Resistencia y Temperatura. Coeficiente térmico de la resistividad

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Asignatura: Laboratorio Avanzado II Walter Josu´ e Fuentes Cu´ ellar

20111000443

Universidad Nacional Aut´ onoma de Honduras Facultad de Ciencias

Escuela de F´ısica

´ Indice

I Introducci´on . . . 3

II Objetivos. . . 3

III Marco Te´orico . . . 3

IV Equipo y materiales . . . 4

V Procedimiento Experimental . . . 4

VI Tabla de datos . . . 5

VII Procesamiento de datos experimentales . . . 6

VIII Discusi´on de Resultados . . . 8

IX Conclusiones . . . 8

X Referencias . . . 8

XI Anexos . . . 8

Walter Josu´e Fuentes Cu´ellar 1

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Resumen

En el siguiente informe se presenta los pasos y c´alculos realizados para medir el coeficiente de temperatura de la resistividad del cobre, obteniendo un valor de α = (4,32 ± 0,04) × 10−5C−1, el resultado est´a dentro del rango de valores tabulados, y la precisi´on del montaje fue de 0,867 %.

Haciendo el an´alisis del fen´omeno del flujo de corriente y los factores que influyen en est´e, se puede ver la dependencia de la resistencia con respecto a la temperatura, y de la primera con el valor de la resistividad; es por ello que como no se puede medir al resistividad de forma directa, hacemos uso de la resistencia como medici´on directa variando la temperatura. Este registro de datos permiti´o ver la tendencia lineal que se presenta entre estas dos cantidades.

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I. Introducci´ on

M

uchas de las actividades pr´acticas con fines de ingenier´ıa se hacen usando criterios de costos, pero se combinan con especif´ıcaciones t´ecnicas para el equipo y materiales ha utilizar;

para ello se hacen evaluaciones previas sobre como podr´ıan funcionar y que consideraciones se deben manejar. Si hablamos de utilizaci´on de cableado el´ectrico, por ejemplo, pudiesemos mencionar el uso del cobre para dejar fluir una corriente el´ectrica. Si damos un vistazo a nivel microscopico de esto, observamos que aparecen conceptos tales como el campo el´ectrico y densi- dad de corriente.

La relaci´on que existe entre estos, nos brinda un parametro llamado resistividad, el cu´al presenta variaciones en cuanto a la temperatura debido a los movimientos que presentan los electrones en un respectivo flujo a traves de un medio. Este valor de resistividad permite entonces caracte- rizar la oposici´on a dicho flujo, pero cuando se realizan mediciones lo que podemos cuantificar es el valor de la resistencia el´ectrica, valor que depende de la resistividad y de la geometr´ıa del s´olido por la cual fluyen los electrones. La dependecia con respecto a la temperatura que posee la resistividad es arrastrada al valor de la resistencia el´ectrica y si aproximamos el ?alculo de estos valores encontramos que hay un factor t´ermico que permite conocer la variaci´on al au- mentar o disminuir la temperatura.

En las instalaciones el´ectricas (por mencionar alg´un ejemplo), se usa como medio conductor de corriente el cobre. Por eso trataremos de aproximar el valor del coeficiente t´ermico de la resistividad del cobre para presentar la variaci´on de la resistencia en funci´on de la temperatura.

Estos datos se presentan en tablas, pero se pre- tende que se puedan estimar mediante alguna experiencia de laboratorio y comprobar como se da la variaci´on de la resistencia en funci´on de la temperatura, usando el cobre por el bajo costo que presenta a nivel comercial, raz´on por la cual es muy utilizado.

II. Objetivos

Aproximar el valor del coeficiente t´ermico de resistividad del cobre, mediante la va- riaci´on de temperatura de un alambre de cobre.

Comprobar la tendencia lineal de la resis- tencia en funci´on de la temperatura, pero bajo un intervalo de valores para est´a.

Conocer la relaci´on de la resistencia y la resistividad, plantenado est´a ´ultima como medio para caracterizar un conductor.

III. Marco Te´ orico

L

a resistividad ρ esta definida como la rela- ci´on de las magnitudes del campo el´ectrico y la densidad de corriente. Est´a se mode en uni- dades de Ω ˙m en el SI.

El rec´ıproco de la resistividad es la conductivi- dad. En funci´on de estos par´ametros podemos hacer una clasificaci´on de los medios, en con- ductores, aislantes y semiconductores. Incluso la conductividad es un an´alogo el´ectrico de la conductividad t´ermica. Debido a ello observa- mos que la resistividad var´ıa en funci´on de la temperatura. Para el caso de los metales y la mayor´ıa de las aleaciones este valor aumenta al presentarse una elevaci´on de temperatura. En los metales se presenta esta situaci´on por el mo- vimiento vibratorio que se da en los iones del conductor aumentando la amplitud, lo que da m´as probabilidad para que el el´ectron que fluye colisione con unos de estos iones, como conse- cuencia se reduce la corriente.

