Sistema de dos espiras de corriente

Texto completo

(1)VIII. Inducción Electromagnética Autoinducción e inducción mutua. ® Gabriel Cano Gómez, 2007/08 Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla). Campos Electromagnéticos Ingeniero de Telecomunicación.

(2) Sistema de dos espiras de corriente Campos. y flujos magnéticos en el sistema. 9circuitos filiformes Γ1 y Γ2 recorridos por corrientes I1(t) e I2(t) • son fuentes de sendos campos magnéticos (i=1,2): μ0 I i (t ) dri → B i (r ; t ) = ∇ × A i (r ; t ) Ai (r; t ) = 4π B1(r;t) Γi | r − ri |. ∫. 9flujo magnético en cada espira (i=1,2) • en términos de los potenciales vector…. Φ m S = ∫ ( B1 + B 2 ) ⋅ dSi = Gó ómez, 07/08 ® Gabriel Cano G. i. Si. ∂S1= Γ1. ∫Γ A ⋅ dri + ∫Γ A ⋅ dri 1. 2. i. i. • expresados como combinaciones lineales de Ii • Lij son los coeficientes de autoinducción e inducción mutua. Φm Φm. S1 S2. = Φ11 + Φ12 = L11 I1 (t ) + L12 I 2 (t ) = Φ 21 + Φ 22 = L21 I1 (t ) + L22 I 2 (t ). 9en caso de espira única… Φ m Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación). S. = LI (t ) 2. μ0. dS1 S1. B2(r;t). + gen. E1 −. I1(t) dr1. dS2 + gen. S2 I2(t) dr2. E2 −. Γ2 = ∂S2. VIII. Inducción electromagnética.

(3) Coeficientes de autoinducción e inducción mutua (I) Definición. de los coeficientes. ¾coeficiente de autoinducción Lii: μ0 dri ⋅ dri′ Lii = = Li 4π Γ Γ | r − r ′ |. ∫ ∫ i. i. i. μ0. i. •determina la contribución de la corriente Ii al flujo magnético a través de Γi (i=1,2). (. Gó ómez, 07/08 ® Gabriel Cano G. Li = ΔΦ m. Si. ΔI i. ). i. B2(r;t). Γ2. I j ,cte. ¾coeficiente de inducción mutua Lij (i ≠ j): dri ⋅ dr j μ0 Lij = = L ji = M 4π Γ Γ | ri − r j |. ∫∫. B1(r;t). j. Γ1. +. S1 I2dr2. S2. gen. I1 dr1. E1 −. r2−r1 +. r2−r'2. gen. E2 −. I2dr'2. •determina la contribución de la corriente Ij al flujo magnético a través de Γi (j≠i =1,2). (. M = ΔΦ m. Si. ΔI j. ). Ii ,cte. (. = ΔΦ m S ΔI i. Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación). j. ). I j ,cte. 3. VIII. Inducción electromagnética.

(4) Coeficientes de autoinducción e inducción mutua (II) Propiedades. Γ1. 9son parámetros geométricos característicos • sólo dependen de la forma de Γi y Γj. μ0. Gó ómez, 07/08 ® Gabriel Cano G. 9son magnitudes físicas dimensionales: • en SI, se mide en henrios: [Lij]=Wb/A=H 9signo de los coeficientes: • autoinducción → siempre positivos • induc. mutua → depende de la géometría Lii = Li > 0; Lij = M <=> 0 9coeficiente de acoplamiento: • mide el acoplo geométrico entre Γ1 y Γ2. k=M. L1 L2 ; −1 ≤ k ≤ 1 9generalizable a sistema de N espiras... • mediante matriz de inducción magnética:. Φm = ⎡⎣ Lij ⎤⎦ i I ; N ×N. (. Lij = ΔΦ m. Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación). Si. ΔI j 4. ). I k ≠ j ,cte. +. B1(r;t) S1 I1. gen. E1 −. Bi(r;t). Γi. +. Si. Bi(r;t). Ei. gen. −. Ii. Γj. +. Sj Ij. gen. Ej. BN(r;t). −. ΓN. + gen. SN Ij. EN −. IT = [ I1. ΦTm = ⎡Φ m ⎣. IN ] S1. Φm. SN. ⎤ ⎦. VIII. Inducción electromagnética.

