UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CÁLCULO DIFERENCIAL SUCESIONES. Sea Z

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CÁLCULO DIFERENCIAL

SUCESIONES.

Sea Z⁺ = {1, 2, 3,…}, llamaremos sucesión de números reales a toda función que tenga por dominio a Z⁺. Ejemplos. Consideremos cada una de las funciones f: Z R

1. 1

) 1 (n n

f . Esta función establece la siguiente correspondencia:

1 2 3 4 5 ... n

1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/(n+1)

Dominio

Recorrido

...

2. f(n) ( 1)ⁿ. Esta función establece la siguiente correspondencia:

1 2 3 4 5 ... n

-1 1 -1 1 -1 (-1)ⁿ

Dominio

Recorrido

...

Como el dominio siempre es el mismo, es costumbre representar a las sucesiones por el recorrido, así:

{1/2, 1/3, 1/4,…, 1/(n+1),…} y {-1, 1, -1, 1,…, (-1)ⁿ,…}

Con el propósito de abreviar la notación se suele representar una sucesión encerrando entre llaves la expresión que corresponda al término que ocupa el lugar “n”, llamado término enésimo. En los ejemplos anteriores;

{a_n} = { 1 1

n ^{} y {bn} = {(-1)}

n} Representación gráfica.

Los elementos de una sucesión pueden representarse en una recta numérica o en un plano cartesiano. Mostra- mos la primera sucesión:

1/2

0 1/6 1/4 1/3

1/8 1/12 1/24

1 Hemos dibujado el cero y el 1 como referentes.

1/2

1/3 1/4 1/6

1 2 3 4 5

Sucesiones crecientes y decrecientes.

Una secesión se dice que es creciente cuando cualquier término de ella es mayor o igual que el término inme- diatamente anterior. Es decir, {a_n} es una sucesión creciente si a_n+1 a_n, para toda n Z⁺.

Una secesión se dice que es decreciente cuando cualquier término de ella es menor o igual que el término inmediatamente anterior. Es decir, {b_n} es una sucesión decreciente si b_n+1 b_n, para toda n Z⁺.

Se emplea la palabra monótona para referirse a este tipo de sucesiones.

Ejemplos:

1. La sucesión { 1 n

n } es creciente.

2. La sucesión { 1 1

n } es decreciente.

3. La sucesión {(-1)ⁿ} no es creciente ni decreciente. Este tipo de sucesiones se denominan oscilantes.

ACTIVIDADES.

1. Encuentra una expresión matemática para el término enésimo en cada una de las siguientes sucesiones:

a. {1, 1/4, 1/9, 1/16, 1/25,…}

b. {1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,…}

c. {1, 3/2, 5/3, 7/4, 9/5,…}

d. {1 / 3, 2 / 9, 3 / 27, 4 / 81,…}

e. {– 2, – 4, – 6, – 8,…}

2. Determinar si la sucesión dada es creciente, decreciente o ninguna de ellas:

a. {1/3, 8/6, 27/11, 64/18,…}

b. { 1 2

2

n n

}

c. { n

n

n 2

3 }

d. {

2

) 1 1

( n

n }

e. {

n n n ) 2 1

( }

f. {– 1, – 1, – 1, – 1, – 1,…}

Sucesiones acotadas

 Se dice que una sucesión de números reales esta acotada inferiormente si hay un número M0 menor que todos los términos de la sucesión. Es decir que todos los términos de la sucesión son siempre mayores que M₀. Por lo tanto, en su representación en el plano cartesiano los puntos de la sucesión estarán por encima de la recta y = M₀. Simbólicamente, si {a_n} es una sucesión acotada inferiormente, se tendrá a_n M₀, para todo n.

 Se dice que una sucesión de números reales esta acotada superiormente si hay un número M1 mayor que todos los términos de la sucesión. Es decir que todos los términos de la sucesión son siempre menores que M₁. Su representación en el plano cartesiano serán puntos que no sobrepasan un la recta y = M₁. Simbóli- camente, si {a_n} es una sucesión acotada superiormente, se tendrá a_n M₁, para todo n

 Se dice que una sucesión de números reales está acotada si está acotada superiormente e inferiormente.

