplicación. Si µ y ν son medidas radonianas definidas en la σ-álgebra A de los conjuntos borelianos con valores en un álgebra de Banach separable X, definiremos el producto de convolución µ ∗ ν como una medida radoniana definida en los subconjuntos borelianos de S con valores en X. La definición µ ∗ ν está ı́ntimamente relacionada con la linealización de la función bilineal m : X × X → X, (x, y) 7→ m(x, y) = xy (producto en X). Nuestra definición de µ ∗ ν para medidas radonianas se parece a la dada por Kawabe en [4] para medidas τ -suaves. Palabras y frases claves: medidas radonianas, producto de medidas radonianas, convolución de medidas radonianas.. 1. Introducción. Sea (T, τ ) un espacio topológico hausdorffiano. La σ-álgebra generada por la colección de los conjuntos abiertos, llamada σ-álgebra de los conjuntos borelianos de T , se denotará por bor(T ). Una medida boreliana es cualquier función σ-aditiva definida en la σ-álgebra bor(T ) de los conjuntos borelianos con valores en [0, ∞]. Una medida boreliana µ en T se llama radoniana (medida de Radón), si satisface las siguientes condiciones: rad 1) La medida de cualquier abierto es el extremo superior de las medidas de los subconjuntos compactos contenidos en él. Es decir si G ∈ ab(T ), entonces µ(G) = sup{µ(K) : G ⊇ K compacto} (Propiedad de la regularidad interior)..

(2) 50. L. Posada y G. Restrepo. rad 2) La medida de cualquier conjunto boreliano es el extremo inferior de las medidas de los abiertos que lo contienen. Es decir, si B ∈ bor(T ), entonces µ(B) = ı́nf{µ(G) : B ⊆ G abierto} (Propiedad de la regularidad exterior). rad 3) µ es localmente finita. Es decir, todo t ∈ T posee una vecindad V tal que µ(V ) < ∞. La propiedad (rad 3) implica que la medida de todo conjunto compacto es finita. La propiedad de regularidad interior es válida para todo boreliano de medida finita. Es decir, si B ∈ bor(T ) y µ(B) < ∞, entonces µ(B) = sup{µ(K) : K ⊆ B, K compacto}. La definición de medida radoniana que hemos adoptado es la definición R2 en [9] página 13. Sean S y T espacios topológicos y f : S → T una función boreliana. Si µ es una medida boreliana en S, su imagen por f , es la medida boreliana ν definida por ν(B) = µ(f −1 (B)), B ∈ bor(T ). Denotaremos por µf o fµ a la imagen de µ por f . En el caso en que S y T son espacios topológicos hausdorffianos, µ es una medida radoniana finita y f es una función continua entonces fµ es una medida radoniana finita en bor(T ). En [3], Gómez y Restrepo demostraron que si µ y ν son medidas radonianas en los espacios topológicos hausdorffianos S y T respectivamente, entonces existe una medida radoniana única λ en bor(S × T ) tal que λ(A × B) = µ(A)ν(B) para todo A ∈ bor(S) y todo B ∈ bor(T ). Llamaremos medida radoniana producto a la medida λ y la denotaremos por λ = µ ⊗ ν. Adicionalmente mostraron un teorema de Fubini para medidas radonianas que se enuncia a continuación: Sean S y T espacios topológicos hausdorffianos, µ y ν medidas radonianas finitas en bor(S) y bor(T ) respectivamente y f : S × T → R boreliana. Entonces: Z. f d(µ ⊗ ν)(s, t) =. S×T. Z Z T. S.   Z Z ft (s)dµ(s) dν(t) = fs (t)dν(t) dµ(s). S. T. Es parte de la conclusión que ft : S → R y fs : T → R son funciones borelianas. Sean S un grupo topológico hausdorffiano, θ : S × S → S la operación multiplicación (s, t) 7→ st y µ y ν medidas radonianas finitas definidas en bor(S). Definimos el producto convolución de µ y ν como la imagen de µ ⊗ ν por medio de θ y la denotamos por µ∗ν. Como θ es continua, se tiene que µ∗ν es una medida radoniana en bor(S). Adicionalmente si f : S → R es una función boreliana, por el teorema de Fubini se tiene que Z Z Z f (x)d(µ ∗ ν)(x) = f ◦ θ(s, t)d(µ ⊗ ν)(s, t) = f (st)d(µ ⊗ ν)(s, t) S. S×S. =. Z Z S. S. f (st)dµ(s)dν(t) =. S×S. Z Z S. S. f (st)dν(t)dµ(s)..

