Definición: Extremos de una función de dos variables.

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Definici´on: Extremos de una funci´on de dos vari- ables.

Sean f : D ⊆ R² −→ R una funci´on de dos variables y (a, b) un punto en el interior de D.

Se dice que f tiene en (a, b) un m´aximo relativo (local), cuando, para todo (x, y) en las cercan´ıas de (a, b), se cumple: f (x, y) ≤ f (a, b)

Gr´afico de z = _x2+y^−3y₂₊₁

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Analogamente, se dice que f tiene en (a, b) un m´ınimo relativo (local), cuando, para to- do (x, y) en las cercan´ıas de (a, b), se cumple:

f (x, y) ≥ f (a, b)

Gr´afico de z = _x2+y^−3y₂₊₁

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Observaciones.

En general, se usa la palabra extremo para referirse a un m´axi- mo o un m´ınimo.

Si las desigualdades inclu´ıdas en la definici´on anterior se cumplen para todos los puntos (x, y) del dominio D de f , entonces los extremos reciben el nombre de m´aximo absoluto y m´ınimo absoluto, respectivamente.

Teorema: Criterio de la derivadas parciales para extremos.

Si f tiene un extremo relativo en (a, b), y f tiene derivadas de primer orden en (a, b), entonces:

f_x(a, b) = 0 y f_y(a, b) = 0

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Observaciones:

Es posible que en un punto, ambas derivadas parciales de una funci´on sean iguales a 0, y que en dicho punto la funci´on no presente un extremo. Tales puntos reciben el nombre de pun- tos sillas. Un ejemplo de esta situaci´on lo presenta la funci´on f (x, y) = x² − y² (cuya gr´afica recibe el nombre de silla de montar) en el punto (0, 0).

Gr´afico de z = x² − y²

Es posible que una funci´on de dos variables, tenga en cierto punto un extremo, y en dicho punto f no tenga derivadas parciales, por ejemplo la siguiente funci´on tiene un m´aximo en (0, 0), y en este punto dicha funci´on no tiene derivadas parciales.

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Gr´afico de z = 1 − (x² + y²)¹³

Un punto (a, b) del dominio de una funci´on se dice punto cr´ıtico de f , cuando

• f_x(a, b) = 0 y f_y(a, b) = 0, o bien

• No existe f_x(a, b) o no existe f_y(a, b)

Los puntos cr´ıticos de una funci´on, son los puntos donde la funci´on puede presentar sus extremos.

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Teorema: Criterio para analizar puntos cr´ıticos.

Sea z = f (x, y) una funci´on con segundas derivadas parciales continuas en un punto cr´ıtico (a, b) para el cual f_x(a, b) = 0 y f_y(a, b) = 0.

Sea

D = D(x, y) = f_xx · f_yy − (f_xy)²

1. Si D(a, b) > 0 y f_xx(a, b) > 0, entonces f tiene en (a, b) un m´ınimo relativo igual a f (a, b).

2. Si D(a, b) > 0 y f_xx(a, b) < 0, entonces f tiene en (a, b) un m´aximo relativo igual a f (a, b).

3. Si D(a, b) < 0, entonces f no tiene extremo en (a, b). En este caso, f tiene en (a, b) un punto silla.

4. Si D(a, b) = 0, este criterio no entrega infor- maci´on.

Nota: En caso que el dominio de una funci´on continua f sea acotado y cerrado, f tiene extremos absolutos en D. En tal caso, sus extremos absolutos los puede alcanzar en puntos del interior de D o puntos de la frontera de D.

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Pasos a seguir para estudiar los extremos relativos de una funci´on z = f (x, y)

Paso 1: Encontrar las derivadas parciales de z = f (x, y): z_x y z_y.

Paso 2: Buscar los puntos cr´ıticos de f . 1. Resolver el sistema:

z_x = 0 z_y = 0

2. Buscar puntos donde no exista z_x o z_y. Paso 3: An´alisis de los puntos cr´ıticos.

Sea (a, b) un punto cr´ıtico donde ambas derivadas parciales se anulan.

1. Calcular z_xx, z_yy y z_xy

2. Formar D = D(x, y) = z_xx · z_yy − (z_xy)² 3. Calcular D(a, b):

a) Si D(a, b) > 0 y f_xx(a, b) > 0, entonces f tiene en (a, b) un m´ınimo relativo igual a f (a, b).

b) Si D(a, b) > 0 y f_xx(a, b) < 0, entonces f tiene en (a, b)