(5) Circuito equivalente Fuerzas. B1(r;t). electromotrices en el sistema. μ0. 9f.e.m. total en las espiras (i=1,2): B2(r;t). Ef.e.m. Γ = Eigen + Eiind. Γ1. +. S1. i. 9f.e.m. inducida en cada espira:. E. ind i. =−. Modelo. d Φm dt. = − Li Si. dI i dt. −M. dI j dt. ( j ≠ i = 1, 2). Gó ómez, 07/08 ® Gabriel Cano G. E. gen. E2 −. I2. circuital. = I i ( Ri + R ) + Li gen i. +. S2. 9segunda ley de Kirchoff para cada lazo: gen i. −. I1. Γ2. ;. gen. E1. dI i dt. +M. dI j. ( j ≠ i = 1, 2). dt. I1(t). I2(t). ;. +. gen. E1 gen. R1. −. −. M. +. V1M. 5. L2. L1. V1L. −. R2. +. +. 9nuevos elementos circuitales: • Li y M producen caídas de tensìón • dimensiones de coef.: [Lij]=H≡Ωs Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación). R1. V2L. +. −. gen. +. gen. E2 −. R2. V2M −. VIII. Inducción electromagnética.

(6) (2.25 puntos). I2. E(t)=At. s. h. e identificando estas expresiones con (1), se determinan los valores de los coeficientes L1 , L2 y M .. Si. 1. Pero primero es necesario determinar la expresi´ on del campo magn´ etico creado por el sistema de bobinas descrito. Cuando las N espiras son recorridas por la misma corriente Ii , cada bobina va a ser equivalente a una superficie cil´ındrica. Las bobinas est´ an formadas por cables de espesor despreciable frente a la longitud h de aqu´ ellas, que se enrollan de forma compacta y en el mismo sentido sobre sendas superficies cil´ındricas. Se considera, por tanto, que constituyen un sistema de N espiras circulares situadas en planos paralelos y distribuidas de forma continua con una densidad de n = N/h espiras por unidad de longitud. De esta forma, el flujo de un campo B trav´ es de un trozo de bobina de longitud Δz se obtendr´ a sumando los flujos magnéticos a través de las nΔz espiras circulares que lo constituyen.. -. +. I2. s. siendo I1 e I2 las intensidades en las bobinas interior y exterior, respectivamente, y Φ1 y Φ2 los respectivos flujos del campo magn´ etico a trav´ es de sendas superficies S1 y S2 cuyos bordes son los conductores filiformes que, una vez enrollados, forman las bobinas. Como es obvio, en el caso general en que ambas corrientes son no nulas, dicho campo magnético es el resultante de la superposici´ on de los que aquellas corrientes crean por separado. Se tendr´ıa, por tanto... B · dSi = Φi (I1 ; I2 ) (i = 1, 2) (2) Φi =. (a) Los coeficientes de autoinducci´ on e inducci´ on mutua de un sistema de varias espiras o circuitos son un conjunto de par´ ametros geométricos que relacionan linealmente las intensidades de corriente el´ ectrica en las espiras con los flu´ nicas fuentes del campo jos magnéticos a través de superficies que se apoyan en ellas, y siendo dichas corrientes las u magn´ etico. En el ejercicio propuesto se tendr´ a: Φ1 L1 M I1 = (1) a b Φ2 I2 M L2. ´ SOLUCION. (d) En las condiciones de apartado anterior, ¿c´ omo evolucionan en el tiempo la potencia suministrada por los generadores del sistema y la potencia disipada por efecto Joule en las bobinas? ¿Son iguales o distintas? ¿Por qu´ e?. (c) Al mismo tiempo, la bobina interior se extra con velocidad constante v0 , de forma que s(t) = vo t. Calcule la tensi´ on V1 (t) entre los extremos de esta bobina para t > 0.. (b) La bobina exterior se halla conectada a un generador de fuerza electromotriz en rampa E(t) = At, mientras que la bobina interna se mantiene el circuito abierto. Obtenga el comportamiento en el tiempo de la intensidad I2 (t) en la bobina exterior (suponga una expresi´ on de la forma I2 (t) = kt + c).. (a) Despreciando los efectos de borde, determine sus respectivos coeficientes de autoinducci´ on L1 y L2 , as´ı como el de inducci´ on mutua M y el de acoplamiento k.. Dos estrechas bobinas cil´ındricas de la misma longitud h, tienen radios a y b, mucho menores que su longitud (a < b << h); las bobinas son coaxiales pero se hallan desplazadas una longitud s, y est´ an formadas por la misma cantidad de espiras compactas N = nh, enrolladas en el mismo sentido. Las resistencias el´ ectricas de las bobinas son R1 para la bobina interior y R2 para la exterior.. PROBLEMA P.2.. Examen Convocatoria de Septiembre 2007 (14/IX/07). Escuela Técnica Superior de Ingenieros Ingeniería de Telecomunicación Campos Electromagnéticos. Departamento de Física Aplicada III.