(3) 51. Convolución de medidas radonianas. Por otro lado es fácil probar que Z Z Z −1 µ ∗ ν(B) = ν(s−1 B)dµ(s). µ(Bt )dν(t) = χB d(µ ∗ ν) = S. S. S. Si S = Rn entonces Z Z Z µ ∗ ν(B) = χB d(µ ∗ ν) = µ(B − t)dν(t) = ν(B − s)dµ(s). S. S. S. Ahora podemos explicar el objetivo de este artı́culo. Si S es un grupo topológico y µ y ν son medidas radonianas con valores en un álgebra de Banach separable X, definiremos de la manera siguiente el producto convolución µ ∗ ν como una medida radoniana en S con valores en X. Si m : X × X → X es la funb  X → X es la linealización ción multiplicación m(x, y) = xy del álgebra, m : X ⊗ m(x ⊗ y) = xy, se define µ ∗ ν(B) = m(θλ (B)) donde B ∈ bor(S). Si f : S → R es una función boreliana y acotada y θ : S × S → S es la función multiplicación θ(s, t) = st del grupo, demostraremos que Z Z Z Z f (x)d(µ ∗ ν)(x) = f ◦ θ(s, t)d(µ ⊗ ν)(s, t) = f (st)dµ(s)dν(t). S. S×S. S. S. Resaltamos que el concepto de medida radoniana con valores vectoriales es el mismo establecido por Posada y Restrepo en [7] y las integrales involucradas en la fórmula anterior son integrales en el sentido de Bartle con respecto a medidas radonianas. Esta integral ha sido utilizada ampliamente en [7]. El producto convolución que acabamos de describir ha sido definido por Kawabe en [4] cuando µ y ν son medidas τ -suaves y los métodos que utilizamos son similares a los utilizados en el artı́culo mencionado. En este artı́culo denotaremos por X ⊗ Y al producto tensorial de los espacios de Banach X y Y . Es el subespacio de las formas lineales en B(X × Y ) (espacio de las funciones bilineales de X × Y ) generado por aquellas de la forma f 7→ (x ⊗ y)(f ) = f (x, y) para todo n P f ∈ B(X × Y ). Es decir u ∈ X ⊗ Y si es de la forma λi (xi ⊗ yi ). La -norma i=1. en X ⊗ Y es. kuk = sup donde u =. n P. i=1. (. n X i=1. ). x0 (xi )y 0 (yi ) : (x0 , y 0 ) ∈ X 0 × Y 0 , kx0 k ≤ 1, ky 0 k ≤ 1 .. xi ⊗ yi . La π-norma en X ⊗ Y es kukπ = ı́nf. ( n X i=1. kxi kkyi k : u =. n X i=1. x i ⊗ yi. ). .. b  Y y el completante El completante de X ⊗ Y con la -norma se denota por X ⊗ b πY . de X ⊗ Y con la π-norma se denota por X ⊗.