Es decir si hay un número M₀ menor que todos los términos de la sucesión y otro M₁ mayor que todos los términos de la sucesión. Es decir que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre M₀ y M₁. Por lo tanto, en su representación en el plano cartesiano los puntos estarán entre las rectas y = M₀ y y =M₁. Simbólicamente, si {a_n} es una sucesión acotada cuando exista un M N tal que | a_n | M, para todo n. La sucesión del ejemplo anterior, es un ejemplo de una sucesión acotada.

 Se dice que una sucesión de números reales no está acotada si no lo está superiormente o inferiormen- te, es decir cuando no está acotada por alguno de los dos lados o por ambos a la vez.

SUBSUCESIONES.

Dada la sucesión {n} = {1, 2, 3, 4, 5,…} podemos extraer de ella la sucesión {2n} = {2, 4, 6, 8, … }. En este caso se dice que esta última sucesión es una subsucesión de la primera. En general, dada una sucesión, se obtiene una subsucesión escogiendo elementos de ella, sin alterar su orden:

A = {a₁, a₂, a₃, ...a_n, ...} n₁< n₂ < n₃ < ... < n_k < ...

B = {

a

a

a

a

Dada la sucesión , si entonces la sucesión

es una subsucesión de A

Otros ejemplos:

2 ...}

,..., 1 6 ,1 4 ,1 2 {1

n es una subsucesión de 1...}

,..., 4 1 3 ,1 2 ,1 1

{ n

Dada {(- 1)^{n – 1} }= {1, - 1, 1, - 1, 1, - 1,…}, los siguientes conjuntos son subsucesiones de ella:

o {1}= {1, 1, 1, …}

o {-1, - 1, - 1, …}

o {-1 , - 1, 1 , 1, - 1, - 1, 1, 1, …}

CONVERGENCIA DE SUCESIONES.

Una sucesión {a_n} converge o tiene límite l si los términos de la sucesión se acercan o están próximos a l. Se escribe Líma l

n n)

( , o, a_n l,si n

Simbólicamente, la sucesión {a_n} converge a l si para cada número ε > 0, existe otro número positivo N (que en general depende de ε) tal que todo n ≥ N implica que | a_n − l |< ε.

Recordemos que la desigualdad |a_n−l|< ε, es equivalente a las dos desigualdades - ε < an – l < ε, que equiva- len a su vez a las desigualdades l – ε < a_n < ε + l.

Gráficamente el significado es que a partir de N, la distancia desde a_n hasta l, es menor que , es decir que existen infinitos puntos de la sucesión en el intervalo (l – ε, ε + l ) o que l es un punto de acumulación.

Ejemplos:

1. Mostrar que si {a_n} = { n

1} entonces 1) 0 (

n n

Lím .

Demostración:

Dado > 0, existe N > 0 tal que

N

1

Ahora, para n > 0 tal que n > N se tendrá:

0 <

n 1<

N

1 < lo que es equivalente a: | n

1– 0 | < con lo que se demuestra la proposición.

2. Mostrar que si {a_n} = {

2

1 n

} ( ) 0

n

an

Lím Demostración:

Sea > 0. Debemos encontrar un natural N con la propiedad de que, si n N, sea cumpla |

2

1 n

- 0 | < .

Como

2 2

2

| 1

| 1

| 1 0

|

n n

n

. Despejando: 1

n . Por lo tanto, escogiendo N > 1 ten-

dremos que si n > N se cumplirá |

2

1

n ^{- 0 | = 2} 1 n ^{< 2}

1 N ^<

3. Mostrar que 0.6 5 3 4 5

2 3

n n Lím n

Con el apoyo de una calculadora, encontramos algunos elementos de la sucesión:

n 1 2 3 100 500 1000000

a n 0.5555 0.5714 0.5789 0.59992 0.59998 0.59999

Observamos que a medida que aumentamos el valor de n, los términos de la sucesión se van aproximando a 0.6:

Veamos a partir de qué término, la diferencia | a _n – l | se hace tan pequeña como se quiera. Si escogemos para = 0.0001, tendremos:

0001 . 4 0 5

4 . 0001 0 . 0 4| 5

4 .

| 0 0001 . 0 4 |

5

4 . 2 3 2

|3 0001 . 0

| 6 . 4 0 5

2

|3

n n

n n n

n n

La anterior desigualdad nos da que n 800. Esto quiere decir que después de este término, todos los de- más términos de la sucesión, están muy cercanos a 0.6.