(7) ´ N P.2. C ONVOCATORIA S EPTIEMBRE 2007 S OLUCI O. ⎪ ⎩ 0; en otro caso. si ρ = a y s < z < h + s K2 = ⎪ ⎩ 0;. ⎧ ⎪ ⎨nI2 uϕ ; en otro caso. si ρ = b y 0 < z < h (3). { O. B=0. B1. a. { nh. {. N-ns. I2. K2=nI2uj. s. h-s. s. O. B2. B=0. Z b I2. {. {. N-ns. ns. K2=nI2uj. {{ N=nh. B=0. I1. B1. a. O. B2. B1+B2. Z. b. s. s. h-s. K1=nI1uj. (5). 1 Al. 0. S1. 2. 2. final de esta soluci´ on se incluye un ap´ endice donde se muestra c´ omo obtener esta soluci´ on. 2. 0. S2. No puede decirse que el procedimiento descrito sea especialmente complicado o dif´ıcil, sin embargo puede simplificarse bastante haciéndolo por partes: c´ omo los coeficientes de autoinducci´ on e inducci´ on mutua del sistema no dependen de las intensidades de corriente –como ya hemos dicho, son par´ ametros puramente geom´ etricos–, podemos calcular sus valores considerando que s´ olo una de las bobinas es recorrida por una corriente el´ ectrica. Consideraremos primero que a s´ olo el creado por la intensidad de corriente I1 en la bobina interior, I2 = 0; el campo magnético en el sistema ser´ B(r) = B1 (r), y se tendr´ a que... . Φ1 I =0 = L1 I1 + M I2 = B1 (r) · dS1 ; Φ2 I =0 = M I1 + L2 I2 = B1 (r) · dS2 (6). En la figura anterior se muestra gr´ aficamente c´ omo se distribuye este campo en el sistema de bobinas: en el espacio ´ B2 intersecci´ on de las dos bobinas es igual a la suma de los vectores constantes B1 y B2 , mientras que ser´ a igual a B1 o en aquellos puntos que s´ olo son interiores a una de ellas; en el exterior del sistema el campo es nulo. Y puesto que B(r) tiene una expresi´ on distinta en las diferentes regiones del sistema, los flujos (2) se obtendr´ an sumando los flujos parciales a trav´ es de cada una de esas regiones.. B(r) = B1 (r) + B2 (r). etico Y cuando ambas bobinas son recorridas simult´ aneamente por sendas corrientes de intensidad I1 e I2 , el campo magn´ total se obtiene sumando en cada punto las expresiones (4):. Las distribuciones dadas en (3) son fuentes de sendos campos magnéticos B1 (r) y B2 (r). En el caso ideal de bobinas de longitud infinita, el campo creado por cada una de las anteriores distribuciones de corriente es nulo en el exterior, mientras que en el interior de la bobina existe un campo uniforme (constante) cuya expresi´ on es Bi = μ0 nIi uz 1 . En el caso de una bobina de longitud finita (como ocurre con las del ejercicio), esta expresi´ on puede considerarse como exacta siempre que el campo magnético se eval´ ue en puntos suficientemente alejados de los extremos de la bobina; no obstante, también puede tomarse como una aproximaci´ on v´ alida de la soluci´ on en todos los puntos del espacio siempre que, tal como se indica en este ejercicio, la longitud de la bobina sea lo suficientemente grande frente a su radio. Por tanto, consideraremos que los campos que generan por separado las corrientes (3) son: ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨μ0 nI1 uz = B1 ; si ρ < a y s < z < h + s ⎨μ0 nI2 uz = B2 ; si ρ < b y 0 < z < h B1 (r) = B2 (r) = (4) ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 0; en otro caso 0; en otro caso. n(h-s). K1=nI1uj. I1. Z. Estas expresiones establecen como sentido positivo de las dos intensidades en las espiras de ambas bobinas el correspondiente al sentido de giro antihorario.. K1 =. ⎧ ⎪ ⎨nI1 uϕ ;. de altura h donde existe una corriente eléctrica de intensidad N Ii que se distribuye seg´ un una densidad superficial de m´ odulo constante y direcci´ on tangente a las espiras circulares. Tomando como eje z el eje coaxial de las bobinas y considerando que la de radio b est´ a sobre el plano z = 0, se tendr´ an que las expresiones en cil´ındricas para las densidades superficiales de corriente del sistema son:. ´ ´ C. Electromagneticos 06/07 (I. Telecomunicacion).

