Flujo de Potencia Óptimo con Programación Cuadrática Secuencial

Flujo de Potencia Óptimo con Programación Cuadrática Secuencial

Rodrigo Palma B., Juan Pérez R., Jaime Núñez D.

Departamento de Ingeniería Eléctrica - Universidad de Chile Av. Tupper 2007 - Casilla 412-3 - Santiago - Chile

Email: [email protected]

Resumen

El objetivo principal de este estudio es formular en forma extendida el problema del Flujo de Potencia Óptimo (OPF), representando explícitamente los equipos Compensadores Estáticos Regulables (SVC). El problema es resuelto utilizando Programación Cuadrática Secuencial (SQP). El modelo fue implementado computacionalmente, e incluido en un sistema de apoyo a la toma de decisiones, haciendo uso de los métodos de Zoutendijk y Rosen para solucionar los subproblemas cuadráticos de optimización generados en cada iteración del método SQP. El modelo fue validado para un caso de prueba de 6 barras, mostrando los efectos que produce la introducción de un equipo SVC.

Abstract

The main objective of this study is the formulation of an extended Optimal Power Flow Problem (OPF) with explicit representation of Static Var Compensator equipment (SVC). The resulting optimization problem is solved using Sequential Quadratic Programming (SQP). The model was computationally programmed, and included in a decision support system, using Zoutendijk and Rosen methods for solving the quadratic optimization problem generated in each iteration of SQP method.

The model was validated for a 6-Bus test case, exposing the effects produced by SVC equipment.

Keywords: Flujo de Potencia Óptimo, OPF, Programación Cuadrática Secuencial, SQP, Método de Zoutendijk, Método de Rosen, Mercados Eléctricos Competitivos.

1. Introducción

La presente investigación forma parte del proyecto Fondecyt N°1000866, titulado "Incorporación de Modelos de Mercado y Marcos Regulatorios de una Planificación Dinámica de Sistemas Eléctricos" [1], entendiéndose así que el contexto de desarrollo son los sistemas eléctricos de potencia operando en mercados eléctricos competitivos.

La planificación de sistemas de transmisión de energía eléctrica ha cobrado gran importancia para los distintos agentes del sector eléctrico (compañías generadoras, organismos estatales, empresas de transmisión y consumidores), ya que es el factor que posibilita la creación de un mercado competitivo en el sector. Chile, en proceso de revisión de su ley eléctrica, gradualmente está adoptando una estructura de mercado competitivo. Para solucionar exitosamente los problemas y desafíos que trae este nuevo escenario, se hacen necesarias herramientas de análisis flexibles que sean capaces de abordarlos, en especial

anticiparse en el uso de nuevas tecnologías y modelos de mercado eléctrico.

Para la planificación de sistemas de transmisión eléctricos se desarrollan metodologías que utilizan una variada gama de métodos de optimización existentes, incorporando herramientas de análisis del problema propiamente eléctrico, entre las más relevantes: eficientes métodos de cálculo de flujo de potencia, flujo de potencia óptimo [2] [3]

[4], análisis de cortocircuito, estabilidad, confiabilidad, entre otras. Para la solución del problema, OPF se ha utilizado una amplia gama de métodos de optimización, distinguiéndose principalmente los siguientes grupos [5].

§ Modelos de tipo A: aquellos que utilizan como núcleo de cálculo un algoritmo de flujo de potencia clásico que es llamado por un proceso de optimización externo. Este grupo de algoritmos elabora sucesivamente puntos de entrada al programa de flujo de potencia, orientándolo hacia soluciones que minimizan la función objetivo especificada.

§ Modelos de tipo B: aquellos que modelan el problema de OPF como un problema de optimización global. Las variables del sistema son optimizadas simultáneamente y las ecuaciones de flujo corresponden a restricciones adicionales del problema de optimización.

Para la solución del problema de optimización planteado, en la literatura se citan variados algoritmos, tales como: la representación de un problema de optimización lineal, modelos cuadráticos, utilización de programación evolucionaria, etc. [5] [6] [7].