(4) 52 2. L. Posada y G. Restrepo. Medidas vectoriales e integral de Bartle. A continuación mostraremos algunos conceptos y resultados que son necesarios para el desarrollo de este artı́culo desarrollados por Bartle en [1] y de una manera ampliada por Posada en [6]. Sean (Ω, A) un espacio de medición y X un espacio de Banach. Una función ν : A → X es una medida vectorial contablemente aditiva (σ-aditiva) si para toda sucesión disjunta (Ak )k∈N en A, la sucesión de sumas n P ν(Ak ) es convergente en X con respecto a la topologı́a de la norma parciales y. k=1. ν. ∞ [. k=1. Ak. !. =. ∞ X. ν(Ak ).. k=1. Si ν : A → X es una medida vectorial, definimos la variación de ν como la función ( ) X E 7→ |ν|(E) = sup kν(A)k : π ∈ π(E) A∈π. de A en [0, ∞], donde π(E) es el conjunto de todas las particiones finitas de E ∈ A. Si |ν|(Ω) < ∞ diremos que ν es una medida de variación acotada. La semivariación de ν es la función E 7→ kνk(E) = sup{|x0 ◦ ν|(E) : x0 ∈ X 0 , kx0 k ≤ 1} donde |x0 ◦ ν| es la variación de la medida de valor complejo x0 ◦ ν. La variación es una medida con valores en [0, ∞]; la semivariación es una función monótona y subaditiva con valores en [0, ∞), pero en general no es una medida (ver [2]). Se comprueba fácilmente que kν(E)k ≤ kνk(E) ≤ |ν|(E) para todo E ∈ A. Sean (Ω, A, µ) un espacio de medición dotado de una medida µ finita. Un subconjunto E de Ω es µ-nulo si existe un A ∈ A tal que E ⊆ A y µ(A) = 0. La colección N de los subconjuntos µ-nulos es estable bajo las uniones numerables y la inclusión de conjuntos. Denotaremos por Aµ la σ-álgebra generada por A ∪ N , la cual se suele llamar la µ-completación de A. Una función f : Ω → R es (A, bor(R))-medible si f −1 (B) ∈ A para todo conjunto boreliano B. Es µ-medible si f −1 (B) ∈ Aµ para todo conjunto boreliano B. Los siguientes enunciados se demuestran sin dificultad: i) Una función f : Ω → R es (A, bor(R))-medible si y sólo si existe una sucesión (fn )n∈N de funciones elementales que converge puntualmente a f . Es decir, fn (w) → f (w) para todo w ∈ Ω. ii) Una función f : Ω → R es µ-medible si y sólo si existe una sucesión (fn )n∈N de funciones elementales que converge a f µ-c.t.p. Es decir, fn (w) → f (w) para todo w en el complemento de un conjunto µ-nulo. Es muy pertinente preguntarse por la relación entre la definición usual de función (A, bor(X))-medible (f −1 (A) ∈ A si A es boreliano) y la definición dada por Bartle en [1] siendo X un espacio de Banach. Si X es un espacio de Banach de.

(5) Convolución de medidas radonianas. 53. dimensión infinita los enunciados i) y ii) no son válidos. Estos resultados sugieren la siguiente definición propuesta por Bartle en [1]. Sean (Ω, A) un espacio de medición, X un espacio de Banach y ν : A → X una función σ- aditiva y f : Ω → X una función. Diremos que f es ν-medible si existe una sucesión de funciones simples (fn )n∈N de Ω en X tal que fn (w) → f (w) ν-c.t.p, es decir, fn (w) → f (w) para todo w en el complemento de un conjunto E ∈ A que es kνk-nulo, es decir kνk(E) = 0. Sean T un espacio topológico hausdorffiano, A = bor(T ) y X un espacio de Banach. Una σ-medida µ : bor(T ) → X es radoniana si x0 ◦µ es una medida radoniana con valores complejos para toda forma lineal x0 ∈ X 0 , es decir, |x0 ◦ µ| es una medida radoniana para cada x0 ∈ X 0 . Se demostró en [7] que una σ-medida µ : bor(T ) → X es radoniana si y sólo si para todo conjunto boreliano B y todo  > 0 existe un compacto K ⊂ B tal que kµk(B − K) < . Sean X, Y y Z espacios de Banach y b : X × Y → Z una función bilineal y continua. Si (Ω, A) es un espacio de medición y ν : A → Y es una σ-medida vectorial, la b-semivariación de ν es el número ( n ) X kνkb (E) = sup b(xi , ν(Ei )) i=1. donde E ∈ A y el supremo es tomado sobre todas las familias finitas {Ei : 1 ≤ i ≤ n} de conjuntos disjuntos en A contenidos en E y todas las familias finitas {xi : 1 ≤ i ≤ n} ⊆ X con kxi k ≤ 1. Observación 1. En [7] se postula que la medida ν es µ-continua para alguna medida µ : A → [0, ∞), es decir, kνkb (E) → 0 si µ(E) → 0. Supondremos que kνkb ≤ kνk. Esto no es cierto en general (ver [1]). Afortunadamente cuando b  Y y b(x, y) = x ⊗ y entonces kνkb ≤ kνk. Z = X⊗ Describiremos brevemente la integral de Bartle (ver [1] y [6]). Sean X, Y y Z espacios de Banach y b : X × Y → Z una función bilineal continua. Si (Ω, A) es un espacio de medición y ν : A → Y es una medida vectorial, la (b, ν)-integral de n P una función elemental f : Ω → X, f = xk χ(Ek ) sobre E ∈ A es el vector k=1. Z. b(f (w), dν(w)) :=. E. n X k=1. R. b(xk , ν(E ∩ Ek )) ∈ Z.. La función f 7→ E b(f (w), dν(w)) es una función lineal definida en el espacio vectorial de las funciones elementales de Ω en X en el espacio de Banach Z. Una función f : Ω → X es (b, ν)-integrable si existe una sucesión (fn )n∈N de funciones elementales de Ω en X que converge a f (b, ν)-c.t.p y su integral es Z Z b(f (w), dν(w)) := lı́m b(fn (w), dν(w)) E. n→∞ E.