(8) ´ N P.2. C ONVOCATORIA S EPTIEMBRE 2007 S OLUCI O. I2 =0. =N Σ1. B1 · dS1 = N μ0 nI1 0. 2π. dϕ. 0. a. ρdρ = μ0 n2 hπa2 I1. (7). I2 =0. = n(h − s) Σ2. B1 · dS2 = μ0 n (h − s)I1 2 0. 2π. dϕ. 0. a. ρdρ = μ0 n2 (h − s)πa2 I1. (8). 0. Φ2. M= = μ0 n2 (h − s)πa2 I1 I2 =0. (9). I1 =0. =N. Σ2. B2 · dS2 = N μ0 nI2 0. . 2π. dϕ. 0. b. ρdρ = μ0 n2 hπb2 I2. =⇒. L2 =. Φ2. = μ0 n2 hπb2 I2 I1 =0. (11). (12). dL2 dL1 = = 0; dt dt. 3. dM dM ds = dt ds dt. (14). En ambos apartados la bobina exterior constituye un circuito cerrado en el cu´ al hay conectado un generador de fuerza electromotriz variable en el tiempo E(t), mientras que la interior permanece en circuito abierto. En consecuencia, se a variable en el tiempo, tendr´ a que I1 = 0 en todo instante mientras que, en general, la intensidad en la bobina exterior ser´ as, aunque las bobinas no cambian su forma, si hay un desplazamiento relativo de una respecto de I2 = I2 (t). Pero adem´ otra seg´ un la ley s(t) = v0 t a partir de un cierto instante t = 0, considerado como instante inicial. Por tanto, mientras L1 y L2 permanecen constantes, el coeficiente de autoinducci´ on cambia en el tiempo, pues M = M [s(t)]:. (b) y (c) Los supuestos de estos dos apartados ocurren simult´ aneamente, por lo que pueden ser planteados y resueltos de esta forma. En ambos se analizan los efectos de la Ley de Faraday en el sistema descrito: las bobinas del sistema constituyen sendos circuitos eléctricos en los que la variaci´ on en el tiempo de los flujos del campo magn´ etico inducir´ a unas fuerzas electromotrices que se oponen al cambio de dichos flujos. Esta variaci´ on puede deberse tanto a la variaci´ on temporal de las intensidades de corriente c´ omo de la geometr´ıa del sistema, lo que implicar´ıa un cambio de los coeficientes de autoinducci´ on y/o inducci´ on mutua:.

