SELECTIVIDAD. JUNIO-2015 OPCIÓN B
CUESTIÓN B1
En un edificio se quieren colocar, al menos, 20 máquinas expendedoras entre las de bebidas calientes y las de bebidas frías. Hay disponibles 12 máquinas de bebidas calientes y 40 de bebidas frías. Se pretende que el número de expendedoras de bebidas calientes no sea superior a una tercera parte del de bebidas frías y que, por lo menos, una quinta parte del total de máquinas que se coloquen sean de bebidas calientes.
Cumpliendo las condiciones anteriores, ¿qué combinación de máquinas de cada tipo hace que la diferencia del número de máquinas de bebidas frías menos el de bebidas calientes colocadas sea mayor?
SOLUCIÓN:
Variables:
Llamaremos:
x = número de máquinas expendedoras de bebidas calientes.
y = número de máquinas expendedoras de bebidas frías.
Restricciones:
Se quieren colocar al menos 20 máquinas expendedoras en total:
x + y ≥ 20
hay disponibles 12 máquinas de bebidas calientes
x ≤ 12
y 40 de bebidas frías
y ≤ 40
el número de expendedoras de bebidas calientes no sea superior a una tercera parte del de bebidas frías
y 3x y
3
x ≤ 1 ⇒ ≤
por lo menos, una quinta parte del total de máquinas que se coloquen sean de bebidas calientes
(x y) 4x y
5
x ≥ 1 + ⇒ ≥
Rectas:
Las rectas que delimitan las regiones del plano definidas por cada restricción son:
x + y = 20
x = 12
y = 40
3x = y
4x = y
Función objetivo:
diferencia del número de máquinas de bebidas frías menos el de bebidas calientes colocadas
x y ) y , x (
f = −
Pendiente de las rectas de nivel:
1
m = (son todas paralelas a la bisectriz del primer y tercer cuadrante)
Representación gráfica:
Según vamos desplazando las rectas de nivel, se observa que el máximo estará en el vértice A de la región factible.
Vértices y valor de la función objetivo:
Vértice A: Se localiza en la intersección de las rectas y 10
x 40 x
y 4 x 4
40
y ⇒ = ⇒ =
=
= ; A
(
10,40)
(
10,40)
40 10 30f = − =
Vértice B: Se localiza en la intersección de las rectas y
=
= 12 x
40
y ; B
(
12,40)
(
12,40)
40 12 28f = − =
Vértice C: Se localiza en la intersección de las rectas y 36
y y x 3
12
x ⇒ =
=
= ; C
(
12,36)
(
12,36)
36 12 24f = − =
Vértice D: Se localiza en la intersección de las rectas y 15
y 5 x 20 x
4 20 y
x ⇒ = ⇒ = ⇒ =
+ =
; D
(
5,15)
Vértice E: Se localiza en la intersección de las rectas y 16
y 4 x 20 x
y 5 x 4
20 y
x ⇒ = ⇒ = ⇒ =
=
=
+ ; E
(
4,16)
(
4,16)
16 4 12f = − =
Obviamente, como cabía esperar, el máximo se localiza en el vértice A, por tanto, se deberían instalar 10 máquinas expendedoras de bebidas calientes y 40 de bebidas frías.
CUESTIÓN B2
Dada la función f(x) = x4 + ax3 + bx + c, donde a, b y c son números reales, hallar los valores de a, b y c para que la función cumpla las siguientes condiciones:
a) pase por el origen de coordenadas, b) su derivada se anule en x=0 y
c) la pendiente de la tangente a su gráfica en x=1 valga 2 SOLUCIÓN:
a) Si pasa por el origen, f(0) = 0 ⇒ c = 0 la función queda f(x) = x4 + ax3 + bx b) su derivada se anula en x=0:
0 b 0 ) 0 ( ' f b ax 3 x 4 ) x ( '
f = 3 + 2 + ⇒ = ⇒ =
con esto la función es f(x) = x4 + ax3
c) la pendiente de la tangente a su gráfica en x=1 vale 2, pero dicha pendiente coincide con la derivada de la función en la abscisa x=1:
3 a 2
2 a 3 4 2 ) 1 ( ' f ax
3 x 4 ) x ( '
f = 3 + 2 ⇒ = ⇒ + = ⇒ = −
Así pues, la función que buscamos es 4 x3 3 x 2 ) x (
f = −
CUESTIÓN B3
Dadas las funciones f(x) = x3 − 2x + 1 y g(x) = ex cuyas gráficas aparecen en la siguiente figura
Halla el área encerrada por las dos gráficas y las rectas x = -1 y x = 0 SOLUCIÓN:
La región sombreada es la que debemos medir.