Podemos escribir que:

( = 0.0001 > 0)( N = 800)(n > N

10000 1 404

4 . 0 4 5

4 .

| 0 6 . 4 0 5

2

|3

n n

n

Empleando el procedimiento riguroso, tendríamos:

( > 0)( N N)(n N | 5 3 4 5

2

|3 n

n )

Ahora:

20 25

| 2 20 25

| 2 20 |

25

12 15 10

|15 5| 3 4 5

2

|3

n n

n n n

n n

Como n > 0, se cumple que 23 n > 0 y por ello 23 n + 20 > 0 y por lo tanto 23 n + 20 +2 n > 2 n.

De aquí obtenemos 25 n + 20 > 2 n, y despejando n nos queda

n n n

n 1

20 25

2 2

20

25 , es

decir 1 n ^. Para (N > 1

) (n N

N n n

n

n 1 1

20 25

| 2 5 3 4 5

2

|3 ⁾

ACTIVIDADES.

Mostrar que las siguientes proposiciones son correctas:

1. Si {a _n} = {1} entonces ( ) 1

n

an

Lím .

2. Si {a _n} = { n

n 1} entonces ( ) 1

n

an

Lím .

3. Si {a _n} = { 1 2n

n } entonces

2 ) 1 (

n

an

Lím .

4. Si {a _n} = { 2n

1 } entonces ( ) 0

n

an

Lím .

5. Si {a _n} = { 1 2 n

n } entonces ( ) 2

n

an

Lím .

6. Si {a _n} = { n n²

1 } entonces ( ) 0

n

an

Lím .

NOTA: Cuando una sucesión no converge, se dice que diverge o que es divergente.

Si a _n puede aumentar tanto como se quiera cuando n , es decir que dado cualquier M > 0, existe N > 0 tal que a n > M para todo n N (a partir del elemento N, todos los términos son mayores que M) entonces se dice que la sucesión {a _n} diverge a + y se escribe

n

an

Lím( ) .

Similarmente, la sucesión {a _n} diverge a – si dado M’ > 0, existe N’ > 0 tal que a _n < M’ para todo n N’

y se escribe

n

an

Lím( ) .

ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS LÍMITES DE LAS SUCESIONES.

1. Líma l

n n)

( si y solo si | | 0

n n l a Lím Demostración:

a) Líma l

n n)

( , significa que ( > 0) ( N N)( n > N | a _n – l | < ); pero esta última desigualdad puede escribirse de la siguiente manera: | | a _n – l | - 0 | < , lo que significa que | | 0

n n l a

Lím .

b) | | 0

n n l a

Lím significa que ( > 0) ( N N)( n > N || a _n – l | - 0 | < ); pero esta última des- igualdad es equivalente a | a _n – l | < , lo que significa que Líma l

n n) ( 2. El límite de una sucesión es único.

Demostración.

Si {a _n} converge a l₁ y a l₂, esto es, Lím(a ) l₁

n

n y Lím(a ) l₂

n

n , supongamos que a l₁ > l₂. Se tendría:

( ₁ > 0)( N₁ N)(n > N₁ | a _n – l | < ₁) y ( ₂ > 0)( N₂ N)( k > N₂ | a _k – l | < ₂) Sea = mín { ₁, ₂} <

2

2 1 l

l , para j > N₁ y j > N₂ se tendrá: | a _j – l₁ | < y | a _j – l₂ | < _.

Pero: l₁ – l₂ = | l₁ – l₂ | = | l₁ – l₂ + 0 | = | l₁ – l₂ + a _j – a _j | = | (l₁ – a _j) + (a _j – l₂) | | l₁ – a _j | + | a _j – l₂ | | l₁ – a _j | + | a _j – l₂ | < + = 2 = l₁ – l₂. Es decir l₁ – l₂ < l₁ – l₂ lo cual es absurdo.

3. Toda sucesión convergente es acotada.

Demostración.

