CAPITULO 3. FORMULACIÓN DEL MODELO USANDO EL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS (MEF). El M.E.F. y el Principio de los Trabajos Virtuales.

CAPITULO 3.

FORMULACIÓN DEL MODELO USANDO EL METODO

DE LOS ELEMENTOS FINITOS (MEF).

♦ E l M . E . F . y e l P r i n c i p i o d e l o s T r a b a j o s V i r t u a l e s .

♦ E l M . E . F . y l a E c u a c i ó n d e C o n t i n u i d a d d e l F l u i d o .

♦ E l M . E . F . y l a F o r m u l a c i ó n A c o p l a d a .

♦ E l M . E . F . y l a N o L i n e a l i d a d G e o m é t r i c a .

3.I. El M.E.F. y el Principio de los trabajos virtuales.

a aplicación del principio de los trabajos virtuales conduce a la expresión (2.32). Para la aplicación del método de los elementos finitos, las incógni-tas del problema u

~ y p_~ son interpoladas en términos de los valores nodales de esas

in-cógnitas, usando funciones de interpolación N y N

~ ~ p

u _{respectivamente.}

La razón por la que se ha utilizado diferente orden para las incógnitas, es que la porción de la matriz de rigidez relacionada con esta incógnita presenta características semejantes a la de los sólidos incompresibles, esto es, valores muy pequeños en la di-agonal principal. Para evitar problemas numéricos, se recomienda que el número de las incógnitas relacionadas con la porción bien condicionada (o sea lo relacionado a u

~) sea

mayor que la mal condicionada (o sea lo relacionado a p). Entonces, si se usa elementos de ocho nodos para u

~ y de cuatro para p, se habrá cumplido con lo anterior. Durante el

Capítulo 4, se ampliará este análisis. Se tiene entonces : u u u e e u e e u e u ~ ~ ~ ~ p ~ ~ ~ ~ ~ T ~ ~ ~ p ~ ~ T ~ ~ N U p N p B U U N p N p U B T T T T • • • • • • • • • • • • = = = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; ; ; ε δ δ δ δ δ ε δ (3.1) donde B ~

u _{es la matriz que relaciona deformaciones especificas con desplazamientos y el}

subíndice (e) indica que la interpolación este siendo efectuado a nivel del elemento (e) . Retomando la expresión (2.34), se tiene

δ ε ε δ ε δ δ σ ~ T ~ EP ~ ~ T ~ T ~ ~ T ~ ~ s ~ ~ T ~ ~ T ~ D m m m D m 3k mp b • • • • • • • •

∫

−

∫

−

∫

∫

        = + dΩ dΩ u dΩ u t dΓ Ω Ω Ω Γ 1 3

Introduciendo (3.1) en la anterior se obtiene, a nivel de elemento, la expresión matricial siguiente:

K U L p P ~ ~ ~ _~ ~ ( )e •( )e₋ ( )e •( )e ₌•( )e _(3.2) donde K B D B L B m D m 9k mN P N b N ~ ~ ~ EP ~ ~ ~ ~ T ~ ~ s ~ ~ p ~ ~ ~ ~ ~ T (e) T (e) T (e) T ( ) ( ) ( ) ( ) e u u e u e u u d d d t d e = = −         = +

∫

∫

∫

∫

• • • Ω Ω Ω Γ Ω Ω Ω Γ 1 σ (3.3)

3.II. El M.E.F. y la ecuación de continuidad del fluido.

iendo Ω(e) el dominio del elemento (e) y Γ(e) la parte del contorno del ele-mento (e) con la carga de superficie t

~ , la aplicación del método de

Ga-lerkin a la expresión (2.28) con un factor de “peso” δpconduce a la siguiente ecuación integral ( ) ( ) ( ) ( )

(

)

