Las concepciones del concepto de derivada: dos estudios de caso sobre un matemático y un licenciado en matemáticas

Texto completo

(1)LAS CONCEPCIONES DEL CONCEPTO DE DERIVADA: DOS ESTUDIOS DE CASO SOBRE UN MATEMÁTICO Y UN LICENCIADO EN MATEMÁTICAS. SILVIA PAOLA SOLANO CAMARGO. UNIVERSIDAD DEL VALLE INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA MAESTRÍA EN EDUCACIÓN ÁREA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA SANTIAGO DE CALI 2017.

(2) LAS CONCEPCIONES DEL CONCEPTO DE DERIVADA: DOS ESTUDIOS DE CASO SOBRE UN MATEMÁTICO Y UN LICENCIADO EN MATEMÁTICAS. SILVIA PAOLA SOLANO CAMARGO Tesis de grado para optar al título de Magíster en Educación Énfasis Educación Matemática Tutor. CARLOS EDUARDO VASCO URIBE PH. D.. UNIVERSIDAD DEL VALLE INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA MAESTRÍA EN EDUCACIÓN ÁREA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA SANTIAGO DE CALI 2017.

(3) AGRADECIMIENTOS Al terminar el informe final de esta tesis de maestría, después de casi 7 largos años, se ha acumulado una lista extensa de personas a las que debo agradecer, probablemente no les recuerde a todas en este momento, pero haré mi mejor esfuerzo. A Dios dador de vida, salud, fortaleza, paciencia, e inteligencia, sin Él muchas cosas no habría logrado, especialmente, la culminación de este trabajo de tesis. “Por la misericordia de Jehová no hemos sido consumidos, porque nunca decayeron sus misericordias. Nuevas son cada mañana; grande es tu fidelidad” (Lamentaciones, 3: 22-23). A Beatriz Camargo que aunque no está físicamente, siempre estás en mi corazón y mis pensamientos. Lamento madre que no hayas alcanzado a ver esta meta cumplida. Sin embargo, gracias por cuidarme y apoyarme siempre que lo necesité. A mi familia, quienes me acompañaron siempre, a pesar de la distancia, y han creído y confiado en mí, y me aman tanto como yo los amo a ellos. A mis amigas Carolinas Poveda y Laverde. A Poveda por sus regaños y reclamos de hacer mi maestría en una universidad en otra ciudad. A Laverde por sus porras y su ánimo para escribir este documento. A mis compañeros de la maestría: Liliana Andrea por tus aportes y sugerencias, José Julián por ser mi amigo incondicional a pesar de la distancia y Yanjeline por ser mi buena e incondicional amiga. A los profesores Carlos Andrés, Wilmar, José Julián, Diana Haidive, Paola Andrea y Álvaro Andrés, por aceptar la invitación a participar en esta investigación. A mis maestros: César Delgado, Luis Recalde, Luis Arboleda, Maribel Anacona, Diego Garzón, y Evelio Bedoya. Muy especialmente quiero agradecer a mi querido profesor Carlos Eduardo Vasco Uribe, por rescatarme del hoyo en el que me encontraba con mi problema de investigación y quien desinteresadamente me brindó su apoyo, su ayuda, y sobre todo, su sabiduría. Gracias profesor Carlos Eduardo, sin sus orientaciones y su paciencia este trabajo no hubiese sido posible.. Tesis de maestría. Silvia Paola Solano Camargo 3.

(4) DEDICATORIA. A Beatriz Porque madre solo hay una.. Tesis de maestría. Silvia Paola Solano Camargo 4.

(5) Resumen ............................................................................................................................................................................... 7 Términos clave ................................................................................................................................................................... 7. 1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN .................................................................................. 8 1.1. Justificación ........................................................................................................................................................... 8. 1.2 Planteamiento del problema .............................................................................................................................. 9 1.2.1 Planteamiento del problema ............................................................................................................................................ 9 1.2.2 Objetivos ............................................................................................................................................................................. 10 1.2.2.1 Objetivo General ........................................................................................................................................................... 10 1.2.2.2 Objetivos Específicos ................................................................................................................................................... 10 1.2.3 Estado del arte .................................................................................................................................................................. 10 1.2.3.1 Sobre las creencias, concepciones y convicciones del Profesor de Matemáticas .......................................... 11 1.2.3.2 Sobre las concepciones de profesores y estudiantes acerca del concepto de la derivada ............................ 13. 2. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN ...................................................................... 17 2.1 Marco metodológico .......................................................................................................................................... 17 2.1.1 El estudio de caso ............................................................................................................................................................. 18 2.2 Diseño metodológico ......................................................................................................................................... 18 2.2.1 Técnicas e instrumentos de recolección de información ........................................................................................ 18. 3. MARCO TEÓRICO .................................................................................................................... 20 3.1 Concepciones de los profesores de matemáticas ......................................................................................... 20 3.1.1 Creencias............................................................................................................................................................................. 20 3.1.2 Concepciones ..................................................................................................................................................................... 22 3.1.3 Convicciones ...................................................................................................................................................................... 23 3.2 Análisis didáctico ............................................................................................................................................... 24 3.2.1 Organizadores del currículo .......................................................................................................................................... 24 3.2.2 Análisis didáctico de contenido..................................................................................................................................... 25 3.2.2.1 Algunos datos históricos ............................................................................................................................................. 26 3.2.2.2 La Derivada de Carathéodory .................................................................................................................................... 26 3.2.2.3 El texto de Courtan & Robin ..................................................................................................................................... 26 3.2.2.4 Las acepciones de Thurston ....................................................................................................................................... 31 3.2.3 Análisis de contenido de la derivada ........................................................................................................................... 32 3.2.3.1 Estructura conceptual .................................................................................................................................................. 32 3.2.3.2 Sistemas de Representación ....................................................................................................................................... 39 3.2.3.3 Fenomenología .............................................................................................................................................................. 43. Tesis de maestría. Silvia Paola Solano Camargo 5.

(6) 4. ANALIZANDO LOS CASOS .................................................................................................... 47 4.1 El matemático ..................................................................................................................................................... 47 4.1.1 Modelo de formación profesional ................................................................................................................................. 47 4.1.2 Análisis de concepciones y creencias ........................................................................................................................... 48 4.1.2.1 Identificando las concepciones ................................................................................................................................... 49 4.1.2.2 Analizando sus concepciones ..................................................................................................................................... 50 4.1.2.3 Sobre sus prácticas de aula ......................................................................................................................................... 60 4.2 El licenciado en matemáticas ........................................................................................................................... 61 4.2.1 Modelo de formación profesional ................................................................................................................................. 62 4.2.2 Análisis de sus concepciones y creencias.................................................................................................................... 64 4.2.2.1 Identificando las concepciones ................................................................................................................................... 64 4.2.2.2 Analizando sus concepciones ..................................................................................................................................... 65 4.2.2.3 Sobre sus prácticas de aula ......................................................................................................................................... 71 4.3 Comparando similitudes y diferencias entre las concepciones y las creencias ...................................... 72 4.3.1 Similitudes en las concepciones de la derivada ......................................................................................................... 72 4.3.2 Diferencias entre las concepciones y creencias ......................................................................................................... 73. 5. CONCLUSIONES, LIMITACIONES Y RECOMENDACIONES.................................. 75. 5.1 Conclusiones ........................................................................................................................................................ 75 5.1.1 Identificar y describir las concepciones ...................................................................................................................... 74 5.1.2 Diferencias y similitudes ................................................................................................................................................ 75 5.1.3 Conclusiones metodológicas .......................................................................................................................................... 75 5.2. Limitaciones. ....................................................................................................................................................... 77. 5.3. Recomendaciones ............................................................................................................................................... 78. Referencias bibliográficas .............................................................................................................................................. 79 Lista de figuras ................................................................................................................................................................. 84 Lista de tablas ................................................................................................................................................................... 85 Anexo 1. Carta de invitación .......................................................................................................................................... 86 Anexo 2. Protocolo Entrevista Semiestructurada ..................................................................................................... 87. Tesis de maestría. Silvia Paola Solano Camargo 6.