Una buena aproximaci´on para ver esta depen- dencia es:

ρ(T ) = ρo[1 + α(T − To)] (1) Donde

ρo: Resistividad a una temperatura de referen- cia To

ρ(T ) : Resistividad a la temperatura T

α : Coeficiente de temperatura de la resistivi- dad.

Nuestro objetivo es encontrar el valor de α, pe- ro en la pr´actica es m´as f´acil determinar la re- sistencia el´ectrica de un alambre que medir la

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resistividad que este posee a cierta temperatura.

En palabras sencillas, la resistencia el´ectrica es la oposici´on al flujo de corriente de el´ectrica en un medio.

Suponiendo que tenemos un conductor en forma de alambre de secci´on transversal uniforme de

´

area A y longitud L. A este le aplicamos una diferencia de potencial en los extremos; comen- zar´a a fluir una corriente el´ectrica del extremo con mayor potencial al de menor.

Como V = EL, I = J A, tenemos que:

E

J = ρ (2)

V L

A

I = ρ (3)

V = ρL

A I (4)

A la raz´on de la diferencia de potencial y el valor de la corriente el´ectrica, lo llamamos resistencia el´ectrica:

R = V

I (5)

Al comparar la ecuaci´on (4) y (5), obtenemos que:

R = ρL

A (6)

Basado en esto, vemos que para considerar un conductor es necesario tomar en cuenta el ´area de su secci´on transversal, la longitud y el valor de resistividad (o conductividad) que este posea.

Como R depende de ρ, podemos concluir que R tambien depende de la temperatura:

R(T ) = Ro[1 + α(T − To)] (7) Siendo α el mismo coeficiente de temperatura de la resistividad.

Si nosotros variamos la temperatura para un alambre de cobre, conociendo sus dimensiones, podemos contabilizar los cambios en la resis- tencia el´ectrica, despreciando dilataciones en el material usado (se considera que se mantendr´a constante A y L).

De esta forma podemos en la pr´actica obtener α mediante:

∆R = Roα∆T (8)

α = ∆R

Ro∆T (9)

IV. Equipo y materiales

Muestra de alambre de cobre en carrete con puntas de ca´ıman

Term´ometro

Mult´ımetro

Soporte Universal

Estufa

Beaker

Agua

Barra

Pinzas de doble nuez

V. Procedimiento Experimental

P

ara encontrar el coeficiente de temperatura consideraremos tratar de bajar la tempe- ratura lo m´aximo que sea posible para obtener m´as datos y generar una tendencia mejor apro- ximada.

La descripci´on del montaje es el siguiente: Co- locamos en el soporte la pinza, la cual llevare la barra de donde se sujetar´a el term´ometro. El carrete con la muestra de cobre se introduce en

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Figura 1: Montaje experimental utilizado en la pr´actica.

el beaker y agregamos agua hasta cubrirlo;

procurar que no sea tanta agua, con el fin de poder aumentar la temperatura un poco m´as rapido. Para iniciar las mediciones colocar hielo dentro del beaker y medir la temperatura ini- cial. Luego conectar las puntas de la muestra al mult´ımetro y medir la resistencia (est´e sera nuestro dato inicial).

Luego con el mult´ımetro conectado, empezar a subir la temperatura; se recomienda apagar el mut´ımetro cuando no se este utilizando. Al efectuarse un cambio en la temperatura, lo cual se observar´a en el term´ometro que ya esta sujeto e introducido en el sistema, medir el valor de la

resistencia. Para el registro de esos datos se debe considerar apagar la estufa cuando se haga la lectura de la resistencia, y hacer los cambios de temperatura de forma lenta (esto asegurar´a que la temperatura se mantiene aproximadamente constante cuando se mida la resistencia).

Se tabulan los datos, trantando de contabilizar los valores de resistencia cada 4 o 5. Con las cantidades registradas se procedera a efectuar una regresi´on lineal, la cual en nuestro se gener´o usando Gnuplot. Considerar´a la incertidumbre del mult´ımetro que es de 1Ω y la del term´ometro 1.

