Espín y relatividad (especial)

(1)

Espín y relatividad (especial)

Seminario de grupo

Tutor: J. Jesús Hernández-Trujillo

Ulises Torres Herrera

UNAM Facultad de Química

17 de octubre, 2014

(2)

Objetivo general

Encontrar una formulación de la mecánica cuántica que incluya al espín.

UNAM-FQ-DFyQT

(3)

Objetivos particulares

• Cambiar la ecuación de Schrödinger para

expresar la energía relativista en notación de operadores. (Para partícula libre).

• Realizar la formulación de Dirac.

• Estudiar dos casos de interés:

– Partícula en una caja relativista.

– Partícula libre relativista.

• Verificar que los resultados sean congruentes con la formulación no relativista del espín.

UNAM-FQ-DFyQT

(4)

Introducción

En la perspectiva no relativista, la ecuación de Schrödinger para una partícula libre es:

Donde se ha definido a los operadores como:

Definición clásica de Energía:

ψ

² ²

ψ

2 ∇

−

∂ =

∂

m

i t h

h

i t

E ∂

≡ h ∂

ˆ pˆ ≡ − i h ∇

m p p

m E p

2 2

2

= ⋅

= p p

E m ˆ ˆ 2

ˆ = 1 ⋅

UNAM-FQ-DFyQT

(5)

En relatividad especial

La energía está dada por

Donde

Al aplicar los operadores

Se obtiene la expresión relativista

2 2

4 2

2

m c c p

E = +

p p

p

²

= ⋅

^v

c v p m

2 2

1−

=

i t

E ∂

≡ h ∂

ˆ pˆ ≡ − i h ∇

Ψ +

Ψ

∇

∂ =

∂ Ψ

2 2 2 2 4 2

2

c m c

t

h h

UNAM-FQ-DFyQT

(6)

• Ecuación de Klein-Gordon

Dificultades:

No contiene información del espín.

Su interpretación probabilística, admite probabilidades negativas.

Ψ +

Ψ

∇

∂ =

∂ Ψ

² ² ² ² ⁴

2 2

2

c m c

t

h h

( ) _





 



∂ Ψ Ψ ∂

∂ − Ψ Ψ ∂

= imc t t

t

r

^*

*

2

, h

ρ

UNAM-FQ-DFyQT

(7)

Dirac propone un tratamiento distinto

• Formulación en términos de primeras derivadas.

Procedimiento: Linealización del radical.

Encontrar coeficientes Tales que

2 2

4 2

2

m c c p

E = + E = m

²

c

⁴

+ c

²

p

²

R

R ∈

∈ β

α

³

^,

2 4

2 2

2

p m c c p mc

c

E = + = α ⋅ + β

ˆ

2

ˆ ˆ c p mc

E = α ⋅ + β

UNAM-FQ-DFyQT

(8)

• El operador debe recuperar el resultado clásico

• Al efectuar esto, resulta

• Efectuando los productos entre paréntesis

• Al comparar este resultado con el esperado

• Igualando término a término, se obtiene

(

²

)(

²

)

2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ E E c p mc c p mc

E = = α ⋅ + β α ⋅ + β

2 2

4 2

2

ˆ

ˆ m c c p

E = +

ˆ

2

ˆ ˆ c p mc

E = α ⋅ + β

( )( ) ( )

( )

ˆ 2

ˆ ˆ

ˆ cp α cp α cp βmc

α ⋅ ⋅ + ⋅

= ˆ 2

E

( )( ) ( )

² ²

( )

² ² ⁴

2

ˆ p ˆ ˆ p ˆ c ˆ p ˆ mc mc c ˆ p ˆ m c

c α ⋅ α ⋅ + α ⋅ β + β α ⋅ + β

= ˆ 2

E

4 2

c

2

m

2

ˆp

=

c

ˆ 2

E

+

(

^α^ˆ ^⋅ ^p^ˆ

)(

^α^ˆ ^⋅ ^p^ˆ

)

⁼ ^p^ˆ²

(

^α^ˆ ^⋅ ^p^ˆ

)

^β ⁺ ^β

(

^α^ˆ ^⋅ ^p^ˆ

)

⁼ ^0ˆ ^β ² ⁼¹

UNAM-FQ-DFyQT

Eˆ =

( )

² ² ⁴

2 ˆ cpˆ m c

mc α β

β ⋅ +

+

ˆ 2

E

+

0

(9)

(

^α^ˆ ^⋅ ^p^ˆ

)(

^α^ˆ ^⋅ ^p^ˆ

)

⁼ ^p^ˆ ²

(

^α^ˆ ^⋅ ^p^ˆ

)

^β ⁺ ^β

(

^α^ˆ ^⋅ ^p^ˆ

)

⁼ ^0ˆ ^β ² ⁼¹

ˆ 0ˆ ˆ_iβ + βα_i =

α

No existen números que anticonmuten.