(6) 54. L. Posada y G. Restrepo. (fn → f (b, ν)-c.t.p significa que fn (w) → f (w) en el complemento de un conjunto kνkb -nulo.) Por la observación anterior, el lı́mite anterior no depende de la sucesión (fn )n∈N utilizada para definir la integral. Teorema 1. De la convergencia acotada. Ver ([7]) Sea {fn } una sucesión de funciones (b, ν)- integrables de Ω en X las cuales convergen (b, ν)-c.t.p a una función f : Ω → X. Si f es (b, ν)-acotada (existe una constante M > 0 tal que kfn (w)k ≤ M para todo n y todo w en el complemento de un conjunto kνkb -nulo), entonces f es (b, ν)-integrable y Z Z b(f (w), dν(w)) = lı́m b(fn (w), dν(w)). n→∞ E. E. b  Y (producto tensorial inyectivo de los espacios de Observación 2. Si Z = X ⊗ Banach X y Y ) y b es la función bilineal b(x, y) = x ⊗ y (función tensorial ), se suele escribir Z Z b(f (w), dν(w)) = f (w) ⊗ dν(w). E. E. Los siguientes teoremas se demostraron en [7] y juegan un papel fundamental en este artı́culo. Teorema 2. Sean S y T espacios topológicos hausdorffianos, X y Y espacios de Banach separables, µ : bor(S) → X y ν : bor(T ) → Y medidas radonianas. b Y Entonces existe una y sólo una medida radoniana λ : bor(S × T ) → X ⊗ (producto tensorial inyectivo de X y Y ) tal que λ(A × B) = µ(A) ⊗ ν(B) para todo A ∈ bor(S) y B ∈ bor(T ). Esta medida λ se llama medida producto de µ y ν y se denota por λ = µ ⊗ ν. La medida producto satisface un teorema de Fubini generalizado: Teorema 3. Sean S y T espacios topológicos hausdorffianos, X y Y espacios de Banach separables, µ : bor(S) → X y ν : bor(T ) → Y medidas radonianas. Si f : S × T → R es una función boreliana y acotada, entonces  Z Z Z f (s, t)dλ(s, t) = ft (s)dµ(s) ⊗ dν(t). S×T. 3. T. S. Imagen de una medida vectorial. Teorema 4. Sean (S, A) y (T, B) espacios de medición, φ una función (A, B)medible de S en T y X un espacio de Banach. Si µ : A → X es una σ-medida con valores en X, entonces ν : B → X definida por ν(B) = µ(φ−1 (B)) es una σ-medida con valores en X. La demostración de este enunciado es simple y la omitimos. La medida ν ası́ definida se llama imagen de la medida µ por φ y se suele denotar por φµ ..

