M A T E M A T I C A S B I ( S T A N D A R D L E V E L )
Estudio de la gráfica de corrección horaria
OBTENCIÓN DE UNA FUNCIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA DE CORRECCIÓN HORARIA
GUILLEM CUBERTA RIFÀ
Matematicas
(Standard Level) BI
08
Estudio de la gráfica de corrección horaria 2
ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN ... 3
2. GRÁFICA CORRECCIÓN HORARIA ... 4
2.1 Intervalo 1 [0, 104] ...
7
2.2 Intervalo 2 [105, 163]...
11
2.3 Intervalo 3 [164, 243]...
15
2.4 Intervalo 4 [244, 358]...
17
2.5 Intervalo 5 [359, 365]...
20
3. CONCLUSIONES ... 22
Estudio de la gráfica de corrección horaria 3
INTRODUCCIÓN:
Este verano, en una de las muchas excursiones que hice, fui a Villafranca del Conflent, un pequeño pueblo de la Catalunya Norte situado en Francia. En este pueblo medieval, había una iglesia con un grafico grabado en la fachada. El grafico, que se puede ver en la portada, se trataba de un gráfico lineal en función de segundos. Este gráfico ayudaba a la población de Villafranca del Conflent a saber, dependiendo del día del año que era, como tenían que leer el reloj solar y cuantos segundos, minutos originalmente pero cambiado por mi a segundos para facilitar los cálculos y las conversiones, tenían que sumar o restar a la hora que marcaba el reloj solar.
Des de que vi este gráfico, tuve muy claro que quería hacer este trabajo sobre la obtención de la una ecuación a partir de un grafico y una tabla de datos.
Pero como es demasiado complicado obtener una sola función para todo el gráfico, he dividido la función periódica en periodo de un año en 5 tramos. Para encontrar estas 5 ecuaciones voy a usar tres ecuaciones distintas. Una es la que te da el Excel al pedir que te formule una ecuación a partir de un trazado de una gráfica, la otra es una ecuación sinusoide [y=p·cos(q·x)+k] y, por último, voy a utilizar la ecuación de la parábola para el primer tramo [y=ax2+bx+c]. Para el quinto tramo, como se parece más una recta que no una parábola el trazado de este intervalo, voy a utilizar la ecuación [y=m·x+n]
Estudio de la gráfica de corrección horaria 4
2. Gráfica corrección horaria
La gráfica que se quiere obtener la función es la siguiente:
Los valores obtenidos se muestran en la siguiente tabla:
Días Corrección
horaria Días Corrección
horaria Días Corrección
horaria
1 220 122 -182 244 -3
2 248 123 -188 245 -22
3 276 124 -194 246 -41
4 303 125 -199 247 -61
5 330 126 -204 248 -82
6 356 127 -208 249 -101
7 382 128 -211 250 -122
8 407 129 -214 251 -142
9 432 130 -216 252 -163
10 457 131 -218 253 -184
11 480 132 -219 254 -205
12 504 133 -219 255 -226
13 526 134 -219 256 -247
14 548 135 -219 257 -269
15 569 136 -218 258 -290
16 590 137 -216 259 -311
17 610 138 -214 260 -331
18 629 139 -211 261 -354
19 649 140 -207 262 -375
20 665 141 -204 263 -397
21 682 142 -199 264 -418
22 699 143 -194 265 -437
23 714 144 -189 266 -460
24 729 145 -183 267 -481
25 743 146 -176 268 -502
-1500 -1000 -500 0 500 1000
1 12 23 34 45 56 67 78 89 100 111 122 133 144 155 166 177 188 199 210 221 232 243 254 265 276 287 298 309 320 331 342 353 364
Estudio de la gráfica de corrección horaria 5
26 756 147 -169 269 -523
27 768 148 -162 270 -543
28 780 149 -154 271 -564
