Diseño de antenas fractales para Televisión Digital en Cuba

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(1)Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingeniería Eléctrica Departamento de Electrónica y Telecomunicaciones. TRABAJO DE DIPLOMA Diseño de antenas fractales para Televisión Digital en Cuba. Autor: Alexis Castro Fonseca. Tutor: MSc. Mario Alberto González Cartas.. Santa Clara 2015 “Año 57 de la Revolución ".

(2) Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingeniería Eléctrica Departamento de Electrónica y Telecomunicaciones. TRABAJO DE DIPLOMA Diseño de antenas fractales para Televisión Digital en Cuba. Autor: Alexis Castro Fonseca E-mail: [email protected]. Tutor: MSc. Mario Alberto González Cartas E-mail: [email protected]. Consultante: MSc. Tuan E. Cordoví Rodríguez E-mail: [email protected]. Santa Clara 2015 “Año 57 de la Revolución ".

(3) Hago constar que el presente trabajo de diploma fue realizado en la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas como parte de la culminación de estudios de la especialidad de Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica, autorizando a que el mismo sea utilizado por la Institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además no podrá ser presentado en eventos, ni publicados sin autorización de la Universidad.. Firma del Autor Los abajo firmantes certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdo de la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.. Firma del Tutor. Firma del Jefe de Departamento donde se defiende el trabajo. Firma del Responsable de Información Científico-Técnica.

(4) i. PENSAMIENTO. “El primer deber de un hombre de estos días, es ser un hombre de su tiempo.” José Martí.

(5) ii. DEDICATORIA. A mi mamá y mi papá por haber estado siempre a mi lado, por haberme brindado todo el amor y el apoyo que necesitaba para seguir adelante y hacer realidad mis sueños; A mis abuelos, hermanos, tíos, tías y primos por darme su amor, confianza y dedicación durante todos estos años; A mi novia, por ser mi complemento durante todo este tiempo, por apoyarme y brindarme todo su amor y dedicación; A mis amigos por compartir la mayor parte del tiempo durante estos cinco años, por haberme brindado su apoyo incondicional y haber estado juntos en los momentos buenos y malos; A mis amigos de la vida, que aunque no compartimos el día a día no dejan de ser recordados; A todos los que de una forma u otra me hicieron sentir acompañado durante este arduo trayecto que ha sido la Universidad..

(6) iii. AGRADECIMIENTOS. A mis padres Iliana y Alexis por todo, por formar la persona que soy; A mi abuela Alicia por todo su amor y dedicación durante toda mi vida; A mi novia Adilén (Masi) por estar a mi lado aún en los momentos difíciles, por su amor y apoyo incondicional. A mis hermanos por quererme y apoyarme tanto; A mi familia, que por ser tan abundante no podría mencionarlos a todos pero que cada uno ocupa un lugar especial en mi corazón; A mi tutor Mario A. González por brindarme su apoyo en la realización de esta Tesis. Al ingeniero Tuan Cordoví de la Empresa de Antenas de Villa Clara el cual me instruyó y apoyó en la realización de este trabajo; A mis amigos de la infancia y a los que hice en la Universidad como Páez, Carli , Pepe, Campal , a todos mis amigos del aula, a las muchachitas del cuarto de mi novia y a todos los que de una forma u otra hicieron de estos cinco años una etapa inolvidable de mi vida; A todos los profesores de la carrera que de una forma u otra contribuyeron a mi formación vocacional..

(7) iv. TAREA TÉCNICA. 1. Revisión bibliográfica de aspectos acerca de la Televisión Digital en Cuba, principales parámetros de antenas y teoría de fractales que los hacen aptos para la construcción de antenas. 2. Desarrollo de habilidades en el trabajo con el software CST Microwave Studio 2014. 3. Selección y simulación de algunas antenas pasivas fractales de interiores para la captación de la señal digital en Cuba. 4. Comparación. de. los. diseños. propuestos. con. las. antenas. de. tradicionalmente usadas para TV en el país.. Firma del Autor. Firma del Tutor. interiores.

(8) v. RESUMEN. En los últimos tiempos, con el auge de la Televisión Digital, se ha hecho imprescindible el diseño novedoso de dispositivos para la recepción de la señal. El presente trabajo tiene como objetivo el diseño de antenas interiores con tecnología fractal en la banda de 470-700 MHz para los servicios de Televisión Digital en Cuba. En el mismo se describen las características de la Televisión Digital y el estándar DTMB escogido para el país, los principales parámetros de las antenas, así como una caracterización de los fractales. También. se propone un grupo de diseños basados en figuras fractales, tomándose como. principales objetivos lograr un menor tamaño del dispositivo, un bajo perfil y un buen rendimiento para la banda de frecuencias deseada. Las propuestas fueron analizadas con el software CST Microwave Studio 2014 y aunque se obtuvieron diseños con características superiores a las antenas de interiores tradicionalmente usadas en Cuba, se llegó a la conclusión de que no es factible el uso de los fractales para la construcción de antenas que respondan a dichas aplicaciones..

(9) vi. TABLA DE CONTENIDOS. PENSAMIENTO ..................................................................................................................... i DEDICATORIA ..................................................................................................................... ii AGRADECIMIENTOS ......................................................................................................... iii TAREA TÉCNICA ................................................................................................................ iv RESUMEN.............................................................................................................................. v INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................1 CAPÍTULO 1. 1.1. TELEVISIÓN DIGITAL EN CUBA.ANTENAS Y FRACTALES. ........4. Televisión Digital .....................................................................................................4. 1.1.1. Ventajas de la Televisión Digital ......................................................................5. 1.1.2. Televisión Digital en Cuba ...............................................................................5. 1.1.3. La norma DTMB...............................................................................................6. 1.1.4. DTMB en Cuba .................................................................................................7. 1.2. Antenas .....................................................................................................................8. 1.2.1. Parámetros de antenas .......................................................................................9. 1.2.2. Antenas interiores ...........................................................................................13. 1.3. Fractales .................................................................................................................14. 1.3.1. Geometría fractal.............................................................................................14. 1.3.2. Dimensión Fractal ...........................................................................................15.

(10) vii 1.3.3. Propiedades de los Fractales ...........................................................................15. 1.3.4. Tipos de Fractales ...........................................................................................17. 1.3.5. Antenas Fractales ............................................................................................17. 1.4. Conclusiones del capítulo.......................................................................................18. CAPÍTULO 2.. DISEÑO DE ANTENAS FRACTALES .................................................20. 2.1. Especificaciones de diseño de las antenas..............................................................20. 2.2. Curva de von Koch.................................................................................................21. 2.2.1. Construcción del Dipolo Fractal de Koch ..........................................................22. 2.2.2. Dipolo Planar de Koch........................................................................................25. 2.2.3. Antena Loop o Copo de Nieve de von Koch ......................................................26. 2.3. Triángulo de Sierpinski ..........................................................................................28. 2.3.1 2.4. Construcción del Dipolo fractal Triángulo de Sierpinski ...................................29 Trabajo con CST Microwave Studio......................................................................32. 2.4.1 2.5. Generación de antenas fractales en CST.........................................................33. Conclusiones del capítulo.......................................................................................35. CAPÍTULO 3.. SIMULACIÓN Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS .......................36. 3.1. Antena Dipolo fractal de Koch...............................................................................36. 3.2. Antena fractal Lazo o Copo de Nieve de von Koch..............................................41. 3.3. Antena fractal Dipolo de Sierpinski ......................................................................44. 3.3.1. Comparación entre dipolo Triángulo de Sierpinski y Dipolo “Orejas de Conejo”. telescópico.........................................................................................................................50 3.4. Conclusiones del capítulo.......................................................................................51. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ...................................................................53 Conclusiones .....................................................................................................................53 Recomendaciones..............................................................................................................53.

(11) viii REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................54 ANEXOS ..............................................................................................................................56 Anexo I. Plan de canalización de la Televisión Digital en Cuba. ..................................56.