El presente estudio formula, implementa y soluciona, mediante programación cuadrática secuencial [4] [8], el problema de flujo de potencia óptimo (en adelante OPF). A su vez, se modelan e introducen los equipos Compensadores Estáticos Regulables. (en adelante SVC, Static Var Compensator) [9]

OPF se utiliza para la determinación óptima de las variables de control en un sistema eléctrico y considera variadas restricciones técnicas de operación. OPF es un problema de optimización no lineal que representa la operación en estado estacionario del sistema eléctrico.

OPF se solucionó con programación cuadrática secuencial (en adelante SQP). SQP es un método clasificado como una extensión del método cuasi - Newton el cual realiza la optimización a partir repetidas resoluciones de una aproximación cuadrática del problema.

El presente informe comienza con una introducción y motivación del tema investigado, correspondiendo el presente apartado a dicha introducción. A continuación se

explica el problema del OPF, se define formalmente los parámetros y variables de relevancia y se hace una mención especial a los nuevos equipamientos SVC. Se describe la aplicación de SQP en el OPF, mostrando la forma que toma el modelo al aplicar dicho método. También se describen los métodos de Zoutendijk y Rosen [10] utilizados para resolver los subproblemas cuadráticos generados por SQP.

Se aplica las metodologías desarrolladas en un Sistema Eléctrico de Potencia (en adelante SEP) probado en la literatura [3], en el cual se introduce un equipo SVC y se ilustran los efectos que su introducción produce.

Finalmente se exponen los alcances del estudio. Ante un nuevo marco normativo en Chile, surge la necesidad de agilizar el proceso de despacho de carga de una manera eficiente, en un contexto que considere la utilización de una bolsa de energía, en la cual el uso de OPF puede ser de gran utilidad. También se expone sobre el impacto sobre los costos de operación del sistema eléctrico y el apoyo que el estudio potencialmente puede brindar a las empresas del sector a través de la utilización de sistemas de apoyo a la toma de decisiones.

2. Flujo de Potencia Óptimo

El problema del Flujo de Potencia Óptimo (en adelante OPF) se utiliza para la determinación óptima de las variables de control en una red de transmisión de energía eléctrica considerando variadas restricciones. OPF es un problema de optimización con función objetivo y restricciones no lineales.

2.1. Formulación del OPF

OPF requiere resolver un conjunto de ecuaciones no lineales, que describen el flujo óptimo de un sistema eléctrico de potencia, tal como se aprecia en el problema (P) (ecuación 1)

( ) ( ) ( )

x 0 h

0 x g . a . s

x f min ) P (

≤

= r r r

(1)

Los parámetros a considerar en el OPF se resumen en la figura 2.

Se considera la simbología estándar utilizada en la literatura relacionada.

G

SVC P_G , Q_G

P_L , Q_L Q_S

|V| ,θθ

Figura 2: Nodo de SEP y sus variables de control SVC es un equipo que posee la capacidad de inyectar o consumir en forma regulable potencia reactiva Q en un nodo de la red, con el propósito de ajustar el voltaje de la barra en que se encuentran conectados, hacia algún valor de referencia. Ahora, lo importante para el operador de red, es conocer el voltaje de referencia en que debe fijar al equipo, con el fin de optimizar el desempeño de la red. De esta manera, un equipo SVC puede ser modelado como una variable de control a través de su potencia reactiva QS, la cual a su vez se encuentra acotada. Con esta variable se

puede determinar el voltaje de referencia en que debe operar el equipo.

PG, QG, corresponden a la potencia activa y reactiva inyectadas por el generador. Por su parte, V y θ corresponden al módulo del voltaje y su ángulo en la barra respectivamente. QS es la potencia reactiva inyectada por el equipo SVC. Finalmente PLi y QLi son la potencia activa y reactiva de la carga.

El conjunto de restricciones de igualdad, (ecuación 1) está compuesto por las ecuaciones de balance de potencia en las barras y las ecuaciones que determinan la mantención del factor de potencia en la liberación de carga. Por su parte el conjunto de restricciones de desigualdad, (ecuación 1) representa las restricciones del vector de variables de control x, tales como cotas y límites de operación.