29 790 150 -146 272 -584
30 800 151 -137 273 -603
31 809 152 -128 274 -623
32 818 153 -119 275 -642
33 825 154 -109 276 -661
34 832 155 -98 277 -680
35 837 156 -88 278 -698
36 842 157 -77 279 -716
37 846 158 -66 280 -733
38 850 159 -54 281 -750
39 852 160 -43 282 -767
40 854 161 -31 283 -783
41 855 162 -19 284 -799
42 855 163 -6 285 -814
43 854 164 6 286 -829
44 853 165 19 287 -843
45 851 166 32 288 -857
46 848 167 44 289 -870
47 844 168 57 290 -882
48 840 169 70 291 -894
49 835 170 83 292 -905
50 829 171 97 293 -916
51 823 172 110 294 -926
52 816 173 123 295 -935
53 808 174 136 296 -944
54 800 175 148 297 -952
55 791 176 161 298 -959
56 782 177 174 299 -965
57 771 178 186 300 -971
58 761 179 199 301 -976
59 750 180 211 302 -980
60 738 181 222 303 -983
61 726 182 234 304 -986
62 713 183 245 305 -988
63 700 184 257 306 -989
64 686 185 267 307 -989
65 673 186 278 308 -988
66 658 187 288 309 -987
67 643 188 298 310 -984
68 628 189 307 311 -981
69 613 190 316 312 -977
70 593 191 324 313 -972
71 581 192 332 314 -966
72 565 193 340 315 -959
73 548 194 347 316 -952
74 531 195 354 317 -943
75 514 196 360 318 -934
76 497 197 366 319 -924
77 479 198 371 320 -913
78 472 199 375 321 -901
79 444 200 379 322 -889
80 426 201 383 323 -875
81 408 202 386 324 -861
82 390 203 388 325 -846
83 372 204 390 326 -830
84 354 205 391 327 -813
85 336 206 392 328 -796
86 318 207 392 329 -778
87 299 208 391 330 -759
88 281 209 390 331 -739
89 263 210 388 332 -719
90 246 211 386 333 -698
Estudio de la gráfica de corrección horaria 6
91 228 212 383 334 -676
92 210 213 379 335 -654
93 192 214 375 336 -631
94 175 215 370 337 -607
95 158 216 365 338 -583
96 141 217 359 339 -558
97 124 218 352 340 -533
98 107 219 345 341 -507
99 91 220 337 342 -481
100 75 221 329 343 -454
101 59 222 320 344 -427
102 44 223 311 345 -399
103 29 224 300 346 -371
104 14 225 290 347 -343
105 -1 226 279 348 -314
106 -15 227 267 349 -286
107 -29 228 255 350 -257
108 -42 229 242 351 -227
109 -55 230 229 352 -198
110 -68 231 215 353 -168
111 -80 232 201 354 -139
112 -92 233 186 355 -109
113 -103 234 171 356 -79
114 -114 235 155 357 -50
115 -124 236 139 358 -20
116 -134 237 123 359 10
117 -143 238 106 360 39
118 -152 239 89 361 69
119 -160 240 71 362 98
120 -168 241 53 363 127
121 -175 242 35 364 156
243 16 365 185
Para simplificar el cálculo de la función se realizara por intervalos. Los intervalos considerados son los siguientes:
Intervalo 1: [0, 105)
Intervalo 2: [105, 163]
Intervalo 3: (163, 244)
Intervalo 4: [244, 359)
Intervalo 5: [359, 365]
Estudio de la gráfica de corrección horaria 7
2.1 Intervalo 1 [0, 105)
El intervalo considerado es el siguiente:
Los valores han sido obtenidos de la tabla que se muestra a continuación. En la columna de corrección horaria, los valores se muestran en segundos.
y = 2E-05x4 - 0,0022x3 - 0,3017x2 + 31,073x + 181,51 R² = 0,9999
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91 94 97 100 103
Segundos
Días
Estudio de la gráfica de corrección horaria 8 El programa de Microsoft Office que he usado, Excel, ofrece una herramienta con la que puedes crear una función que se parece a tu gráfico. En mi caso, esta función tenia que ser poligonal ya que el tramo es una parábola.
