Materiales: Regla, escuadras, hojas de papel cuadriculado, calculadora, 3 lápices de diferentes colores.
.. ACTIVIDADES.
1. Grafica cada una de las siguientes funciones definidas en el conjunto de los números Reales:
a. y = f(x) = 2x + 1 b. y = f(x) = x2 – 4 c. y = f(x) = x3 – 2x
2. En la siguiente recta numérica, escoge un par de unidades consecutivas y cada una divídelas en 10 partes iguales. Coloca el número correspondiente a cada división. ¿Cuáles serían los números si ca- da unidad es dividida en 100 partes iguales?
0 1 2 3
-2 -1
3. A continuación encontrarás dibujadas dos rectas. Traza perpendiculares según se te pide:
. . .
. .
.
Levanta desde cada punto, una perpendicular a la recta
Traza desde cada punto hasta la recta, una perpendicular.
4. Consideremos la función definida mediante la expresión y = f (x) = 4 – x2. Observemos los valores del recorrido (y) cuando los del dominio (x) están cerca de 1. Para ello:
a. Elaboramos una tabla de valores donde se observen los valores de “y” cuando los de “x” se están acercando a 1:
P or la dercha de 1 x
y
1 0.99 0.98
0.97 1.01 1.02 1.03
P or la izquierda de 1
b. Construimos su gráfica, conectando mediante segmentos de rectas, los elementos del Domi- nio próximos a 1, con su correspondiente elemento del recorrido:
c. ¿Hacia que valores se aproximan los de “y”, cuando los de “x” se acercan a 1?
En cada una de ellas:
Dibuja en el eje “y”, una de las siguientes vecindades del 3: V1 (3), V ½ (3), V ¼ (3) y V 101 (3)
Escoge varios puntos de la vecindad (pueden ser dos, por encima y por debajo de 3). Le- vanta en cada uno de ellos una perpendicular que llegue hasta la gráfica. A continuación, traza desde aquí, otra perpendicular que llegue hasta el eje “x”.
¿Dentro de qué vecindad quedan los puntos de los extremos de los segmentos que llegan hasta el eje “x”?
¿Qué pasa cuando la vecindad es más pequeña?
5. De lo anterior, podemos darnos cuenta que no importa la vecindad de 3 que escojamos, que siempre tendremos una vecindad (del número 1) en el eje “x” dentro de la cual se encuentran los valores del dominio próximo a él. Pero que cuanta más pequeña sea la vecindad escogida en el eje “y”, más cer- canos al número 1 estarán los valores de x. Ver gráficos:
7. Para cada una de las siguientes gráficas, construir en el eje “y”, la vecindad que se indica, escogiendo un radio apropiado. En seguida, resalta algunos puntos de ella y desde cada uno, traza perpendicula- res hasta la gráfica. A continuación traza perpendiculares hacia el eje “x”. ¿En que vecindad del eje
“x”, quedan los extremos de estos segmentos?
8. Completa las siguientes tablas para observar el comportamiento de las funciones dadas, cuando los valores de “x” se acercan al valor indicado:
a. (3 1)
1 x Lím
x
x 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.1 y
= f(x)
b. ( 2 4)
3
x Lím
x
x 2.9 2.99 2.999 3 3.001 3.01 3.1 y
= f(x)
c. 2
2 2
2 x
x Límx
x
x 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1 y
= f(x)
d.
4 2
2x2
Lím x
x
x 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1 y
= f(x)
e. x
Lím x
x
3 3
0
x - 0.1 - 0.01 - 0.001 0 0.001 0.01 0.1 y
= f(x)
Podemos ahora definir el límite de una función de la siguiente manera: Se dice que la función f (x) tiene por limite el número L, cuando x está próxima al número a, siempre que f(x) V (L), sea po- sible que x V (a), donde el número (radio de la vecindad en y) es cualquier número positivo y (radio de la vecindad en x), también positivo, depende de . Es decir que los valores de la función se encuentran en la vecindad de L, cuando los de x estén en una vecindad de a. Se escribe:
L x f Lím
a
x ( )
9. Veamos como encontrar los radios de las vecindades. Para ello comprobemos que ( 1) 3
2 x Lím
x
. En este caso, L = 3 y a = 2.
a. Graficamos la función f (x) = x + 1
b. En el eje “y”, construimos una vecindad de 3 con radio
= ¼ =
0.25. Identificamos con la letra y1 al extremo inferior de la vecindad y con y2, al extremo superior de ella. Los valores de estas letras aparecen en la gráfica.c. Levantamos perpendiculares desde cada uno de estos valores, hasta cuando toquen a la gráfica de la función. Desde estos últimos puntos, bajamos perpendicularmente hasta el eje
“x”, determinándoos e los puntos x1 y x2, cuyos valores debemos encontrar. La distancia menor desde estos puntos hasta el 2, será el valor del radio de la vecindad de 2.
d. Sabemos que y = f(x) = x + 1, por lo tanto:
y1 = f (x1) = x1 + 1, pero y1 = 2.75 = x1 + 1 por lo que x1 = 1.75 y2 = f (x2) = x2 + 1, pero y2 = 3.25 = x2 + 1 por lo que x2 = 2.25 Ahora: 2 = x2 – 2 = 2.25 – 2 = 0.25, y 1= 2 – x1 = 2 – 1.75 = 0.25 En este caso el valor del radio es 0.25
Por lo tanto f(x) V 0.25 (3) siempre que x V 0.25 (2) e. Comprobar que (2 1) 5
3 x
Lím
x
, encontrando las correspondientes vecindades.
f. Comprobar que 2 4
2x Lím
x , encontrando las correspondientes vecindades.
g.
10. Una función se dice continua, cuando puede trazarse “sin levantar el lápiz”. La figura de la izquierda corresponde a una función continua en todos sus puntos, mientras que la de la derecha no lo es en x = 1
Puede observarse que en las funciones continuas en cualquier punto, los limites por la derecha y por la izquierda, coinciden con el valor de la función en dicho punto. Este hecho se expresa así:
Una función f es continúa en un punto x = a si se cumple:
f(a) existe.
Existe Límf(x)
a x
f(a) = Límf(x)
a x
11. Sabemos que el límite de f(x) cuando x ano depende del valor de f en x = a. Sin embargo si ocu- rre como en el caso de las funciones continuas, que el valor del límite es f (a), diremos que podemos encontrar el valor del límite por sustitución directa en la expresión matemática que define a la fun- ción. Por ejemplo para hallar (2 1)
3 x
Lím
x
, lo haremos por sustitución directa:
5 1 ) 3 ( 2 ) 1 2 (
3 x
Lím
x
Encuentra por sustitución directa, cada uno de los siguientes límites:
a. ( 2 1)
3
x Lím
x
b. ( 1)
1x Lím
x
c. ( 3 4)
2 x Lím
x
d. 1
1
2 2
1 x
x Límx
x
e.
1 1
2 3
1x Lím x
x
f. Lím x
x 0
g.
x Límx
x 2 3
3
h.
1
2 1
1 x Límx
x