(7) RESUMEN Esta investigación tiene como propósito general analizar desde un punto de vista didáctico las concepciones de la derivada que tienen dos profesores de matemáticas de educación superior, con el fin de determinar si estas concepciones son influenciadas por sus modelos de formación y sus prácticas de enseñanza en sus contextos universitarios. Para lograr esto, se revisó, analizó y caracterizó desde un punto de vista didáctico las concepciones de dichos profesores de matemáticas con respecto al conocimiento didáctico de la derivada expresado en sus creencias y concepciones a través de unas entrevistas estructuradas y semiestructuradas, teniendo en cuenta unas categorías de análisis determinadas por tres organizadores del currículo a saber, la estructura conceptual, los sistemas de representación y los fenómenos que intervienen en el contenido matemático escogido. Para ello se empleó como estrategia metodológica la propuesta de análisis didáctico que se ha desarrollado en el marco de los trabajos del grupo PNA de la Universidad de Granada. De esta manera, se caracterizaron las concepciones que tienen dos profesores de Matemáticas y como éstas inciden en sus prácticas de enseñanza. Esta investigación está propuesta desde una perspectiva epistemológica interpretativa, con un enfoque cognitivo, para el cual se realizará un estudio de dos casos con el fin de observar y caracterizar las características de las distintas concepciones de los dos profesores de Matemáticas con el propósito de analizar el fenómeno de la fase pre-activa, es decir, la fase de la planeación de la clase de cálculo diferencial con respecto al objeto matemático de la derivada. De esta manera, se realizaron entrevistas, ensayos y análisis de las distintas planificaciones de clase, se indagó sobre los libros de texto que utilizaban, así como de las evaluaciones que ellos aplican a sus estudiantes con el fin de identificar en ellos los aspectos conceptuales y didácticos que caracterizan las concepciones teóricas de dichos profesores. Los principales hallazgos de esta investigación permitieron identificar y describir las concepciones que tienen un matemático y un licenciado en matemáticas. Asimismo, se establecieron las diferencias y similitudes en las concepciones de estos dos profesores. Finalmente, se pudo determinar de qué forman influyen estas concepciones en sus planeaciones de clase.. TÉRMINOS CLAVE Organizadores del currículo, concepto de derivada, creencias, convicciones, concepciones de profesores.. Tesis de maestría. Silvia Paola Solano Camargo 7.

(8) 1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN. En este capítulo presento el problema de investigación que se abordó; para ello, describo la justificación, realizo el respectivo planteamiento del problema junto con los objetivos de la investigación y esbozo el estado del arte.. 1.1 JUSTIFICACIÓN Las instituciones de Educación Superior son lo que sus profesores y su historia es la historia de los académicos; de la formación que han alcanzado, del prestigio que han logrado adquirir, de los nichos que han construido (ICFES, 1997, p. 15). Entre los factores de los cuales depende la calidad de la Educación Superior ocupa un lugar preponderante el nivel de formación y experiencia de los profesores. De esta manera, la investigación en educación, especialmente en Educación Matemática, ha centrado uno de sus focos de interés en el pensamiento del profesor y, más concretamente, en la investigación sobre el conocimiento, las concepciones y las creencias de los profesores como factores determinantes de su práctica profesional y de sus acciones en el aula (Houston, 1990; Thompson, 1992; Llinares, 1998). En particular, los estudios e investigaciones sobre el pensamiento del profesor de matemáticas y su conocimiento profesional han experimentado un desarrollo considerable en los últimos 30 años, siendo el estudio del conocimiento del profesor de matemáticas, del que las concepciones y creencias sobre enseñanza y aprendizaje forman parte, un tema de interés tanto por su actualidad como por sus conexiones con corrientes actuales de investigación en Educación Matemática (Contreras y Carrillo, 1998). Hablar de la formación y experiencia profesional de los profesores comprende tanto aspectos de orden ético, académico e investigativo, como pedagógico y didáctico. De esta manera, en esta investigación se identificaron y analizaron las concepciones o formas de concebir el objeto matemático de la derivada por parte de profesores y profesoras de cálculo actualmente en ejercicio, y se describieron y caracterizaron dichas concepciones, con el fin de determinar las posibles diferencias que puedan atribuirse a la formación profesional, y se precisaron las distintas formas en que esas concepciones orientan sus prácticas de enseñanza de este tópico. Mi interés en este tipo de estudio no es solo como profesora investigadora preocupada por la formación de los profesores de matemáticas y la calidad de la Educación Matemática en nuestro país, sino también personal, ya que como docente de matemáticas de nivel universitario me interesaba reflexionar y mejorar mi propia formación y conocimiento en relación con los conceptos básicos del Cálculo y sobre su enseñanza.. Tesis de maestría. Silvia Paola Solano Camargo 8.

(9) Este interés, que nace de mi propia experiencia, se incrementó al iniciar la revisión preliminar del estado de arte al respecto, donde encontré reflexiones de investigadores en Didáctica de las Matemáticas como la de García, Moreno y Azcárate (2006), quienes realizaron una investigación sobre las creencias, concepciones y el conocimiento profesional que tiene un grupo de profesores de universidad sobre la enseñanza del cálculo diferencial a estudiantes de ciencias económicas. Esta investigación se trató de un estudio de caso múltiple en el que participaron diez profesores de matemáticas, y los resultados muestran que casi todos los profesores participantes seguían una línea tradicional a la hora de abordar la enseñanza de la derivada y le dan un fuerte peso al contenido matemático en sí, descuidando el contenido de las ciencias económicas relacionado con el cálculo diferencial. Ahora bien, investigaciones en el campo de Didáctica de las Matemáticas sobre el rol del profesor de matemáticas muestran un divorcio entre los resultados de dichas investigaciones y la práctica de la enseñanza de las matemáticas. Algunos autores, como Schoenfeld (1998, 2000a, 2000b, citado por Godino, 2011, p. 2), han investigado sobre los modelos de la enseñanza en Matemáticas, intentando describir y explicar lo que pasa en la clase, las decisiones que toma el profesor cuando enseña, los procesos mentales de los sujetos cuando resuelven problemas, entre otros. De esta manera, hay múltiples investigaciones que describen los diversos factores que condicionan las decisiones del profesor tales como creencias, conocimientos, concepciones, valores, opiniones, etc., en los momentos de diseño, implementación y evaluación, aunque pocas de ellas abordan la articulación conjunta de estos factores.. 1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA En este apartado realizo el planteamiento del problema, los objetivos de la investigación y el estado del arte. Este último se divide en dos partes: (i) sobre las creencias, concepciones y convicciones del Profesor de Matemáticas en general y, en particular, (ii) sobre las concepciones de profesores y estudiantes acerca del concepto de la derivada. 1.2.1 Planteamiento del problema El problema de investigación consistió en identificar y analizar las concepciones de la derivada que tienen dos profesores actualmente en ejercicio de la docencia universitaria de matemáticas (un matemático y un licenciado en matemáticas) con el fin de intentar describir y caracterizar dichas creencias, concepciones y convicciones para contrastarla con la formación profesional inicial de los profesores y precisar la influencia en la toma de decisiones en la fase preactiva o de planificación (según Jackson, 1975, citado por Llinares, 2000) y de lo que de allí se puede inferir respecto a sus prácticas de enseñanza en la fase interactiva de este tópico. De esta manera, para poder caracterizar dichas creencias, concepciones y convicciones, se analizaron tres organizadores del currículo que dominan el análisis didáctico del contenido de matemáticas con respecto al concepto de la derivada, como son la estructura conceptual, los sistemas de representación y los fenómenos relacionados con el contenido matemático. Por lo tanto, se plantearon las siguientes preguntas generales orientadoras de la presente investigación. Tesis de maestría. Silvia Paola Solano Camargo 9.