Estos son los procedimientos realizados para obtener el resultado si aplicamos la formula que Excel nos da:
Primero substituimos la x por un punto para encontrar la “y” y poder determinar si el resultado que da se aproxima al resultado que tendría que dar. Esto último se llama calcular el error.
Estudio de la gráfica de corrección horaria 9 Para calcular el error usamos la siguiente formula:
Error
Ejemplo:
El error en este punto, x=56, es de -0,4168, pero como solo es un punto no podemos concluir que este es el error de la función. Aplicando la ecuación que nos da el Excel y calcular el error de cada x en el cual la función está definida, el promedio de error es de 0,10530897.
Mi profesor, al ver este proyecto, me sugirió que utilizara la siguiente ecuación:
Para este tramo, esta ecuación queda así:
Para encontrar la K se iguala la x a 0 y con la y se obtiene el valor de k.
Para encontrar la q, se busca la derivada cuando x marca un máximo y entonces se iguala a 0. En este tramo, el máximo lo tienen el día 41 y el día 42, por lo tanto, le doy el valor de 41,5.
Una vez tenemos la q, falta encontrar la p. Para ello substituimos la “x” y la “y” en la ecuación inicial por unos puntos conocidos, en este tramo es el P(1,220).
Una vez tenemos la “p”, la “q” y la “k”, solo falta comprobar si funciona. Para ello, le damos un valor a la “x” para encontrar a la “y”. Por ejemplo, le damos el valor de x=5, la “y” tendría que dar 330.
Estudio de la gráfica de corrección horaria 10
Desgraciadamente, 292 es demasiado distinto a 330.
Por último, si usamos la ecuación de la parábola: “ ” también podremos determinar la ecuación de este primer intervalo.
Para ello necesitaremos 3 puntos conocidos de este intervalo:
P1 (1, 220) 200 = a+b+c P2 (42, 855) 855 = 422a+42b+c P3 (105, -1) -1 = 1052a+105b+c Ecuaciones:
PRIMERA:
SEGUNDA:
TERCERA:
Estudio de la gráfica de corrección horaria 11 Habiendo hallado todas las incógnitas, podemos determinar que una ecuación para este intervalo es:
Si substituimos la x por un punto conocido, por ejemplo el 5, sabremos el valor de la “y” y, por lo tanto, podremos calcular el error.
P (5,330)
De momento podemos observar que 323,392 no es 330, pero se acerca mucho más que la formula anterior.
Por lo tanto, podemos determinar que la ecuación :
es más exacta que:
;
pero no más exacta que:
2.2 Intervalo 2 [105, 163]
El intervalo considerado es el siguiente, los valores son los de la tabla que se muestra a continuación:
y = -0,0005x3 + 0,3028x2 - 16,554x + 19,765 R² = 0,9992
-250 -200 -150 -100 -50 0 50
105 107 109 111 113 115 117 119 121 123 125 127 129 131 133 135 137 139 141 143 145 147 149 151 153 155 157 159 161 163
Segundos
Dias
Estudio de la gráfica de corrección horaria 12
Estudio de la gráfica de corrección horaria 13 Estos son los procedimientos realizados para obtener el resultado si aplicamos la formula que el Excel nos da:
Cuando nos da el resultado, calculamos el error para poder determinar si el resultado se puede considerar bueno.
Para calcular el error usamos la siguiente formula.
Ejemplo:
Aplicando la ecuación que nos da el Excel, el promedio del error es de 6,868914431.
Si intentamos encontrar una ecuación a esta grafica analíticamente, lo podemos hacer con esta ecuación:
Para este tramo, esta ecuación queda así:
Para encontrar la K se iguala la x a 0 y con la y se obtiene el valor de k.