(12) INTRODUCCIÓN. 1. INTRODUCCIÓN. El inicio de este nuevo siglo trajo consigo un avance de las tecnologías digitales, se hicieron populares todas las ventajas que éstas traían con respecto al tradicional sistema analógico, al cual ya estábamos acostumbrados. La telefonía celular y las redes IP (Internet Protocol) fueros de las primeras ramas de las telecomunicaciones que optaron por dichos cambios, sin embargo, solo después de la aparición y desarrollo de la Televisión Digital todos los dispositivos de comunicaciones pudieron integrarse a la red IP o Internet. La TDT (Televisión Digital Terrestre), es la aplicación de la tecnología digital a la transmisión de contenidos, ofreciendo una mejora significativa en la calidad técnica de las imágenes y los sonidos asociados, por ejemplo elimina la “llovizna” y los “fantasmas”. Así se consiguen mayores posibilidades, como la de proveer un mayor número de canales, debido a que por un mismo canal radioeléctrico se pueden multiplexar diferentes programas con mejor calidad de imagen o en HD (High Definition) y mejor calidad de sonido (Heredia et al, 2013). La TDT se transmite siguiendo los parámetros técnicos establecidos por diferentes estándares tecnológicos los cuales están diseminados por el mundo de acuerdo a la capacidad de los estados de crear estándares, a su ubicación geográfica y a su pertenencia a la esfera de influencia de los países creadores de estándares. Muchos países del mundo principalmente aquellos desarrollados han dejado atrás la obsoleta Televisión Analógica mientras que la gran mayoría se encuentran en la fase de transición. Se espera que durante la próxima década el sistema nacional cubano de radiodifusión de televisión se actualice de tecnología analógica a digital, paso decisivo que se está llevando a cabo paulatinamente desde estos momentos en que conviven ambas tecnologías, en vistas de no quedar rezagados en cuanto a los avances digitales que están redefiniendo todos los.

(13) INTRODUCCIÓN. 2. tipos de telecomunicaciones globales. Pero con estos cambios también vienen aparejados otros elementos imprescindibles para captar las nuevas señales con la calidad óptima como son los decodificadores digitales para equipos analógicos, o bien televisores con receptor digital incorporado, además de una buena antena receptora. Las características de la Televisión Digital permiten un mejor aprovechamiento del espectro radioeléctrico, por esta razón el espectro dedicado a la transmisión de televisión en Cuba será reducido, escogiéndose los canales del 7 al 51 para este fin (Heredia et al, 2013). Convergirán además diferentes servicios los cuales trabajan a diferentes bandas de frecuencias por lo que se haría necesario el uso de más de una antena para lograr una recepción óptima. Las antenas tradicionalmente usadas para la recepción de TV interior en el país, también llamadas “bigotes de gato” no son capaces de abarcar toda la banda de frecuencias que ocupa la TDT, además de tener pobres características de radiación. A partir de esta problemática surge la siguiente interrogante científica: ¿Qué antenas interiores se pueden diseñar para que abarquen toda la banda dedicada a la TDT en Cuba? Por tal motivo se decide evaluar una nueva tecnología, la Geometría Fractal, para la construcción de antenas fractales que posibiliten integrar el ancho de banda necesario para usar todos estos nuevos servicios (Gálvez, 2012).Una antena fractal tiene una respuesta en frecuencia completamente diferente a las antenas tradicionales ya que es capaz de ofrecer excelentes ganancias en diferentes frecuencias de manera simultánea. En la mayoría de las antenas tradicionales existe una frecuencia para la cual ofrecen la máxima ganancia, viéndose rápidamente reducida para el resto. Por esto las antenas fractales son idóneas para aplicaciones de amplio espectro frecuencial o multibanda. El presente trabajo se propone como objetivo general, diseñar antenas fractales para la recepción de Televisión Digital en interiores mediante la utilización del software de simulación CST Microwave Studio 2014. Como objetivos específicos: . Describir la TDT y el estándar elegido para Cuba, los principales parámetros de las antenas y conceptos básicos de fractales.. . Definir los métodos de diseño de algunas antenas fractales, así como los tipos de fractales usados para su construcción..

(14) INTRODUCCIÓN. 3. . Analizar mediante softwares de simulación las antenas diseñadas.. . Comparar las antenas que cumplan las condiciones de diseño con las que se emplean para la recepción de TV interior en Cuba.. Para ello se presentan las siguientes interrogantes científicas: . ¿Cuáles son las características de la TDT en Cuba?. . ¿Cuáles son las características de los fractales vinculados a las antenas?. . ¿Cuáles son los métodos de diseño de las antenas fractales para su uso en la recepción de TDT?. . ¿Cómo diseñar antenas fractales para TDT mediante softwares de simulación de antenas?. El informe se compone primeramente de la introducción en la cual se refleja el estado del arte del tema en cuestión, la importancia y la necesidad del estudio, así como los objetivos perseguidos y las interrogantes científicas formuladas en la búsqueda de la solución del problema. A continuación se presenta el Capítulo 1 en el cual se caracteriza la Televisión Digital Terrestre y el estándar seleccionado en Cuba. Se exponen los parámetros principales de las antenas en recepción, así como la teoría de la Geometría Fractal. Luego en el Capítulo 2 se evidencian varios métodos para el diseño de algunas de estas antenas según el tipo de fractal empleado y el trabajo con el software de simulación CST Microwave Studio. Posteriormente en el Capítulo 3 se procede a la simulación y el análisis de los resultados, comparando antenas seleccionadas con las comúnmente usadas para la recepción de TV en el país. Finalmente se arriba a conclusiones a partir del trabajo investigativo realizado..

(15) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. CAPÍTULO 1.. 4. TELEVISIÓN DIGITAL EN CUBA.ANTENAS Y FRACTALES.. En el presente capítulo se abordan aspectos esenciales para la correcta comprensión del trabajo como son el concepto de Televisión Digital, las ventajas que reporta con respecto a la antigua Televisión Analógica y el desarrollo de esta en Cuba con la norma DTMB escogida para el país. Se incluyen también algunos de los principales parámetros que definen a las antenas, además la teoría detrás de los fractales y su uso para la construcción de antenas en la actualidad. 1.1. Televisión Digital. La TDT, es una nueva manera de transmitir la señal, que incluye la captación de la imagen y el sonido por las cámaras y micrófonos de un estudio de televisión, el procesamiento posterior en la edición y post producción, el transporte y distribución de las señales, la radiodifusión y la recepción por el televidente. Puede ser transmitida por aire, cable o satélite, y ofrece inmensas posibilidades a proveedores de servicios y usuarios. Esta nueva tecnología utiliza, al igual que la analógica, ondas hertzianas para transmitir la señal, pero la información se transmite de forma binaria, o sea, mediante ceros y unos. En el mundo existen actualmente cuatro normas para el dominio digital, que no son compatibles entre sí: DVB-T, ATSC, ISDB-T, DMB-T/H. Algunas tienen versiones y pueden no ser exactamente iguales en los distintos países. Lo que significa que, aun usando una misma norma, las cajas decodificadoras y los televisores adquiridos en un país pueden no funcionar en otro. La adopción de una norma es un acto de suma responsabilidad para cualquier país, porque define lo que va a ocurrir durante el período histórico de la TDT, que se estima sea de.

(16) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 5. medio siglo, probablemente más, tomando como referencia las normas analógicas las cuales han mantenido su vigencia durante 60 años (León, 2014). 1.1.1. Ventajas de la Televisión Digital. La TDT soluciona los defectos de la transmisión analógica actual que comúnmente llaman “llovizna”, “fantasma”, o “chispitas”, los cuales se desplazan por todo lo ancho de la imagen. Todos estos defectos de forma individual pueden ser tan fuertes que lleguen a molestar o, incluso, impidan totalmente la recepción. Cuando un sistema de televisión digital es bien diseñado, la calidad subjetiva que recibe el televidente es similar a la que se crea en los estudios. La optimización del uso del espectro radioeléctrico permite aumentar en 4 o más el número de programas por frecuencia o canal múltiple, lo que posibilita un incremento de contenidos respecto al sistema analógico (Heredia et al, 2013). La TDT permite formatos mejorados de vídeo, dígase panorámico o 16:9, así como sonido Digital Dolby 5.1, subtítulos en varias lenguas, además de posibilitar el acceso a nuevas aplicaciones y servicios interactivos basados en el estándar MHP: publicidad interactiva, EPG (Electronic Programming Guides), encuestas, concursos o servicios de información como noticias, tiempo, tránsito, entre otros (Miñana, 2011). 1.1.2. Televisión Digital en Cuba. Luego de varios años de estudio y la realización de pruebas técnicas, el 10 de septiembre del 2013 fue publicado en la Gaceta Oficial de la República de Cuba, el acuerdo 7455 del Consejo de Ministros mediante el que se aprueba el estándar internacional de trasmisión de Televisión Digital Terrestre DTMB y se autoriza su introducción y despliegue en Cuba según sus especificaciones técnicas, con las adecuaciones y mejoras tecnológicas necesarias para el país y las posteriores evoluciones tecnológicas que de esta se deriven (León, 2014). El despliegue de la Televisión Digital Terrestre es un proyecto integral de creación de infraestructura social, con la finalidad de mejorar el nivel de vida del pueblo, introduciendo una tecnología de punta que beneficia a toda la población. Entre sus objetivos está anticiparse a la inevitable obsolescencia tecnológica, que generaría gastos muy superiores en un breve plazo. Se estima que en el año 2020 el 90 % de todos los.