(10)  ¿Cuáles son las creencias, concepciones y convicciones de un Licenciado en Matemáticas y un Matemático en torno al concepto de la derivada?  ¿Cuáles son las similitudes y diferencias en las creencias, concepciones y convicciones de los dos profesores en torno al concepto de la derivada?  ¿Cómo o de qué manera influyen las creencias, las concepciones y los convicciones de los profesores de matemáticas en sus planeaciones de clase? Como se puso de manifiesto anteriormente y por las razones aducidas de la dificultad de verbalización y de las menores expectativas de cambio, particularicé estas preguntas únicamente a aquellas creencias que llamé “concepciones o formas de concebir el objeto”. Este aspecto terminológico se precisará más adelante (Sección 3.1). 1.2.2 Objetivos En este apartado propongo los objetivos –generales y específicos– que espero lograr a través de la presente investigación. 1.2.2.1 Objetivo General Identificar y analizar las concepciones o formas de concebir el objeto matemático de la derivada que tienen dos profesores de matemáticas (un matemático y un licenciado en matemáticas) para intentar describir o caracterizar dichas concepciones, con el fin de precisar las distintas formas en que estas concepciones orientan sus prácticas de enseñanza de este tópico. 1.2.2.2 Objetivos Específicos 1. Identificar y describir las concepciones que tienen dos profesores de Matemáticas en torno al concepto de la derivada. 2. Caracterizar y contrastar las similitudes y diferencias de las concepciones de los dos profesores de matemáticas en torno al concepto de la derivada. 3. Identificar la forma como influyen las concepciones de los profesores de matemáticas en sus planeaciones de clase. 1.2.3 Estado del arte En el ejercicio de la revisión del estado del arte debo señalar que sólo hasta inicios del presente siglo se han empezado a precisar y estabilizar un poco las concepciones, en particular las llamadas “misconcepciones” de los profesores de matemáticas. Ahora bien, en la literatura se distinguen los términos concepciones, creencias y convicciones, pero no hay unanimidad o acuerdo en tales distinciones, esto dificultó realizar el meta-análisis necesario para un estado del arte, ya que por ejemplo, en las listas de términos suelen aparecer “conocimientos, creencias y concepciones”, o “saberes y conocimientos”, entre otros. Ahora bien, en inglés no se distinguen saberes y conocimientos y tampoco se puede hablar de conocimientos en plural. En español, muchos autores usan la expresión “conocimiento del profesor” en sentidos muy diferentes, según estén influenciados o no por la distinción francesa entre saberes y conocimientos.. Tesis de maestría. Silvia Paola Solano Camargo 10.

(11) Por ello hago explícita la dificultad de precisar los términos característicos, dado que existen unas fronteras invisibles entre ellos que fácilmente se pueden sobrepasar. Sin embargo, en el marco teórico voy a precisar que las creencias son lo más profundo, las convicciones no son necesariamente verbales y las concepciones si se pueden verbalizar, por lo que voy a trabajar solamente sobre las concepciones, por razones obvias. A continuación, voy a exponer los documentos encontrados en la revisión de la literatura en dos vías: sobre las creencias, concepciones y convicciones del Profesor de matemáticas en general y, en particular, sobre las concepciones de profesores y estudiantes acerca del concepto de la derivada. 1.2.3.1 Sobre las creencias, concepciones y convicciones del Profesor de Matemáticas En la revisión de la literatura encontré varios trabajos sobre las creencias, concepciones y convicciones de los Profesores de Matemáticas, dado que es un campo de investigación que se ha venido desarrollando desde hace 30 años y en los cuales he encontrado algunos documentos que relaciono a continuación. 1. Bohórquez (2013) se interesó en determinar los cambios de concepciones de un grupo de futuros profesores de matemática sobre su gestión del proceso de enseñanza y aprendizaje en un ambiente de aprendizaje fundamentado en la resolución de problemas. Para poder investigar sobre ello, Bohórquez realizó una revisión exhaustiva del estado del arte sobre las creencias y concepciones de los profesores de Matemáticas y ha encontrado investigaciones tales como la de Thompson (1992) quien investigó sobre las concepciones – creencias (beliefs) de los profesores de Matemáticas y señala que una de las características de las creencias es que pueden ser consideradas con variación del grado de convicción. También, Bohórquez presentó las ideas elaboradas por otros autores como Pajares (1992) quien considera que las creencias están conformadas de tres componentes: el cognitivo (conocimiento), el afectivo (emoción) y el conductual (acción); además, Pajares (1992, citado por Bohórquez, 2013) señala que las creencias son un tipo de conocimiento basado en evaluaciones y juicios ligados a la componente afectiva, mientras que el conocimiento se basa en hechos objetivos. Así mismo, Ponte (1994, citado por Bohórquez, 2013) considera las creencias en el sentido de proposiciones no demostradas, y aunque hace una diferenciación entre creencias y conocimiento, considera a las primeras como una parte del conocimiento del sujeto. Bohórquez encontró también que autores como Moreno (2000) consideran que las creencias son conocimientos subjetivos, poco elaborados, generados a nivel particular por cada individuo para explicarse y justificar muchas de las decisiones y actuaciones personales y profesionales vividas. Las creencias no se fundamentan sobre la racionalidad, sino más bien sobre los sentimientos, las experiencias y la ausencia de conocimientos específicos del tema con el que se relacionan, lo que las hacen ser muy consistentes y duraderas para cada individuo. 2. García, Moreno y Azcárate (2006) realizaron una investigación que se enmarcó dentro de la figura del profesor de Matemáticas de universidad y cómo este aborda la enseñanza del cálculo diferencial, desde sus concepciones, creencias y conocimientos profesionales analizando de esta manera qué ejemplo matemático o no matemático cree que es el más adecuado para llegar al concepto de derivada, qué tipo de aplicaciones de la derivada enseña a sus estudiantes y cuál Tesis de maestría. Silvia Paola Solano Camargo 11.