(7) Convolución de medidas radonianas. 55. Proposición 1. Sean (S, A) y (T, B) espacios de medición, φ una función (A, B)medible de S en T y X un espacio de Banach. Si µ : A → X es una σ-medida con valores en X, entonces kφµ k(B) ≤ kµk(φ−1 (B)). para todo B ∈ B.. Demostración. Sea {Bk : 1 ≤ k ≤ n} una partición de B y {φ−1 (Bk )} una partición de φ−1 (B). Entonces para cada x0 ∈ X 0 se tiene n X k=1. 0. |x ◦ φµ (Bk )| =. n X k=1. |x0 ◦ µ(φ−1 (Bk ))| ≤ |x0 ◦ µ|(φ−1 (B)). ≤ kµk(φ−1 (B)).. Si tomamos el supremo sobre todas las particiones de B tenemos que |x0 ◦ φµ |(B) ≤ kµk(φ−1 (B)). Por último si tomamos el supremo sobre todas las x0 ∈ X 0 tal que kx0 k ≤ 1 entonces kφµ k(B) ≤ kµk(φ−1 (B)). Teorema 5. Sean S y T espacios topológicos hausdorffianos, X un espacio de Banach, y φ : S → T una función continua. Si µ : bor(S) → X es una medida vectorial radoniana entonces φµ también es radoniana. Demostración. Debemos mostrar que para todo B ∈ bor(T ) y para todo  > 0 existe K 0 ⊂ B compacto tal que kφµ k(B −K 0 ) < . Por ser µ una medida vectorial radoniana entonces se cumple que dado C ∈ bor(S) y todo  > 0 existe K ⊂ C compacto tal que kµk(C − K) < . Si B ∈ bor(T ) entonces C = φ−1 (B) ∈ bor(S) y φ(K) = K 0 es compacto por ser φ continua. Usando la proposición anterior y el hecho de que la semivariación de una medida vectorial es subaditiva se tiene que kφµ k(B − φ(K)) ≤ kµk(φ−1 (B − φ(K))) ≤ kµk(φ−1 (B) − φ−1 (φ(K)) ≤ kµk(φ−1 (B) − K) < .. 4. Convolución de medidas vectoriales radonianas. En esta sección X es un álgebra de Banach separable y S es un grupo topológico con una topologı́a completamente regular. Denotemos por m a la función multiplicación (x, y) 7→ xy = m(x, y) del álgebra X. Es claro que m es una función bilineal y continua, pues kxyk ≤ kxkkyk. La linealización de m se denotará por n P m y por tanto m(x ⊗ y) = xy. Si u = xk ⊗ yk , entonces k=1. m(u) =. n X k=1. m(xk ⊗ yk ) =. n X k=1. xk yk ..

(8) 56. L. Posada y G. Restrepo. Denotaremos por k.k a la -norma en X ⊗ X. En lo que sigue haremos la misma hipótesis de Kawabe en [4], es una hipótesis ciertamente muy fuerte, que explicaremos al final de esta sección: km(u)kX ≤ kuk .. (1). Esta hipótesis asegura que la linealización m : X ⊗ X → X es continua respecto a la -norma en el producto tensorial y por tanto se puede considerar, b  X en X. como en efecto lo haremos, que m es una función lineal y continua de X ⊗ Si S es un grupo topológico, la multiplicación se denota por (s, t) 7→ st = θ(s, t).. Definición 1. Sean S un grupo topológico y µ y ν dos medidas radonianas en S con valores en un álgebra de Banach X que satisface la condición (1). Sea λ = µ ⊗ ν la medida radoniana producto definida en bor(S × S) y con valores b  X. Por el teorema 5, el producto de convolución de estas medidas es la en X ⊗ medida γ = µ ∗ ν : bor(S) → X definida por γ(A) = µ ∗ ν(A) = m ◦ θλ (A) = m(λ(θ−1 (A)).. Teorema 6. El producto de convolución de dos medidas radonianas con valores en un álgebra de Banach que satisface la condición (1) es una medida radoniana. Demostración. Es claro que γ es una medida boreliana, pues si {A P n }n∈N es una θλ (An ) y por colección disjunta en bor(S) cuya unión es A, entonces θλ (A) =. la continuidad y linealidad de m, X m ◦ θλ (A) = m ◦ θλ (An ). n. y γ(A) =. n. x0. X. γ(An ).. n. X 0,. Demostremos que γ es radoniana. Si ∈ entonces x0 ◦ γ = (x0 ◦ m) ◦ θλ es radoniana para todo x0 ∈ X 0 , lo que implica que γ es radoniana. El lema siguiente es una consecuencia inmediata de la condición (1) y de la propiedad de la norma en un álgebra de Banach. Lema 1. Si T es un espacio topológico, ν : bor(T ) → X es una medida vectorial y b(x, y) = x ⊗ y es la función bilineal tensorial entonces kνkm (E) ≤ kνkb (E) para todo E ∈ bor(T ). Demostración. kνkm (E) = sup. (. n X. m(xi , ν(Ei )). i=1. ≤ kmk sup por la condición (1).. (. n X i=1. ). = sup. xi ⊗ ν(Ei ). (. ). m. n X i=1. ! ). xi ⊗ ν(Ei ). ≤ kνkb (E).