( ) ( ) δ ∂δ ∂ ∂ ∂ δ ε ∂δ ∂ ∂γ ∂ δ ε δ ∂ γ ∂ p s p pk p p 1 3 mm m D m 3k m p k p m D k p k p ~ ~ T ~ T ~ ~ s ~ T ~ ~ ~ T ~ ~ IN s • • •

∫

∫

∫

∫

∫

∫

+ + −         = = − − −  +        d x x d d x z x d d z n d e e e e e e i i i i i i Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Γ ~ ~ 3 (3.4)

Utilizando las mismas funciones de interpolación de la expresión (3.1), se obtiene la siguiente ecuación matricial:

S N sN H Nk N P N k N m D 3k N ~ p T ~ p ( ) ~ p ~ p ~ T ~ s ~ IN ~ p T T ~ ; ~ ~ ~ ( ) ( ) ( ) ( ) / ) ( ) 1 e e l lm m e l lm m n e e e ve d x x d x z x d d v d = = = + +

∫

∫

∫

∫

∫

• _• Ω Ω Ω Ω Γ Ω Ω Ω Ω Ω ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂γ ∂ ε (3.6) siendo

( )

s 1- n k n k _k m D m s f _s ~ T ~ ~ = + − 1 3 2 y

(

)

v z n v ni i vn n= −k_n p + = ∂ γ ∂ ;

con “n” indicando la dirección normal al lado. En la expresión (3.6), ε ~

• IN

puede ser tan-to una deformación viscoplástica como elastan-toplástica.

3.III. El M.E.F. y la Formulación Acoplada.

untando (3.2) y (3.4) se tiene la forma acoplada, pero presentada en forma matricial, a nivel de cada uno de los elementos la siguiente expresión:

K L L S U p 0 0 0 H U p P -P ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e e e e e e e e e e −                       +                =             • • • • 1 (3.7)

Aplicando el método del parámetro α a la incógnita p se obtiene

p p p t t t • • + • =α* + ( −α)* ∆ 1

A su vez se considera que

p p p t t t t • ₊ = ∆ − ∆

y las mismas consideraciones son realizadas en relación a las otras variables. Aplicando lo anterior a (3.7), se tiene :

(

)

(

)

K L L S H U p K L L S H U p P P ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ T T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( e e e e e e e t t e e e e e e e t t t t t t t − +                      = = − − −                      + +     + −    + • + • 1 1 1 1 α∆ α α α α ∆ ∆ ∆ ∆

(

)

− + − −             • + • P P ~t ∆t) 1 α ( ~t) (3.8)

(con 0≤ ≤α 1) que también puede ser expresada en forma incremental de la siguiente forma K L L S H U p H U p P P ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e e e e e e e e e e t e e t t − − −_ + _                   =              +         1 0 0 0 α∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ (3.9a)

En la expresión anterior, para eliminar la asimetría, se cambió el signo de la ulti-ma ecuación.

Como la (3.9a) es no lineal, debe usarse un proceso iterativo que requiere que se analice un residuo en cada iteración. Este residuo debe calcularse de la siguiente mane-ra : R t B p d U U t p p t t e e t e T i i e t t i t e e t t i t e ~ ~ _~ ( ~ ) ( ~ ~ ) ( )( _~ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ = +             − − − − − + −           + + ₊ ∫ P H p P ~ _~ L S H ~ ~ ~ ~ ~ T ∆ ∆ _∆ ∆ ∆ Ω Ω σ α α∆ 1 (3.9b)

Los valores para el tiempo siguiente , se obtienen haciendo

U U U t t e t e e ~ +∆ =~ +∆~ ( ) ( ) ( ) _{y p p p} t t e t e e ~ + ~ ~ = + ∆ ∆ ( ) ( ) ( ) _(3.10)

C X X Q

~ ~ ~ _~



 ∆ = +∆ (3.11)

donde C

~ es la matriz de los coeficientes, ∆ X~ el incremento de las incógnitas y ∆Q_~ el

incremento del vector de términos independientes.

