Convolución de medidas radonianas con valores en álgebras de Banach separables
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(2) 50. L. Posada y G. Restrepo. rad 2) La medida de cualquier conjunto boreliano es el extremo inferior de las medidas de los abiertos que lo contienen. Es decir, si B ∈ bor(T ), entonces µ(B) = ı́nf{µ(G) : B ⊆ G abierto} (Propiedad de la regularidad exterior). rad 3) µ es localmente finita. Es decir, todo t ∈ T posee una vecindad V tal que µ(V ) < ∞. La propiedad (rad 3) implica que la medida de todo conjunto compacto es finita. La propiedad de regularidad interior es válida para todo boreliano de medida finita. Es decir, si B ∈ bor(T ) y µ(B) < ∞, entonces µ(B) = sup{µ(K) : K ⊆ B, K compacto}. La definición de medida radoniana que hemos adoptado es la definición R2 en [9] página 13. Sean S y T espacios topológicos y f : S → T una función boreliana. Si µ es una medida boreliana en S, su imagen por f , es la medida boreliana ν definida por ν(B) = µ(f −1 (B)), B ∈ bor(T ). Denotaremos por µf o fµ a la imagen de µ por f . En el caso en que S y T son espacios topológicos hausdorffianos, µ es una medida radoniana finita y f es una función continua entonces fµ es una medida radoniana finita en bor(T ). En [3], Gómez y Restrepo demostraron que si µ y ν son medidas radonianas en los espacios topológicos hausdorffianos S y T respectivamente, entonces existe una medida radoniana única λ en bor(S × T ) tal que λ(A × B) = µ(A)ν(B) para todo A ∈ bor(S) y todo B ∈ bor(T ). Llamaremos medida radoniana producto a la medida λ y la denotaremos por λ = µ ⊗ ν. Adicionalmente mostraron un teorema de Fubini para medidas radonianas que se enuncia a continuación: Sean S y T espacios topológicos hausdorffianos, µ y ν medidas radonianas finitas en bor(S) y bor(T ) respectivamente y f : S × T → R boreliana. Entonces: Z. f d(µ ⊗ ν)(s, t) =. S×T. Z Z T. S. Z Z ft (s)dµ(s) dν(t) = fs (t)dν(t) dµ(s). S. T. Es parte de la conclusión que ft : S → R y fs : T → R son funciones borelianas. Sean S un grupo topológico hausdorffiano, θ : S × S → S la operación multiplicación (s, t) 7→ st y µ y ν medidas radonianas finitas definidas en bor(S). Definimos el producto convolución de µ y ν como la imagen de µ ⊗ ν por medio de θ y la denotamos por µ∗ν. Como θ es continua, se tiene que µ∗ν es una medida radoniana en bor(S). Adicionalmente si f : S → R es una función boreliana, por el teorema de Fubini se tiene que Z Z Z f (x)d(µ ∗ ν)(x) = f ◦ θ(s, t)d(µ ⊗ ν)(s, t) = f (st)d(µ ⊗ ν)(s, t) S. S×S. =. Z Z S. S. f (st)dµ(s)dν(t) =. S×S. Z Z S. S. f (st)dν(t)dµ(s)..
