OPTATIVIDAD: EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNO DE LOS DOS BLOQUES Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DEL MISMO.

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CASTILLA Y LEÓN / SEPTIEMBRE 03. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / EXAMEN COMPLETO

CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN

Cada pregunta de la 1 a 3 se puntuará sobre un máximo de 3 puntos. La pregunta 4 se puntuará sobre un máximo de 1 punto. La calificación final se obtiene sumando las puntuaciones de las cuatro preguntas.

Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos efectuados por el alumno/a.

OPTATIVIDAD: EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNO DE LOS DOS BLOQUES Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DEL MISMO.

BLOQUE A

Pregunta 1A

Una fábrica produce dos modelos de aparatos de radio, A y B. La capacidad de producción de aparatos de tipo A es de 60 unidades por día y para el tipo B de 75 unidades por día. Cada aparato de tipo A necesita 10 piezas de un componente electrónico y 8 piezas para los del tipo B. Cada día se dispone de 800 piezas del componente electrónico. La ganancia por cada aparato producido de los modelos A y B es de 30 euros y 20 euros, respectivamente. Determina la producción diaria de cada modelo que maximiza la ganancia.

Pregunta 2A

Dada la siguiente función:

    > + ≤ ≤ + < + = 1 2 1 0 0 2 ) ( 2 x x x b ax x a x x f

a) Calcula a y b para que f(x) sea continua.

b) Halla el área limitada por la curva f(x), el eje OX y las rectas x = 0 y x = 2.

Pregunta 3A

Un establecimiento comercial dispone en el almacén de 300 unidades de producto A, 600 del producto B y 100 del producto C. La probabilidad de que una unidad sea defectuosa sabiendo que es del producto A es 0,2 y de que lo sea sabiendo que es del producto B es 0,15. Se sabe que la probabilidad de que siendo una unidad defectuosa proceda de C es 0,3.

Halla la probabilidad de que una unidad sea defectuosa sabiendo que es del producto C.

Pregunta 4A

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BLOQUE B

Pregunta 1B

Sean las matrices

          − − = 1 1 2 1 x x x A ,     = y B 1 ,           − = z z z C 2 ,           = 3 / 1 0 1 D

donde x, y, z son desconocidos.

a) Calcula las matrices (AB) + C y 3D.

b) Sabiendo que (AB) + C = 3D, plantea el sistema de ecuaciones para encontrar los

valores x, y z.

c) Estudia el sistema anterior. ¿Cuántas soluciones tiene? Encuentra una si es

posible.

Pregunta 2B

Dada la curva de ecuación y =−x3+27x se pide:

a) Halla los máximos y los mínimos de la curva, así como los puntos de inflexión. b) Represéntala gráficamente (de forma aproximada).

c) Halla las rectas tangentes a la curva, que sean paralelas a la recta de ecuación y =

15x.

Pregunta 3B

Un examen tipo test consiste en 60 preguntas, con dos posibles respuestas:

verdadero o falso. Para aprobar es necesario contestar correctamente al menos a 50 preguntas.

a) La probabilidad de que Juan conozca la respuesta a cada pregunta es 0,8. Calcula

la probabilidad de que apruebe el examen.

b) María conoce la respuesta correcta a 40 preguntas y contesta las 20 restantes al

azar. Calcula la probabilidad de que apruebe el examen.

Pregunta 4B

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SOLUCIÓN A LAS PREGUNTAS DEL BLOQUE A Pregunta 1

Sean x e y el número de aparatos que debe producir de cada tipo, A y B, respectivamente. Entonces, se trata de maximizar G(x, y) = 30x + 20y

restringido por: x ≤ 60

y ≤ 75

10x + 8y ≤ 800 (número de piezas disponibles) x ≥ 0; y ≥ 0

Estas restricciones generan la región factible (sombreada) en la siguiente figura.

Como sabemos, la solución óptima se encuentra en alguno de los vértices; cuyas coordenadas son: O = (0, 0), P = (0, 75), Q:    = = + 75 800 8 10 y y x ⇒ Q = (20, 75), R:    = = + 60 800 8 10 x y x ⇒ R = (60, 25), S = (60, 0).

La ganancia en cada uno de esos vértices es: En O, G0, 0) = 0.

En P, G(0, 75) = 1500 En Q, G(20, 75) = 2100 En R, G(60, 25) = 2300 En S, G(60, 0) = 1800

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Pregunta 2

a) Los puntos en los que la función presenta dificultades para su continuidad son x = 0 y x = 1. Para que sea continua en esos puntos, el valor de definición de la función debe coincidir con el límite; esto es: ( ) (0)

0 f x f lím x→ = y límx→1f(x)= f(1) En x = 0: si x → 0−, f(x) → a si x → 0+, f(x) → b ⇒ a = b En x = 1: si x → 1−, f(x) → a + b si x → 1+, f(x) → 3 ⇒ a + b = 3 ⇒ 2 3 = =b a

La función continua es:

      > + ≤ ≤ + < + = 1 2 1 0 2 3 2 2 3/2 0 2 ) ( 2 x x x x x x x f

b) El área pedida es la sombreada en la siguiente figura.

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Pregunta 3

Se tienen las siguientes probabilidades: P(A) = 0,3 P(D/A) = 0,2 P(B) = 0,6 P(D/B) = 0,15

P(C) = 0,1 P(D/C) = desconocida P(C/D) = 0,3 En todos los casos, D = “defectuosa”.

Por la probabilidad total y por Bayes, sabemos:

P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) = 0, 3 · 0,2 + 0,6 · 0,15 + 0,1 · P(D/C) = 0,15 + 0,1 · P(D/C) 3 , 0 P(D) P(D/C) · P(C) P(C/D) = = ⇒ P(C) · P(D/C) = 0,3 · P(D) ⇒ 0,1 · P(D/C) = 0,3 · P(D) Por tanto: 0,1 · P(D/C) = 0,3 · (0,15 + 0,1 · P(D/C)) ⇒ 0,07 · P(D/C) = 0,045 ⇒ P(D/C) = 0,64

La probabilidad de que la unidad sea defectuosa sabiendo que es de C es 0,64. Pregunta 4

La distribución es N(100, 16), que se tipifica mediante el cambio

16 100 − = X Z

Para un alumno se tiene:

P(118 ≤ X ≤ 122) = P       − _< _< − 16 100 122 16 100 118 Z = = P(1,125 < Z < 1,375) = P(Z < 1,375) − P(1,125) = 0,9154 − 0,8697 = 0,0457 Si hay 500 alumnos, cabe esperar que entre los coeficientes de inteligencia indicados haya