¿Qué estructura algebraica sí puede anticonmutar?

Sean Matrices n x n que sean hermitianas.

(Diagonalizables)

Convención: Sea la matriz diagonal (sólo uno de los operadores puede ser diagonal)

• Con ello, surgen dos retos:

– Problema 1: Determinar la dimensión de la matriz – Problema 2: Determinar las matrices

ˆ 1 ˆ_iα_i = α

ˆ 0ˆ ˆ ˆ

ˆ_iα _j +α _jα_i =

α ⁱ^, ^j = ^x^, ^y^, ^z

De lo anterior se concluye que

β α

ˆ_i^,

β α

ˆ_i^,

β

UNAM-FQ-DFyQT

β

α

ˆ_i^,

(10)

Es diagonal y (matriz unitaria de nxn) por tanto los elementos de la matriz sólo pueden ser Por la anticonmutatividad, se tiene

Multiplicando a la derecha por da La traza de esta matriz, resulta

Pero la traza de un producto posee la propiedad Al igualar ambos,

Todas estas pistas arrojan que es como sigue Tiene

Dimensión par

β β

²

= ^I

_nxn

( ) β

ii

⁼ ^± ¹

i

β βα

α

= −

β α

α β βα

α_i _i = − _i _i = −

(

^α ^βα

)

^Tr

( )

^β ^Tr

( )

^β

Tr _i _i = − = −

(

^α ^βα

)

^Tr

( ( )( )

^α ^β ^α

)

^Tr

( ( )( )

^α ^α ^β

)

^Tr

(

^α ^α ^β

)

^Tr

( )

^β

Tr _i _i = _i _i = _i _i = _i _i =

( ) ^β ⁼ ⁻ ^Tr ( ) ^β ⁼ ⁰

Tr









= −













−

= I

I 0

0

1 0

...

0 0

1 0

...

0 0

0 ...

0 1 0

0 ...

0 1 0

M M M β O

βα α

_i

β

(11)

se escribió en cuatro bloques previamente Por analogía y para igualar notación

Pero como donde el índice

• Al sustituir en esta ecuación, se tiene

• Por tanto,

Por simplicidad de notación



 





= −

I I

0

β 0 







= 

i i

i

, 22 ,

21

, 12 ,

11

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

α α

α α α

ˆ 0ˆ ˆ_iβ + βα_i =

α







= 









− 0 0

0 0

2 ˆ 0

ˆ 0 2

, 22 ,

11

i i

α α

ˆ 0ˆ

ˆ₁₁_,_i =

α

₂₂_,_i =

α

z y x i = , ,

i i

i

α σ

α

ˆ₁₂_, = ˆ₂₁_, ≡







= 

ˆ 0 0 ˆ ˆ

x

x σ

α σ _^









= 

ˆ 0 0 ˆ ˆ

y

y σ

α σ _







= 

ˆ 0 0 ˆ ˆ

z

z σ

α σ

β

z y x i = , ,

(12)

Ahora se buscan que cumplan condiciones Condición 1:

Condición 2:

¿Cuál es la mínima dimensión m de ?

• m=1, NO, porque los números no anticonmutan

• m=2, puede ser, por ejemplo, las matrices de Pauli

• Con esas es posible recuperar la matriz

Nota: Matrices de dimensión superior representan partículas de espín ±1, ± 3/2, ± 2, etc.

ˆ 0ˆ ˆ ˆ

ˆ_iα _j +α _jα_i =

α σˆ_iσˆ _j +σˆ _jσˆ_i = ^0ˆ

n i

iα = I

α^ˆ ^ˆ σˆ_iσˆ_i = Iⁿ₂

σ ^ˆ

i



 



= 

0 1

1 ˆ_x 0

σ _



 



 −

= 0

ˆ 0

i

σ y _



 





= −

1 0

0 ˆ_z 1

σ

















−

= −

1 0

0 0

0 1 0

0

0 0 1 0

0 0 0 1

β

















=

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

αx

















−

=

0 0 0

0 0

0

0 0 0

i

i i

i

αy

















−

= −

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0

0 0

0 1 0 0 αy









= −

I I

0 β 0

UNAM-FQ-DFyQT

σ

i

σ

i

α

(13)