(3) 51. Convolución de medidas radonianas. Por otro lado es fácil probar que Z Z Z −1 µ ∗ ν(B) = ν(s−1 B)dµ(s). µ(Bt )dν(t) = χB d(µ ∗ ν) = S. S. S. Si S = Rn entonces Z Z Z µ ∗ ν(B) = χB d(µ ∗ ν) = µ(B − t)dν(t) = ν(B − s)dµ(s). S. S. S. Ahora podemos explicar el objetivo de este artı́culo. Si S es un grupo topológico y µ y ν son medidas radonianas con valores en un álgebra de Banach separable X, definiremos de la manera siguiente el producto convolución µ ∗ ν como una medida radoniana en S con valores en X. Si m : X × X → X es la funb X → X es la linealización ción multiplicación m(x, y) = xy del álgebra, m : X ⊗ m(x ⊗ y) = xy, se define µ ∗ ν(B) = m(θλ (B)) donde B ∈ bor(S). Si f : S → R es una función boreliana y acotada y θ : S × S → S es la función multiplicación θ(s, t) = st del grupo, demostraremos que Z Z Z Z f (x)d(µ ∗ ν)(x) = f ◦ θ(s, t)d(µ ⊗ ν)(s, t) = f (st)dµ(s)dν(t). S. S×S. S. S. Resaltamos que el concepto de medida radoniana con valores vectoriales es el mismo establecido por Posada y Restrepo en [7] y las integrales involucradas en la fórmula anterior son integrales en el sentido de Bartle con respecto a medidas radonianas. Esta integral ha sido utilizada ampliamente en [7]. El producto convolución que acabamos de describir ha sido definido por Kawabe en [4] cuando µ y ν son medidas τ -suaves y los métodos que utilizamos son similares a los utilizados en el artı́culo mencionado. En este artı́culo denotaremos por X ⊗ Y al producto tensorial de los espacios de Banach X y Y . Es el subespacio de las formas lineales en B(X × Y ) (espacio de las funciones bilineales de X × Y ) generado por aquellas de la forma f 7→ (x ⊗ y)(f ) = f (x, y) para todo n P f ∈ B(X × Y ). Es decir u ∈ X ⊗ Y si es de la forma λi (xi ⊗ yi ). La -norma i=1. en X ⊗ Y es. kuk = sup donde u =. n P. i=1. (. n X i=1. ). x0 (xi )y 0 (yi ) : (x0 , y 0 ) ∈ X 0 × Y 0 , kx0 k ≤ 1, ky 0 k ≤ 1 .. xi ⊗ yi . La π-norma en X ⊗ Y es kukπ = ı́nf. ( n X i=1. kxi kkyi k : u =. n X i=1. x i ⊗ yi. ). .. b Y y el completante El completante de X ⊗ Y con la -norma se denota por X ⊗ b πY . de X ⊗ Y con la π-norma se denota por X ⊗.
(4) 52 2. L. Posada y G. Restrepo. Medidas vectoriales e integral de Bartle. A continuación mostraremos algunos conceptos y resultados que son necesarios para el desarrollo de este artı́culo desarrollados por Bartle en [1] y de una manera ampliada por Posada en [6]. Sean (Ω, A) un espacio de medición y X un espacio de Banach. Una función ν : A → X es una medida vectorial contablemente aditiva (σ-aditiva) si para toda sucesión disjunta (Ak )k∈N en A, la sucesión de sumas n P ν(Ak ) es convergente en X con respecto a la topologı́a de la norma parciales y. k=1. ν. ∞ [. k=1. Ak. !. =. ∞ X. ν(Ak ).. k=1. Si ν : A → X es una medida vectorial, definimos la variación de ν como la función ( ) X E 7→ |ν|(E) = sup kν(A)k : π ∈ π(E) A∈π. de A en [0, ∞], donde π(E) es el conjunto de todas las particiones finitas de E ∈ A. Si |ν|(Ω) < ∞ diremos que ν es una medida de variación acotada. La semivariación de ν es la función E 7→ kνk(E) = sup{|x0 ◦ ν|(E) : x0 ∈ X 0 , kx0 k ≤ 1} donde |x0 ◦ ν| es la variación de la medida de valor complejo x0 ◦ ν. La variación es una medida con valores en [0, ∞]; la semivariación es una función monótona y subaditiva con valores en [0, ∞), pero en general no es una medida (ver [2]). Se comprueba fácilmente que kν(E)k ≤ kνk(E) ≤ |ν|(E) para todo E ∈ A. Sean (Ω, A, µ) un espacio de medición dotado de una medida µ finita. Un subconjunto E de Ω es µ-nulo si existe un A ∈ A tal que E ⊆ A y µ(A) = 0. La colección N de los subconjuntos µ-nulos es estable bajo las uniones numerables y la inclusión de conjuntos. Denotaremos por Aµ la σ-álgebra generada por A ∪ N , la cual se suele llamar la µ-completación de A. Una función f : Ω → R es (A, bor(R))-medible si f −1 (B) ∈ A para todo conjunto boreliano B. Es µ-medible si f −1 (B) ∈ Aµ para todo conjunto boreliano B. Los siguientes enunciados se demuestran sin dificultad: i) Una función f : Ω → R es (A, bor(R))-medible si y sólo si existe una sucesión (fn )n∈N de funciones elementales que converge puntualmente a f . Es decir, fn (w) → f (w) para todo w ∈ Ω. ii) Una función f : Ω → R es µ-medible si y sólo si existe una sucesión (fn )n∈N de funciones elementales que converge a f µ-c.t.p. Es decir, fn (w) → f (w) para todo w en el complemento de un conjunto µ-nulo. Es muy pertinente preguntarse por la relación entre la definición usual de función (A, bor(X))-medible (f −1 (A) ∈ A si A es boreliano) y la definición dada por Bartle en [1] siendo X un espacio de Banach. Si X es un espacio de Banach de.