El sistema (4.15) puede resolverse por diversos métodos, tales como Newton - Raphson (directo o modificado), BFGS (debido a Broyden, Fletcher, Goldyard, Shanno, y también llamado de método cuasi Newton)[17] ó gradientes conjugados con precondi-cionador[18] .

Una vez resuelto el sistema se aplica la expresión (3.10) hasta la convergencia y se obtiene U

~ y p_~ en los puntos nodales; a parte de estos valores pueden calcularse las

componentes de deformaciones y tensiones y los correspondientes valores efectivos.

3.IV. El M.E.F. y la No Linealidad Geométrica.

uando se consideran desplazamientos finitos se tiene, además de la no linealidad física debida al comportamiento elastoplástico o viscoplástico del suelo, otra fuente de no linealidad llamada de no linealidad geométrica. En estos casos es necesario usar un tensor de tasas de tensiones objetivo ó indiferente del sistema de referencia en las ecuaciones constitutivas. Aunque existan varias definiciones que dan una medida objetiva de las tasas de tensiones, en el presente trabajo se adoptara aquella dada par Jaumann [19], [20].

Las componentes del tensor de tasas de tensiones de Jaumann vienen dadas por:

(

)

σ_ijJ σ σ σ

ij _ikwkj _jkwki i j k

= • − • − • , , =12 3, , (3.12)

donde σ•_ij son las componentes del tensor de tasa de tensiones de Cauchy y wij

•

son las componentes del tensor de tasas de rotación rígida (“spin tensor”) y que vienen dadas por:

(

)

w v x v x i j ij j i i j •           =1 − = 2 12 3 ∂ ∂ ∂ ∂ , , , (3.13)

Las componentes del tensor de deformaciones en el caso de desplazamientos finitos vienen dados por:

(

)

e v x v x v x v x i j k ij i j j i k i ki j ij _ij •         • • = + + = = + = 1 2 1 2 1 2 3 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ε η , , , , (3.14)

donde las coordenadas se refieren a la configuración actualizada.

En el tiempo t, referido al sistema de coordenadas (x x x₁, ₂, ₃) el cuerpo está

sometido a un estado de tensiones σ

ij t(componentes del tensor de tensiones de

Cau-chy) y a un estado de deformaciones e_ij originado por las cargas de volumen b_{i t} y las de superficie p_{i t} (definidas por unidad de volumen y de superficie en el tiempo t).

En el tiempo t+∆t , el estado de tensiones efectivas es caracterizado por

′ + ′

σ_{ij t} ∆σijJ y las deformaciones tuvieron un incremento ∆e_ij.También las cargas de

vo-lumen y superficie cambian por b_{i t} +∆b_i y p_{i t} +∆p_i respectivamente (estando referidas a la unidad de volumen y superficie en el tiempo t). En resumen, las tensiones serán :

σij = ′ −σij δ αij p; σ′_{ij t t+∆} = ′ +σ_{ij t} ∆σJij; pt+∆t=p + pt ∆ (3.15a)

El principio de los trabajos virtuales para el tiempo t+∆t , tomando como

refe-rencia el estado en el tiempo t , puede escribirse de la siguiente forma :

Considerando (3.14) y (3.15a), se obtiene a partir de (3.15c), la siguiente ex-presión : δ∆ σ δ∆η σ α δ∆ α δ∆ δ∆ δ∆ δ∆ δ∆ε σ α e d m d e m d u bd u t d u b d u t d m d J t _{t t} t t t _t t t t t t t t t ~ T ~ _~ T ~ _~ ~ T ~ ~ T ~ ~ T ~ ~ T ~ ~ T ~ ~ T ~ _~ p p p ∆ Ω ∆ Ω ∆ Ω ∆ Ω ∆ Γ Ω Γ ∆ Ω Ω Ω Ω Ω Γ Ω Γ Ω + ′ − − = = + + + + − ′ − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ~ ) ~ ( ~ ) (3.16)