(9)

(10) d Li Ii d M Ij dΦi ind =− − (i = 1, 2; j = i) (13) Ei = − dt dt dt. M μo n2 (h − s)πa2 a s k= √ = 2 = 1− b h L1 L2 μ0 n4 h2 a2 b2. Puede comprobase que a partir de la relaci´ on , también habr´ ıa podido obtenerse el valor del coeficiente de inducci´ on mutua expresado en (9), a partir de la relaci´ on M = (Φ1 /I2 ) I1 =0 . Finalmente, el coeficiente de acoplamiento es, por definici´ on:. Φ2. En esta situaci´ on el campo magnético constante fluye por completo a trav´ es de las N espiras de la bobina. Calculando dicho flujo y teniendo en cuenta la relaci´ on anterior, se obtiene:. S2. Para calcular L2 repetimos el procedimiento para el caso I1 = 0 e I2 = 0, de forma que B(r) = B2 (r) y calculamos el flujo de este campo a través de la bobina exterior: . Φ2 I1 =0 = M I1 +L2 I2 = B2 (r) · dS2 (10). Φ1. L1 = = μ0 n2 hπa2 I1 I2 =0. Y teniendo en cuenta ahora las relaciones expresadas en (6), se obtienen los valores de la autoinducci´ on de la bobina interior y del coeficiente de inducci´ on mutua:. Φ2. Si procedemos de manera an´ aloga en la bobina exterior, nos encontramos con que B1 (r) s´ olo fluye a trav´ es de n(h − s) espiras de dicha bobina. Estas espiras definen c´ırculos Σ2 de radio b y tales que dS2 = ρdρdϕ uz , a trav´ es de los cuales olo fluye parcialmente: B1 (r) s´. Φ1. Para calcular el flujo a través de la bobina interior hemos de tener en cuenta que el campo B1 (r) es constante dentro ella y que, por tanto, su flujo ser´ a el mismo a través de las N espiras que la constituyen. Sea Σ1 una superficie cuyo borde coincide con una cualquiera de las N espiras; por ejemplo, un c´ırculo de radio a con dS1 = ρdρdϕ uz , pues se ha identificado el sentido positivo de las corrientes con el giro antihorario. Se obtiene as´ı.... ´ ´ C. Electromagneticos 06/07 (I. Telecomunicacion).