(5) Convolución de medidas radonianas. 53. dimensión infinita los enunciados i) y ii) no son válidos. Estos resultados sugieren la siguiente definición propuesta por Bartle en [1]. Sean (Ω, A) un espacio de medición, X un espacio de Banach y ν : A → X una función σ- aditiva y f : Ω → X una función. Diremos que f es ν-medible si existe una sucesión de funciones simples (fn )n∈N de Ω en X tal que fn (w) → f (w) ν-c.t.p, es decir, fn (w) → f (w) para todo w en el complemento de un conjunto E ∈ A que es kνk-nulo, es decir kνk(E) = 0. Sean T un espacio topológico hausdorffiano, A = bor(T ) y X un espacio de Banach. Una σ-medida µ : bor(T ) → X es radoniana si x0 ◦µ es una medida radoniana con valores complejos para toda forma lineal x0 ∈ X 0 , es decir, |x0 ◦ µ| es una medida radoniana para cada x0 ∈ X 0 . Se demostró en [7] que una σ-medida µ : bor(T ) → X es radoniana si y sólo si para todo conjunto boreliano B y todo > 0 existe un compacto K ⊂ B tal que kµk(B − K) < . Sean X, Y y Z espacios de Banach y b : X × Y → Z una función bilineal y continua. Si (Ω, A) es un espacio de medición y ν : A → Y es una σ-medida vectorial, la b-semivariación de ν es el número ( n ) X kνkb (E) = sup b(xi , ν(Ei )) i=1. donde E ∈ A y el supremo es tomado sobre todas las familias finitas {Ei : 1 ≤ i ≤ n} de conjuntos disjuntos en A contenidos en E y todas las familias finitas {xi : 1 ≤ i ≤ n} ⊆ X con kxi k ≤ 1. Observación 1. En [7] se postula que la medida ν es µ-continua para alguna medida µ : A → [0, ∞), es decir, kνkb (E) → 0 si µ(E) → 0. Supondremos que kνkb ≤ kνk. Esto no es cierto en general (ver [1]). Afortunadamente cuando b Y y b(x, y) = x ⊗ y entonces kνkb ≤ kνk. Z = X⊗ Describiremos brevemente la integral de Bartle (ver [1] y [6]). Sean X, Y y Z espacios de Banach y b : X × Y → Z una función bilineal continua. Si (Ω, A) es un espacio de medición y ν : A → Y es una medida vectorial, la (b, ν)-integral de n P una función elemental f : Ω → X, f = xk χ(Ek ) sobre E ∈ A es el vector k=1. Z. b(f (w), dν(w)) :=. E. n X k=1. R. b(xk , ν(E ∩ Ek )) ∈ Z.. La función f 7→ E b(f (w), dν(w)) es una función lineal definida en el espacio vectorial de las funciones elementales de Ω en X en el espacio de Banach Z. Una función f : Ω → X es (b, ν)-integrable si existe una sucesión (fn )n∈N de funciones elementales de Ω en X que converge a f (b, ν)-c.t.p y su integral es Z Z b(f (w), dν(w)) := lı́m b(fn (w), dν(w)) E. n→∞ E.