Teniendo en cuenta que, en forma simplificada si observamos (3.12), los in-crementos del tensor de tasas de tensiones de Jaumann vienen dados por:

∆σ ∆

~ D~ EP ~

J_{= e (3.17)}

Si se adopta la linealización ∆e ∆

~≅ ε~, se obtiene la siguiente expresión:

δ∆ε ε δ ε δ∆η σ δ∆ δ∆ δ∆ε σ ~ T ~ EP ~ ~ T ~ ~ ~ s ~ T ~ ~ T ~ ~ T ~ ~ T ~ ~ T ~ ~ T ~ D D 3k ∆ Ω ∆ ∆ Ω Ω ∆ Ω ∆ Γ ∆ Ω ∆ Γ Ω Ω Ω Ω Ω Γ Ω Γ Ω d m m pd d u b u t d u b d u t d d t t t t t t t t t t t t −  −        + = = + + + + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (3.18)

En notación indicial, considerando que:

∆ ∆ ∆ ∆ u U i k p p k i iku ke k ke = = φ φ ( ) ( ) ( =1, 2, 3; =1,...nº de nudos p / elemento) ( =1,...nº de nudos p / elemento) p (3.19)

se obtienen las siguientes matrices:

∆ ∆ Ω ∆ Γ Ω Γ Ω Ω Γ Ω Γ Ω P b d t d d t d x d k kiu k kiu k t kiu k t kiu kl t ki u l te te te te te i(e) b = + + + + −        ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ φ φ φ φ σ ∂φ ∂ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3.20c)

Las matrices de (3.20), exceptuando el conjunto de términos entre corchetes de (3.20c), ya fueron definidas anteriormente en (3.3). Para obtener la tercera integral del miembro izquierdo de (3.18), que dará origen a la matriz de rigidez geométricaK_G(e), debe recordarse que:

(

)

∆ η ∂∆ ∂ ∂∆ ∂ ij k i k j u x u x i j k =1 = 2 , , 1 2 3, , (3.21)

la que puede escribirse también de la siguiente forma:

θ ∂∆ ∂ ∂∆ ∂ ∂∆ ∂ ∂∆ ∂ ∂∆ ∂ ∂∆ ∂ ∂∆ ∂ ∂∆ ∂ ∂∆ ∂ T ₌_      u x u x u x u x u x u x u x u x u x 1 1 2 1 3 1 1 2 2 2 3 2 1 3 2 3 3 3 , , , , , , , , (3.24)

Por otro lado

δ∆η δ θ δ∆ θ θ θ ~= ~ ~ ~ ~ ~ ~    +       1 2 A ∆u A u (3.25a) o también δ∆η ∂∆ ∂ ∂δ∆ ∂ ∂∆ ∂ ∂δ∆ ∂ ∂∆ ∂ ∂δ∆ ∂ ∂∆ ∂ ∂δ∆ ∂ ∂∆ ∂ ∂δ∆ ∂ ∂∆ ∂ ∂δ∆ ∂ ∂∆ ∂ ∂δ∆ ∂ ∂∆ ∂ ∂δ∆ ∂ ∂∆ ∂ ∂δ∆ ∂ ∂∆ ∂ ∂δ∆ ∂ ∂∆ ∂ ∂δ∆ ∂ ∂∆ ∂ ∂δ∆ ∂ ∂∆ ∂ ∂δ∆ ∂ ∂∆ ∂ ∂δ∆ ~ = + + + + + + + + + u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 1 3 1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2 1 2 1 3 2 2 2 3 3 2 3 3 1 3 1 1 2 3 2 1 3 3 3 1 ∂ ∂∆ ∂ ∂δ∆ ∂ ∂∆ ∂ ∂δ∆ ∂ ∂∆ ∂ ∂δ∆ ∂ ∂∆ ∂ ∂δ∆ ∂ x u x u x u x u x u x u x u x u x + + +                                 (3.25b) Usando la expansión ∆u u∆ e ~==N~ U~ ( ) _(3.26) y haciendo θ ~ ~ ~ ~ ~ ~ = =                         D D D D ∆ ∆ ∆ ∆ u u u u 1 2 3 1 2 3 (3.27)