El vector x contiene las variables de control o a optimizar, incluye:

§ Pr_G

: Vector de potencias activas

§ Qr_G

: Vector de potencias reactivas

§ Pr_U

: Vector de potencias activas no servidas

§ Qr_U

: Vector de potencias reactivas no servidas

§ Ur

: Vector de valores absolutos de voltajes

§

θ r

: Vector de ángulos de voltajes

§ Qr_S

: Vector de potencias reactivas inyectada por SVC El vector x entonces será:

(

G G U U S

)

T P,Q ,P ,Q ,V, ,Q

x r r r r r r r

θ

= ⁽²⁾

Las ecuaciones de balance de potencia activa y reactiva por nodo, que a su vez definen el primer conjunto de restricciones, serán:

( )

^{0 i N}

cos y V V P P P

N j

ij j i ij i j LN j

L LN j

U GN j

G

i j i

j i

j+

∑

−

∑

−

∑

θ−θ−θ = ∀∈

∑

_{∈ ∈ ∈}

∈

(3)

( )

^{0 i N}

sin y V V Q Q Q Q

N j

ij j i ij i j LN j

L LN j

U SN j

S GN j

G

i j i

j i

j i

j+

∑

+

∑

−

∑

−

∑

θ−θ−θ = ∀∈

∑

_{∈ ∈ ∈ ∈}

∈

(4)

Siendo N={1,...,n} el conjunto de barras en la red eléctrica y GNi, LNi y SNi (i∈N) los conjuntos de generadores, cargas y equipos SVC conectados a la barra (o nodo) i∈N respectivamente. En que los parámetros yij corresponden a los elementos de la matriz de admitancia nodal compleja Y, que define la relación entre corrientes y voltajes de las líneas de transmisión que están conectadas a una barra.

























=

nn n1

1n 11

y y

y y

Y

L L L

M O M

M O M

M O M

L L L

(5)

V Y

I= × (6)

Otro conjunto de restricciones, determinan que en la liberación de carga se debe mantener el factor de potencia, esto se expone en la ecuación 7.

N k LN i 0 Q Q

P P _{U k}

L L

U i

i i

i− = ∀ ∈ ∧ ∈ (7)

Se agregan como restricciones, los límites de transferencia de las líneas de transmisión y límites técnicos de opera- ción de los generadores.La minimización de costos por generación de potencia activa y por potencias no servidas en las cargas, conforman la función objetivo para OPF.

Las funciones de costos son cuadráticas en las potencias activas y se aprecian en las ecuaciones 8 y 9.

N k GN i P P

Costo_{G G G G G G}² _k

i i i i i

i=α +β +γ ∀ ∈ ∧ ∈ (8)

N k GN i P P

Costo k

2 U U U U

U_i =β _{i i}+γ _{i i} ∀ ∈ ∧ ∈ ⁽⁹⁾

De esta manera la función objetivo que describe la situación de minimización de costos por generación y desabastecimiento (potencias activas no servidas) será una función cuadrática en las potencias activas y se puede representar por la ecuación 10.







 +

= xQx

2 x 1 C Min

Z ^{T T} (10)

Donde el vector de costos C, la matriz Q y el vector x están definidos por las ecuaciones 11, 12 y 13.

[

G1 Gg U1 Ul

]

T ,..., , ,...,

C =β β β β ⁽¹¹⁾

























=

Ul U Gg G

Q

γ γ γ γ

2 0 0

0 2

2 0

0 0

2

1 1

L L L

O O M

M O O

M

M O O

M

M O

O

L L L

(12)

[

G1 Gg U1 Ul

]

T P ,...,P ,P ,...,P

x = ⁽¹³⁾

En adelante se describe la forma en que se aplica SQP.

3. Programación Cuadrática Secuencial

Programación Cuadrática Secuencial (en adelante SQP, por su abreviatura inglesa Sequential Quadratic Programming), se califica como una extensión del método cuasi - Newton. Este método resuelve el OPF, mediante repetidas resoluciones de una aproximación del problema con programación cuadrática. Un problema de programación cuadrática es un caso especial de programación no lineal, donde la función objetivo es cuadrática y las restricciones son lineales. Tanto la aproximación cuadrática de la función objetivo como la lineal de las restricciones se basan en la expansión en series de Taylor.