Si {a _n} converge a l se tiene que Líma l

n n)

( . Por ello, dado = 1, existe N N tal que para n > N se verifica | a _n – l | < = 1. Ahora, | a _n – l | < 1 | a _n | – | l | , | a _n – l | < 1, por lo que | a _n | < 1 + | l |.

Si M = máx {| a₁ |,…, | a _N-1 |, 1+ | l |}, se cumplirá | a _n | < M para todo n.

4. Si Lím(a ) l₁

n

n y Lím(b ) l₂

n

n , se tiene:

a. ( )

n n

n b

a

Lím =

n

an

Lím( ) +Lím(b ) l₁ l₂

n n

b. ( )

n n

n b

a

Lím =

n

an

Lím( )·Lím(b ) l₁·l₂

n n

c. ( / )

n n n b a

Lím =

n

an

Lím( )/Lím(b ) l₁/l₂;l₂ 0

n n

Demostración:

Parte a.

) 1

(a l Lím

n

n ( > 0)( N₁ N)(n N₁ | a _n – l₁ | < / 2) ) 2

(b l Lím

n

n ( > 0)( N₂ N)(n N₂ | b _n – l₂ | < / 2) Para n N = máx {N₁, N₂}:

| (a _n + b _n ) – ( l₁ + l₂ ) | = | (a _n – l₁ ) + (b _n – l₂ ) | | a _n – l₁ | + | b _n – l₂ | < / 2 + / 2 =

Parte b.

|a _n b _n − l₁· l₂| = | a _n b _n − l₁b_n + l₁b_n − l₁· l₂| = |(a _n − l₁)·b n + l₁ (b _n − l₂ ) |≤ |a _n − l₁| |b _n | + | b _n − l₂| | l₁| Hagamos pequeño esto:

Como {b _n} → l2 , dado > 0, N_b tal que n ≥ N_b |b _n − l₂| <

|

|

2 l₁ , si l₁ ≠ 0 (cuando l₁ = 0, escoge- mos |b _n − l₂| | l₁| = 0< / 2); como {b _n} converge, esta acotada por lo que existirá M tal que | b _n | < M.

Como {a _n} → l1, dado > 0, N_a tal que n ≥ N_a |a _n − l₁| <

M

2 , por lo tanto:

|a n b n − l1· l2| |≤ |a n − l1| |b n | + | b n − l2| | l1 |<

M

2 ^{· M + 2|}l1^|· | l1 | = Parte c.

|

·

|

|

||

|

|

·

|

|

||

|

|

·

|

| )

·(

)·

(

|

|

·

|

|

·

·

·

·

|

2 2 1

2 2 1 2

2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 2 1

n n n

n n

n n

n

n n

n n

b l

l b l b

l l l a b

l

b l l l l a b

l

b l l l l l a l l l b a

Como {b _n} → l2 ≠ 0, dado > 0, N₁ tal que n ≥ N₁ |b _n – l₂ | <

2

|

|l₂

. De aquí obtenemos:

2

|

|l₂

> |b _n – l₂ | = | l₂ – b _n | | l₂ | – | b _n | de donde | b _n | >

2

|

|l₂

> 0, por lo tanto

|

| 2

|

| 1

l2

b_n

También, del hecho {b _n} → l2, N₂ tal que n ≥ N₂ |b _n − l₂| <

|

| 4

·

|

|

1 2 2

l l .

Ahora, como {a _n} → l1, N₃ tal que n ≥ N₃ |a _n − l₁| <

4

|·

|l₂ . Escogiendo N = máx {N₁, N₂, N₃}, tendremos:

|

|

· 2

|

||

| 4

·

·

|

||

|

|

|

· 2 4

|·

|

|

||

|

|

||

|

|

||

|

|

||

|

2 2 1

2 2 1 2 2 2

2 1

2 2 1 2

1

l l l

l l l l b

l l b l b

l l l a l

l b a

n n n

n n

n

5. Si Lím(a ) l₁

n

n entonces, dado > 0, existe N tal que n, k N implica | a _n – a _k | <

Demostración.

Dado > 0, existe N tal que |a _n − l₁| <

2, para todo n N. Si k N se cumplirá que |a _k − l₁| <

2^. Por lo tanto: | a _n − a _k | = | a _n − l₁ + l₁ – a _k | < |a _n − l₁| +| l₁ – a _k | <

2 ⁺ 2⁼ 6. Si Líma l

n n)

( entonces:

a. Si l₁ < l, ( N N)(n >N l₁ < a _n ) Demostración.