Como en esta región, la función f(x) está por encima de g(x),
( ) ( )
( )
2
1 1
1
1 0
0
1 x 2
4
0
1
x 3
0
1
u e 4
4 e 3 e 1 4 3
e 1 4 e 1
2 4 1 1 e
2 4 1 1
e 1 1 4 e 1
0 e
x x 4 x
dx e 1 x 2 x dx
) x ( g ) x ( f A
= + +
=
= +
+
−
= +
+
−
−
=
− −
−
−
=
=
− − −
−
−
=
− + −
=
=
− +
−
=
−
=
−
−
−
−
−
−
−
∫ ∫
CUESTIÓN B4
Se lanzan dos veces consecutivas un dado equilibrado con las caras numeradas del 1 al 6.
a) Determinar el número de resultados de este experimento aleatorio.
b) Sea A el suceso "en los dos lanzamientos se obtiene un número mayor que 4", y B el suceso "en los dos lanzamientos se obtiene un número par".
Calcular la probabilidad de A y la de B.
c) ¿Son A y B independientes?.
SOLUCIÓN:
a) Las muestras están formadas por parejas de valores comprendidos entre 1 y 6, ambos inclusive, con las siguientes características:
- Dos muestras se pueden diferenciar en el orden de colocación de sus elementos
- Dos muestras se pueden diferenciar en alguno de sus elementos.
- Las muestras pueden tener sus elementos repetidos 36
6 VR
n = 62 = 2 = .
b) Construyamos el espacio muestral:
1 2 3 4 5 6 1 {1,1} {1,2} {1,3} {1,4} {1,5} {1,6}
2 {2,1} {2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6}
3 {3,1} {3,2} {3,3} {3,4} {3,5} {3,6}
4 {4,1} {4,2} {4,3} {4,4} {4,5} {4,6}
5 {5,1} {5,2} {5,3} {5,4} {5,5} {5,6}
6 {6,1} {6,2} {6,3} {6,4} {6,5} {6,6}
Sean:
A = "en los dos lanzamientos se obtiene un número mayor que 4"
Vemos que hay 9 muestras favorables al suceso A,
36 ) 9 A ( P = B="en los dos lanzamientos se obtiene un número par"
En este caso, hay 4 muestras favorables al suceso B,
36 ) 4 B ( P =
Además, hay una única muestra favorable al suceso A y al B, es decir, al suceso A ∩ B
c) Para determinar si son o no dependientes debemos comprobar la veracidad de la igualdad P(A ∩ B) = P(A)⋅ P(B)
36 1 36
36 36
4 36 ) 9 B ( P ) A (
P ⋅ = ⋅ = 2 =
36 ) 1 B A (
P ∩ =
Concluyendo, se cumple la igualdad y por tanto, son independientes.
CUESTIÓN B5
La altura de los edificios de una ciudad sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 20 m. Calcular el tamaño mínimo que ha de tener una muestra aleatoria de dichos edificios para que el error cometido al estimar la altura media sea inferior a 2 m, con un nivel de confianza del 97%.
SOLUCIÓN:
Si la distribución poblacional es normal, la distribución en el muestreo de la media también es normal, y sigue la distribución
µ σ
= n
, N X
Calculemos los valores críticos correspondientes a un nivel de confianza del 97%, considerando Z = N
( )
0,1 : =
≤ −
−
≤
=
− ≤ ≤
= α
− α α α α
2 2
2 2
z z
P z
z P z
z z P 1
=
≥
−
≤
= α α
2 2
z z P z
z P
1 z
z P 2 z
z P 1 z
z P
2 2
2
−
≤
⋅
=
≤
−
−
≤
= α α α
despejando,
( )
985 , 2 0
97 , 1 2
1 z 1
z P
2
= + =
α
= −
≤ α
Buscamos en la tabla de la normal:
17 , 2 z
985 , 0 ) 17 , 2 z ( P
2
=
= ⇒
≤ α
Si pretendemos que el error máximo sea de 2 m:
2 z n z
2 n 2
n z
E 2
2 2
σ
⋅
≥ σ ⇒
⋅
≥
⋅
≤ ⇒
⋅ σ
=
α α
α
elevando al cuadrado ambos miembros:
(
21,7)
470,89 n 4712 20 17 , 2 2
z
n 2
2 2
2 = = ⇒ =
⋅
=
⋅ σ
≥ α
Por tanto, el tamaño de la muestra a seleccionar deberá ser de 471 edificios.