(12) es su posición frente a una propuesta de enseñanza del cálculo con problemas que involucren situaciones reales de las carreras objeto de este estudio (ciencias económicas). Estos autores señalan que las concepciones de los docentes consisten en la estructura que cada profesor de Matemáticas da a sus conocimientos para posteriormente enseñarlos o transmitirlos a sus estudiantes. De hecho, consideran que algunas características de las concepciones del profesor son: primero que forman parte del conocimiento, segundo que son producto del entendimiento, tercero que actúan como filtros en la toma de decisiones, y finalmente, que influyen en los procesos de razonamiento. 3. D’Amore y Fandiño (2004) vincularon el significado de concepción a la idea de creencia, afirmando que la creencia (convicción) es una opinión, conjunto de juicios/expectativas, aquello que se piensa a propósito de algo, y que el conjunto de las convicciones de alguien (A) sobre un determinado aspecto (T) forma la concepción (K) de A relativa a T. Además, estos autores establecen que “si A pertenece a un grupo social (S) y comparte con los demás miembros de S el mismo conjunto de convicciones relativas a T, entonces K es la concepción de S relativa a T” (D’Amore y Fandiño, 2004, p. 26). 4. Gil y Rico (2003) describieron y caracterizaron, en una investigación que se realizó con profesores de secundaria de Andalucía, las concepciones y creencias que sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas tienen dichos profesores. Se trató de un estudio exploratorio que utiliza la técnica de encuesta (survey), por medio de la administración de un cuestionario cerrado a modo de escala de valoración apoyada en la identificación empírica de los juicios de los profesores, la generación inductiva de un sistema de categorías teóricamente fundamentado para clasificar tales juicios y el control del proceso por expertos. Un estudio descriptivo de las valoraciones de los profesores estableció el grado de aceptación de las categorías de análisis, como por ejemplo: (a) la reflexión sobre el currículo y la búsqueda de información en libros y listas de ejercicios caracterizan la preparación de materiales para el aula, (b) la satisfacción del profesor viene determinada principalmente por el buen ambiente del aula, (c) el criterio prioritario para determinar cuándo un alumno es bueno es su motivación, (d) la razón principal para estudiar matemáticas es su utilidad social, (e) las matemáticas se aprenden motivando y estimulando procesos cognitivos, (f) los contenidos que tienen implicaciones curriculares posteriores y los actitudinales se valoran como más importantes, y, (g) los errores sirven para reconsiderar la programación. 5. Schoenfeld (2000a) describió, en su propuesta por construir un modelo del profesor de matemáticas, la relación entre las creencias, las metas, el conocimiento del profesor y su práctica docente de la siguiente manera: Postulamos que, sea el profesor consciente o no de sus creencias metas y conocimientos, estos son factores claves en el proceso de toma de decisiones y tal proceso toma en cuenta esos factores… El modelo de un profesor particular contendrá representaciones de metas, creencias y conocimiento atribuidos a ese profesor y un mecanismo de toma de decisiones que sugiere como, en unas circunstancias dadas, esas metas, creencias y conocimiento configuran la decisión del profesor respecto a qué hacer después (2000, p. 248). Tesis de maestría. Silvia Paola Solano Camargo 12.

(13) Para este autor, las creencias conforman la percepción que el individuo tiene de su experiencia, configurando las metas que el profesor se impone para la interacción en el aula, las opciones que el profesor cree que están disponibles para lograr esas metas y la manera en que estos recursos se pueden emplear. 1.2.3.2 Sobre las concepciones de profesores y estudiantes acerca del concepto de la derivada Con respecto a los estudios didácticos relacionados con el concepto de la derivada y su comprensión como objeto de investigación en estudiantes y profesores encontré, además de la investigación de García, Moreno y Azcárate (2006), las investigaciones que menciono a continuación. 1. Acosta, Delgado y Rodríguez (1992) realizaron un trabajo donde mostraron una definición alternativa de la derivada. En esta definición se resalta la continuidad y deja de lado la fundamentación explícita en la existencia de un límite. Así, este desarrollo abre nuevas posibilidades en la didáctica al interior de los cursos de cálculo, no solo en el curso del cálculo de una variable sino también en varias variables. El concepto de derivada es abordado usualmente a partir de la definición dada por Augustin Louis Cauchy. La derivada de Carathéodory no requiere de paso al límite sino de la continuidad en un punto y dado que se puede definir continuidad sin paso al límite este hecho ha llevado a que en algunos cursos se reduzca el concepto a un cálculo algebraico, olvidando por completo su significado geométrico. Por tal motivo, estos autores consideraron conveniente presentar una propuesta didáctica, para abordar un criterio de diferenciabilidad basado en la definición de derivada dada por Constantin Carathéodory, ya que esta ofrece un tratamiento geométrico significativo. Esta derivada es equivalente a la derivada de Frechet. De acuerdo con Acosta y Delgado (1994) esta definición tiene incidencia en el currículo que podría orientarse de una manera más económica y más significativa. Uno de los hechos más importantes de esta definición es que Acosta y Delgado (1994) demostraron que esta definición es equivalente a la derivada de Frechet que se introduce en los cursos de cálculo vectorial en términos de límite. También, Delgado (1998) demostró en su tesis doctoral que la derivada de Carathéodory es más accesible en una construcción vía situaciones (Brousseau, 1986) que permiten superar obstáculos epistemológicos asociados con la definición 𝜀 − 𝛿 de ése concepto y luego definir límite en términos de la continuidad. Así las cosas, la transposición didáctica: continuidad – límite – Derivada de Carathéodory, sería más comprensible y se accedería directamente al cálculo vectorial. 2. Thurston (1994) escribió un artículo titulado “On proof and progress in mathematics” en el cual manifestó que al intentar dar respuesta a la pregunta ¿cómo la gente entiende matemáticas? es una cuestión muy difícil, dado que la comprensión es un asunto individual e interno y que es difícil de tener plena conciencia de ello, difícil de entender y, a menudo difícil de comunicar. Este autor argumentó que las personas tienen diferentes caminos para entender determinados tópicos de las matemáticas y un buen ejemplo para mostrar estos caminos es la derivada de una función, para la cual da una lista de siete definiciones y luego propone otra desde un punto de vista muy avanzado. 3. Artigue (1995) ha realizado diversas investigaciones sobre la enseñanza de los principios del cálculo, los problemas que presenta y las opciones que ofrecen como profesores, con sus fortalezas y debilidades. Esta autora puso de manifiesto los problemas sobre la comprensión de los conceptos básicos del cálculo y argumenta que la enseñanza del cálculo tiende a centrarse en Tesis de maestría. Silvia Paola Solano Camargo 13.