Dada l₁ < l, escogemos = l – l₁ > 0. ( N N)(n > N | a _n – l | < ). Se cumplirá que:

– < a n – l < . Escogiendo la desigualdad de la izquierda:

– < a n – l – (l – l₁) < a_n – l l₁ < a_n b. Si l < l₂, ( N₁ N)(n > N₁ a _n < l₂ )

Demostración.

Dada l < l₂, escogemos = l₂ – l > 0. ( N₁ N)(n > N₁ | a _n – l | < ). Se cumplirá que:

– < a n – l < . Escogiendo la desigualdad de la derecha:

a_n – l < a_n – l < l₂ – l a_n < l₂

7. Si Líma l

n n)

( y c R:

a. (Si m)( n > m es c a _n c l) Demostración. Por RAA.

Supongamos que se cumple l < c.

l < c a _n < c .Por propiedad 6, b Pero c a _n. Por hipótesis.

Estos dos últimos hechos son contradictorios y nuestro supuesto no puede ser correcto.

b. (Si m)( n > m es a _n c l c )

8. Si { a _n } y { b _n } son sucesiones convergentes tales que a _n b _n, para todo n > m, entonces

n n n

n Límb

a

Lím( ) ( ) Demostración.

La sucesión b n – a n cumple la desigualdad b n – a n 0, para todo n > m. Esta sucesión converge a

n n n

n Límb

a

Lím( ) ( ), por la propiedad 4 a.

Como para n > m se tiene 0 b _n – a _n, se verificará que 0

n n n

n

Lím a

b

Lím ( ) ( )

9. Sean {b _n} y {c _n} sucesiones tales que b _n c _n y

n n n

n Límc l

b

Lím( ) ( ) . Si b _n a _n c _n , para todo n, entonces Líma l

n n)

( .

Demostración.

Como

n n n

n Límc l

b

Lím( ) ( ) , tendremos:

( > 0)( N₁ N)(n > N₁ | b _n – l | < / 3) y ( > 0)( N₂ N)( n > N₂ | c _n – l | < / 3) Para N = máx {N₁, N₂} tendremos:

| a _n – l | = | (a _n – b _n ) + (b _n – l) | | a _n – b _n | + | (b _n – l ) |

Como por hipótesis se tiene b n a n c n , se cumplirá | a n – b n | | c n – b n | = |(c n – l ) + (l – b n ) | Reemplazando:

| a _n – l | | a _n – b _n | + | (b _n – l ) | | (c _n – l ) + (l – b _n ) | + | (b _n – l ) |

| (c n – l ) | + | (l – b n ) | + | (b n – l ) | < / 3 + / 3 + / 3 =

10. Si Lím(a ) (ó )

n

n entonces 1 0

n an

Lím Demostración.

n

an

Lím( ) , significa que ( > 0) ( N N)( n > N a _n > 1 / )

De esta última desigualdad obtenemos:

an

1 , para todo n > N.

11. Si ( ) 0

n

an

Lím y a _n > 0 entonces

nLíma1n

12. Sea {a _n} una sucesión creciente. Entonces {a _n} es convergente si y solo si está acotada superiormente, en cuyo caso Lím(a ) sup{a_n/n N}

n n

Demostración.

Sea {a _n} una sucesión creciente. Según la propiedad 3, si la sucesión converge entonces está acotada (su- periormente); esto demuestra una implicación hacia la derecha.

Supongamos ahora que la sucesión está acotada superiormente, sea a su supremo. Veamos que la sucesión converge al punto a:

Gráficamente:

Sea > 0. Como a − < a, el número a − no puede ser una cota superior de la sucesión, y por lo tanto existirá algún N N tal que

a – < a N

Como la sucesión es creciente, para cada n > N, se tendrá: a – < a _N a _{N + 1} ··· a _n. Por definición de supremo: a _n a < a + .

Por lo tanto: a – < a _n < a + | a _n – a | < . Esto demuestra que la sucesión converge al punto a.