Primero se construye la función Lagrangeana, penalizando las restricciones de igualdad.

∑

=

λ

−

=

λ ^r

1 i

i ic(x) )

x ( f ) , x (

L (13)

con:

) x ( g ) x ( c

_i

=

_i

Rr

∈ λ

(14)

Luego se aproxima el gradiente de la función lagrangeana con una expansión de Taylor de segundo orden.











 δλ

∇ δ +

∇

= δλ + λ δ +

∇ x

L L

) , x x (

L ^{(k) (k) (k) (2) (k) (15)}

Se aplica la condición de primer orden que indica que el gradiente de la función lagrangeana es nulo.











 δλ

−∇ δ

=

∇ x

L L^{(k) (2) (k)}

(16)

La ecuación 16 se formula en forma matricial, tal como se aprecia en la ecuación 18.

( )

^







− + λ

=









 δλ δ













− ^(k)

) k ( ) k ( ) k ( ) T

k (

) k ( ) k (

c A x g

0 A

A

W (18)

Los parámetros participantes de este sistema se determinan según el grupo de ecuaciones 19.

) k

A( : Matriz Jacobiana de las restricciones.

) k ( 2 x ) k

( L

W =∇ : Matriz Hessiana con respecto a las variables de control x

) x ( c

c^(k)= ^(k) : Grupo de funciones de las restricciones evaluadas en punto x^(k)

δ δ + δ +

≈ δ +

→ ^{(k) (k) (k) T T (k)}

) k

( G

2 ) 1 g ( f ) x ( f : g

δ : Vector de incremento de las variables de control x (19)

La ecuación 18 se representa de manera equivalente con el subproblema (SP), este es cuadrático en los incrementos δ y lineal en las restricciones, por lo tanto es posible aplicar SQP.

) k T ( ) k ( )

k (

) k ( ) k ( ) k ( T )

k (

C A )

( I . a . s

f g 2 W

) 1 ( q Min ) SP (

+ δ

= δ

+ δ + δ δ

=

δ δ (20)

SQP consta de los siguientes pasos:

1. Determinación de un punto de partida a.

x

⁽⁰⁾

b.

ë

⁽⁰⁾

2. Para k=1,2,...

a. Resolver (SP)^(k) y determinar el incremento

δ

^(k) y )

δλ

(k

3. Si error < ε entonces termina el método 4. Si error ≥ ε entonces

a.

x

^(k+1)

→ x

^(k)

+ δ

^(k)

b.

λ

^(k+1)

→ λ

^(k)

+ δλ

^(k)

5. k=k+1 6. volver a paso 2

7. Si el número de iteraciones determinadas por el operador es superado, entonces Terminar

El presente estudio se orienta a la implementación computacional de las rutinas expuestas, para así incorporarlas a un sistema de apoyo a la toma de decisiones. De este modo, las soluciones deben ser entregadas rápidamente.

La inclusión de un software de optimización especializado, externo al sistema de apoyo a la toma de decisiones, introduce un cuello de botella en la ejecución del programa implementado.

Se debe interrumpir la ejecución normal del programa, luego escribir en un archivo la información de entrada para el software externo, se debe esperar que este entregue la solución y luego leer los resultados entregados, para así seguir con la ejecución normal del programa.

Nótese, que si se enfrenta un sistema eléctrico de potencia de la magnitud del sistema interconectado central Chileno, la cantidad de variables y restricciones es bastante elevada (alrededor de 2000). De esta manera, la introducción de un software especializado en optimización en la programación, hace que la entrega de soluciones sea lenta. En este escenario entonces, es necesario implementar rutinas de optimización para el problema en forma específica, siendo programados, dos métodos para la resolución de los subproblemas cuadráticos.

Además, la inclusión de un software externo, trae problemas a la introducción del sistema de apoyo a la toma de decisiones como un paquete comercial, por motivos relacionados con la licencia del software externo.

Se utilizó dos métodos de la familia de conjuntos activos (puesto que se basan en la generación de conjuntos de restricciones activas para encontrar la solución óptima) para la resolución de los subproblemas problemas cuadráticos. Se implementó el método de direcciones factibles de Zoutendijk y el método de proyección del gradiente de Rosen.