Ya conocemos la ecuación de onda

Pero son matrices 4x4

Por tanto, la función de onda es una matriz columna 4x1, llamada espinor

Y el adjunto de la función de onda es

( ^⋅ ) ^Ψ ⁺ ^Ψ

=

Ψ ˆ ˆ

²

ˆ c p mc

E α β

β α

^ˆ_i^,

( ) ( ) ( ) ( )

^^

















= Ψ

t r

, , , ,

4 3 2 1

ψ ψ ψ ψ

(

^ψ¹^*⁽^r^,^t⁾ ^ψ ²^*⁽^r^,^t⁾ ^ψ³^*⁽^r^,^t⁾ ^ψ ⁴^*⁽^r^,^t⁾

)

= Ψ^ŧ

(14)

Interpretación probabilística

• Ecuación de onda para

• Multiplico por

• Ecuación de onda para

• Multiplico por

• Al sumar ambas ecuaciones, se tiene

Ψ +

Ψ

⋅

−

∂ = Ψ

∂ 2

ˆ

ˆ cp mc

t i

i^h ^hα β

(

^⋅^∇

)

^Ψ ⁺ ^Ψ ^Ψ

Ψ

−

∂ = Ψ Ψ ∂

− ˆ mc²

c i

i^h t ^h α β

(

^⋅^∇

)

^Ψ ⁺ ^Ψ ^Ψ

Ψ

−

∂ = Ψ

Ψ ∂ i c ˆ mc²

i^h t ^h α β

(

^⋅^∇

)

^Ψ ⁺ ^Ψ

−

∂ = Ψ

− ∂ ci ˆ mc²

i^h t ^h α β

(

^Ψ ^⋅^∇^Ψ ⁺ ^Ψ^⋅^∇^Ψ

)

−

 =









∂ Ψ Ψ ∂

∂ + Ψ

Ψ ∂ h αˆ αˆ

h ic

t i t

Ψ

ŧ ŧ ŧ

ŧ ŧ

ŧ

ŧ ŧ

ŧ

ŧ ŧ

UNAM-FQ-DFyQT

Ψ^ŧ

Ψ

(15)

• Es análoga a ecuación de continuidad (conservación de masa o de carga).

• Densidad Flux

de probabilidad de probabilidad

(

^Ψ ^⋅^∇^Ψ ⁺ ^Ψ ^⋅^∇^Ψ

)

−

 =









∂ Ψ Ψ ∂

∂ + Ψ

Ψ ∂ c αˆ αˆ

t t

(

^Ψ ^Ψ

)

⋅

∇

−

∂ = Ψ Ψ

∂ c αˆ

t

= 0

⋅

∇

∂ +

∂ j

t

ρ

Ψ Ψ

ρ = j ⁼ ^Ψ αˆ^Ψ

ŧ

ŧ ŧ

ŧ

ŧ ŧ

• Analicemos esta ecuación:

(16)

Interpretación probabilística

• En Mecánica Cuántica No relativista, partículas en potencial central cumplen:

Por tanto es const. de mov.

- Lo anterior también se cumple en general, para operadores hermitianos (ver el teorema hipervirial no relativista).

• En mecánica relativista, la partícula libre arroja.

( )

4 ²

2 3

2 2

2

1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

,t r t r t r t r t

r ^t ψ ψ ψ ψ

ρ = Ψ Ψ = + + +

[

^H^ˆ ^,^r^ˆ^× ^p^ˆ

]

⁼ ^0ˆ

^r ^ˆ ^× ^p ^ˆ

[ ^H ^ˆ ^, ^r ^ˆ ^× ^p ^ˆ ] ⁼ [ ^c ^α ^ˆ ^⋅ ^p ^ˆ ⁺ ^β ^mc

²

^, ^r ^ˆ ^× ^p ^ˆ ]

[ ^c ^ˆ ^⋅ ^p ^ˆ ^, ^r ^ˆ ^× ^p ^ˆ ] ⁺ [ ^mc

²

^, ^r ^ˆ ^× ^p ^ˆ ]

= α β

[ ^c ^ˆ ^⋅ ^p ^ˆ ^, ^r ^ˆ ] ^× ^p ^ˆ

= α

UNAM-FQ-DFyQT

0

(17)