(14) una práctica algorítmica y algebraica del cálculo, evaluándose en esencia las competencias en ese dominio. 4. Ortega y Sierra (1998) presentaron un artículo sobre el concepto de derivada, en el cual plantearon, a partir de la teoría de los organizadores del currículo, algunas indicaciones para su enseñanza. Estos autores argumentan que la enseñanza de los principios básicos del cálculo es bastante problemática, dado que, si bien es cierto se consigue que los estudiantes resuelvan de forma mecánica algunos límites, derivadas e integrales, no existe una comprensión satisfactoria de los conceptos y métodos del análisis. 5. Sánchez-Matamoros, García y Llinares (2008) realizaron una investigación donde indagaron sobre la dificultad de la comprensión de la derivada en estudiantes de bachillerato y primeros años de universidad. Este trabajo se abordó tomando en cuenta tres frentes: (a) lo que se conoce de la comprensión de la derivada de una función en un punto; (b) el papel de los sistemas de representación; y, (c) las características del desarrollo del esquema de la derivada con el fin de comprender como los estudiantes dotan de significado y usan el concepto de la derivada. 6. Sánchez-Matamoros, Fernández, Valls, García, y Llinares (2012) presentaron otra investigación cuyo objetivo es caracterizar grados de desarrollo de la competencia docente “mirar con sentido” el pensamiento matemático de los estudiantes en el ámbito específico de la derivada de una función en un punto. A partir de los resultados de las investigaciones previas sobre la derivada, estos autores diseñaron un cuestionario formado por tres tareas a partir de las respuestas de estudiantes a 3 problemas sobre el concepto de derivada en un punto. Los resultados han permitido generar descriptores de niveles de desarrollo de la competencia docente “mirar con sentido” el pensamiento matemático de los estudiantes. Estos resultados aportan información para el diseño de intervenciones en la formación de profesores de matemáticas que tengan como uno de sus objetivos el desarrollo de la competencia docente “mirar con sentido” el pensamiento matemático de los estudiantes. 7. Godino, Font y Pino-Fan (2013) presentaron un artículo en el que muestran los resultados de una investigación durante la cual se diseñó y aplicó un instrumento para explorar y caracterizar una de las facetas del conocimiento didáctico-matemático sobre la derivada de futuros profesores de secundaria/bachillerato. En la primera parte se presenta el proceso de diseño del instrumento, abordando tanto las consideraciones teóricas y metodológicas contempladas para su diseño, como las características y conocimientos que se pretenden con cada una de las tareas que lo conforman. El instrumento resultante puede significar un aporte para los formadores de profesores que deseen explorar y potenciar la faceta del conocimiento sobre la derivada. En la segunda parte, estos autores presentaron los resultados obtenidos de la aplicación de dicho instrumento a una muestra de futuros profesores de bachillerato en el contexto de una universidad mexicana. “Los resultados del análisis de las respuestas de los estudiantes evidencian tanto una desconexión entre los distintos significados parciales de la derivada como la necesidad de potenciar el conocimiento del contenido especializado” (p. 44).. Tesis de maestría. Silvia Paola Solano Camargo 14.

(15) En el contexto colombiano, se conocen varias tesis doctorales, tesis de pre y post grado, así como artículos publicados en revistas internacionales que profundizan en la enseñanza y el aprendizaje de la derivada. 8. Badillo (2003) realizó un trabajo exhaustivo sobre el concepto de derivada como objeto matemático y como objeto de enseñanza y aprendizaje en el nivel de bachillerato del sistema educativo colombiano, así como sobre las formas como los profesores interpretan y justifican las situaciones concretas de enseñanza en las que deben actuar, como un punto de partida para entender la práctica profesional del profesor y la generación del conocimiento profesional para poder incidir en su formación permanente e inicial. 9. Martínez y Murillo (2004) presentaron una propuesta didáctica sobre la enseñanza y el aprendizaje de la derivada puntual. Esta propuesta intenta hacer un acercamiento intuitivo al Conocimiento Matemático Escolar de derivada puntual fundamentada en el Análisis Didáctico de una Unidad Didáctica basada en las utilidades de representación y visualización de las calculadoras graficadoras algebraicas (TI-92 plus ó Voyage 200). 10. Rojas (2008) realizó una investigación sobre la forma como el docente de matemáticas puede reconstruir el concepto de derivada a partir de un curso abordado desde la resolución de problemas, con el fin de evaluar la transformación que se produjo. Para realizar esta investigación, Rojas (2008) se basó en la investigación realizada por Badillo (2003) para clasificar a algunos profesores de acuerdo con la teoría APOE en los niveles de comprensión de derivada antes de comenzar el curso y al finalizarlo con el fin de evaluar la reconstrucción del concepto en cada uno de ellos. 11. Villa (2011) comenzó con una amplia revisión de la literatura a luz del pensamiento variacional y de la enseñanza y el aprendizaje de algunos tópicos del cálculo y cuyo propósito es indagar por el proceso de comprensión de un concepto matemático específico a saber, como la derivada. Desde los resultados de esta investigación se resaltan aspectos como: la interacción entre las estudiantes, entre ellas y los medios, y con el investigador como factores que promueven la comprensión matemática. Otros aspectos sobre el papel de la representación matemática también son valorados en las conclusiones de este estudio. 12. Ramírez, G. & Ordoñez, J. (2014) realizaron un análisis didáctico del proceso de enseñanza de la derivada en un curso de Cálculo I, ofrecido a los estudiantes de los programas de Licenciatura del Área de Educación Matemática. Concretamente, estos autores se interesaron por describir y analizar críticamente el papel que los profesores (principal y “tallerista”) y los estudiantes le asignan a la visualización en el contexto local o particular del sistema didáctico que se implementa en la clase de Cálculo I, cuando se propone enseñar y aprender el concepto (sistema o estructura conceptual) de la derivada. La tesis doctoral de Villa (2011) me aportó elementos sobre el análisis didáctico del concepto de la derivada, así como la tesis de Martínez y Murillo (2004); mientras que la tesis de Badillo (2003) y de Rojas (2008) están enfocadas hacia la educación media y me permitieron avanzar hacia la educación universitaria, especialmente para ubicarme en el primer semestre de universidad, específicamente en el curso de cálculo diferencial, ya que en este trabajo de investigación me interesaba Tesis de maestría. Silvia Paola Solano Camargo 15.

(16) indagar sobre los aspectos académicos y didácticos de las concepciones, creencias y convicciones de profesores de matemáticas de instituciones de educación superior en torno a la derivada, con el propósito de caracterizar o describir sus concepciones al respecto.. Tesis de maestría. Silvia Paola Solano Camargo 16.

(17) 2. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN. En el presente capítulo abordaré las cuestiones metodológicas de la investigación para lo cual presentaré un marco metodológico donde describo el método que se utilizó con los dos profesores objeto de investigación: el estudio de casos. Adicionalmente, presentaré el diseño metodológico de esta investigación donde describiré las técnicas y los instrumentos de recolección de la información.. 2.1 MARCO METODOLÓGICO En el contexto de la investigación en Educación Matemática se identifica el análisis didáctico con el procedimiento metodológico no-empírico que analiza, relaciona e integra, a través de un proceso secuenciado la información procedente de diversas áreas de investigación interrelacionadas con el objeto de estudio (González, 1998a, 1998c). Y en el contexto más general de la formación profesional de profesores de matemáticas, se propone el análisis didáctico como una estrategia de cualificación y de desarrollo profesional y de competencias de los docentes, así como de innovación y desarrollo curricular y didáctico por parte de estos (Rico, 1997; Gómez, 2007; Bedoya, 2013). Teniendo en cuenta lo anterior, y dado que este proyecto de investigación se propuso en el campo de la Didáctica de las Matemáticas y la Formación de Profesores de Matemáticas, el modelo de análisis que se adaptó en torno al contenido matemático que nos ocupa –la derivada– se centra en los tres organizadores del currículo siguientes:  Estructura conceptual  Sistemas de representación  Fenomenología Con este modelo local de análisis didáctico como referente, esta investigación se propuso con carácter cualitativo, descriptivo e interpretativo, y se desarrolló mediante un enfoque metodológico de estudio de caso múltiple en contextos educativos universitarios públicos y privados de la ciudad de Bogotá. De manera más concreta, una vez seleccionados los docentes y las correspondientes instituciones de educación superior, teniendo el modelo de análisis didáctico adoptado como referente, se realizó una rigurosa revisión y análisis de las distintas fuentes documentales y entrevistas que permitieron caracterizar los distintos contextos y niveles de concreción curricular en los que los docentes participantes se han formado inicialmente y se continúan formando.. Tesis de maestría. Silvia Paola Solano Camargo 17.