(17) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 6. televisores en el mundo estarán preparados para captar las señales digitales, lo que provocará una aguda escasez de piezas de repuesto para los televisores y demás equipos que trabajan con señal de tipo analógico. Es un cambio inevitable que cada país tiene que enfrentar y que se enmarca en el proceso de digitalización que ya ha tenido lugar en muchas tecnologías, como la telefonía fija y móvil, el almacenamiento y la transmisión de datos, Internet, la prensa, el cine, las transmisiones satelitales y las comunicaciones en general. Se prevé que la Televisión Digital estará instalada totalmente en Cuba en el año 2021, cuando se aplicará el “apagón analógico”, luego de transitar por tres etapas para introducir ese sistema de trasmisión que traerá ventajas como mayor calidad en el servicio (León, 2014). Las características de la Televisión Digital permiten un mejor aprovechamiento del espectro radioeléctrico, razón por la cual el espectro dedicado a la transmisión de televisión será reducido, eliminando la Banda I de VHF (canales del 2 al 6) y los canales del 52 al 69 de la Banda V de UHF (Heredia et al, 2013).Además se pretende emigrar hacia la banda de UHF, o sea, a partir de 470 MHz y hasta aproximadamente 700 MHz (canal 51). Esta reducción del espectro hace necesaria una nueva distribución de canales a los centros transmisores de televisión en el país. En el ANEXO1 se muestra el plan de canalización para Televisión Digital en Cuba con ubicación geográfica y frecuencia correspondiente para cada canal específico. 1.1.3. La norma DTMB. El sistema DTMB (Digital Terrestrial Multimedia Broadcast) es el estándar de televisión para terminales fijos y móviles de China. DTMB surge de la fusión de los estándares ADTB-T desarrollado por la Universidad de Shanghai, DMB-T desarrollado por la Universidad de Beijing y el TiMi (Terrestrial Interactive Multiservice Infraestructure) propuesto por la Academia de Ciencias de Radiodifusión (Gálvez, 2012). Dentro de las principales características del estándar se tienen: . Tasa de transmisión de bits: de 4.813 Mbps a 32.486 Mbps.. . La transmisión de datos es implementada mediante el estándar TDS-OFDM (Time Domain Synchronuous Orthogonal Frequency Division Multiplexing), el cual de.

(18) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 7. acuerdo con el co-desarrollador de DMB-T con la Universidad Tsing Hua, es capaz de trasmitir calidades “aceptables” de señal para receptores HDTV moviéndose, por ejemplo, en coche o tren a velocidades de hasta 200 Km/h. . DTMB no define códecs de compresión (como MPEG - 4 y MPEG - 2), dejando esa decisión al proveedor de servicios. Eso significa que los receptores tendrán que ser capaces de descifrar múltiples formatos, lo que los hará más caros, pero a su vez los distribuidores de señal podrán prestar otro tipo de servicio que permita a los canales de televisión emitir con las características que ellos deseen, brindando servicios de alta definición e incluso interactividad con el usuario.. . Difusión de SD (Standard Definition), HD (High Definition), y servicios multimedia.. . Para los Códecs de Audio la norma establece Dolby Digital, también conocido como AC-3 (Audio Códec 3) y SR-D (Spectral Recording-Digital).. . Flexibilidad de servicios.. . Procesamiento de datos en dominio temporal y frecuencial.. . Difusión de entre 6 y 15 canales en SD y 1 o 2 en HD.. 1.1.4. DTMB en Cuba. La norma china fue diseñada originalmente para emplear un ancho de banda de 8 MHz, espacio en el cual se transmite la información que muestra el televisor/caja decodificadora, para el caso de Cuba, no se emplean 8 MHz sino 6 MHz como establece la UIT (Unión Internacional de Telecomunicaciones), motivo por el cual se hacen las adecuaciones a la norma para este caso en particular. El estándar de Televisión Digital chino DTMB en su versión de 6 MHz, posee más de cien modos de configuración de transmisión, cada modo puede variar en los siguientes parámetros: . Razón de código (FEC): 0.4, 0.6 o 0.8.. . Constelación de símbolos: 4QAM-NR, 4QAM, 16QAM, 32QAM o 64QAM.. . Profundidad del Entrelazado Temporal: 240 o 720 símbolos.. . Longitud de la cabecera: PN420, PN595 o PN945.. . Cantidad de portadoras: C = 3780 o C = 1..

(19) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 8. Existe un compromiso entre el modo a utilizar y la carga útil de información que puede ser transmitida, como es de esperar, un fortalecimiento de la señal representa una disminución de esta carga útil. En Cuba, en correspondencia con la programación que se quiere brindar en la primera etapa, se ha seleccionado el siguiente modo de transmisión: . Razón de código (FEC): 0.6.. . Constelación de símbolos: 64QAM.. . Profundidad del Entrelazado Temporal: 720 símbolos.. . Longitud de la cabecera: PN420.. . Cantidad de portadoras: C = 3780.. Este modo de transmisión permite una tasa binaria máxima de 18.274 Mbps (Rodríguez, 2013). 1.2. Antenas. Las ecuaciones de Maxwell relacionan los campos eléctricos y magnéticos con las cargas y corrientes que los crean. La solución a las ecuaciones da lugar a formas de onda guiadas como las líneas de transmisión y guías de ondas, o a otras libres en el espacio como las antenas. El IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) define una antena como “aquella parte de un sistema transmisor o receptor diseñada específicamente para radiar o recibir ondas electromagnéticas”. El objetivo de las antenas es actuar de interfaz entre una onda electromagnética guiada (a través da una línea de transmisión, guía de onda etc.) y una onda electromagnética no guiada, radiada en un medio, en general el aire (Anguera and Pérez, 2008). El transmisor puede ser descrito como una Fuente de Thevenin compuesta por un generador de tensión y un conjunto de impedancias en serie, proporcionando una potencia de transmisión a la antena transmisora. Dicha antena radía una onda esférica, la cual, a partir de largas distancias se aproxima a una onda plana. La antena receptora intercepta una porción de la onda en propagación y proporciona la potencia recibida a la impedancia de carga del receptor (Etxeondo, 2012)..

(20) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 9. Figura 1.1: Esquema de funcionamiento entre antenas transmisoras y receptoras. [Fuente:(Etxeondo, 2012)]. Las ondas electromagnéticas se caracterizan por su frecuencia (f) y por su longitud de onda 𝜆 = 𝑐⁄𝑓 donde 𝑐 es la velocidad de propagación de la luz en el espacio libre, con un valor de 3 ∗ 108 m/s. El conjunto de todas las frecuencias o espectro de frecuencias se divide en bandas, cada una de las cuales presenta características peculiares que dan origen a tipologías de antenas muy diversas (Anguera and Pérez, 2008). Tabla 1.1: Bandas de Frecuencias. [Fuente: (Anguera and Pérez, 2008)]. 1.2.1. Parámetros de antenas. Para llevar a cabo la construcción de una antena se deben seguir ciertos parámetros según el propósito que se desea cumplir. A continuación se enuncian algunos de ellos: . Densidad de potencia radiada. La densidad de potencia radiada se define como la potencia por unidad de superficie en una determinada dirección. Las unidades son Watt por metro cuadrado (Zurita, 2014). A partir de los campos eléctrico y magnético se obtiene la densidad de flujo por unidad de superficie, o también densidad de potencia radiada (Cardama et al, 2002):.