Para encontrar la q, se busca la derivada cuando x marca un máximo y entonces se iguala a 0. En este tramo, el máximo lo tiene el 29, por lo tanto, le doy el valor de 29.
Estudio de la gráfica de corrección horaria 14
Una vez tenemos la q, falta encontrar la p. Para ello substituimos la “x” y la “y” en la ecuación inicial por unos puntos conocidos, en este tramo es el P(10, -114).
Una vez tenemos la “p”, la “q” y la “k”, solo falta comprobar si funciona. Para ello, le damos un valor a la “x” para encontrar a la “y”. Por ejemplo, le damos el valor de x=5, la “y” tendría que dar -55.
A primera vista se puede observar que -50,5 es bastante parecido a -55.
Una vez sabemos el error de todas las formas de averiguar la ecuación de este segundo intervalo, podemos concluir que:
es más exacta que
pero por poca diferencia.
Estudio de la gráfica de corrección horaria 15
2.3 Intervalo 3 [164, 243]
El intervalo considerado es el siguiente, los valores son los de la tabla que se muestra a continuación:
Como se puede observar en esta tabla, los resultados han empezado dando bien, pero a medida que el valor de x en el gráfico iba aumentando, el valor de e iba distanciándose del valor real y, por lo tanto, el error era cada vez más grande.
Tenemos que tomar los últimos 15 números como erróneos.
Excel nos da la siguiente formula:
–
En este caso he tenido que buscar una ecuación de mayor grado para obtener unos resultados más ajustados.
El promedio del error, calculado sumando todos los errores y dividiéndolos por el número de errores , es igual a 21,125 pero si excluimos esos 15 últimos valores, entonces nos dará un valor de 0,887.
Estudio de la gráfica de corrección horaria 16 Si intentamos encontrar una ecuación a esta grafica analíticamente, lo podemos hacer con esta ecuación:
Para este tramo, esta ecuación queda así:
Para encontrar la K se iguala la x a 0 y con la y se obtiene el valor de k.
Para encontrar la q, se busca la derivada cuando x marca un máximo y entonces se iguala a 0. En este tramo, el máximo esta entre 43 y 44, por lo tanto, le doy el valor de 43,5.
Una vez tenemos la q, falta encontrar la p. Para ello substituimos la “x” y la “y” en la ecuación inicial por unos puntos conocidos, en este tramo es el P(1, 6).
Una vez tenemos la “p”, la “q” y la “k”, solo falta comprobar si funciona. Para ello, le damos un valor a la “x” para encontrar a la “y”. Por ejemplo, le damos el valor de x=30, la “y” tendría que dar 340.
Desgraciadamente, 383 es distinto a 340.
Por lo tanto, de momento podemos determinar que la ecuación
– es más exacta que
aunque el error de esta ultima ecuación tampoco sea exageradamente elevado.
Estudio de la gráfica de corrección horaria 17
2.4 Intervalo 4 [244, 358]
El intervalo considerado es el siguiente, los valores son los de la tabla que se muestra a continuación:
y = 0,0013x3 + 0,0877x2 - 26,98x + 73,189 R² = 0,9946
-1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200
244 248 252 256 260 264 268 272 276 280 284 288 292 296 300 304 308 312 316 320 324 328 332 336 340 344 348 352 356
Segundos
Dias
Estudio de la gráfica de corrección horaria 18 Como se puede observar en esta tabla, los resultados han empezado a dar un error mayor en los extremos, pero a medida que nos acercábamos a los centros, el valor era más exacto y el valor menor.
Excel nos da la siguiente formula:
En este caso, como más pequeño era el grado, más exacto me daba. Por lo tanto, con una ecuación de grado 3, es la ecuación con la que obtengo unos resultados más exactos.
El promedio del error es igual a 28,53 pero si excluimos 5 valores al inicio y 5 valores al final nos da un error de esos 15 últimos valores, entonces nos dará un valor de 1,611.