(18) 2.1.1 El estudio de caso El método que seguí es el estudio de caso, puesto que al contrario del experimentador que maneja variables para determinar su significación casual o del encuestador que hace preguntas normalizadas a representativas muestras de individuos, el investigador de estudio de casos observa las características de una unidad individual, un niño, una pandilla, una clase, una escuela o una comunidad. El propósito de tal observación es poner a prueba profundamente y analizar intensamente el fenómeno diverso que constituye el ciclo vital de la unidad, con el fin de intentar establecer conjeturas y nuevos modelos sobre las creencias que tienen los profesores objeto de estudio, en este sentido, y para efectos de esta investigación, analicé a un matemático y un licenciado en matemáticas.. 2.2 DISEÑO METODOLÓGICO La selección de los dos casos la realicé a partir de las experiencias profesionales de los profesores, así como de la formación inicial y posgraduada que poseían, ya que me interesaba analizar los diferentes contextos en los que se desenvuelven los maestros que entrevisté. De esta manera, para poder escoger a los participantes en esta investigación, realicé una pequeña selección de matemáticos y licenciados en matemáticas a los que les solicité a través de una carta que consignaran allí, de manera libre, sus opiniones con respecto al aprendizaje de las matemáticas, la enseñanza de las matemáticas y su opinión con respecto al concepto de la derivada. Esta carta se encuentra en el anexo 1. 2.2.1 Técnicas e instrumentos de recolección de información Una vez realizada la actividad de las cartas, tomé, de estas cartas, las dos que me permitieron acercarme a las concepciones, creencias y convicciones de los profesores para así poder hacer la recolección de los datos a través de los siguientes instrumentos.  Entrevistas  Análisis documental de las planeaciones y evaluaciones realizadas por los profesores. Ahora bien, para un estudio de caso descriptivo observacional, la entrevista se convierte en una técnica de investigación, que usé como: un medio de valoración –evaluación– del individuo, puntualmente sobre sus concepciones, creencias y convicciones con respecto al concepto de la derivada. Más puntualmente la entrevista fue el medio que me permitió probar o desarrollar hipótesis, plantear supuestos, reunir datos –información– hacer un seguimiento, sistematizar y caracterizar dichas creencias, concepciones y convicciones de la derivada. De esta manera, utilicé una entrevista semiestructurada ya que ésta me permitía obtener la información relevante que quería conseguir. También, se hicieron preguntas abiertas dando oportunidad a recibir más matices de la respuesta y esto me permitió ir entrelazando los temas. Así pues, la entrevista en este sentido fue una herramienta específica de la investigación, ya que la entrevista se entiende como: “un dialogo iniciado por un entrevistador con el propósito Tesis de maestría. Silvia Paola Solano Camargo 18.

(19) específico de obtener información relevante para la investigación y enfocado por él sobre el contenido especificado por los objetivos de investigación de descripción, de predicción o de explicación sistemática” (Goicoechea, Juarros y Nuez, 2010, p. 100), es decir, realicé una entrevista dirigida menos formal que permitió tener un cuestionario base con relación a unos temas pero no con preguntas cerradas para un registro riguroso ceñido a un programa o formato, sino que me permitió dirigir la conversación y profundizar en la información específica para caracterizar las creencias, concepciones y convicciones, según el interés de esta investigación. El formato de esta entrevista semiestructurada se presenta en el anexo 2. Para realizar los análisis de los datos recogidos en la presente investigación utilicé la técnica de la triangulación dado que esta técnica permite combinar dos o más teorías, fuentes de datos, métodos de investigación, en el estudio de un fenómeno singular, y esta técnica me permitió explicar de manera más completa, la riqueza y complejidad de las distintas concepciones, creencias y convicciones de los profesores que serán estudio de casos.. Tesis de maestría. Silvia Paola Solano Camargo 19.

(20) 3. MARCO TEÓRICO. Las aproximaciones sucesivas a la delimitación del problema, llevadas a cabo a partir de las revisiones preliminares de la literatura relacionada con los contenidos principales objetos de estudio, me han llevado a la necesidad de precisar y reorientar algunos conceptos que voy a asumir tanto en el marco conceptual como en la metodología de análisis de la presente investigación.. 3.1 CONCEPCIONES DE LOS PROFESORES DE MATEMÁTICAS Como se mencionó en el planteamiento del problema de investigación, mi interés es caracterizar las concepciones de la derivada que tienen dos profesores de Matemáticas; por lo tanto, en este apartado preciso las interpretaciones de los términos creencia, concepción y convicción que abordé en la presente investigación. Algunos autores manejan, en español, los términos creencias y concepciones como sinónimos; sin embargo, otros autores señalan que son diferentes tipos o niveles de conocimiento y que por lo tanto forman parte del conocimiento profesional del profesor. El término concepciones ha tenido y tiene diferentes usos y significados: creencias, sistema de creencias, reflexiones a priori, ideologías y teorías implícitas. 3.1.1 Creencias En el diccionario de la Real Academia de la Lengua Española (2001) se establece que la creencia proviene del latín “credere” y que se define como “tener por cierto una cosa que el entendimiento no alcanza o que no está comprobada o demostrada”. También, en la versión de 2001 de este diccionario, se define la creencia como “creer que (alguien o algo) tiene verdadera existencia”, “estar convencido de la bondad o validez de algo o alguien”, “fe profunda que orienta la acción”. De esta manera, la creencia la tomé en el sentido de la traducción de “beliefs”; e interpreto las creencias en dos vías: las concepciones y las convicciones, dado que ellas también orientan la acción. Existen supuestos y creencias que configuran las maneras como los profesores enseñan matemáticas a los escolares, por ejemplo, Schoenfeld (2000) argumenta que: Como sucede en las demás áreas, las creencias configuran la percepción que el individuo tiene de su experiencia. Ellas configuran las metas que el profesor se impone para la. Tesis de maestría. Silvia Paola Solano Camargo 20.