3.1. Método de Zoutendijk

También conocido como método de las direcciones factibles.

Este método parte de un punto factible x0, desde el cual se busca una dirección d0 tal que para un λ>0, se cumplan las siguientes condiciones:

(1) xk+1 = xk + λdk es factible

(2) El valor de la f.objetivo en xk+1 es mejor que en xk

Luego que se determina la dirección, se resuelve un problema de optimización en una dimensión para determinar el paso de avance en dicha dirección dk. Esto conduce a un nuevo punto xk+1, y el proceso se repite.

Considérese el problema de minimización de f(x) sujeto a x ∈ S, donde f: En→E1 y S es un conjunto no vacío en En. Un vector d (distinto de cero) se define como dirección factible en x ∈ S si existe un δ > 0 tal que x+λd ∈ S ∀ λ ∈ (δ,0). Así, d se define como dirección factible de mejoramiento en x ∈ S si ∃ δ>0 tal que f(x+λd)< f(x) y x+λd ∈ S ∀ λ ∈ (δ,0).

Considérese el siguiente problema de optimización con función objetivo cuadrática y restricciones lineales.

e Ex

b Ax . a . s

Wx 2x gx 1 fk ) x ( f min ) QP

( ^t

=

≤

+ +

= ₍₂₁₎

A es una matriz de m x n, E es una matriz de l x n, b es un vector de dimensión m, y e es un vector de dimensión l. En particular, d es una dirección factible de mejoramiento si A1d≤0 y Ed=0. Si

∇f(x)td<0, entonces d es una dirección de mejoramiento.

Considérese el problema (QP), sea x una solución factible, y supóngase que A1x = b1 y A2x < b2, donde At se descompone en (A1

t, A2

t) y b^t es descompuesto en (b1 t,b2

i). Entonces, un vector d es una dirección factible en x si y sólo si A1d ≤ 0 y Ed = 0. Si

∇f(x)td<0, entonces d es una dirección de mejoramiento.

Dado un punto factible x, un vector d distinto de cero es una dirección factible de mejoramiento si ∇f(x)^td<0, A1d≤0 y Ed = 0.

Un método natural para generar esta dirección es minimizar

∇f(x)^td<0 sujeto a las restricciones A1d ≤ 0 y Ed = 0. Nótese que si un vector

d

es dirección factible de mejoramiento, entonces el valor de la función objetivo del siguiente problema es -∞ considerando un paso λ

d

, donde λ es arbitrariamente largo. Así, se introduce una restricción que acota la dirección d, esta restricción se denomina restricción de normalización, esta se puede apreciar en el problema P1.

n ,..., 1 j para 1 d 1

0 Ed

0 Ad

. a . s

d ) x ( f min ) 1 P (

j t

=

≤

≤

−

=

≤

∇

(22)

Considérese el problema QP (ecuación 21), sea x una solución factible tal que A1x = b1 y A2x<b2, donde A^t=(A1t

,A2t

) y b^t=(b1t

,b2t

). Entonces, para cada i=1,2,3, x es un punto que cumple las condiciones de primer orden si y sólo si el valor de la función objetivo del problema P1 es igual a cero.

Se ha mostrado como generar una dirección factible y a concluir cuando un punto cumple con las condiciones de primer orden para el problema QP. Ahora sea xk un punto factible y dk una dirección factible de mejoramiento a partir de xk. El próximo punto xk+1 estará dado por xk + λk dk, donde el largo del paso λk

se obtiene resolviendo el siguiente problema en una dimensión.

0 e ) d x ( E

b ) d x ( A . a . s

) d x ( f min ) PLS (

k k

k k

k k

≥ λ

= λ +

≤ λ +

λ +

(23)

Ahora supóngase que A^t se descompone en A^t=(A1t

,A2t

) y b^t=(b1t

,b2t

), tal que A1x = b1 y A2x<b2. Entonces, el problema puede ser simplificado de la siguiente manera. Nótese que Exk=e y Edk=0, por lo tanto la restricción E(xk+λdk)=e es redundante.