Si intentamos encontrar una ecuación a esta grafica analíticamente, lo podemos hacer con esta ecuación:
Para este tramo, esta ecuación queda así:
Para encontrar la K se iguala la x a 0 y con la y se obtiene el valor de k.
Para encontrar la q, se busca la derivada cuando x marca un máximo y entonces se iguala a 0. En este tramo, el máximo esta en el punto 64.
Una vez tenemos la q, falta encontrar la p. Para ello substituimos la “x” y la “y” en la ecuación inicial por unos puntos conocidos, en este tramo es el P(10, -184).
Estudio de la gráfica de corrección horaria 19
Una vez tenemos la “p”, la “q” y la “k”, solo falta comprobar si funciona. Para ello, le damos un valor a la “x” para encontrar a la “y”. Por ejemplo, le damos el valor de x=20, la “y” tendría que dar -397.
Desgraciadamente, -384,12 es distinto a -397.
Por lo tanto, de momento podemos determinar que la ecuación
es más exacta que
–
aunque el error de esta ultima ecuación es menos elevada si se quitan los 5 números de cada extremo.
Estudio de la gráfica de corrección horaria 20
2.5 Intervalo 5 [359, 365]
El intervalo considerado es el siguiente, los valores son los de la tabla que se muestra a continuación
Posición en el gráfico Días Corrección horaria ('')
1
359 10
2
360 39
3
361 69
4
362 98
5
363 127
6
364 156
7
365 185
Como se puede observar en esta tabla, los resultados son muy parecidos, para no decir exactos.
Excel nos da la siguiente formula:
El promedio del error es igual a 0,09215
Si intentamos encontrar una ecuación a esta grafica analíticamente, lo podemos hacer con esta ecuación:
Para este tramo, esta ecuación queda así:
y = -0,0595x
2+ 29,655x - 19,714 R² = 1
20 0 40 60 100 80 120 140 160 180 200
359 360 361 362 363 364 365
Segundos
Días
Estudio de la gráfica de corrección horaria 21 Para encontrar la n se iguala la x a 0 y con la y se obtiene el valor de n.
Para encontrar la m se substituye la x y la y per unos valores conocidos, en este caso p(1,10).
Una vez tenemos la “n” y la “m”, solo falta comprobar si funciona. Para ello, le damos un valor a la “x” para encontrar a la “y”. Por ejemplo, le damos el valor de x=5, la “y” tendría que dar 127.
Desgraciadamente, 122 es distinto a 127.
Por lo tanto, de momento podemos determinar que la ecuación es más exacta que “ aunque el error de esta ultima ecuación también es bajo.
Estudio de la gráfica de corrección horaria 22
3. Conclusiones
Existen varias formas de encontrar una ecuación para este gráfico, pero de las que he hecho yo, obtenemos las siguientes
1er tramo:
.
2º tramo:
3er tramo: –
4º tramo:
5º tramo: y = -0,0595x2 + 29,655x - 19,714
El problema existente es que ninguna ecuación es al 100 por 100 exacta ya que para determinar la corrección horaria solar hay un factor que interviene que es la posición solar. Pero dentro de lo ocurrido los resultados son muy parecidos y se pueden dar por buenos.
Tengo un conflicto ya que mi objetivo principal era permitir a cualquier persona poder calcular los segundos que le tenia que añadir o restar a la hora que le daba el reloj solar para saber la hora real. Para ello, tendría que existir una ecuación para todo el grafico y no 5 ecuaciones, una para cada tramo. Porque como es lógico, no podemos pretender que una persona se aprenda 5 ecuaciones, y encima ecuaciones complicadas de recordar. Desafortunadamente, no tengo conocimientos suficientes para poder hallar una sola ecuación para todo el gráfico. Sin embargo, teniendo en cuenta mis conocimientos, considero que mi trabajo ha sido todo un éxito.