(9) Convolución de medidas radonianas. 57. Notación 1. Sean (Ω, A) un espacio de medición, X un álgebra de Banach con la operación multiplicación m(x, y) = xy y ν una medida de A en X. Si f : Ω → X es una función (m, ν)-integrable, usaremos la notación Z Z m(f (w), dν(w)) := f (w)dν(w) ∈ X. Ω. Ω. Proposición 2. Sean S y T espacios topológicos, µ y ν medidas radonianas en S y T respectivamente con valores en un álgebra de Banach X y λ = µ ⊗ ν la medida radoniana producto. Si h : S × T → R es una función boreliana acotada, entonces la función vectorial Z ht (s)dµ(s) t 7→ S. de T en X es (m, ν)-integrable y Z  Z Z m h(s, t)dλ(s, t) = ht (s)dµ(s)dν(t). S×T. T. S. Demostración. Demostremos la primera parte del teorema. Por ser h una función boreliana y acotada, entonces existe una sucesión (hn )n∈N de funciones simples que converge uniformemente a h. Es inmediato que (hn,t (s))n∈N converge uniformemente a ht (s). Sean Z M := sup |h(s, t)| y gn (t) := hn,t (s)dµ(s). S. (s,t). Entonces gn es una función simple de T en X y kgn (t)k ≤ M kµk(S) uniformemente en n. Ahora Z lı́m gn (t) = g(t) = ft (s)dµ(s). n→∞. S. Por el teorema de la convergencia acotada g(t) es (m, ν)-integrable. Demostremos la segunda parte de la proposición. Por el teorema 3 se tiene que  Z Z Z h(s, t)d(µ ⊗ ν)(s, t) =. S×T. T. S. ht (s)dµ(s) ⊗ dν(t).. Ahora, como m es lineal y continua, Z  Z Z   m h(s, t)dλ(s, t) = m ht (s)dµ(s) ⊗ dν(t) = S×T T S Z  Z Z  Z ht (s)dµ(s) ⊗ dν(t) = m ht (s)dµ(s), dν(t) = m S T S T  Z Z Z Z ht (s)dµ(s) dν(t) = ht (s)dµ(s)dν(t). T. S. T. S.

(10) 58. L. Posada y G. Restrepo. Del teorema anterior se deduce la propiedad usual del producto de convolución relacionada con integrales. Teorema 7. Sean S un grupo topológico y µ y ν medidas radonianas definidas en bor(S) y con valores en un álgebra de Banach X que satisface la condición (1). Si f : S → R es una función boreliana y acotada, entonces Z Z Z f (st)dµ(s)dν(t). f (x)d(µ ∗ ν)(x) = S. S. S. Demostración. Sean θ(s, t) = st la multiplicación del grupo topológico y h(s, t) = f (θ(s, t)) = f (st). Recordemos que µ ∗ ν = m ◦ θλ , donde λ = µ ⊗ ν. Ahora, Z Z h(s, t)dλ(s, t) = f (x)dθλ (x) S×S. S. y nos proponemos demostrar que Z  Z m f (x)dθλ (x) = f (x)d(µ ∗ ν)(x). S. (2). S. Este enunciado es cierto si f =. n P. βk χ(Ek ) es una función elemental. En efecto,. k=1. Z. f (x)dθλ (x) =. S. n X. βk θλ (Ek ).. k=1. Luego m. Z. f (x)dθλ (x). S. . =. n X k=1. βk m ◦ θλ (Ek ) =. n X k=1. βk µ ∗ ν(Ek ) =. Z. S. f (x)d(µ ∗ ν)(x).. Veamos el caso general. Existe una sucesión (fn )n∈N de funciones elementales que converge a f en S. Para cada n ∈ N se tiene que Z  Z m fn (x)dθλ (x) = fn (x)d(µ ∗ ν)(x). S. S. Al pasar al lı́mite se obtiene que Z  Z m f (x)dθλ (x) = f (x)d(µ ∗ ν)(x). S. S. Hemos casi terminado. Recordemos que Z  Z Z Z ht (s)dµ(s)dν(t) = m ht (s)dµ(s), dν(t) . S. S. S. S.