(6) 54. L. Posada y G. Restrepo. (fn → f (b, ν)-c.t.p significa que fn (w) → f (w) en el complemento de un conjunto kνkb -nulo.) Por la observación anterior, el lı́mite anterior no depende de la sucesión (fn )n∈N utilizada para definir la integral. Teorema 1. De la convergencia acotada. Ver ([7]) Sea {fn } una sucesión de funciones (b, ν)- integrables de Ω en X las cuales convergen (b, ν)-c.t.p a una función f : Ω → X. Si f es (b, ν)-acotada (existe una constante M > 0 tal que kfn (w)k ≤ M para todo n y todo w en el complemento de un conjunto kνkb -nulo), entonces f es (b, ν)-integrable y Z Z b(f (w), dν(w)) = lı́m b(fn (w), dν(w)). n→∞ E. E. b Y (producto tensorial inyectivo de los espacios de Observación 2. Si Z = X ⊗ Banach X y Y ) y b es la función bilineal b(x, y) = x ⊗ y (función tensorial ), se suele escribir Z Z b(f (w), dν(w)) = f (w) ⊗ dν(w). E. E. Los siguientes teoremas se demostraron en [7] y juegan un papel fundamental en este artı́culo. Teorema 2. Sean S y T espacios topológicos hausdorffianos, X y Y espacios de Banach separables, µ : bor(S) → X y ν : bor(T ) → Y medidas radonianas. b Y Entonces existe una y sólo una medida radoniana λ : bor(S × T ) → X ⊗ (producto tensorial inyectivo de X y Y ) tal que λ(A × B) = µ(A) ⊗ ν(B) para todo A ∈ bor(S) y B ∈ bor(T ). Esta medida λ se llama medida producto de µ y ν y se denota por λ = µ ⊗ ν. La medida producto satisface un teorema de Fubini generalizado: Teorema 3. Sean S y T espacios topológicos hausdorffianos, X y Y espacios de Banach separables, µ : bor(S) → X y ν : bor(T ) → Y medidas radonianas. Si f : S × T → R es una función boreliana y acotada, entonces Z Z Z f (s, t)dλ(s, t) = ft (s)dµ(s) ⊗ dν(t). S×T. 3. T. S. Imagen de una medida vectorial. Teorema 4. Sean (S, A) y (T, B) espacios de medición, φ una función (A, B)medible de S en T y X un espacio de Banach. Si µ : A → X es una σ-medida con valores en X, entonces ν : B → X definida por ν(B) = µ(φ−1 (B)) es una σ-medida con valores en X. La demostración de este enunciado es simple y la omitimos. La medida ν ası́ definida se llama imagen de la medida µ por φ y se suele denotar por φµ ..
(7) Convolución de medidas radonianas. 55. Proposición 1. Sean (S, A) y (T, B) espacios de medición, φ una función (A, B)medible de S en T y X un espacio de Banach. Si µ : A → X es una σ-medida con valores en X, entonces kφµ k(B) ≤ kµk(φ−1 (B)). para todo B ∈ B.. Demostración. Sea {Bk : 1 ≤ k ≤ n} una partición de B y {φ−1 (Bk )} una partición de φ−1 (B). Entonces para cada x0 ∈ X 0 se tiene n X k=1. 0. |x ◦ φµ (Bk )| =. n X k=1. |x0 ◦ µ(φ−1 (Bk ))| ≤ |x0 ◦ µ|(φ−1 (B)). ≤ kµk(φ−1 (B)).. Si tomamos el supremo sobre todas las particiones de B tenemos que |x0 ◦ φµ |(B) ≤ kµk(φ−1 (B)). Por último si tomamos el supremo sobre todas las x0 ∈ X 0 tal que kx0 k ≤ 1 entonces kφµ k(B) ≤ kµk(φ−1 (B)). Teorema 5. Sean S y T espacios topológicos hausdorffianos, X un espacio de Banach, y φ : S → T una función continua. Si µ : bor(S) → X es una medida vectorial radoniana entonces φµ también es radoniana. Demostración. Debemos mostrar que para todo B ∈ bor(T ) y para todo > 0 existe K 0 ⊂ B compacto tal que kφµ k(B −K 0 ) < . Por ser µ una medida vectorial radoniana entonces se cumple que dado C ∈ bor(S) y todo > 0 existe K ⊂ C compacto tal que kµk(C − K) < . Si B ∈ bor(T ) entonces C = φ−1 (B) ∈ bor(S) y φ(K) = K 0 es compacto por ser φ continua. Usando la proposición anterior y el hecho de que la semivariación de una medida vectorial es subaditiva se tiene que kφµ k(B − φ(K)) ≤ kµk(φ−1 (B − φ(K))) ≤ kµk(φ−1 (B) − φ−1 (φ(K)) ≤ kµk(φ−1 (B) − K) < .. 4. Convolución de medidas vectoriales radonianas. En esta sección X es un álgebra de Banach separable y S es un grupo topológico con una topologı́a completamente regular. Denotemos por m a la función multiplicación (x, y) 7→ xy = m(x, y) del álgebra X. Es claro que m es una función bilineal y continua, pues kxyk ≤ kxkkyk. La linealización de m se denotará por n P m y por tanto m(x ⊗ y) = xy. Si u = xk ⊗ yk , entonces k=1. m(u) =. n X k=1. m(xk ⊗ yk ) =. n X k=1. xk yk ..