(21) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. ⃗ ∗) 𝑃̅ (𝜃, ∅) = 𝑅𝑒(𝐸⃗ × 𝐻 . 10 1.1. Ganancia. La ganancia de una antena se define como la relación entre la densidad de potencia radiada en una dirección y la densidad de potencia que radiaría una antena isotrópica, a igualdad de distancias y potencias entregadas a la antena. Su expresión matemática se ve en la siguiente expresión: 𝐺 (𝜃, ∅) =. 𝑃𝑟𝑎 𝑑 ( 𝜃,∅) 𝑊𝑒𝑛𝑡 4𝜋𝑟2. 1.2. Es el parámetro más usado para describir el desempeño de una antena práctica. Está normalmente dada en decibeles isotrópicos [dBi], ya que representa la ganancia de energía en comparación con una antena isotrópica, aunque también puede estar expresada en [dBd], que es la ganancia comparada con una antena dipolo. En este caso, se debe sumar 2.14 para pasar la ganancia de [dBd] a [dBi].La ganancia de una antena es la misma, tanto para recibir como para transmitir (Anguera and Pérez, 2008). . Polarización. La polarización de una antena es la polarización de la onda radiada por dicha antena en una dirección dada. La polarización de una onda es la figura geométrica determinada por el extremo del vector que representa al campo eléctrico en función del tiempo, en una posición dada (Miñana, 2011). La polarización puede ser clasificada como lineal, circular, o elíptica. Si el vector que describe el campo eléctrico a un punto en el espacio como una función de tiempo siempre se dirige a lo largo de una línea, se dice que el campo es polarizado linealmente. En general, sin embargo, la figura que describe el campo eléctrico es una elipse, y se dice que el campo es polarizado elípticamente. Las polarizaciones lineal y circular son los casos especiales de la elíptica, y pueden obtenerse cuando la elipse se vuelve una línea recta o un círculo, respectivamente (Balanis, 2005). . Directividad. La directividad se define como la capacidad que presenta una antena de concentrar su radiación hacia una cierta “dirección preferente” respecto de otra dirección. En otras.

(22) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 11. palabras, la directividad es la razón entre la intensidad de radiación en una cierta dirección dada con respecto a la que tendría una fuente isotrópica (Zurita, 2014, Balanis, 2005) 𝑈. 𝐷=𝑈 = 𝑖. 4𝜋𝑈 𝑃. 1.3. donde: 𝐷 = directividad de la antena. 𝑈 = intensidad de radiación de la antena por unidad de ángulo sólido en una dirección. 𝑈𝑖 = intensidad de radiación de una fuente isotrópica. 𝑃 = potencia radiada total. La directividad es una cantidad adimensional y se expresa generalmente en decibeles (dB). . Diagrama de radiación. Se define como la representación gráfica de las características de radiación en función de la dirección angular. La onda electromagnética radiada se compone de un campo eléctrico E y uno magnético H, los cuales son perpendiculares entre sí y a su vez son perpendiculares a la dirección de propagación que es radial, desde la fuente hacia el infinito. En la figura se muestran algunos diagramas de radiación típicos (Miñana, 2011).. Figura 1.2: Diagramas de radiación en 3D o en polares. [Fuente: (Miñana, 2011)]. . Impedancia. La impedancia de una antena se define como la relación entre la tensión y la corriente en sus terminales de entrada. Dicha impedancia es en general compleja. Desde el punto de vista circuital, la antena puede tomarse como una impedancia, cuya parte real es la resistencia de radiación de la misma, y una componente imaginaria reactiva, que depende.

(23) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 12. del campo cercano que dicha antena genera. Si el sistema de radiación está bien diseñado, esta componente imaginaria debe ser despreciable, con respecto a la parte real (Hernández, 2011). 𝑍𝑖 =. 𝑉𝑖 𝐼𝑖. = 𝑅𝑎 + 𝑗𝑋𝑎. 1.4. La resistencia de antena se puede considerar como la suma de la resistencia de radiación y la resistencia óhmica. 𝑍𝑖 =. 𝑉𝑖 𝐼𝑖. = 𝑅𝑎 + 𝑗𝑋𝑎 = (𝑅𝑟 + 𝑅Ω ) + 𝑗𝑋𝑎. 1.5. La eficiencia de una antena se puede obtener a partir de las resistencias de radiación y óhmicas, teniendo en cuenta que es la relación entre la potencia total radiada y la potencia entregada a la antena (Zurita, 2014). η=  La. 𝑤𝑡 𝑊𝑒. =. 𝑊𝑡 𝑊𝑡 +𝑊Ω. 𝐼2 𝑅. 𝑟 = 𝐼2 (𝑅 +𝑅 =𝑅 ) 𝑟. Ω. 𝑅𝑟. 1.6. 𝑟 +𝑅Ω. Longitud Efectiva longitud. efectiva. es. la. longitud. de. un. conductor. lineal. recto. orientado. perpendicularmente a la dirección dada y paralelo a la polarización de la antena, que tiene una corriente uniforme igual a la de los terminales de la antena y que produce la misma intensidad en campo alejado que la antena en dicha dirección. Esta no tiene por qué coincidir con la longitud real de la antena, depende además de la dirección angular y se define en la dirección en la cual la antena receptora capta máxima señal (Anguera and Pérez, 2008). 𝑙 𝑒𝑓 = . |𝑉𝑐𝑜 | [𝑚] |𝐸𝑖 |. 1.7. Área Efectiva. El área efectiva se define como la relación entre la potencia recibida y la densidad de potencia incidente en una antena. La antena debe estar adaptada a la carga, de forma que la potencia transferida sea la máxima. La onda recibida debe estar adaptada en polarización a la antena (Miñana, 2011). 𝐴𝑒𝑓 =. 𝑊𝑟 𝑃𝑖. 1.8.

(24) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. . 13. Ancho de banda. El ancho de banda o 𝐵𝑊 se puede especificar como la relación entre el margen de frecuencias en que se cumplen las especificaciones y la frecuencia central. Se puede expresar como: 𝐵𝑊 (%) =. 𝑓2 −𝑓1 𝑓0. × 100. 1.9. Siendo 𝑓0 la frecuencia central. Se debe tener presente a la hora de definir un ancho de banda, que dependiendo de la antena que se esté analizando, este varía debido a la geometría con la cual esté construida la antena, pues es esta geometría el factor que influye directamente sobre las frecuencias que puede trasmitir y recibir la antena (Anguera and Pérez, 2008). 1.2.2. Antenas interiores. En la actualidad existen varios tipos de antenas interiores, que se pueden colocar en un coche, en una vivienda o en un portátil. Las antenas interiores son menos eficientes que las exteriores debido a que captan menos señal y es más recomendable usar estas antenas si son para una vivienda siempre que haya una señal medianamente aceptable (Miñana, 2011). Las antenas interiores se diferencian de las antenas al aire libre en que las primeras están limitadas en espacio o ambiente. Una antena interior casi nunca tiene una línea de vista (LOS) directa a las torres transmisoras. Estas siempre reciben un eco, una señal reflejada que rebota en el ambiente y en las paredes de la casa, lo que es conocido como multitrayecto. El camino y fuerza de la señal reflejada depende mayormente de las condiciones meteorológicas, momento del día y de la frecuencia (Niang, 2013). En esta investigación se propone el diseño de antenas interiores para garantizar su cuidado óptimo, puesto que por las características del país, las antenas exteriores se encuentran expuestas constantemente a la corrosión provocada por la humedad, sufriendo daños, además, debido a factores meteorológicos, a la actividad del hombre y los animales..