(11) Convolución de medidas radonianas. 59. Ahora por la proposición 2 se tiene que Z  Z Z ht (s)dµ(s)dν(t) m h(s, t)dλ(s, t) = S. S×S. y por (2). Z Z S. ht (s)dµ(s)dν(t) =. Z. S. S. S. f (x)d(µ ∗ ν)(x).. Proposición 3. Sean S un grupo topológico y µ y ν medidas radonianas definidas en bor(S) con valores en un álgebra de Banach X que satisface la condición (1). Entonces Z Z µ ∗ ν(B) =. S. χB (s)d(µ ∗ ν)(s) =. µ(Bt−1 )dν(t).. S. Demostración. Sean B ∈ bor(S), f = χB y D = {(s, t) : st ∈ B}. Entonces h(s, t) = χD (s, t) y ht (s) = χ(Bt−1 )(s) y por el teorema anterior Z Z Z µ ∗ ν(B) = ht (s)dµ(s)dν(t) = µ(Bt−1 )dν(t). S. S. S. Teorema 8. Unicidad del producto de convolución. Sean S un grupo topológico y µ y ν medidas radonianas en bor(S) con valores en un álgebra de Banach X que satisface la condición (1). Entonces existe una y sólo una medida radoniana γ : bor(S) → X tal que Z Z Z f (x)dγ(x) = f (st)dµ(s)dν(t) S. S. S. para toda función boreliana y acotada f : S → R. Demostración. Supongamos β : bor(S) → X una medida vectorial radoniana que satisface Z Z Z f (x)dβ(x) = f (st)dµ(s)dν(t) S. S. S. para toda f : S → R boreliana y acotada y probemos que µ ∗ ν(B) = β(B) para todo boreliano B ∈ bor(S). En efecto sea B ∈ bor(S) y f = χB entonces utilizando la propiedad anterior se tiene que Z µ ∗ ν(B) = µ(Bt−1 )dν(t) = β(B) S. para todo B ∈ bor(S), completándose ası́ la prueba..

(12) 60. L. Posada y G. Restrepo. Proposición 4. Sean µ y ν medidas vectoriales definidas en bor(S) con valores en un espacio de Banach X. Entonces kµ + νk ≤ kµk + kνk. Demostración. Sea A ∈ bor(S) y (Ak )1≤k≤n una partición de A. Entonces |x0 ◦ (µ + ν)|(A) = sup sup sup. ( n X k=1. ( n X. ). |x0 ◦ (µ + ν)(Ak )|. =. |x0 ◦ µ(Ak ) + x0 ◦ ν(Ak )|. ≤. |x0 ◦ ν(Ak )|. =. ). |x0 ◦ µ(Ak )|. k=1. ( n X k=1. + sup. ( n X k=1. 0. ) ). |x ◦ µ|(A) + |x0 ◦ ν|(A). Tomando el supremo sobre los kx0 k ≤ 1 se tiene para todo A ∈ bor(S) que kµ + νk(A) ≤ kµk(A) + kνk(A).. Proposición 5. Sean µ una medida vectorial y r un real no negativo entonces krµk = rkµk. Demostración. |x0 ◦(rµ)|(A) = sup. ( n X k=1. |x0 ◦ rµ(Ak )|. ). = r sup. ( n X k=1. ). |x0 ◦ µ(Ak )|. = r|x0 ◦µ|(A).. Nuevamente tomando el supremo sobre los kx0 k ≤ 1 se tiene que krµk(A) = rkµk(A) para todo A ∈ bor(S). Proposición 6. Sean µ y ν medidas vectoriales radonianas definidas en bor(S) con valores en un álgebra de Banach X y r un real no negativo. Entonces µ + ν y rµ son medidas vectoriales radonianas. Demostración. Es consecuencia de las proposiciones 4 y 5. Proposición 7. La convolución tiene las siguientes propiedades: 1. (µ1 + µ2 ) ∗ ν = µ1 ∗ ν + µ2 ∗ ν. 2. (rµ) ∗ ν = r(µ ∗ ν) para todo r real no negativo..