(21) interacción en el aula, las opciones que el profesor cree que están disponibles para lograr esas metas, y la manera en que estos recursos (en este caso, diferentes tipos de enseñanza y de contenido matemático, rutinas de clase, etc.) se pueden emplear (p. 248). Las creencias del profesor (sobre los estudiantes, el aprendizaje, la enseñanza, las matemáticas…) configuran lo que el profesor ve como creíble, posible o deseable. Por lo tanto, las creencias configuran la selección de metas y planes de acción (p. 253). En la investigación educativa, para Grossman, Wilson y Shulman (1989), las creencias son más discutibles que el conocimiento, están más abiertas al debate. Estos autores afirman que las creencias del profesor son de dos tipos, dependiendo de si están referidas a las matemáticas como disciplina científica o a las matemáticas como objeto de enseñanza y aprendizaje. Las primeras influyen en el contenido que se enseña y en la forma de enseñarlo. Las segundas influirán en la orientación que el profesor da a la materia que enseña. Thompson (1992) señala que una de las características de las creencias es que pueden ser consideradas con variación del grado de convicción. El creyente puede estar pasionalmente entregado a su punto de vista o en el otro extremo podría considerar una afirmación de un asunto como más probable o no. Este autor afirma que las creencias a menudo incluyen sentimientos afectivos y evaluaciones, memorias de experiencias personales vividas, supuestos sobre la existencia de entidades y mundos alternativos los cuales no son abiertos a la evaluación externa o examinación crítica (Thompson, 1992, p. 29). Otras características de las creencias que presenta este autor es que no están consensuadas, son independientes de su validez y que están caracterizadas por una falta de acuerdo sobre cómo son evaluadas y juzgadas (p. 29). Por su parte, Pajares (1992) considera que las creencias están conformadas de tres componentes: el cognitivo (conocimiento), el afectivo (emoción) y el conductual (acción); además, señala que las creencias son un tipo de conocimiento basado en evaluaciones y juicios ligados a la componente afectiva, mientras que el conocimiento se basa en hechos objetivos. Ponte (1994) toma las creencias en el sentido de proposiciones no demostradas, y aunque hace una diferenciación entre creencias y conocimiento, considera a las primeras como una parte del conocimiento del sujeto. Al respecto, este autor afirma que las creencias se pueden ver como una parte del conocimiento relativamente “poco elaborado” en vez de ver a los conocimientos y a las creencias como dos dominios distintos. Ponte establece que las creencias personales no requieren, incluso, consistencia interna; esto implica que las creencias son a menudo discutibles, más inflexibles, y menos dinámicas que otros aspectos del conocimiento. Las creencias juegan un papel más importante en aquellos dominios del conocimiento en los que la verificación es difícil o imposible (Ponte, 1992, p. 30). Vicente (1995) establece que las creencias son ideas u opiniones que la gente tiene en la cabeza pero sin haber comprobado ni haberse detenido a examinar si se trata de algo fundado o sin fundamento. Moreno (2000) considera que las creencias son conocimientos subjetivos, poco elaborados, generados a nivel particular por cada individuo para explicarse y justificar muchas de las decisiones y actuaciones personales y profesionales vividas. Las creencias no se fundamentan sobre la racionalidad, sino más bien sobre los sentimientos, las experiencias y la ausencia de conocimientos Tesis de maestría. Silvia Paola Solano Camargo 21.

(22) específicos del tema con el que se relacionan, lo que las hacen ser muy consistentes y duraderas para cada individuo. 3.1.2 Concepciones Las concepciones son más conscientes y fácilmente verbalizables, con definiciones, comparaciones y teorías, más susceptibles al cambio. Las concepciones pueden ser adecuadas o inadecuadas (misconceptions) y nos referimos a concepciones inadecuadas como aquellas concepciones que no son adecuadas al problema que se quiere tratar; por esta razón evito traducir “misconceptions” como “concepciones equivocadas”, pues pueden ser acertadas para otros problemas en otros contextos. Ahora bien, sobre las concepciones, D’Amore & Fandiño (2004) establecen que son un conjunto de juicios/expectativas, opiniones, lo que se piensa a propósito de algo. D’Amore y Fandiño (2004) vinculan el significado de concepción a la idea de creencia afirmando que la creencia (convicción) es una opinión, conjunto de juicios/expectativas, aquello que se piensa a propósito de algo y que el conjunto de las convicciones de alguien (A) sobre un determinado aspecto (T) forma la concepción (K) de A relativa a T. Además, estos autores establecen que “si A pertenece a un grupo social (S) y comparte con los demás miembros de S el mismo conjunto de convicciones relativas a T, entonces K es la concepción de S relativa a T” (D’Amore & Fandiño, 2004, p. 26). Sfard (1991) establece que las concepciones pueden ser consideradas el lado personal/privado del término “concepto”. Ruíz (1994) determina que las concepciones se pueden situar en dos dimensiones. Por una parte, se diferencian las concepciones subjetivas o cognitivas de las epistemológicas; y, por otra, las concepciones locales de las globales. Este autor establece que las concepciones subjetivas son mantenidas por cada sujeto, de manera individual y se refieren al conocimiento y creencias de los sujetos. En cambio, las concepciones epistemológicas se refieren a tipologías de conocimiento existente en un cierto periodo histórico, o circunscrito a los textos o programas de cierto nivel de enseñanza. Ahora bien, sobre las concepciones globales, este autor señala que son aquellas que describen holísticamente las concepciones ligadas a un concepto u otro objeto a diferencia de las locales que tienen en cuenta aspectos parciales de los sistemas anteriores (Ruíz, 1994, p. 71). Ponte (1994) señala que las concepciones pueden ser vistas como el plano de fondo organizador de los conceptos. Ellas constituyen como “miniteorías”, o sea cuadros conceptuales que desempeñan un papel semejante a los presupuestos teóricos de los científicos. Las concepciones condicionan la forma de abordar las tareas y ligadas a ellas están las actitudes, las expectativas y el entendimiento que cada uno tiene de lo que constituye su papel en una situación dada (Ponte, 1994, p. 195). García, Moreno y Azcárate (2006) señalan que las concepciones de los docentes consisten en la estructura que cada profesor de matemáticas da a sus conocimientos para posteriormente enseñarlos o transmitirlos a sus estudiantes. De hecho, estos autores consideran que algunas características de las concepciones del profesor son: (a) forman parte del conocimiento; (b) son producto del entendimiento; (c) actúan como filtros en la toma de decisiones; y, (d) influyen en los procesos de razonamiento. Otro autor que relaciona las creencias con las concepciones es Pehkonen (2006), dado que este autor utiliza el término concepción en paralelo a creencias. En este caso, Pehkonen define las Tesis de maestría. Silvia Paola Solano Camargo 22.