(25) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 14. 1.3 Fractales Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas (Mandelbrot, 1983). El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Otra definición de Mandelbrot, “un conjunto cuya dimensión de Hausdorff o Dimensión Fractal no es un entero”, aunque es clara en términos matemáticos no lo es de manera intuitiva, sin embargo se relaciona con el fractal el concepto de la autosimilitud el cual se abordará posteriormente. Aunque Mandelbrot utiliza la palabra fractal a finales de los setenta, es claro que los objetos considerados por él como fractales ya existían desde antes. Muchos objetos naturales como árboles, costas marinas o nubes tienen propiedades fractales, así como algunos objetos abstractos considerados por los matemáticos resultaron ser fractales. De hecho, la propiedad que según Dedekind define que un conjunto sea infinito suena mucho al concepto actual de fractal: Un conjunto S se dice ser infinito cuando es equipotente a un subconjunto propio de él (Ríos, 2005). 1.3.1. Geometría fractal. La geometría Euclidiana enseñaba a estudiar y comprender la línea, el plano y las figuras en 3D, e indicaba que todo elemento de la naturaleza poseía una característica llamada Dimensión. Esta Dimensión es el número de coordenadas necesarias para ubicar un punto en una figura. Todas las figuras eran explicadas por esta geometría euclidiana hasta que aparecieron teorías como la de la relatividad que no encajaban dentro de esta geometría, además existían elementos de la naturaleza, tales como las nubes, las hojas, montañas, las cuales no poseían una dimensión exacta, ya que la geometría euclidiana solo permitía figuras con una dimensión entera (Gálvez, 2012). Es por ello que se creó otro tipo de geometría llamada Fractal para explicar estas excepciones, en la cual fractal implica características importantes como: . Autosimilitud. . Recursividad. . Space-Filling.

(26) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA.  1.3.2. 15. Detalle Infinito Dimensión Fractal. En el modo “lineal” de ver las cosas (entiéndase la geometría usual) la dimensión sería la cantidad de parámetros que se necesitan para situar un punto. Así en una curva suave solo se necesita de un parámetro, la longitud de arco desde un punto fijo, por dar un ejemplo. En una superficie se necesitan dos coordenadas y en el espacio tres. Así que la geometría “lineal” (Euclidiana) les ha asignado dimensión uno, dos y tres, respectivamente y dimensión cero a un punto. Otro modo de verlo es así: sólo hay una forma de moverse en una línea, en una superficie se tienen dos direcciones, y en el espacio tres. Mandelbrot utiliza el concepto de dimensión de Hausdorff, que en cierto modo generaliza la dimensión euclidiana para decidir que en una esponja, una nube o un nudo se tiene una dimensión fraccionaria: como ni es un objeto plano, ni es un objeto “lleno” en el espacio, debe tener una dimensión entre 2 y 3. La dimensión Hausdorff-Besicovitch (𝐷) no tiene por qué ser un número entero, incluso varios de los valores indicados por esta dimensión Hausdorff-Besicovitch son fraccionarios, y de hecho esta dimensión se llama a menudo dimensión fraccional (Mora and Pearl, 2002). Según este nuevo enfoque, si se toma un objeto que se encuentra en la dimensión euclidiana 𝐷 y se reduce su tamaño lineal de 1⁄𝑟 en cada dirección espacial, su medida (longitud, área o volumen) aumentaría a 𝑁 = r D veces el original. Luego despejando 𝐷 se obtiene: 𝐷=. 𝑙𝑜𝑔𝑁 𝑙𝑜𝑔𝑟. 1.10. De esta manera, se puede notar que 𝐷 no necesariamente puede ser un entero, como sí lo es en la geometría euclidiana, sino que 𝐷 podría ser una fracción como lo es en la geometría fractal. Este nuevo modelo ha demostrado ser útil para describir objetos de la naturaleza y trayectorias de sistemas dinámicos (Gálvez, 2012). 1.3.3. Propiedades de los Fractales. Se procederá a enumerar las características de los fractales, pero se debe resaltar que no todos los fractales poseen todas las propiedades, algunos poseen pocas de ellas. También.

(27) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 16. cabe resaltar que el cumplir con una de estas propiedades es razón suficiente para asegurar que se trata de un fractal. . Autosimilitud. Resulta posiblemente la propiedad más importante de la geometría fractal. Ella explica que cada una de las partes o secciones de dichas geometrías, son como mínimo una copia reducida o escalada de la forma total del fractal. Una vez definida esta propiedad se pueden clasificar los fractales en tres tipos (Etxeondo, 2012): 1. Autosimilitud exacta: el fractal es idéntico a diferentes escalas. 2. Cuasi-autosimilitud: el fractal parece idéntico a diferentes escalas, contiene copias menores y distorsionadas de sí mismo. 3. Autosimilitud estadística: el fractal tiene medidas estadísticas o numéricas que se mantienen con el cambio de escala. . Recursividad. Esta propiedad hace referencia a la capacidad de crecimiento, es decir, los fractales se originan y aumentan en tamaño mediante la sucesiva aplicación de algoritmos recursivos. Al número de veces con que cada vez se ejecuta el algoritmo recursivo se conoce como iteración, así pues se habla de orden de iteración n, refiriéndose n a la cantidad de veces que se aplica el algoritmo (Etxeondo, 2012). . Space-Filling. Literalmente se puede traducir por “llenar el espacio” aunque también se denomina “Selfavoiding” (evitarse a uno mismo). Se define como la capacidad que tiene el fractal para aproximarse a dimensiones topológicas de orden 2 o incluso de orden 3, a partir de su dimensión topológica de orden 1 mediante sucesivas iteraciones. Es por esto que se dice que los fractales poseen dimensión fractal o fraccionaria. Esta es una propiedad presente en determinados fractales (Etxeondo, 2012). . Detalle Infinito. Los fractales poseen detalle a cualquier escala de visualización, o sea que a medida que se aumenta el orden de iteración más detalles revelan estos, sin que se tenga un límite en el.

(28) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 17. que se pierda su estructura básica. Es decir, la estructura se repite hasta el infinito tanto en lo macroscópico como en lo microscópico (Etxeondo, 2012). 1.3.4. Tipos de Fractales. Existen dos tipos bien definidos de fractales: los lineales y los no lineales. Los fractales lineales son aquellos que se construyen con una simple variación de sus escalas. Esto implica algo muy importante, los fractales lineales son exactamente idénticos en todas sus escalas hasta el infinito. El triángulo y la alfombra de Sierpinski, así como la curva de Koch son ejemplos de fractales lineales. Los fractales no lineales, en cambio, son aquellos que se generan a partir de distorsiones complejas o justamente como lo dice su nombre, y usando un término proveniente de la Matemática Caótica, distorsiones no lineales. La mayoría de los objetos fractales puramente matemáticos y naturales son no lineales. Ejemplos de ellos son: el Conjunto de Mandelbrot o el Conjunto de Julia. 1.3.5. Antenas Fractales. La Geometría Fractal revolucionó varias áreas de la ciencia, tales como física, procesamiento digital de señales, compresión de imágenes y teoría de antenas. Dentro de la teoría de antenas, se sabe que para un tamaño fijo de antena se tienen parámetros como impedancia de entrada, patrón de radiación, ganancia que varían significativamente con la frecuencia. El tamaño de la antena va relacionado con la longitud de onda de la banda de trabajo de la antena, es por ello que la mayoría de las antenas solo trabajan en una sola banda. La propiedad de autosimilitud antes mencionada permite crear antenas multibanda, ya que mantienen un mismo comportamiento a diferentes frecuencias. Las antenas multibanda recurren al principio de escalabilidad el cual afirma que si se tiene una antena que funciona a una cierta frecuencia 𝑓 y se multiplica sus dimensiones por un factor 𝑘, la antena resultante se comportará igual que la original pero a una frecuencia 𝑓⁄𝑘 (Gálvez, 2012). La noción actual de las antenas de banda ancha fue establecida por V.H. Rumsey, el cual afirma que: “los parámetros de una antena serán independientes de la frecuencia si la geometría puede ser descrita únicamente en función de ángulos, puesto que esta no variará.