(13) 61. Convolución de medidas radonianas. Demostración. Probaremos 1. Sea B ∈ bor(S). Por la proposición 3 se tiene que Z Z Z −1 −1 (µ1 +µ2 )∗ν(B) = (µ1 +µ2 )(Bt )dν(t) = µ1 (Bt )dν(t)+ µ2 (Bt−1 )dν(t) S. S. S. = (µ1 ∗ ν)(B) + (µ2 ∗ ν)(B). para todo B ∈ bor(S). Probaremos 2. Sea B ∈ bor(S). Nuevamente por la proposición 3 se tiene que Z Z −1 (rµ) ∗ ν(B) = (rµ)(Bt )dν(t) = r µ(Bt−1 )dν(t) = r(µ ∗ ν)(B) S. S. para todo B ∈ bor(S). 5. Observaciones finales. Una suposición que hemos hecho en el teorema de existencia del producto de convolución de medidas radonianas es que km(u)k ≤ kuk . En las observaciones siguientes aclararemos esta hipótesis. 1. Hemos designado m(x, y) = xy el producto en un álgebra de Banach X. Esta es una función bilineal y continua de X ×X en X y por tanto su linealización b π X en X, donde π es la norma proyectiva en X ⊗X. m es una función lineal de X ⊗ n P xk ⊗ yk , entonces Si u = k=1. km(u)k = m. n X k=1. xk ⊗ yk. !. =. n X k=1. m(xk ⊗ yk ) =. n X k=1. x k yk ≤. n X k=1. kxk kkyk k. para toda representación de u y por tanto km(u)k ≤ kukπ . 2. En general kuk ≤ kukπ , pero la igualdad puede darse. Tal como lo deb πX = mostró Pisier en [5] existen espacios de Banach separables tales que X ⊗ b  X. Para estos espacios llamados espacios de Pisier vale que kuk = kukπ X⊗ para todo u ∈ X ⊗ X. 3. De estas afirmaciones se podı́a predecir que existe una clase amplia de álgebras de Banach para los cuales km(u)k ≤ kuk . Pero recurriendo a un procedimiento sencillo se puede demostrar esta afirmación: si X es un álgebra de Banach, C(Ω) el espacio de las funciones continuas definidas en el espacio tob  X es isométrico al pológico compacto Ω y con valores en K, entonces C(Ω)⊗ espacio de Banach C(Ω, X) de las funciones continuas de Ω en X con la norma n P xk ⊗ yk , se define del supremo por medio de la isometrı́a definida ası́: si z = J(z)(w) =. n P. k=1. xk (w)yk (ver [8]). Entonces. k=1. km(z)k = sup. w∈Ω. n X k=1. xk (w)yk (w). !. =. (. n X k=1. ). xk (w)yk (w) : w ∈ Ω ..

(14) 62. L. Posada y G. Restrepo. Mostraremos ahora que kJ(z)k = kzk ≥ km(z)k. En efecto kJ(z)k = sup. w∈Ω. n X k=1. xk (w)yk = sup. w∈Ω. sup. sup. n X. t∈Ω k=1 n X. (w,t)∈Ω×Ω. xk (w)yk (t). xk (w)yk (t). k=1. !. !. =. .. Referencias [1] R.G. Bartle: A general bilinear vector integral. Studia Math 15 (1956), 337352. [2] J. Diestel y J. J. Uhl: Vector Measures. American Mathematical Society Mathematical Surveys No 15 (1977). [3] M. Gómez y G. Restrepo: Producto Tensorial de Medidas Radonianas y el Teorema de Fubini. Revista Matemáticas: Enseñanza Universitaria, Vol. XVII, N◦ 1, Junio (2009), 23-34. [4] J. Kawabe: Borel Injective Tensor Product and Convolution of Vector Measures and Their Weak Convergence. Contemporary Mathematics Volume 321, (2003). [5] G. Pisier: Counterexample to a conjeture of Grothendieck. Acta Math. 151 (1983). [6] L. Posada Vera: Producto de medidas radonianas con valores en espacios de Banach separables. Tesis de maestrı́a. Universidad del Valle (2009). [7] L. Posada y G. Restrepo: Producto de medidas radonianas con valores en espacios de Banach separables. Revista Matemáticas: Enseñanza Universitaria, Vol. XVIII, N◦ 1, Junio (2010), 57-69. [8] R. Raymond: Introduction to tensor products of Banach spaces. Springer, (2002). [9] L. Schwartz: Radon measures on arbitrary topological spaces and cylindrical measures. Oxford University Press, (1973). Dirección de los autores Liliana Posada Vera — Departamento de Matemáticas, Universidad del Valle, CaliColombia e-mail: lilianapos@yahoo.com.mx Guillermo Restrepo — Departamento de Matemáticas, Universidad del Valle, CaliColombia e-mail: guireste@yahoo.com.

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