(8) 56. L. Posada y G. Restrepo. Denotaremos por k.k a la -norma en X ⊗ X. En lo que sigue haremos la misma hipótesis de Kawabe en [4], es una hipótesis ciertamente muy fuerte, que explicaremos al final de esta sección: km(u)kX ≤ kuk .. (1). Esta hipótesis asegura que la linealización m : X ⊗ X → X es continua respecto a la -norma en el producto tensorial y por tanto se puede considerar, b X en X. como en efecto lo haremos, que m es una función lineal y continua de X ⊗ Si S es un grupo topológico, la multiplicación se denota por (s, t) 7→ st = θ(s, t).. Definición 1. Sean S un grupo topológico y µ y ν dos medidas radonianas en S con valores en un álgebra de Banach X que satisface la condición (1). Sea λ = µ ⊗ ν la medida radoniana producto definida en bor(S × S) y con valores b X. Por el teorema 5, el producto de convolución de estas medidas es la en X ⊗ medida γ = µ ∗ ν : bor(S) → X definida por γ(A) = µ ∗ ν(A) = m ◦ θλ (A) = m(λ(θ−1 (A)).. Teorema 6. El producto de convolución de dos medidas radonianas con valores en un álgebra de Banach que satisface la condición (1) es una medida radoniana. Demostración. Es claro que γ es una medida boreliana, pues si {A P n }n∈N es una θλ (An ) y por colección disjunta en bor(S) cuya unión es A, entonces θλ (A) =. la continuidad y linealidad de m, X m ◦ θλ (A) = m ◦ θλ (An ). n. y γ(A) =. n. x0. X. γ(An ).. n. X 0,. Demostremos que γ es radoniana. Si ∈ entonces x0 ◦ γ = (x0 ◦ m) ◦ θλ es radoniana para todo x0 ∈ X 0 , lo que implica que γ es radoniana. El lema siguiente es una consecuencia inmediata de la condición (1) y de la propiedad de la norma en un álgebra de Banach. Lema 1. Si T es un espacio topológico, ν : bor(T ) → X es una medida vectorial y b(x, y) = x ⊗ y es la función bilineal tensorial entonces kνkm (E) ≤ kνkb (E) para todo E ∈ bor(T ). Demostración. kνkm (E) = sup. (. n X. m(xi , ν(Ei )). i=1. ≤ kmk sup por la condición (1).. (. n X i=1. ). = sup. xi ⊗ ν(Ei ). (. ). m. n X i=1. ! ). xi ⊗ ν(Ei ). ≤ kνkb (E).