(29) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 18. al realizar un escalado”. Este principio llevó a la idea de la construcción de una súper antena de banda ancha, la cual buscaba la máxima miniaturización y que a su vez cubriera muchas bandas de frecuencias , por lo cual se comenzaron a estudiar diseños de antenas fractales que lograran tales propósitos (González, 2009). Las primeras antenas diseñadas, fueron arreglos planos y lineales tipo fractales delgados, organizando los elementos en un patrón fractal para reducir el número de elementos en el arreglo y obtener antenas de banda ancha o desempeño en múltiples bandas, como por ejemplo: las antenas Logperiódica y Espiral. Actualmente se está trabajando con curvas y objetos fractales como los triángulos de Sierpinski, árboles fractales, curvas e islas de Kock, entre otras, que minimicen el área de la antena, aprovechando su capacidad natural multibanda (Lince, 2012). En el ámbito empresarial, dos empresas se han destacado con resultados relevantes en el desarrollo de antenas fractales. Por un lado se tiene a FRACTUS, empresa española, la cual es la principal desarrolladora de antenas fractales para aplicaciones BlueTooth, WLAN 801.11b/g, Zigbee, ISM 5 GHz, GPS 1575 MHz, la banda ISM de 868-915 MHz, antenas de banda ancha en la banda de 3.1 - 5 GHz, hasta antenas para TV digital, en este caso para DVB cuya banda es 470 - 698 MHz y que incluso coexisten con GSM (1670 - 1675 MHz) y cuyas dimensiones son de 40 x 48 x 5 mm. Por otra parte está FRACTAL ANTENA SYSTEM Inc., empresa norteamericana que diseña y fabrica antenas más compactas y poderosas utilizadas en aplicaciones comerciales, militares y gubernamentales (Gálvez, 2012). En el país se tienen pocas referencias de trabajos de antenas basadas en la tecnología fractal. Algunas de estas son el diseño de una antena fractal reconfigurable Triángulo de Sierpinski para el servicio IEEE 802.11a y las bandas X, Ku y K , llevado a cabo en la Universidad de Pinar del Río (Canals et al, 2014). También en la Universidad de las Villas se diseñó una antena fractal para la banda de UWB (Saavedra, 2012). No se tienen referencias de diseño de antenas fractales para TDT en Cuba. 1.4 Conclusiones del capítulo En este capítulo se caracteriza la TDT y se reflejan las ventajas que esta supone sobre la obsoleta Televisión Analógica. Se describe el estándar escogido para Cuba con sus modificaciones y los avances realizados por el país en la transición hacia la Televisión.

(30) CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. 19. Digital. Se especifican los principales parámetros de las antenas y características esenciales de la geometría fractal que posibilitan la construcción de antenas para disímiles aplicaciones..

(31) CAPÍTULO 2. MATERIALES Y METODOS. CAPÍTULO 2.. 20. DISEÑO DE ANTENAS FRACTALES. En este capítulo se presentan los fractales que se seleccionaron para la construcción de las antenas, así como las ecuaciones de diseño para las diferentes. propuestas de antenas. fractales analizadas. Se exponen los pasos esenciales para simular antenas fractales en CST y se confeccionan los diseños de acuerdo a los parámetros anteriormente calculados. 2.1. Especificaciones de diseño de las antenas. Luego del estudio de algunos ejemplos de antenas confeccionadas para este tipo de aplicaciones se muestran diferentes parámetros a seguir para su construcción: . Frecuencia de Diseño: Dado que se pretende crear una aplicación para TDT y según lo visto en el apartado 1.1.2, la antena debe ser compatible con la banda de Televisión Digital, es decir, la frecuencia de trabajo será de 470-700 MHz, obviamente debido a sus propiedades de multibanda también tendrá otras frecuencias de operación las cuales variarán según las dimensiones y el número de iteraciones de la antena.. . Pérdida de Retorno: La pérdida de retorno debe ser como máximo -10dB.. . SWR (Standing Wave Ratio): El SWR debe ser inferior a 2.. . Ganancia: La ganancia típica para este tipo de aplicaciones oscila entre 2 y 4 dBi.. . Dimensiones: Debe ser lo más pequeña posible por su uso para interiores. Basado en las antenas para TDT interiores que se comercializan en el mercado internacional y propuestas de diseño anteriormente realizadas en Cuba, la longitud oscila entre los 20 y 36 cm.. . Costo económico: Su confección se debe basar en materiales de bajo costo y de fácil implementación..

(32) CAPÍTULO 2. MATERIALES Y METODOS. 2.2. 21. Curva de von Koch. Helge von Koch fue un matemático sueco quien, en 1904, introdujo lo que ahora se conoce como Curva de von Koch; también conocida como curva Copo de Nieve o Isla de von Koch. Existe un método para la construcción geométrica simple de la curva de von Koch. Se empieza con una línea recta, este es el objeto inicial y es llamado el iniciador. Luego se corta en tres partes iguales. Posteriormente se reemplaza la parte central por un triángulo equilátero y se toma esa parte como base. Esto completa la construcción básica. Una reducción de esta figura, hecha de cuatro partes, será reusada para el siguiente estado. A esto se le llama el generador. Así se repite tomando cada uno de los segmentos iniciales del generador y se vuelve a duplicar el proceso. En la Figura 2.1 se presenta la construcción de este fractal matemático.. Figura 2.1: Generación de la Curva de von Koch. [Fuente: (Zurita, 2014)]. Se nota que en cada iteración la longitud de la línea es 4/3 la longitud anterior, lo cual hace que la longitud tienda al infinito. Luego usando la ecuación de Dimensión de Hausdorff se tiene que: 𝐷=. 𝑙𝑜𝑔4 𝑙𝑜𝑔3. = 1.26. 2.1. Si el algoritmo anterior es aplicado sobre una línea recta la figura nunca se cierra sobre sí misma. Para obtener la curva de von Koch cerrada o copo de nieve es necesario aplicar el algoritmo a un triángulo equilátero (Gálvez, 2012)..

(33) CAPÍTULO 2. MATERIALES Y METODOS. 2.2.1. 22. Construcción del Dipolo Fractal de Koch. La confección de la curva de Koch explicada anteriormente, logra una marcada reducción en una línea, técnica que ha sido aprovechada en los últimos tiempos para miniaturizar las antenas, entre ellas las del tipo dipolo. Para construir una antena dipolo usando la curva de Koch se realiza un reemplazo de los brazos de un dipolo clásico por dicha estructura fractal. Al confeccionar de esta forma la antena se logra no solo obtener la misma longitud eléctrica en un espacio menor, sino que su forma “rugosa” genera capacitancia e inductancia adicional, evitando la necesidad de elementos externos para su sintonización o para aumentar su ancho de banda. La frecuencia de resonancia es menor a medida que el número de iteraciones del fractal aumenta. Por otra parte el patrón de radiación y la directividad se mantienen constantes, independientemente del número de iteraciones. Una antena puede mantener un comportamiento uniforme en todas las frecuencias si cumple que sea autosimilar y que presente simetría respecto a un punto (Romero, 2013). De acuerdo a la construcción. de la curva de Koch cada brazo del dipolo aumenta su 4. longitud efectiva en un factor de ( )𝑛, mientras que mantiene constante el espacio que 3. ocupa en el plano. Debido a este incremento de la línea, la frecuencia de resonancia varía al aumentar el número de iteraciones de la curva. La ecuación siguiente define la longitud real del brazo de un dipolo de Koch:. 𝑙𝑘 = 𝑙 ∗ (4⁄3)𝑛. 2.2. donde: 𝑙 𝑘 = longitud efectiva del brazo del dipolo fractal de Koch.. 𝑙 = longitud del brazo de un dipolo convencional. 𝑛 = número de iteraciones de la curva. Por tal motivo la frecuencia de resonancia es afectada. La longitud para un dipolo de media onda equivale a 𝜆⁄2 , la longitud de cada brazo del dipolo es 𝜆⁄4 , por lo que podemos.

(34) CAPÍTULO 2. MATERIALES Y METODOS. 23. expresar la longitud de cada brazo del dipolo en términos de la frecuencia de resonancia mediante la expresión siguiente:. 𝑙=. 𝑐. 2.3. 4𝑓𝑟. donde:. 𝑙 = longitud de un brazo del dipolo. 𝑐 = velocidad de la luz en el vacío con un valor de 3 ∗ 108 𝑚⁄𝑠. 𝑓𝑟 = frecuencia de resonancia de la antena. Combinando las expresiones anteriores se obtiene la ecuación para la frecuencia de resonancia de un dipolo de Koch de media onda (𝑓𝑘 ) y se expresa a través de la siguiente ecuación:. 𝑓𝑘 =. 𝑐. 2.4. 4𝑙𝑘. La miniaturización de la antena fractal se evidencia con cada iteración para la cual esta resuena a frecuencias más bajas. Dicha miniaturización muestra un grado mayor de efectividad para las primeras iteraciones, así como el escalado que se requiere para cada una de ellas disminuye con el número de veces que se itere. Para este caso de estudio donde el rango de frecuencia abarca desde 470 hasta 700 MHz, se toma como referencia la frecuencia menor para el cálculo de las dimensiones del dipolo de Koch. Por ejemplo según la ecuación 2.4 se tiene: 470 ∗ 106 =. 𝑐 4𝑙 𝑘. 𝑐 4 × 470 ∗ 106 𝑙 𝑘 = 0.159 ≈ 0.16 [𝑚] 𝑙𝑘 =. Siendo 𝑙 𝑘 la longitud efectiva del brazo del dipolo de Koch para la cual a mayor orden de iteración se reduce el espacio que ocupa en el plano. El número de iteraciones recomendables llega hasta 3 ya que para valores mayores no se delimitaría el fractal..