(11) I1 =0. =−. dM dI2 I2 (t) − M [s(t)] ; dt dt E2ind I1 =0. = −L2. dI2 dt. R1. +. ind. E1. L1 M[s(t)]. L2. +. E ind 2. -. R2. -. +. E(t)=At. I2(t)=ct+d. E1ind (t) = V1 (t). E(t) + E2ind (t) = R2 I2 (t). (18). (17). dI2 + R2 I2 (t) = E(t) = At dt. (19). =⇒. L2 c=− k R2. =⇒. A I2 (t) = R2. L2 t− R2. si t > h/v0. si 0 < t < h/v0 (21). (20). −→. dW. A2 2 L2 = P = − t t gen dt gen R2 R2. (22). 4. Por otra parte, s´ olo hay disipaci´ on de energ´ıa por efecto Joule en la bobina exterior, ya que s´ olo en ´ esta hay una corriente el´ ectrica:. dW. gen = Pgen = P +P2gen = E(t)I2 (t) 1 dt gen 0. (d) Como sabemos, en el sistema descrito s´ olo existe un generador de fuerza electromotriz E(t) conectado a la bobina exterior en circuito cerrado. Por tanto, la potencia instant´ anea, es decir, la energ´ıa por unidad de tiempo suministra este generador en cada instante es el producto de la fuerza electromotriz por la intensidad de la corriente el´ ectrica que se establece en el circuito. Teniendo en cuenta el comportamiento en el tiempo de E(t) = At y el resultado (20), se obtiene:. ⎧ L2 2 2 A ⎪ ⎪ ⎨μ0 n πa R 2v0 t − v0 R − h ; 2 2 V1 (t) = ⎪ ⎪ ⎩ 0;. Y para obtener la ca´ıda de tensi´ on V1 (t) en la bobina interior, aplicamos en (18) los resultados de (15), (16) y (20):. L2 k + R2 (kt + c) = At. A k= ; R2. Como se sabe, la soluci´ on completa de esta ecuaci´ on es la suma de la soluci´ on a la ecuaci´ on homog´ enea m´ as una soluci´ on particular para la excitaci´ on lineal E(t). La soluci´ on de la homogénea es una exponencial decreciente que desaparece cuando ha transcurrido un intervalo de tiempo lo suficientemente grande (transitorio). As´ı, se propone como soluci´ on una respuesta lineal I2 (t) = kt + c, cuyas constantes se determinan exigiendo que verifique (19):. L2. Teniendo en cuenta c´ omo son E(t) y la fuerza electromotriz inducida en la bobina exterior en las condiciones del problema, la expresi´ on (17) proporciona la ecuaci´ on diferencial que describe el comportamiento en el tiempo de la intensidad en dicha bobina:. +. V1(t). -. I1=0. Apliquemos ahora la segunda ley de Kirchoff en las dos bobinas del sistema: la exterior constituye un circuito cerrado, por lo que la suma de todas las fuerzas electromotrices –la del generador E(t), m´ as la inducida E2ind –, ha de ser igual a la ca´ıda de tensi´ on en su resistencia eléctrica R2 ; la bobina interior se halla en circuito abierto, por lo que la ca´ıda de tensi´ on entre ńica que existe en dicho circuito: sus extremos, V1 (t)ser´ a igual a la fuerza electromotriz inducida E1ind , pues es la u. Sin embargo, hay que tener un poco de cuidado con el coeficiente de inducci´ on mutua, pues va a ser no nulo siempre que haya parte de la bobina interior dentro del hueco de la exterior; es decir, siempre que h − s(t) = h − v0 t > 0: ⎧ ⎧ 2 2 2 2 ⎪ ⎪ ⎨μ0 n πa (h − v0 t); si 0 ≤ t ≤ h/v0 ⎨−μ0 n πa v0 ; si 0 < t < h/v0 dM M (t) = = =⇒ (16) ⎪ ⎪ dt ⎩ ⎩ 0; si t ≤ h/v0 0; si t > h/v0. E1ind. (15). ´ N P.2. C ONVOCATORIA S EPTIEMBRE 2007 S OLUCI O. Por tanto, las fuerzas electromotrices inducidas en las bobinas interior y exterior ser´ an, respectivamente:. ´ ´ C. Electromagneticos 06/07 (I. Telecomunicacion).