(9) Convolución de medidas radonianas. 57. Notación 1. Sean (Ω, A) un espacio de medición, X un álgebra de Banach con la operación multiplicación m(x, y) = xy y ν una medida de A en X. Si f : Ω → X es una función (m, ν)-integrable, usaremos la notación Z Z m(f (w), dν(w)) := f (w)dν(w) ∈ X. Ω. Ω. Proposición 2. Sean S y T espacios topológicos, µ y ν medidas radonianas en S y T respectivamente con valores en un álgebra de Banach X y λ = µ ⊗ ν la medida radoniana producto. Si h : S × T → R es una función boreliana acotada, entonces la función vectorial Z ht (s)dµ(s) t 7→ S. de T en X es (m, ν)-integrable y Z Z Z m h(s, t)dλ(s, t) = ht (s)dµ(s)dν(t). S×T. T. S. Demostración. Demostremos la primera parte del teorema. Por ser h una función boreliana y acotada, entonces existe una sucesión (hn )n∈N de funciones simples que converge uniformemente a h. Es inmediato que (hn,t (s))n∈N converge uniformemente a ht (s). Sean Z M := sup |h(s, t)| y gn (t) := hn,t (s)dµ(s). S. (s,t). Entonces gn es una función simple de T en X y kgn (t)k ≤ M kµk(S) uniformemente en n. Ahora Z lı́m gn (t) = g(t) = ft (s)dµ(s). n→∞. S. Por el teorema de la convergencia acotada g(t) es (m, ν)-integrable. Demostremos la segunda parte de la proposición. Por el teorema 3 se tiene que Z Z Z h(s, t)d(µ ⊗ ν)(s, t) =. S×T. T. S. ht (s)dµ(s) ⊗ dν(t).. Ahora, como m es lineal y continua, Z Z Z m h(s, t)dλ(s, t) = m ht (s)dµ(s) ⊗ dν(t) = S×T T S Z Z Z Z ht (s)dµ(s) ⊗ dν(t) = m ht (s)dµ(s), dν(t) = m S T S T Z Z Z Z ht (s)dµ(s) dν(t) = ht (s)dµ(s)dν(t). T. S. T. S.
(10) 58. L. Posada y G. Restrepo. Del teorema anterior se deduce la propiedad usual del producto de convolución relacionada con integrales. Teorema 7. Sean S un grupo topológico y µ y ν medidas radonianas definidas en bor(S) y con valores en un álgebra de Banach X que satisface la condición (1). Si f : S → R es una función boreliana y acotada, entonces Z Z Z f (st)dµ(s)dν(t). f (x)d(µ ∗ ν)(x) = S. S. S. Demostración. Sean θ(s, t) = st la multiplicación del grupo topológico y h(s, t) = f (θ(s, t)) = f (st). Recordemos que µ ∗ ν = m ◦ θλ , donde λ = µ ⊗ ν. Ahora, Z Z h(s, t)dλ(s, t) = f (x)dθλ (x) S×S. S. y nos proponemos demostrar que Z Z m f (x)dθλ (x) = f (x)d(µ ∗ ν)(x). S. (2). S. Este enunciado es cierto si f =. n P. βk χ(Ek ) es una función elemental. En efecto,. k=1. Z. f (x)dθλ (x) =. S. n X. βk θλ (Ek ).. k=1. Luego m. Z. f (x)dθλ (x). S. . =. n X k=1. βk m ◦ θλ (Ek ) =. n X k=1. βk µ ∗ ν(Ek ) =. Z. S. f (x)d(µ ∗ ν)(x).. Veamos el caso general. Existe una sucesión (fn )n∈N de funciones elementales que converge a f en S. Para cada n ∈ N se tiene que Z Z m fn (x)dθλ (x) = fn (x)d(µ ∗ ν)(x). S. S. Al pasar al lı́mite se obtiene que Z Z m f (x)dθλ (x) = f (x)d(µ ∗ ν)(x). S. S. Hemos casi terminado. Recordemos que Z Z Z Z ht (s)dµ(s)dν(t) = m ht (s)dµ(s), dν(t) . S. S. S. S.