(35) CAPÍTULO 2. MATERIALES Y METODOS. 24. Figura 2.2: Dipolo de Koch de iteración dos. [Fuente: Elaboración Propia]. El porcentaje de compactación ofrecido por la curva de Koch se obtiene usando la ecuación que sigue: 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = [. (𝐿1 ×𝑓𝑟 )−(𝐿2 ×𝑓𝑟 ) 1. 𝐿1 ×𝐹𝑅1. 2. ] × 100%. 2.5. donde: 𝑓𝑟 1 y 𝑓𝑟 2 las frecuencias de resonancia. 𝐿 1 y 𝐿 2 las longitudes de los dipolos. El porciento de reducción entre el dipolo recto y el dipolo fractal se puede calcular con la siguiente expresión: 𝑃𝑜𝑟𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 =. 𝐿𝑠𝑑 −𝐿𝑓𝑑 𝐿𝑠𝑑. × 100%. 2.6. donde: 𝐿 𝑠𝑑 = longitud del dipolo estándar. 𝐿 𝑓𝑑 = longitud del dipolo fractal. El uso de la curva de Koch para la construcción de dipolos ha permitido realizar reducciones en tamaño de hasta un 60 % en comparación con un dipolo construido de forma tradicional (Niang, 2013)..

(36) CAPÍTULO 2. MATERIALES Y METODOS. 2.2.2. 25. Dipolo Planar de Koch. La longitud de la antena está en función de su frecuencia de resonancia. Se comienza calculando la longitud de cada brazo del dipolo convencional de 𝜆⁄2, para la frecuencia que corresponde al inicio de la banda de trabajo. Para obtener la longitud de los brazos del Dipolo Planar de Koch se considera la ecuación siguiente: 𝑓𝑘 = 𝑓𝑟 (1 − 𝑒. 𝑛−1 𝑛. 𝑙𝑛𝐷 𝐷. ). 2.7. donde: 𝑓𝑘 = frecuencia de resonancia del dipolo fractal 𝑓𝑟 = frecuencia de resonancia de dipolo convencional 𝐷 = dimensión fraccional de la curva. 𝑛 = orden de iteración de la curva. La ecuación anterior es una aproximación de la frecuencia de resonancia para dipolos basados en la curva de Koch. También se debe tomar en cuenta la constante dieléctrica efectiva, puesto que la ofrecida por el fabricante no es válida. La expresión para su cálculo es la que se muestra: 𝐸𝑒𝑓𝑓 =. 𝐸𝑟 +1 2. +. 𝐸𝑟 −1 2. [[1 +. 12𝐻 −0.5 𝑊. ]. 𝑊 2. + 0.04 (1 − ) ] 𝐻. 2.8. donde: 𝐸𝑒𝑓𝑓 = permitividad relativa efectiva. 𝐸𝑟 = permitividad relativa especificada por el fabricante. 𝐻 = espesor del sustrato. 𝑊 = ancho de la pista. La ecuación anterior brinda una aproximación de la permitividad relativa requerida, ya que esta es útil siempre y cuando el sustrato posea un plano de tierra (Romero, 2013). Aunque el software CST. Microwave Studio. posee una Macro que realiza el cálculo.

(37) CAPÍTULO 2. MATERIALES Y METODOS. 26. automáticamente de la permitividad relativa efectiva entre otros datos. Esta se encuentra en el menú Macros/ Calculate/Calculate Analytical Line Impedance. De acuerdo al resultado de la frecuencia de resonancia del dipolo de Koch es necesario reducir el tamaño del radiador considerando el efecto del sustrato en la frecuencia de resonancia y el aumento de la longitud de cada brazo a causa de la curva fractal, mediante la ecuación mostrada a continuación se calcula el valor de la longitud de la antena incluyendo los efectos del sustrato y el aumento de la longitud del fractal: 𝐿=. 𝑐 2𝑓𝑘 √𝐸𝑒𝑓𝑓. 2.9. donde: 𝐿 = longitud del dipolo. 𝑐 = velocidad de la luz en el vacío. 𝑓𝑘 = frecuencia de resonancia del dipolo fractal. 𝐸𝑒𝑓𝑓 = constante dieléctrica efectiva del sustrato. Los cálculos anteriores solo son valores iniciales de referencia, ya que comúnmente esta longitud no satisface la frecuencia de resonancia en la simulación con CST, por lo que se debe parametrizar el valor de la longitud hasta lograr la frecuencia deseada. 2.2.3. Antena Loop o Copo de Nieve de von Koch. La Isla o Copo de Nieve de Koch se logra aplicándole las iteraciones de Koch anteriormente explicadas a cada lado de un triángulo equilátero, las cuales en un valor alto asemejarían una circunferencia conformada por infinitos triángulos. Se ha decidido tomar este fractal para analizar sus propiedades en una antena loop debido a la característica que posee de aumentar considerablemente su longitud de acuerdo a la iteración, sin que esto incida en el espacio ocupado por dicha figura, con el fin de obtener antenas con un comportamiento aceptable a determinada frecuencia y que además su pequeño tamaño brinda mayores posibilidades de uso. Para que una antena lazo mejore su desempeño, necesita tener una longitud total cercana a la longitud de onda. Tomando en cuenta lo anterior se tiene:.

(38) CAPÍTULO 2. MATERIALES Y METODOS 𝑐. 𝑙=𝑓. 27 2.10. 𝑟. donde: 𝑙 = longitud del lazo. 𝑐 = velocidad de la luz en el vacío. 𝑓𝑟 = frecuencia de resonancia. Como el Copo de Koch está formado en su iteración cero por un triángulo equilátero cada lado de este tendrá un valor igual a 𝑙⁄3. Esta longitud efectiva se incrementa con el aumento de la iteración y se calcula a partir de la ecuación 2.2 para las curvas de Koch. Ya que esta antena se desea confeccionar para que trabaje en la banda de 470 - 700 MHz, tomando como referencia para el cálculo la frecuencia central (585 MHz), ya que la longitud efectiva crecerá con cada iteración, el largo de cada lado del triángulo inicial sería de 17,1 cm aproximadamente. Para un Copo de Koch a la segunda iteración quedaría: 2 𝑙 𝑘 = 17,1 ∗ (4⁄3) [𝑐𝑚]. 𝑙 𝑘 = 30,4 [𝑐𝑚] 𝑙 𝑠 = 30,4⁄16 = 1,9 [𝑐𝑚] donde: 𝑙 𝑠 = longitud de cada segmento generado por la segunda iteración. La antena Lazo o Copo de Nieve de Koch y sus parámetros constructivos se muestran en la Figura 2.3. Al comparar el área ocupada por una Isla de Koch generada con cuatro iteraciones, y el área ocupada por su círculo exterior de radio 𝑟, se tiene que el área ocupada por el lazo fractal de Koch es 35 % menor que el área del lazo circular circundante. Á𝑟𝑒𝑎𝐼𝑠𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝐾𝑜𝑐ℎ Á𝑟𝑒𝑎𝐶í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜. =. 2.05 ×𝑟2 𝜋×𝑟2. = 0.65. 2.11. Además al comparar los perímetros se tiene que la isla de Koch con cuatro iteraciones es 2.6 veces más grande que el perímetro del lazo circular:.