13. Sea {a _n} una sucesión decreciente. Entonces {a _n} es convergente si y solo si está acotada inferiormente, en cuyo caso Lím(a ) inf{a_n/n N}

n n

Definición: {a _n} es una sucesión de Cauchy si y solo si ( N N) ( n, m ≥ N se tiene que |a _n − a m | < ) 14. Toda sucesión de Cauchy es acotada.

Demostración.

Dado = 1, existe N N de modo que n > N implica | a _n – a _{N + 1} | < 1, por lo que

a _{N + 1} – 1 < a _n < a _{N + 1}, esto es, la sucesión está acotada inferiormente por mín {a ₁ , …, a _N , a _{N + 1} – 1} y superiormente por máx { a ₁ , …, a _N , a _{N + 1} + 1}

15. Una sucesión es convergente si y solo si es de Cauchy.

LIMITES FUNDAMENTALES.

16. Si {a _n} = {c} entonces Líma c

n n)

(

17. 1) 0

(

n n

Lím

Demostración.

Por la propiedad arquimediana, dado > 0, será 1 0

. Como 1 > 0, existe N > 0 tal que 1 1

N . Por lo

tanto, para n N se tendrá que N n

1

1 .

18. 1 0

n

na

Lím , a > 0.

Demostración.

( > 0) ( N > ^a 1 ) (n N

a a a

a n n N

n

1

| 1

| 1

| 1 0

|

19.

sia sia

sia n

Lím

n a

, 0

0 , 1

0 , )

(

i. Lím(n ) ,a 0.

n a

Demostración.

1 0

n

na

Lím 0

1 1

n

a a

n

n Lím n

Lím (Por la propiedad 11:

n n n

n Líma

Líma 1

0

ii. Lím(n ) 1,a 0

n a

Demostración.

Si a = 0, se tiene que ( ) 1 1

n n

a Lím

n Lím iii. Lím(n ) 0,a 0

n a

Demostración.

1 0 0 1

0 n a

a a n

a

n Lím n

Lím n

n a

a

20.

1

|

| , 0

1 , 1

1 , )

(

a si

sia sia a

Lím

n

n Nota: la sucesión diverge cuando a < – 1

i. Lím(a ) ,a 1.

n n

Demostración.

. 0 1

1 a

a Sea b = a – 1, entonces a = b + 1. Tendremos:

nb b

n b b n n b

a^{n n n n} 1ⁿ ... ⁿ 1

2 1

) 1 1 (

1 ) 1

( ^{1 2 2} . Es decir que:aⁿ 1 nb, lo que

significa que los términos de {a ⁿ} se hacen más grandes que 1 + n b, lo que equivale a

n

an

Lím( ) ii. Lím(a ) 1,a 1.

n n

Demostración.

1 1 1

1

n n n n

n a Lím Lím

Lím a

iii. Lím(a ) 0,0 a 1.

n n

Demostración.

Si a < 1 entonces 1 1

a ^{. Sea b =} a

1. Tendremos: 1 0

1) ( ) 1

( n n n n

n n

b Lím a

Lím a

Lím (Propiedad 10)

21. Lím(n a ) 0,0 a 1.

n n

Demostración.

1 1

1 a

a . Sea b = 1 1 0

a , es decir b

a 1

1 . Se cumplirá que:

n n n

n

b b n n nb

n b

n

a a n n

...

) 1 2( ) 1

1 ) (

(1 ²

.

Pero como

nb n b

n b nb

nb

b n n

n

) 1 1 1 (

1 1

( 1 1

) 1

( , se tendrá:

, 1 0

1

1 b

n nb a n

n ⁿ cuando n

22. ( ) 1

n nn Lím

Demostración.

Sea a _n =ⁿn 1 0 entonces, ² ( 1)( )²

... 2 ) )(

1 2( 1

) 1 (

1 _{n n} ⁿ _{n n n}

n n n a

a n n

na a

n a n Es decir que ( 1)( )²

2 n aⁿ

n n lo cual implica que 0

1 2 1

) 2

( ²

n n a

a_{n n} cuando n

Hemos llegado a que 0 < a _n < 0, por lo que:

1 0

) 1 ( 0

| 1

| 0

0

0 ⁿ

n n

n n

n n n n n

n

n Líma Lím Líma Lím n Lím n Lím n

Lím (propiedad 1)

ACTIVIDADES.