(11) Convolución de medidas radonianas. 59. Ahora por la proposición 2 se tiene que Z Z Z ht (s)dµ(s)dν(t) m h(s, t)dλ(s, t) = S. S×S. y por (2). Z Z S. ht (s)dµ(s)dν(t) =. Z. S. S. S. f (x)d(µ ∗ ν)(x).. Proposición 3. Sean S un grupo topológico y µ y ν medidas radonianas definidas en bor(S) con valores en un álgebra de Banach X que satisface la condición (1). Entonces Z Z µ ∗ ν(B) =. S. χB (s)d(µ ∗ ν)(s) =. µ(Bt−1 )dν(t).. S. Demostración. Sean B ∈ bor(S), f = χB y D = {(s, t) : st ∈ B}. Entonces h(s, t) = χD (s, t) y ht (s) = χ(Bt−1 )(s) y por el teorema anterior Z Z Z µ ∗ ν(B) = ht (s)dµ(s)dν(t) = µ(Bt−1 )dν(t). S. S. S. Teorema 8. Unicidad del producto de convolución. Sean S un grupo topológico y µ y ν medidas radonianas en bor(S) con valores en un álgebra de Banach X que satisface la condición (1). Entonces existe una y sólo una medida radoniana γ : bor(S) → X tal que Z Z Z f (x)dγ(x) = f (st)dµ(s)dν(t) S. S. S. para toda función boreliana y acotada f : S → R. Demostración. Supongamos β : bor(S) → X una medida vectorial radoniana que satisface Z Z Z f (x)dβ(x) = f (st)dµ(s)dν(t) S. S. S. para toda f : S → R boreliana y acotada y probemos que µ ∗ ν(B) = β(B) para todo boreliano B ∈ bor(S). En efecto sea B ∈ bor(S) y f = χB entonces utilizando la propiedad anterior se tiene que Z µ ∗ ν(B) = µ(Bt−1 )dν(t) = β(B) S. para todo B ∈ bor(S), completándose ası́ la prueba..
(12) 60. L. Posada y G. Restrepo. Proposición 4. Sean µ y ν medidas vectoriales definidas en bor(S) con valores en un espacio de Banach X. Entonces kµ + νk ≤ kµk + kνk. Demostración. Sea A ∈ bor(S) y (Ak )1≤k≤n una partición de A. Entonces |x0 ◦ (µ + ν)|(A) = sup sup sup. ( n X k=1. ( n X. ). |x0 ◦ (µ + ν)(Ak )|. =. |x0 ◦ µ(Ak ) + x0 ◦ ν(Ak )|. ≤. |x0 ◦ ν(Ak )|. =. ). |x0 ◦ µ(Ak )|. k=1. ( n X k=1. + sup. ( n X k=1. 0. ) ). |x ◦ µ|(A) + |x0 ◦ ν|(A). Tomando el supremo sobre los kx0 k ≤ 1 se tiene para todo A ∈ bor(S) que kµ + νk(A) ≤ kµk(A) + kνk(A).. Proposición 5. Sean µ una medida vectorial y r un real no negativo entonces krµk = rkµk. Demostración. |x0 ◦(rµ)|(A) = sup. ( n X k=1. |x0 ◦ rµ(Ak )|. ). = r sup. ( n X k=1. ). |x0 ◦ µ(Ak )|. = r|x0 ◦µ|(A).. Nuevamente tomando el supremo sobre los kx0 k ≤ 1 se tiene que krµk(A) = rkµk(A) para todo A ∈ bor(S). Proposición 6. Sean µ y ν medidas vectoriales radonianas definidas en bor(S) con valores en un álgebra de Banach X y r un real no negativo. Entonces µ + ν y rµ son medidas vectoriales radonianas. Demostración. Es consecuencia de las proposiciones 4 y 5. Proposición 7. La convolución tiene las siguientes propiedades: 1. (µ1 + µ2 ) ∗ ν = µ1 ∗ ν + µ2 ∗ ν. 2. (rµ) ∗ ν = r(µ ∗ ν) para todo r real no negativo..