VI. Tabla de datos

Cuadro 1: Tabla

Temperatura y Resistencia Temperatura () Resistencia (Ω)

6 71.5

12 72.5

18 74.7

22 76.2

29 77.6

35 79.5

40 80.7

44 82.2

48 83.6

53 85.0

60 87.2

64 88.3

68 89.9

72 91.2

76 92.7

80 93.8

84 94.9

88 96.3

91 97.3

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VII. Procesamiento de datos experimentales

Utilizando la regresi´on lineal para ver el comportamiento de los datos registrados obtenemos que:

Figura 2: Gr´afica de la resistencia en funci´on de la temperatura.

Este gr´afico fue generado usando Gnuplot, y parte de los comandos y del resultado obtenido se visualizaba en la terminal del computador as´ı:

Figura 3: Ejecuci´on en Gnuplot

(a) Comandos escritos en Gnuplot para la primera regresi´on lineal.

(b) Resultados de la ejecuci´on del programa

La ecuaci´on generada a partir de este ajuste es:

R(T ) = (0,308 ± 0,003)T + (68,9 ± 0,2)

La precesi´on de nuestro montaje basado en el tratamiento de errores es de 0,8778 %.

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Ahora haciendo un arreglo a los datos tomados para calcular el coeficiente de temperatura de la resistividad del cobre. Lo que hacemos es dividir cada dato de resistencia entre la resistencia inicial de nuestra experiencia. Usando la ecuaci´on (9) vemos que la pendiente de esta gr´afica sera dicho coeficiente. La forma de generarlo, igual que la anterior, usando Gnuplot. Y lo que obtenemos es:

Figura 4: Resultados de la ejecuci´on de Gnuplot.

Figura 5: Gr´afica de R/Ri en funci´on de la temperatura.

Del resultado del proceso tenemos que:

α = (4,32 ± 0,04) × 10−5C−1 (10)

Y el valor de la precis´on es de 0,867 %.

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VIII. Discusi´ on de Resultados

La primera regresi´on nos genera una ecua- ci´on con la cu´al podemos obtener el valor de la resistencia m´as esperada para cierto valor de temperatura.

El error porcentual de nuestro valor es de 0,867 %, y la comparaci´on con un dato tabu- lado (α = 0,00393C−1)1 nos presenta un 9,92 % de error con respecto al dato te´orico. Para nues- tro rango de temperatura, se obtiene un buen resultado.

Es necesario aclarar la importancia que tiene establecer un rango de valores de temperatu- ra donde esta tendencia lineal es acertada. Por ejemplo, a temperaturas m´as bajas es pr´oximo a un comportamiento c´ubico; podr´ıa extenderse la investigaci´on a casos a los cuales se trabaje con temperaturas por debajo del 0C, usando nitrog´eno l´ıquido para hacer el proceso del des- censo de temperatura. Probablemente aparte del error personal al efectuar las mediciones, se introduj´o incertidumbres debido al cambio no tan preciso de la temperatura, las variaciones de la lectura de la resistencia e incluso de las conexiones con el mult´ımetro por la influencia del ambiente.

A pesar de la aproximaci´on realizada en nuestro modelamiento matem´atico se gener´o un valor num´erico en el orden de magnitud de los datos tabulados.

IX. Conclusiones

El problema planteado era poder determinar el coeficiente de temperatura de la resistividad de una muestra de cobre, lo cual se llev´o acabo satisfactoriamente, generando un valor dentro del orden de magnitud de los datos ya tabulados.

Para la regi´on ´ohmica se da una tendencia lineal entre la resistencia y la temperatura, motivo por el cual fue posible el c´alculo de nuestra inc´ogni- ta.

Con el an´alisis microsc´opico hecho sobre el alam- bre, se plante´o la relaci´on entre resistividad y resistencia, conociendo la proporcionalidad di- recta que esta ´ultima tiene con respecto a la

resistividad y a su vez las variaciones que se dan al dar un cambio en la temperatura, pero aclarando que la linealidad de est´a proporci´on se cumple en cierta regi´on de valores de tempe- ratura.

X. Referencias

1. Serway,R & Jewett,J (2008) F´ısica para ciencias e ingenier´ıa (Vol. 2) (7.a ed.).

Distrito Federal: Cengage Learning Edito- res.

2. Young, H. & Freedman, R. (2009) F´ısica Universitaria con f´ısica moderna (Vol. 2) (12.a ed.). M´exico: Pearson Educaci´on 3. Suazo, M. (1994).Variaci´on de la resisten-

cia el´ectrica con la temperatura. Paradig- ma(3) 14-18

XI. Anexos

1Referencia: Dato tomado de la tabla 25.2, pag. 852. del libro Young, H. & Freedman, R. (2009) F´ısica Universitaria con f´ısica moderna (Vol. 2) (12.a ed.).

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Referencias

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