Emplea las propiedades, para determinar el valor de los siguientes límites de las sucesiones dadas:

1.

2 4 ²

2

n n Lím n

n

2.

1 6

1 n2

Lím n

n 3.

2 5

1 3

2 2

n Lím n

n

4. 7 2

1 2

n Lím n

n 5.

4 2 4

3 8 5

3 2 3

n n

n Lím n

n 6.

3 3 2

1 3 n Lím n

n

7. 3

3 2

n n Lím n

n 8.

1

2 1 n Lím n

n

9.

n n n Lím n

n

10. n n

n n n

Lím 3 5

2

5 11.

n n n

Lím 3

7

2 12.

n Lím n n

n n

n 5 3 1/

1 3 5

13. Lím( 5n 3 3n)

n 14. Lím(³ n³ 1 n)

n

15. Lím(³ n³ n^{2 3} n³ n²)

n

CRITERIOS LOGARITMICOS.

Para estudiar los límites de sucesiones donde aparecen exponentes es muy útil tomar logaritmos para así con- vertir las sucesiones en productos o cocientes, y utilizar los resultados conocidos para calcular límites de productos o cocientes. En este contexto son esenciales las siguientes propiedades de las funciones exponencial y logarítmica:

1. Si Líma l

n n)

( entonces ^l

n

a e

e Lím( ⁿ)

2. Si {a _n} es una sucesión de números positivos que convergen a l > 0, entonces Lím(L a ) L_n(l)

n n n

3. Si {a _n} es una sucesión de números positivos que convergen hacia a > 0, y Límb b

n n)

( , entonces

b b n

n a

a Lím( ) ⁿ

Las siguientes son las gráficas de las funciones exponencial y logarítmica:

Sin una definición rigurosa de las dos funciones es imposible demostrar las anteriores propiedades. Sin em- bargo, es posible justificarlas suponiendo que tenemos definidas las funciones exponencial y logarítmica, que son estrictamente crecientes, que son inversa la una de la otra, y que cumplen algunas propiedades elementa- les como que L_n 1= 0, o que la suma de dos logaritmos es el logaritmo del producto.

Demostración.

1. Líma l

n n)

( es equivalente a Lím(a_n l) 0.

Dado > 0, se tiene que – < 0 < . Sumando 1: 1 – < 1 < 1 + . Como Ln es creciente, se cumple que:

Ln (1 – ) < Ln 1 < Ln (1 + ) y por ello Ln (1 – ) < 0 < Ln (1 + ).

Existirá N N tal que para n N, la diferencia a_n – l estará tan cerca de cero como deseemos y por ello:

Ln (1 – ) < an – l < Ln (1 + ). Pero como la función exponencial es creciente:

e^{Ln(1 )} e^{an l} e^{Ln(1 )}que es equivalente a 1 – < e^{an l} < 1 + . Restando 1: – < e^{an l}– 1 < . Esto significa que ( ) 1

n l a_n

e

Lím . De aquí se tiene: ^l

n

a e

e Lím( ⁿ)

2. Si Líma l

n n)

( entonces se verifica que ( ) 1

n n

l Lím a

Dado > 0, se tiene que – < 0 < . Como la exponencial es creciente: e e⁰ e , es decir:

e 1 e . Existirá N N tal que para n N, l a_n

estará tan cerca de uno como deseemos y por ello:

l e

e aⁿ .Pero como la función logarítmica es creciente, se tendrá: L e l L a e

L_{n n} ⁿ _n que equi-

vale a:

l

L_n aⁿ , esto es, L_n(a_n) L_n(l) lo cual significa que Lím(L (a )) L_n(l)

n n n

3. ^{b bLa bLa b}

n

n Líme e a

a

Lím( ) ⁿ ( ^{n n n}) ⁿ

Ejemplos:

1. Consideremos las sucesiones con términos enésimos a _n =

1 2 n2

n y b _n =

3 1

2

n n

n .Como

2 ) (

n

an

Lím y ( ) 0

n

bn

Lím , se deduce que ( )^bn 2⁰ 1

n

an

Lím

2.