Por su parte, A1xk=b1 y A1dk≤0, entonces A1(xk+λdk)≤b1 para todo λ ≥ 0. De esta forma es necesario restringir λ solamente con λA2dk ≤ b2 -A2xk. De esta forma el problema PLS se puede reducir al siguiente problema equivalente.

max k k

0 . a . s

) d x ( f min ) PLS (

λ

≤ λ

≤ λ

+ (24)

λmax se determina según el grupo de ecuaciones 25.

{ }







≤

∞

>

∃

= >

λ

0 dˆ si

0 dˆ si 0 dˆ : dˆ / bˆ

min _{i i i i}

max (25)

k k d A d

x A b b

2 2 2 ˆ ˆ

=

−

=

3.2. Método de Rosen

También denominado método de proyección del gradiente. Este método proyecta el gradiente en dirección opuesta de forma que mejore la función objetivo y mantener la factibilidad.

Considérese el problema QP. Dado un punto factible x, la dirección de paso descendente es -∇f(x). Sin embargo, al moverse según -∇f(x) se puede perder la factibilidad. Para mantener la factibilidad, -∇f(x) es proyectada para moverse según d = -P∇f(x), donde P es una matriz de proyección adecuada. Además -P∇f(x) es una dirección factible de mejoramiento cuando -P∇f(x) ≠ 0.

Sea x un punto factible que A1x = b1, A2x< b2, donde A^t=(A1 t,A2

t) y b^t=(b1

t,b2

t). Si P es una matriz de proyección tal que -P∇f(x) ≠ 0, entonces d=-P∇f(x) es una dirección de mejoramiento de f en x. Además, si M^t=(A1

t,E^t) es de rango completo, y si P es de la forma P=I-M^t(MM^t)^-1M, entonces d es una dirección factible de, mejoramiento.

Ahora para el caso en que P∇f(x)=0, entonces:

( )

v E u A ) x ( f w M ) x ( f ) x ( f P

) x ( f M ) MM ( M I ) x ( f P 0

t t 1 t

1 t t

+ +

∇

= +

∇

=

∇

∇

−

=

∇

= ⁻ (26)

Donde w = -(MM^t)^-1M∇f(x) y w^t = (u^t,v^t). Si u ≥ 0, entonces el punto x satisface las condiciones de primer orden y por lo tanto el método debe detenerse. Si u tiene algún elemento menor que cero, se puede definir una nueva matriz de proyección Pˆ tal que esta proyección ponderada por el gradiente, es además una dirección factible de mejoramiento.

Considérese el problema QP. Sea x una solución factible, y supóngase que A1x = b1, A2x < b2, donde A^t=(A1t

,A2t

) y b^t=(b1t

,b2t

). Supóngase que M^t=(A1t

,E^t) es de rango completo, y sea P=I-M^t(MM^t)^-1M. Además, supóngase que P∇f(x) = 0, y sea w=-M^t(MM^t)^-1∇f(x) y w^t = (u^t,v^t). Si u ≥ 0, entonces x es un punto que cumple las condiciones de primer orden. Si u tiene alguna componente menor que cero, sea uj<0 una componente negativa de u, y sea ^Mˆt=

(

^Aˆ1t,Et

)

^{, donde Aˆ1} se obtiene borrando la fila de A1 correspondiente a uj. Ahora sea

M M M M I

Pˆ= − ˆ^t(ˆˆ^t)⁻¹ˆ, y sea d=−Pˆ∇f(x). Entonces d es una dirección factible de mejoramiento.

Ambos métodos fueron implementados y pueden ser utilizados indistintamente según sea la elección del usuario del sistema de apoyo a la toma de decisiones en el cual está implementado.

4. Resultados

Primero se resume en un esquema la metodología desarrollada, ver figura 3, y luego se exponen resultados. Se ha aplicado esta metodología a un sistema eléctrico expuesto en el libro

"Potencia, Generación, Operación y Control" de Wood y Wollenberg [3], este se puede apreciar en la figura 3 y los resultados en la tabla 1.