(12) −→. 2 dW. A2 L2 = P = t − Joule dt Joule R2 R2. (23). ´ N P.2. C ONVOCATORIA S EPTIEMBRE 2007 S OLUCI O. =⇒. Pgen = PJoule +. dWmag. dt I1 =0. (26). =⇒ B(r) = ∇ × A =. 1 d ρAρ (ρ) uz = B(ρ) uz ρ dρ. (28). ∀ P ∈ Σ. =⇒. dB(ρ) = 0, dρ. si ρ = 0. (29). ρ→∞. lim B(r) = 0. 5. =⇒. B(ρ > r0 ) = 0. (30). La soluci´ on a esta ecuaci´ on es trivial: la componente del campo es una constante y, por tanto, B es un vector constante en todos los puntos del espacio que no pertenezcan al solenoide; sin embargo, como este campo sufre una discontinuidad en Σ, dicha constante debe tomar valores distintos dentro y fuera del solenoide. Para determinar los valores de estas constantes exigiremos, en primer lugar, que la perturbaci´ on magnética no debe ser apreciable en puntos muy alejados del solenoide principio de proximidad:. ∇ × B = μ0 J(r) = 0,. Una vez determinado que el campo magnético creado por la corriente en el solenoide infinito ha de ser paralelo al eje de ´ este y que s´ olo puede tener componente z, aplicamos la ley de Amp` ere para determinar c´ omo es dicha componente. Para variar, utilizaremos la forma local de esta ley, la cu´ al establece que las corrientes el´ ectricas son las fuentes vectoriales del campo magnético. En regiones donde existan corrientes eléctricas distribuidas en volumen, la densidad de corriente en cada punto esta directamente relacionada con el rotacional del campo B en dicho punto; en nuestro caso, no existen tales densidades volumétricas y teniendo en cuenta la forma del campo creado por el solenoide (28), .... A(r) = Aρ (ρ) uρ (ϕ) + Aϕ (ρ) uϕ (ϕ). De este potencial vector sabemos que no puede tener componente z, pues K ⊥ uz ; adem´ as, dada la uniformidad de la distribuci´ on de corriente en una superficie cil´ındrica de longitud indefinida, la componentes de A van a ser funci´ on de ρ, exclusivamente:. Consid´ erese un solenoide o bobina recta de longitud infinita, radio r0 y n espiras circulares por unidad de longitud, recorrida por una intensidad de corriente I. Como ya hemos visto, este sistema se modela como una superficie cil´ındrica al existe una distribuci´ on homogénea de corriente el´ ectrica caracterizada por una densidad superficial Σ : ρ = r0 en la cu´ cuya expresi´ on en coordenadas cil´ındricas es KΣ = nI uϕ . Esta distribuci´ on de corriente es fuente de un campo magn´ etico B(r) que, por ser solenoidal, derivar´ a de un potencial vector magn´ etico A(r): K μ0 dS tal que B(r) = ∇ × A(r) ⇐⇒ ∇ · B = 0, ∀ P ∈ IR3 (27) ∃ A(r) = 4π Σ |r − r |. Ap´ endice: campo de un solenoide de longitud infinita. Es decir, la energ´ıa por unidad de tiempo suministrada por el generador en cada instante es la que se disipa en la resistencia el´ ectrica de la bobina exterior m´ as la variaci´ on por unidad de tiempo que experimenta la energ´ıa magn´ etica almacenada en el sistema.. dWmag. L2 A2 dI2 L2 = = L I (t) t − = ΔP 2 2 dt I1 =0 dt R22 R2. Por tanto, la energ´ıa magnética que se almacena por unidad de tiempo en cada instante es:. Pero, ¿qué ocurre con esta energ´ıa que no se disipa? Veamos qué le ocurre a la energ´ıa magn´ etica del sistema; es decir, la etico, mientras que la que se almacena al establecer la corriente I2 en la bobina exterior y el correspondiente campo magn´ interior se mantiene en abierto:. 1 1 Wmag I1 =0 = Lij Ii Ij I1 =0 = L2 I22 (t) (25) 2 i,j 2. Obs´ ervese que estas dos cantidades son distintas; si las restamos obtenemos la cantidad de energ´ıa por unidad de tiempo suministrada por el generador que no se disipa por efecto Joule (en forma de calor): L2 A2 L2 ΔP = Pgen − PJoule = t− (24) R22 R2. dW. = PJoule = P1Joule + P2Joule = R1 I12 + R2 I22 (t) dt Joule 0 0. ´ ´ C. Electromagneticos 06/07 (I. Telecomunicacion).

(13) ´ N P.2. C ONVOCATORIA S EPTIEMBRE 2007 S OLUCI O. n × B Σ = μ0 KΣ. −→ =⇒. 6. B(ρ < r0 ) = μ0 nI uz. 0. uρ × B(ρ = r0+ )−B(ρ = r0− ) = Bext uϕ = μ0 nI uϕ. =⇒. (32). (31). Exigiendo ahora la condici´ on de discontinuidad que debe verificarse en Σ y teniendo en cuenta que el campo en el interior es B(ρ < r0 ) = Bext uz , se obtiene... ,.... ´ ´ C. Electromagneticos 06/07 (I. Telecomunicacion).

(14)