[ ] ^H ^ˆ ^, ^L ^ˆ ⁼ ^[ ^c ^α ^ˆ ^⋅ ^p ^ˆ ^, ^r ^ˆ ^] ^× ^p ^ˆ

[ ] ^H ^ˆ ^, ^L ^ˆ ⁼ [ ^c ( ^α ^ˆ

^x

^p ^ˆ

^x

⁺ ^α ^ˆ

^y

^p ^ˆ

^y

⁺ ^α ^ˆ

^z

^p ^ˆ

^z

) ^, ^r ^ˆ ] ^× ^p ^ˆ

[ ] ^H ^ˆ ^, ^L ^ˆ ⁼ ⁽ ^c ^α ^ˆ

^x

^[ ^p ^ˆ

^x

^, ^r ^ˆ ^] ⁺ ^c ^α ^ˆ

^y

[ ] ^p ^ˆ

^y

^, ^r ^ˆ ⁺ ^c ^α ^ˆ

^z

^[ ^p ^ˆ

^z

^, ^r ^ˆ ^] ⁾ ^× ^p ^ˆ

[ ] ^H ^ˆ ^, ^L ^ˆ ⁼ ( ^c ^α ^ˆ

^x

^[ ^p ^ˆ

^x

^, ^x ^] ⁱ ⁺ ^c ^α ^ˆ

^y

[ ] ^p ^ˆ

^y

^, ^y ^j ⁺ ^c ^α ^ˆ

^z

^[ ^p ^ˆ

^z

^, ^z ^] ^k ) ^× ^p ^ˆ

[ ]

x i

p_j _j h

= ˆ ,

[ ] ^k ^p

c i i j

c i i

c L

H ˆ , ˆ ˆ

_x

ˆ

_y

ˆ

_z

 × ˆ



 



 + +

= ^h α ^h α ^h α

[ ] ( ⁱ ^j ^k ) ^p

c i L

H ˆ , ˆ = ^h α ˆ

_x

+ α ˆ

_y

+ α ˆ

_z

× ˆ

[ ] ^ˆ ^, ^ˆ ⁼ ^ˆ ^× ^p ^ˆ ^≠ ^0ˆ

c i L

H ^h α

UNAM-FQ-DFyQT

Desarrollando las matrices alfa, p se tiene

Al hacer el producto cruz

Por la relación de conmutadores Se sustitu

(18)

Determinar la constante de

movimiento asociada al momento angular

Suponer momento angular “efectivo”

donde k es constante Por determinar k, tales que

∑

^→

+



×

= r p k J ˆ ˆ ˆ

∑

^→



[ ] ^H ^ˆ ^, ^J ^ˆ ⁼ ⁰

UNAM-FQ-DFyQT

(19)

• Es posible construir esto a partir de las matrices de Pauli, porque

[ ^, ^ˆ ^ˆ ] ^, ^0ˆ

ˆ

, ˆ  =



 

 + 

×

=

 

 



 ^H ^r × ^p + ^k

^

∑

^→

^H ^r ^p ^H ^k

^

∑

^→

0ˆ ˆ ,

ˆ  =



 

 + 

×

= ^p ^H ^k

^

∑

^→

c ^h i α

 

 =

= , i, j sucesivas

si ,

I

k j

i

j i

σ σ σ

=

∑

+

=

z y x k

k ijk ij

j

i

I i

, ,

σ ε

δ σ

σ

(20)

Pero

•Esto se usa para evaluar el conmutador

∑

=

+

=

z y x k

k mnk mn

n

m I i

, ,

σ ε

δ σ

σ

∑

=

+

=

z y x k

k nmk nm

m

n I i

, ,

σ ε

δ σ

σ δnm = δmn ε_nmk ⁼ ⁻ε_mnk

=

∑

−

=

z y x k

k mnk mn

m

n I i

, ,

σ ε

δ σ

σ

=

∑

=

−

z y x k

k mnk n

m n

m i

, ,

2 ε σ

σ σ σ

σ

[ ^σ

^⋅ ^p^,

^σ

^j

]

⁼

⁽ ^σ

^⋅ ^p

⁾ ^σ

^j ⁻

^σ

^j

⁽ ^σ

^⋅ ^p

⁾

[ ]

_^









− 











= 

⋅

∑ ∑

=

= r x y z

r r j

j z

y x r

r r

j p p

p

, , ,

,

,σ σ σ σ σ

σ

[ ]

_^









− 











= 

⋅

∑ ∑

=

= r x y z

r r j z

y x r

j r r

j p p

p

, , ,

,

σ σ σ σ σ

σ

UNAM-FQ-DFyQT

(21)

[ ]

_^









− 











= 

⋅

∑ ∑

=

= r x y z

r r j z

y x r

j r r

j p p

p

, , ,

,

σ σ σ σ σ

σ

( )

∑

=

−

=

z y x r

r r j j

r

p p

, ,

σ σ σ

σ

( )