D ~ i i i i x x x =                   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 0 0 0 0 0 0 (3.28) se obtiene: δ∆η δ∆ δ∆ δ∆ θ θ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ NL ~ ~ N U N U N U N U B U U =  _ _ _ _ + _ _ _ _   = = _ _ 1 2 A A u e u e u e u e u e e ∆ ∆ ∆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D D (3.29) siendo: B N U N U ~ NL ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ u _=A  u e _A e _G     =   θ ∆ ∆ ( ) _D ( ) _(3.30) δ∆η δ∆ ~ T ~ ~ NL U TB T = ( )e u _(3.31) y consecuentemente K B ~ G ~ NL ~ T ( ) ( ) e u td te = _∫ σ Ω Ω (3.32) Se puede demostrar que K

~ Gviene también dada por:

K G SG ~ G ~ T ~ ~ ( ) _$ ( ) e _d te = _∫ Ω Ω (3.33) La matriz G

G N 0 0 N 0 0 N 0 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 0 N 0 0 N 0 0 N ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ T i i u i u i u i u i u i u i u i u i u x x x x x x x x x =                         ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (3.34) La matriz S$

~viene dada por:

$S I I I I I I I I I ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ =               σ σ σ σ σ σ σ σ σ 11 3 12 3 13 3 21 3 22 3 23 3 31 3 32 3 33 3 (3.35) donde I

~3es la matriz identidad de orden 3x3.

La expresión (3.26) puede ser escrita de la siguiente forma:

(

)

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ u u u u u u i i u i u i u ie ie ie i u i e 1 2 3 1 2 3 0 0 0 0 0 0 1             =                             = = φ φ φ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ,..., ( ) ( ) ( ) ( ) N U NNE ~ ~ (3.36)

donde NNE indica el numero de nodos por elemento y φiu es la función de interpolación del nudo “i” para cada una de las componentes de la tasa de desplazamiento.

Usando las expresiones (3.29) y (3.36), la matriz de rigidez geométrica en la notación indicial puede escribirse de la siguiente forma:

(

)

KGij te kl t pi k pj l x x d i j k l p = _∫ σ ∂φ = ∂ ∂φ ∂ Ω Ω( ) , , , , 1 2 3, , (3.37)

Resolviendo el sistema (3.11), puede calcularse ∆U

~ y ∆ p_~, que son los

incre-mentos de las variables de estado. Con (3.10) puede calcularse U

~ y p_~para la

Con los incrementos de las variables de estado pueden calcularse las compo-nentes del tensor de tensiones de Cauchy en cada punto de integración a nivel del ele-mento usando la expresión (3.12) y los valores ∆U

~

( )e _{. Estas componentes vienen dadas}

por:

(

)

σ σ σ σ ij t t ij t ijkl _{kl t} ik _{kj t} jk _{ki t} e w w i j k + = + + + + = ∆ ∆ ∆ ∆ D , , 12 3, , (3.38)

La expresión (3.38) implica en transformar σ σ σ σ

~ _t ~ en ~ ~

J t

+∆ +∆ . Los valores

obtenidos en (3.38) serán utilizados para calcular las variables de estado en la configu-ración Ωt+2∆t..

Las tensiones calculadas en los puntos de integración pueden ser proyectadas a los nodos a través de un proceso de suavización que será presentado en el próximo pá-rrafo.

Para concluir, resulta interesante destacar que el tensor de tasas de tensiones de Truesdell [20] es otra alternativa para definir una medida objetiva de las tasas de tensio-nes. Sus componentes están relacionadas a las de Jaumann de la siguiente manera:

(

)

σ∗ij =σ_ijJ−σ ε_ij •jk−σ ε_jk•ik+σ ε_ij •kk i j k, , =12 3, , (3.39)

Como puede observarseσ∗ijcoincide con σ_ijJ si las tasas deformaciones ε

•

kl

pue-den ser consideradas pequeñas.