OPF SQP

Subproblema Cuadrático

Rosen Zoutendijk Parámetros

Red Eléctrica

Variables de Control Óptimas

Figura 3: Resumen de la metodología implementada En una primera etapa, se aplica OPF sin considerar el equipo SVC y luego considerándolo. El equipo tiene la capacidad de inyectar o consumir potencia reactiva entre (-30[pu], 30[pu]) base 100[MW].

Figura 4: SEP al cual se aplica OPF, verifican do efectos de SVC Tabla 1: Resultados entregados por OPF sin considerar SVC

Variable PG1 PG2 PG3 QG1 QG2 QG3 QS1

[p.u] 0,500 0,899 0,760 0,372 0,740 0,600 Nota: base 100 [MW]

Variable V1 V2 V3 V4 V5 V6

[p.u] 1,0395 1,0977 1,1000 1,1000 1,0304 1,0431 Nota: base 220 [kV]

Costo Total [u.m] 2.464,74

Si se dispone un equipo SVC en una barra de carga, entonces al correr nuevamente el OPF sobre esta red modificada, los costos totales debiesen ser menores. Dado que, si se instala un equipo SVC en una barra de carga, este inyectará potencia reactiva, lo cual hará subir el voltaje en la barra, esto a su vez hará que la corriente proveniente de barras con mayor voltaje disminuya, y la proveniente de las barras con menor voltaje aumente. Esto hará disminuir las pérdidas en las líneas donde la corriente es menor y aumentar donde la corriente es mayor. Si el efecto de disminuir pérdidas es mayor, entonces el efecto total será una disminución en el costo total de generación. Este razonamiento se resume en el esquema de la figura 5.

Inyección Reactivos

Varía Voltaje

Varían Corrientes

Bajan Pérdidas

Baja Costo

Figura 5: Efectos introducidos por equipos SVC Al aplicar OPF a la red de la figura 4, considerando el equipo SVC, los resultados indican que el costo disminuye y se verifica el razonamiento anterior. (véase tabla 2)

Tabla 2: Resultados entregados por OPF considerando SVC

Variable PG1 PG2 PG3 QG1 QG2 QG3 QS1

[p.u] 0,500 0,899 0,754 0,356 0,597 0,433 0,300 Nota: base 100 [MW]

Variable V1 V2 V3 V4 V5 V6

[p.u] 1,0399 1,1000 1,1000 1,0995 1,0349 1,0612 Nota: base 220 [kV]

Costo Total [u.m] 2.457,65

Para los casos estudiados, fue validado con los resultados haciendo uso del paquete de optimización MINOS, obteniéndose una convergencia en 4 iteraciones SQP.

5. Conclusiones

Se ha formulado el problema del Flujo de Potencia Óptimo (OPF), incluyendo la modelación de equipos SVC y se utilizó Programación Cuadrática Secuencial (SQP) para solucionarlo.

Los subproblemas cuadráticos que se generan con SQP fueron resueltos con dos métodos, el de Zoutendijk de búsqueda de direcciones factibles y de Rosen de proyección del gradiente.

Se incluyó las metodologías desarrolladas en un sistema de apoyo a la toma de decisiones [11]. La implementación computacional ha sido desarrollada en lenguaje orientado al objeto (JAVA). OPF es incluido dentro de las opciones del sistema, formando parte de las herramientas de análisis estático de sistemas eléctricos de potencia.

Dado el proceso de revisión de la ley eléctrica chilena, el despacho de carga será distinto al despacho económico tradicional que se utiliza en la actualidad. En una primera etapa se celebrarán contratos bilaterales entre las empresas generadoras y los grandes clientes del SIC (clientes que tienen una potencia instalada mayor a 2[MW]). Luego, se permite la participación en un mercado diario donde se realizan ofertas de compra y venta en una bolsa de energía. Dependiendo del tipo de bolsa de energía que se instaure, herramientas OPF pueden jugar un rol central en el proceso de casación llevado a cabo por el operador del mercado. El presente estudio ayudará al proceso de automatización y optimización en la determinación de las variables de control del SIC chileno, y pretende ser un prototipo para el motor de funcionamiento de esta bolsa de energía.