=

∑

−

=

z y x r

r r j r

j

r

p p

, ,

σ σ σ

σ

( )

∑

=

−

=

z y x r

i r

j j

r

p

, ,

σ σ σ

σ

=

∑

=

−

z y x k

k kmn n

m n

m

i

, ,

2 ε σ

σ σ

σ Retomando σ

puesto que

[ ] ^∑ ^∑ ^{∑ ∑}

= =

 =























= 

⋅

z y x

r k x y z

r k krj z

y x r

r z

y x k

k krj

j i p i p

p

,

, , ,

,

, , ,

2 2

,σ ε σ ε σ

σ

( )

^× ⁼

∑∑

m n

n m jmn

j a b

b

a ε

[

^σ ^⋅ ^p^,^σ ^j

]

⁼ ²ⁱ

⁽

^σ ^× ^p

⁾

^j

(22)

• Se construye

 



 

= 

∑

^→



σ σ

0

0 [ ^σ

^⋅ ^p^,

^σ

^j

]

⁼ ²ⁱ

⁽ ^σ

^× ^p

⁾

^j p

c i k

H,  = − ˆ × ˆ



 



 ^

∑

^→ ^h ^α

 



 

=  Σ

→

m m

m

σ

0 0 m = x , y , z



 

 + 



 



 ⋅

=



 



 ⋅ +

=



 



^H^,^k^∑^→ ^c^α ^p ^β^mc²^,^k^∑^→ ^c^α ^p^,^k^∑^→ ^β^mc²^,^k^∑^→

[ ^,]

,

,k kc p kc p

H  = ⋅



 



 ⋅

=



 



 ^∑^→ ^α ^∑^→ ^α



 





















⋅

= ⋅



 











⋅ 







= 



 



^α ⋅ ^∑^→ _σ ^σ ^σ _σ _σ ^σ ^σ _σ

0 , 0 0 0

0 , 0 0

, 0

p kc p

p kc









⋅

 ⋅







−

















⋅

= ⋅



 



 ⋅ ^∑^→

0 0

0 0 0

0 0

, 0

p

p p

kc p p

kc σ

σ σ

α σ

UNAM-FQ-DFyQT

(23)

( )

( ) ( )

( ) ^^^





⋅

− ⋅









⋅

= ⋅



 



 ⋅ ^∑^→

0 0

0 , 0

p

p p

kc p p

kc σ σ

σ σ σ

σ

σ α σ

[ ]

[ ] ^^^





⋅

= ⋅



 



 ⋅ ^∑^→

0 ,

, , 0

σ σ

σ α σ

p kc p

p kc

• Por determinar

_[σ ⋅ p^,σ_]= ²i₍σ × p₎

[ ] ( ) ( ) _^









− 











= 

⋅

−

⋅

=

⋅ ∑ ∑

=

= k x y z

k k m

m z

y x k

k k m

m

m p p p p

p

, , ,

,

,σ σ σ σ σ σ σ σ σ

σ

( ) ( )m

z y x k

k z

y x n

n nkm z

y x k

k k m m

k

k p p i p = i × p









= 

−

= ∑ ∑ ∑

= =

=

σ σ

ε σ

σ σ

σ ² ²

,

, , ,

, ,

( ^p)

ikc p

p ikc ikc p

k

H × = ×







= 









×

= ×



 



 ^∑^→ _σ ^σ _σ ^σ ² ^α

0 2 0

,

(24)

Es una constante del sistema

i p c k

H ,  = − ˆ × ˆ



 





^

∑

^→

^h ^α _H _k _ ₌ _ikc ₍ _× _p ₎



 



 ^,

^

∑

^→

² ^α

c i ikc h

−

=

2 2

= h k

0 0ˆ

0 ˆ 2

, ˆ  =



 









 + 

× σ

σ p h

r H

 



  + 

×

= σ

σ

0 0 ˆ 2

ˆ ˆ h

p r

J

Momento angular

“clásico”

debido al movimiento

Momento angular intrínseco de la

partícula.

Espín UNAM-FQ-DFyQT

Por tanto, el operador

(25)

Resultado

• De la deducción previa:

Para cada término en el espinor

J asigna un momento angular intrínseco orientado conforme a y de tamaño

 



  + 

×

= σ

σ

0 0 ˆ 2

ˆ ˆ h

p r

J

2 = h k

 



 

= 

∑

^→



σ σ

0

( )( ) ( )( )^^

















= Ψ

t r

, , , ,

4 3 2 1

ψ ψ ψ ψ









σ σ

0

Espín y relatividad (especial)