(23) concepciones como las creencias conscientes, es decir, las concepciones forman un subgrupo de las creencias (Pehkonen, 2006). Este autor entiende las creencias de un individuo como lo subjetivo, basado en la experiencia, el conocimiento y las emociones a menudo implícitos en algún asunto. Ernest (1988) presenta una concepción que los profesores tienen de las matemáticas, la cual denomina concepción instrumentalista de las matemáticas, que Thompson (1992) caracteriza como aquella en donde las matemáticas se conciben como un saco de herramientas que están formadas de una acumulación de hechos, reglas y destrezas para ser usadas por expertos en la consecución de un fin externo. Así, las matemáticas son un juego de efectivas y útiles reglas y hechos (Thompson, 1992, p. 132). De igual forma, Ernest (1989) escribió un artículo en el que identifica tres visiones de las matemáticas que hacen parte de uno de los “componentes clave de las creencias delo profesores” (p. 249). Se trata de las visones respecto a la naturaleza de las matemáticas: instrumentalista, platónica y resolución de problemas. Estas visiones, afirma Ernest, impactan los modelos de enseñanza y aprendizaje que junto a las restricciones y condiciones institucionales, finalmente determina sus actuaciones. Las concepciones de los profesores sobre la enseñanza están conformadas, según Thomson (1992), por aspectos muy diversos; por ejemplo, lo que considera un profesor como objetivos deseables del programa de matemáticas, su propio rol en la enseñanza, el rol de los estudiantes, las actividades apropiadas del salón de clases, la aproximación a la práctica instruccional deseable, la legitimación de los procedimientos matemáticos, y los resultados aceptables de la instrucción. Una fuerte relación ha sido observada entre las concepciones de los maestros sobre la enseñanza y sus concepciones sobre el conocimiento matemático de los estudiantes (Thompson, 1992, p. 135). Hacia el año de 1992, Thompson informaba que los investigadores reportaban variados desacuerdos o inconsistencias entre las concepciones y creencias profesadas por los profesores sobre la naturaleza de las matemáticas y la práctica instruccional. 3.1.3 Convicciones En la literatura se encuentra que el término “convicción” es sinónimo de “concepción”, y está relacionado con las acciones de los profesores; de esta manera, algunos autores como Pehkonen (2006) asegura que un profesor o estudiante para profesor debe ser consciente de sus acciones y debe reflexionar sobre ellas, pues cuando el individuo reflexiona sobre sus acciones se produce aprendizaje; de tal auto-reflexión, la conciencia de las propias creencias y concepciones puede surgir. Sobre las convicciones, vamos a asumirlas como las creencias más profundas, menos conscientes y difícilmente verbalizables, por esto solo se pueden inferir de acciones y decisiones que parecen inexplicables desde la teoría explícita y los razonamientos válidos a nivel consciente. Por lo tanto, dentro de este universo de las creencias (beliefs) vamos a distinguir entre las más profundas que no son verbalizables e inconscientes, que llamaré convicciones, y las que son más verbalizables y conscientes que denominaré concepciones. Por estas dificultades no entraré a analizar en este trabajo las convicciones más profundas, sino aquellas creencias que llamo “concepciones”. Tesis de maestría. Silvia Paola Solano Camargo 23.

(24) 3.2 ANÁLISIS DIDÁCTICO El concepto de derivada, al igual que el de límite, continuidad o integral no es un concepto aislado, sino que aparece en Matemáticas ligado a otros conceptos. Aunque en estos momentos la derivada se apoya en el concepto de límite, esto no fue así hasta tiempos recientes; reflexionando y refinando ciertos conceptos es como sea llegado a la definición actual. (Ortega y Sierra, 1998) 3.2.1 Organizadores del currículo Se considerará la propuesta de los organizadores para el currículo de matemáticas (Rico, 1997b; 1998a), desarrollada por el Grupo de Investigación del grupo PNA (Pensamiento Numérico y Algebraico) de la Universidad de Granada bajo la dirección del Profesor Luis Rico, quien manifiesta: Cuando un profesor inicia la puesta en práctica de las directrices curriculares con un grupo concreto de alumnos necesita tomar una serie de decisiones de carácter general. Estas decisiones se concretan mediante criterios para la selección, secuenciación y organización de los contenidos; criterios para la organización, desarrollo y control del trabajo en el aula; prioridades en el proceso de construcción del conocimiento y en la asignación de significados por parte de los alumnos y, finalmente, criterios para valorar los logros en el aprendizaje y para el tratamiento adecuado de los errores (Rico, 1997, p. 39). Así pues, cuando los profesores reflexionan acerca de las decisiones a tomar sobre la puesta en práctica de directrices curriculares hay que establecer prioridades que afectan a los objetivos, los contenidos, metodología y evaluación. Sin embargo, de acuerdo con Rico (1997), el grado de generalidad con que aparecen las componentes del objeto de enseñanza contrasta con la mayor precisión con que aparecen detallados los contenidos. Esto lleva a la necesidad de definir los organizadores del currículo, definidos por Rico (1997) como “aquellos conocimientos que adoptamos como componentes fundamentales para articular el diseño, desarrollo y evaluación de unidades didácticas” (Rico, 1997, p. 39). Ahora bien, un organizador debe ofrecer un marco conceptual para la enseñanza de las matemáticas, un espacio de reflexión que muestre la complejidad de los procesos de trasmisión y construcción del conocimiento matemático y unos criterios para abordar y controlar esa complejidad. De esta manera, los organizadores deben tener una base disciplinar adecuada que permita su tratamiento objetivo. Así pues, para la planificación de cada uno de los temas, además de las posibles opciones matemáticas de organización para un tópico, resulta imprescindible tener en cuenta otros aspectos a saber. 1. Los errores y dificultades detectados del aprendizaje de un concepto matemático. 2. La diversidad de representaciones utilizadas para cada concepto matemático junto con la modelización matemática. 3. La fenomenología de los conocimientos implicados.. Tesis de maestría. Silvia Paola Solano Camargo 24.

(25) 4. La diversidad de materiales de tipo manipulativo y los recursos que pueden emplearse en la enseñanza de un concepto matemático. 5. La evolución histórica de cada campo e incluso de cada concepto (Rico, 1997, p. 47). Por lo tanto, estas cinco perspectivas, junto con los contenidos propios, ofrecen la posibilidad de realizar un análisis didáctico de cada uno de los temas del currículo de matemáticas, es decir, un análisis de los contenidos de las matemáticas al servicio de la organización de la enseñanza en el sistema educativo. Ahora bien, para poder caracterizar las concepciones de dos profesores de matemáticas respecto del concepto de la derivada, asumiré la perspectiva de Gómez (2002, 2007), dado que para este autor al realizar el análisis de contenido de un concepto matemático se aborda el significado de dicho concepto atendiendo a tres organizadores que se denominan: sistemas de representación, estructura conceptual y fenomenología.  En los sistemas de representación se incluyen las diferentes maneras en las que se puede representar el concepto y sus relaciones con otros conceptos.  En la estructura conceptual se incluyen las relaciones del concepto con otros conceptos, atendiendo tanto a la estructura matemática de la que el concepto forma parte, como a la estructura matemática que dicho concepto configura.  En la fenomenología se incluyen aquellos fenómenos (contextos, situaciones o problemas) que pueden dar sentido al concepto. De esta manera, sólo me concentraré en los tres organizadores del currículo mencionados anteriormente. 3.2.2 Análisis didáctico de contenido El análisis didáctico es un constructo pluridisciplinar que consiste en “la descripción de la manera ‘ideal’ de realizar actividades de diseño curricular a nivel local” (Bedoya, 2002). Se caracteriza como proceso y resultado de la articulación y concreción en la práctica de las competencias profesionales relacionadas con los conocimientos disciplinares, curriculares, epistemológicos, cognitivos e instruccionales. Bedoya (2002), basándose en Gómez & Rico (2002), denomina Análisis Didáctico el proceso mediante el cual el educador (profesor o investigador) matemático, basándose en el Conocimiento Didáctico de las Matemáticas, diseña, desarrolla y evalúa las actividades de planificación, desarrollo e innovación curricular a nivel local. Así pues, El análisis didáctico se centra en un contenido y un contexto determinados, con miras tanto al diseño de actividades o unidades de enseñanza-aprendizaje, como al desarrollo de proyectos curriculares o de investigación. Rico (1997a; 1998) y Segovia y Rico (2001), proponen como elemento teórico y metodológico, mediador, articulador y facilitador de este análisis, la noción de organizadores del currículo de matemáticas. (Bedoya, 2002) Para Gómez (2002), el análisis didáctico es su propuesta de la manera como el profesor debe planificar una unidad didáctica (secuencia de actividades de aprendizaje): “en el análisis didáctico registramos cuatro actividades que el profesor debe realizar para el diseño, puesta en práctica y Tesis de maestría. Silvia Paola Solano Camargo 25.