Por otro lado, considerando que:

Se tiene que [20]

(

)

D∗_ijkl =D_ijkl −σ δ_{ik jl} −σ δ_{jk il} +σ δ_{ij kl} i j k l, , , =12 3, ,

(3.42)

3.V. Proceso de Suavización de Tensiones.

El análisis por elementos finitos permite calcular las variables de estadoU

~ y p_~en

cada nudo, y el valor de cada una de las componentes del tensor de tensiones a nivel del elemento, para cada punto de integración. Resulta conveniente proyectar estos valo-res de las tensiones a los nudos.

En este trabajo, la proyección de los valores de las tensiones en el punto de in-tegración hacia los nudos a nivel de elemento, será realizado usando el método de los mínimos cuadrados.

Sea σ

~ PI

( )e _{el vector que contiene los valores de una determinada componente de}

la tensión en los puntos de integración del elemento (e). Se utiliza como función de suavización:

σ( )e φσ e φ σ i e i i = =

∑

~ ~ N ( ) N ( ) NNE (3.43) dondeφ ~ y σ ~ N

( )e _{son vectores que contienen las funciones de interpolación φ}

~ i de una

de-terminada componente del tensor de tensiones σ_N

i en cada nudo “i”, y siendo NNE el

número de nudos por elemento. Los valores de σ

~ N deben ser tales que minimicen el funcional:

donde Jk es el valor del determinante de la matriz Jacobiana evaluada en el punto de integración “k”, Wk es el factor de peso para el punto “k” y NPI es el numero de puntos de integración.

La minimización de Π(e) en relación a σ

~ N, implica en:

(

)

(

) (

)

(

)

δΠ σ φ ξ η ς σ ∂σ ∂σ δσ σ φ ξ η ς φ ξ η ς φ ξ η ς σ δσ ( ) , ( ) ( ) ( ) , , , ( ) , , , , e e j k k k j e e e e k k k e i k k k i k k k j k k k j e e k k k k j i i k j i =  −        = =  −        = = = = =

∑

∑

∑

∑

PI ( ) NNE N ( ) N N NPI PI ( ) NNE N ( ) N NPI det J W det J W 1 1 1 1 0 (3.45)

La expresión (3.45) equivale a resolver el sistema de ecuaciones:

M F ~ ~ N ( ) ( ) ( ) ~ e_σ e ₌ e _(3.46) donde M F ~ _~ T ~ ~ ~ ~ PI ( ) _; ( ) ( ) ( ) ( ) e _d e T e _d e e = _∫ φ φ Ω = _∫ φ σ Ω Ω Ω (3.47) ó

(

) (

)

M_ije NPI det J W i k k k j k k k k k k ( )_{= , , , ,} =

∑

φ ξ η ς φ ξ η ς 1 (3.48)

(

)

F NPI _PI det J W k ie e i k k k k k k ( )₌ ( ) _{, ,} =

∑

σ φ ξ η ς 1 Calculando σ ~ N

( )e _{con (3.46) para cada elemento, el valor de las componente de}

tensión en un determinado nudo “I” será deferente para cada elemento (e) que concurre a ese nudo.

σ σ IS ( ) N NEI ( ) NEI = = =

∑

∑

Ω Ω l l l l l ( ) 1 1 (3.49)

donde NEI es el numero de elementos que concurren al nudo “I”.

CAPITULO 3. FORMULACIÓN DEL MODELO USANDO EL METODO DE LOS

ELEMENTOS FINITOS (MEF). 46

3.I. EL M.E.F. Y EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES. 47 3.II. EL M.E.F. Y LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD DEL FLUIDO. 48