(13) 61. Convolución de medidas radonianas. Demostración. Probaremos 1. Sea B ∈ bor(S). Por la proposición 3 se tiene que Z Z Z −1 −1 (µ1 +µ2 )∗ν(B) = (µ1 +µ2 )(Bt )dν(t) = µ1 (Bt )dν(t)+ µ2 (Bt−1 )dν(t) S. S. S. = (µ1 ∗ ν)(B) + (µ2 ∗ ν)(B). para todo B ∈ bor(S). Probaremos 2. Sea B ∈ bor(S). Nuevamente por la proposición 3 se tiene que Z Z −1 (rµ) ∗ ν(B) = (rµ)(Bt )dν(t) = r µ(Bt−1 )dν(t) = r(µ ∗ ν)(B) S. S. para todo B ∈ bor(S). 5. Observaciones finales. Una suposición que hemos hecho en el teorema de existencia del producto de convolución de medidas radonianas es que km(u)k ≤ kuk . En las observaciones siguientes aclararemos esta hipótesis. 1. Hemos designado m(x, y) = xy el producto en un álgebra de Banach X. Esta es una función bilineal y continua de X ×X en X y por tanto su linealización b π X en X, donde π es la norma proyectiva en X ⊗X. m es una función lineal de X ⊗ n P xk ⊗ yk , entonces Si u = k=1. km(u)k = m. n X k=1. xk ⊗ yk. !. =. n X k=1. m(xk ⊗ yk ) =. n X k=1. x k yk ≤. n X k=1. kxk kkyk k. para toda representación de u y por tanto km(u)k ≤ kukπ . 2. En general kuk ≤ kukπ , pero la igualdad puede darse. Tal como lo deb πX = mostró Pisier en [5] existen espacios de Banach separables tales que X ⊗ b X. Para estos espacios llamados espacios de Pisier vale que kuk = kukπ X⊗ para todo u ∈ X ⊗ X. 3. De estas afirmaciones se podı́a predecir que existe una clase amplia de álgebras de Banach para los cuales km(u)k ≤ kuk . Pero recurriendo a un procedimiento sencillo se puede demostrar esta afirmación: si X es un álgebra de Banach, C(Ω) el espacio de las funciones continuas definidas en el espacio tob X es isométrico al pológico compacto Ω y con valores en K, entonces C(Ω)⊗ espacio de Banach C(Ω, X) de las funciones continuas de Ω en X con la norma n P xk ⊗ yk , se define del supremo por medio de la isometrı́a definida ası́: si z = J(z)(w) =. n P. k=1. xk (w)yk (ver [8]). Entonces. k=1. km(z)k = sup. w∈Ω. n X k=1. xk (w)yk (w). !. =. (. n X k=1. ). xk (w)yk (w) : w ∈ Ω ..
(14) 62. L. Posada y G. Restrepo. Mostraremos ahora que kJ(z)k = kzk ≥ km(z)k. En efecto kJ(z)k = sup. w∈Ω. n X k=1. xk (w)yk = sup. w∈Ω. sup. sup. n X. t∈Ω k=1 n X. (w,t)∈Ω×Ω. xk (w)yk (t). xk (w)yk (t). k=1. !. !. =. .. Referencias [1] R.G. Bartle: A general bilinear vector integral. Studia Math 15 (1956), 337352. [2] J. Diestel y J. J. Uhl: Vector Measures. American Mathematical Society Mathematical Surveys No 15 (1977). [3] M. Gómez y G. Restrepo: Producto Tensorial de Medidas Radonianas y el Teorema de Fubini. Revista Matemáticas: Enseñanza Universitaria, Vol. XVII, N◦ 1, Junio (2009), 23-34. [4] J. Kawabe: Borel Injective Tensor Product and Convolution of Vector Measures and Their Weak Convergence. Contemporary Mathematics Volume 321, (2003). [5] G. Pisier: Counterexample to a conjeture of Grothendieck. Acta Math. 151 (1983). [6] L. Posada Vera: Producto de medidas radonianas con valores en espacios de Banach separables. Tesis de maestrı́a. Universidad del Valle (2009). [7] L. Posada y G. Restrepo: Producto de medidas radonianas con valores en espacios de Banach separables. Revista Matemáticas: Enseñanza Universitaria, Vol. XVIII, N◦ 1, Junio (2010), 57-69. [8] R. Raymond: Introduction to tensor products of Banach spaces. Springer, (2002). [9] L. Schwartz: Radon measures on arbitrary topological spaces and cylindrical measures. Oxford University Press, (1973). Dirección de los autores Liliana Posada Vera — Departamento de Matemáticas, Universidad del Valle, CaliColombia e-mail: lilianapos@yahoo.com.mx Guillermo Restrepo — Departamento de Matemáticas, Universidad del Valle, CaliColombia e-mail: guireste@yahoo.com.
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