Actualmente, el proceso de despacho de carga se realiza considerando un modelo de costos marginalista. En este esquema las restricciones técnicas del sistema se consideran en forma simplificada, llevando a soluciones no necesariamente óptimas. La utilización del OPF llevará a mejoras en este proceso, dado que generaliza el despacho económico de carga convencional utilizado. Esto se debe a que incluye restricciones técnicas, tales como: balances de flujo de potencia activa y reactiva, límites técnicos de operación de los equipos y

limitaciones en la mantención del factor de potencia en la liberación de carga. Esto se verá plasmado en una disminución de costos al determinar y fijar en forma óptima las variables de control de un SEP.

Se ha podido comprobar empíricamente, que la introducción adecuada de equipos SVC entendidos como caso particular de los FACTS (Flexible AC Transmission Systems) [9] en una red de transmisión de energía eléctrica, llevaría a menores costos totales por concepto de ahorro de generación de potencia activa.

Este trabajo se encuentra en una etapa de desarrollo donde se busca potenciar fundamentalmente dos aspectos:

§ Incluir la modelación de otros dispositivos FACTS, por ejemplo UPFC

§ Explotar las alternativas de mejoras de propiedades de convergencia y velocidad de las rutinas de programación cuadráticas haciendo uso de las características eléctricas específicas del SIC chileno.

Referencias

[1] R. Palma, "Incorporación de Modelos de Mercado y Marcos Regulatorios de una Planificación Dinámica de Sistemas Eléctricos", Proyecto Fondecyt 1000866, marzo 2000 - marzo 2002.

[2] ESCA Corporation, "Optimal Power Flow,: Research and Code Developement" EPRI EL-4894, Project 1724-1, Final Report, 1987.

[3] A. Wood, B. Wollenberg, "Power Generation, Operation and Control", 2nd Edition, John Wiley and Sons Inc. New York, 1996.

[4] E. El-Hawary, "Optimal Power Flow: Solution Techniques, Requirements, and Challenges", IEEE Tutorial Course N°

96 TP 111-0, 1996.

[5] H. Glavitch, R. Bacher, “Optimal Power Flow Algorithms, Analysis and Control System Techniques for Electric Power Systems”, Vol. 41, Academic Press, 1991.

[6] J. Momoh, E. El-Hawary, R. Adapa, “A Review of Selected Optimal Power Flow Literature to 1992“, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 14, N° 1, 1999.

[7] T. Seibt, “Entwicklung eines OPF-Algorithmus zur Untersuchung von Durchleitungen im Verbundbetrieb“, Diplomarbeit EV 9702, Lehrstuhl für elektrische Energieversorgung, Universität Dortmund, Januar, 1997.

[8] R. Fletcher, "Practical Methods of Optimization", 2.

Auflage, John Wiley & Sons, New York, 1987.

[9] S. Srivastava y R. Verma, “Impact of FACTS Devices on Transmission Pricing in a De-Regulated Electricity Market”, IEEE, 0-7803-5902-X, 2000.

[10] M. Bazaraa, Sherali H.,Shetty C., "Nonlinear Programming", John Wiley & Sons, New York, 1994.

[11] R. Palma, "Modelo Orientado al Objeto para la Planificación de Redes de Transmisiòn Eléctrica, bajo Condiciones Competitivas", Tesis, Universidad de Dormund, Alemania, 1999.

Agradecimientos

Este trabajo ha sido posible gracias al valioso aporte otor- gado por la empresa Chilectra S.A. y al proyecto Fondecyt 1000866.

Reseña Biográfica

Rodrigo Palma nació en Antofagasta, Chile. Recibió su título de Ing. Civil de Industrias con Mención en Elec.- tricidad y Magíster en Ciencias de la Ingeniería de la Pontificia Univeridad Católica de Chile y el de Dr.-Ing. de la Universidad de Dortmund, Alemania. Se desempeña como profesor asistente del Departamento de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Chile. Su campo de inves- tigación son la planificación y operación de sistemas Elec.- tricos de potencia en mercados competitivos.

Juan Pérez nació en Santiago, Chile. . Recibió su título de Ingeniero Civil Electricista y es candidato a Magíster en Gestión de Operaciones de la Universidad de Chile. Su campo de investigación se relaciona con metodologías de optimización aplicadas al sector eléctrico.