(39) CAPÍTULO 2. MATERIALES Y METODOS. 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝐼𝑠𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝐾𝑜𝑐ℎ 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝐶í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜. =. 16 .42×𝑟2 2𝜋 ×𝑟2. = 2.614. 28 2.12. Con lo que se corrobora el grado de reducción que este fractal presenta con respecto al loop circular (Cerda, 2007).. Figura 2.3: Lazo o Copo de Nieve de von Koch de iteración dos. [Fuente: Elaboración Propia]. De acuerdo a lo anteriormente expuesto es razonable que se utilice una mayor iteración ya que de esa forma se consigue una longitud mayor de la antena dentro de un área muy pequeña. Lo ideal sería utilizar una iteración bastante grande, ya que además se ha comprobado que la ganancia aumenta con la iteración. Normalmente los modelos llegan a su límite en la tercera iteración ya que el ancho de la línea con frecuencia no permite iterar más veces, pues al hacerlo las líneas tienden a montarse entre sí con lo que se reduce la longitud de la antena. 2.3. Triángulo de Sierpinski. Este fractal fue introducido por el gran matemático polaco Waclam Sierpinski (1862-1969) en 1916. La construcción del triángulo de Sierpinski comienza con un triángulo equilátero. Luego se extrae el triángulo formado por los puntos medios del original. A los triángulos resultantes se les aplica el mismo procedimiento y se continúa así indefinidamente. Note que se extrae ¼ de área por cada triángulo. Al cabo de cuatro repeticiones o iteraciones se empieza a observar con claridad la figura que caracteriza a este ejemplo. Se denomina.

(40) CAPÍTULO 2. MATERIALES Y METODOS. 29. figura límite, ya que se trata de un valor frontera matemático (el límite) resultante de la sucesión infinita de repeticiones de la regla sobre una determinada figura original (Pérez, 2005). En la figura 2.4 se presenta la construcción de este fractal clásico.. Figura 2.4: Triángulo de Sierpinski. [Fuente: (Pérez, 2005)]. La dimensión de Hausdorff de este fractal es la siguiente: 𝐷=. 2.3.1. 𝑙𝑜𝑔3 𝑙𝑜𝑔2. = 1.5849. 2.13. Construcción del Dipolo fractal Triángulo de Sierpinski. Antenas con estructura fractal como el Triángulo de Sierpinski pueden presentar propiedades multibanda, debido a las características de autosimilitud, que puede describirse como una réplica de la geometría básica en diferentes escalas, dando como resultado diagramas de radiación de campo lejano similares para diferentes frecuencias cuyo número va en proporción al de iteraciones con los que se trabaja (Sandoval and Morocho, 2014). El proceso de construcción del triángulo fractal responde a los pasos enunciados en el subepígrafe anterior. El Triángulo de Sierpinski es autosimilar, se puede descomponer en tres figuras congruentes. En definitiva, para una iteración 𝑘 del triángulo de Sierpinski, este fractal se divide en 3𝑘 piezas autosimilares las cuales al aumentarse en un factor 2𝑘 llevan a la figura original. El diseño de una antena basada en el Triángulo de Sierpinski, se ve definido por dos parámetros: la altura de la antena y el ángulo de apertura, por lo que se deben variar estos factores para lograr el diseño esperado. La altura permite establecer las frecuencias de trabajo de la antena considerando la relación proporcional entre las alturas de los triángulos formados por las diferentes iteraciones. La altura máxima se ve definida por la frecuencia menor de operación y de igual forma la altura menor se corresponde con la frecuencia mayor de trabajo. Para determinar la altura máxima se emplea la fórmula experimental definida como:.

(41) CAPÍTULO 2. MATERIALES Y METODOS 𝑐 ℎ𝑚𝑎𝑥 = 𝑘 𝑓 𝑐𝑜𝑠(𝜃⁄2 )𝛿 𝑛 𝑛. 30 2.14. donde: 𝑓𝑛 = frecuencia de resonancia del triángulo formado por la 𝑛-ésima iteración. 𝑐 = velocidad de la luz en el vacío. ℎ𝑚𝑎𝑥 = altura superior de un lado del dipolo. 𝜃 = ángulo de apertura. 𝛿 = período de operación. 𝑛 = número de iteración. 𝑘 = constante igual a 0,152 que depende del tipo de sustrato dieléctrico y del espesor usado. El período de operación para un dipolo Triángulo de Sierpinski se ve definido por la relación entre las diferentes frecuencias de operación, lo que se expresa como: 𝛿=. 𝑓𝑛+1 𝑓𝑛. ≈2. 2.15. donde: 𝑓𝑛 = frecuencia de resonancia del triángulo formado por la 𝑛-ésima iteración. 𝑓𝑛+1 = frecuencia de resonancia del triángulo formado por la 𝑛 + 1 iteración. 𝛿 = período de operación. Las alturas de los triángulos formados por las iteraciones se relacionan con las frecuencias de operación (Cerda, 2007), resultando: 𝛿=. ℎ𝑛 ℎ𝑛+1. ≈2. 2.16. Se toma para el cálculo de las alturas como primera frecuencia 470 MHz y un triángulo de primera iteración para el cual la segunda frecuencia de resonancia estaría en 940 MHz, valor que sobrepasa el rango de trabajo para el que se desea diseñar. Generalmente se usa como punto de partida un triángulo equilátero que responde a un ángulo de separación de 60°, pero puede tomarse otro valor atendiendo a que el ángulo de apertura permite modificar en ocasiones la impedancia de entrada de la antena y sobre todo.

(42) CAPÍTULO 2. MATERIALES Y METODOS. 31. se utiliza para obtener con mayor precisión las bandas de trabajo puesto que al disminuir el ángulo de apertura, se trasladan las frecuencias de resonancia a valores menores, pero si dicho ángulo es muy estrecho, se pierde las características multibanda de la antena. De igual manera se afecta el factor de separación de las frecuencias para las cuales trabajará la misma (Saavedra, 2012). En este caso las dimensiones de la altura máxima del Dipolo fractal Triángulo de Sierpinski sería: ℎ𝑚𝑎𝑥 (ℎ0 ) = 0.152. 3 ∗ 108 𝑐𝑜𝑠(60⁄2)21 = 168 [𝑚𝑚] 6 470 ∗ 10. De esta forma la altura ℎ1 será igual a la mitad de ℎ0 , o sea 84 mm. En la Figura 2.5 se muestra el Dipolo fractal Triángulo de Sierpinski a la primera iteración con una representación de aspectos seleccionados para el diseño de la misma.. Figura 2.5: Triángulo de Sierpinski de iteración uno. [Fuente: Elaboración Propia]. Estos valores se modifican si se confecciona la antena sobre circuito impreso como por ejemplo FR4, por lo que se corrige agregándole el factor de velocidad que depende de la inversa de la raíz cuadrada de la permitividad relativa del dieléctrico (FR4 (fibra de vidrio) 𝐸𝑟 =4.4). Es decir que si una antena de longitud 𝐿 que funciona en el aire libre a una.

(43) CAPÍTULO 2. MATERIALES Y METODOS. 32. frecuencia 𝑓, para que dicha antena funcione a la misma frecuencia pero sobre un circuito impreso cuyo dieléctrico es FR4 la longitud será (Balanis, 2005): 𝐿𝑑𝑖𝑒𝑙é𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 = 𝐿 × (. 1. 2.17. √𝐸𝑟 ). Ya que la propuesta de diseño es un dipolo, el cual consta de dos brazos idénticos el procedimiento de diseño se realiza para uno de los brazos y luego estos resultados son replicados para el otro brazo. Con esta teoría se puede proceder al cálculo y luego a las simulaciones correspondientes, atendiendo a que los resultados de las ecuaciones anteriores son valores iniciales y pueden sufrir variación en busca del diseño óptimo. 2.4 CST. Trabajo con CST Microwave Studio Microwave. Studio. es. una. herramienta. especializada. para. la. simulación. electromagnética en 3D de componentes de alta frecuencia basado en el método de las diferencias finitas. Es un programa creado por la empresa CST (Computer Simulation Technology), que se dedica a proporcionar software para el diseño electromagnético en todas las bandas de frecuencia (González, 2009). Brinda una gran flexibilidad a los usuarios mediante un rango de aplicación muy amplio, ajuste y presentación de resultados que permiten obtener una visión del comportamiento de los diseños electromagnéticos en alta frecuencia, gracias a la variedad de tecnologías disponibles. Dicho programa posibilita un análisis rápido y preciso de antenas, estructuras resonantes, conectores, filtros y muchos otros dispositivos. CST utiliza algoritmos que resuelven las problemáticas habituales en este tipo de simulaciones consiguiendo resultados muy precisos. Cuenta con una interfaz gráfica muy potente que permite generar todo tipo de superficies y volúmenes, pudiéndose combinar de forma booleana para generar nuevas formas según convenga. Dispone de varios módulos de cálculo, cada uno de los cuales está orientado a la solución de diversos problemas del campo electromagnético. El módulo Transient Solver, el cual se.