ANALISIS BAYESIANO APLICADO A LA PROYECCION DE SINIESTRALIDAD DEL SEGURO OBLIGATORIO DE ACCIDENTES DE TRANSITO (SOAT).

ANALISIS BAYESIANO APLICADO A LA PROYECCION DE SINIESTRALIDAD DEL SEGURO OBLIGATORIO DE

ACCIDENTES DE TRANSITO (SOAT).

JEISSON JAVIER BOHORQUEZ BOHORQUEZ

Trabajo de Grado para Optar el Titulo de Matemático

Asesor

Constanza Quintero Guzmán

FUNDACION UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ FACULTAD DE MATEMATICAS

BOGOTA D.C.

CONTENIDO

Página

INTRODUCCION 5

1. ANALISIS BAYESIANO. UNA INTRODUCCION 6 1.1. Teorema de Bayes………6

1.2. Selección de la distribución a priori……….10 1.2.1. Determinación de la distribución a priori

subjetiva ..…….………10

1.2.2. Determinación de la distribución A priori no informativa….…..…...11

2. EL ANALISIS BAYESIANO EN LA PROYECCION DE SINIESTRALIDAD (CASO DISCRETO) 15

2.1. Metodología Bayesiana para variables discretas……..15

3. APLICACIÓN DEL ANALISIS BAYESIANO EN LA

PROYECCION DE SIESTRALIDAD 23 3.1. Aplicación con datos reales de una aseguradora……..24 3.1.1. Cálculo de proporciones……….26 3.1.2. Cálculo de proyección de reclamaciones……….29 3.1.3. Cálculo del costo total de las reclamaciones……….37

CONCLUSIONES 38

RESUMEN

Este trabajo atiende a una necesidad de las compañías aseguradoras como es calcular la proyección de siniestralidad en cada uno de sus ramos, es por esto que se eligió el análisis Bayesiano como modelo matemático para brindar una solución a este problema ya que se puede utilizar la información existente e ir actualizándose la proyección a medida que se va obteniendo nueva información. Por lo cual en este trabajo se hace una breve introducción al análisis Bayesiano, se muestra una metodología Bayesiana para la proyección de siniestralidad para casos discretos y se realiza una aplicación real de un caso discreto de una compañía aseguradora como es la proyección de siniestralidad para el seguro obligatorio de accidentes de transito (SOAT).

This work takes care of a necessity of the insuring companies like is to

calculate the projection of sinisterness in each one of its branches, is

by which the Bayesiano analysis was chosen like mathematical model

to offer a solution to this problem since is possible to be used the

existing information and it are updated the information themselves as

it is obtained new data. Thus in this work a brief introduction to the

Bayesiano analysis is made, is a Bayesiana methodology for the

projection of sinisterness for discreet cases and a real application of a

discreet case of an insuring company is made as it is the projection of

sinisterness for the obligatory insurance of accidents of I journey

(SOAT).

INTRODUCCION

Existe una necesidad evidente en las compañías aseguradoras en cuanto a conocer formas de calcular la proyección de siniestralidad en cada uno de sus ramos, para así presupuestar las obligaciones adquiridas por sus clientes.

La proyección de siniestralidad es uno de los problemas más comunes e importantes en el negocio de los seguros, campo que cada vez toma más fuerza en nuestro país donde cada día se adquiere más la cultura del seguro, donde el conocimiento matemático correlacionado con otras áreas tiene mucho valor y son el pilar principal del negocio;

pero a su vez un área poco trabajada en Colombia, por lo cual la

bibliografía sobre este tema es escasa. Motivo por el cual se hace

necesario aplicar un modelo matemático adecuado que nos brinde una

herramienta que se pueda utilizar en la solución de este tipo de

problemas. La inferencia por medio del análisis Bayesiano nos aporta

una herramienta muy importante como respuesta a esta necesidad.

CAPITULO UNO

ANALISIS BAYESIANO. UNA INTRODUCCION

1.1 TEOREMA DE BAYES

Teorema 1.1: Sea   , A, P     un espacio de probabilidad tal que B

n

B

B

₁

,

₂

,..., son una colección de eventos mutuamente disyuntos en A, satisfaciendo 

1





j

B y

j

P   B

j

^{ 0} para j=1,2,…,n.

Entonces para cualquier E  A para el cual P   E > 0 tenemos que

     

   







_n

j

j j

K K k

B P B E P

B P B E E P

B P

1

   

 

   

 ^{E C} 

P B E P E C P

E B

P

_{j j}



Este teorema expresa un principio de actualización de P   B

j

, una vez se ha observado E .

Bayes probo una versión continua de este resultado, a saber: Dadas dos variables aleatorias X y Y, con distribución condicional de Y dado X es:

     

   

 

dy y g y x f

y g y x x f

y g

Mientras la estadística clásica hace inferencia sobre un parámetro  de una distribución, la estadística bayesiana la hace sobre una función del parámetro, distribución a posteriori, a partir de la información de la muestra y de una distribución  de  , llamada distribución a priori.

Se tiene, entonces:

     

   

 













 



d x

f x

x f ,

  ^{ x}

 Es proporcional a ^f   ^{x  .}

  x 

f , vista como función de  es la función de verosimilitud.

La función a posteriori se utiliza para hacer inferencia acerca de los

parámetros.

Ejemplo 1.1. Ver Gelman et.al (1994).

Este es un ejemplo simple de cálculo Bayesiano. No se trata de estimar un parámetro sino se trata del estado de un individuo.

El hombre tiene un cromosoma X y un cromosoma Y, la mujer tiene dos cromosomas X, cada cromosoma es heredado de uno de los padres. La hemofilia es una enfermedad que presenta un cromosoma X recesivo heredado, lo cual significa que si un hombre hereda el gen que causa la enfermedad en el cromosoma X, esta enfermo, mientras una mujer portadora del gen en solo uno de sus cromosomas X, no esta enferma. La enfermedad es generalmente mortal para las mujeres que heredan dos de tales genes, además es muy raro, puesto que la frecuencia de ocurrencia del gen es baja en poblaciones humanas.

Considere una mujer que tiene un hermano enfermo, o sea que su madre debe ser portadora del gen hemofilia con un gen “bueno” y uno

“malo”, entonces la mujer tiene una probabilidad de 0.5 de tener el gen. Sea  el estado de la mujer,  tiene dos valores:   1 , significa que la mujer es portadora del gen, o   0 . Significa que la mujer no es portadora del gen. Entonces distribución a priori para  es

   1    P   0   ¹ ₂

P .

Para actualizar esa información a priori, se usa la información del estado de enfermedad de los hijos de la mujer. Suponiendo que tiene dos hijos, ninguno de ellos enfermo.

Se nota y

_i

 1 para un hijo enfermo, y

_i

=0, denota un hijo no enfermo.

La función de verosimilitud es:

 y

₁

 0 , y

₂

 0   1      0 . 5 0 . 5  0 . 25 P

 y

1

 ^{0 ,} y

2

 ⁰   ⁰      ^{1 1}  ¹ P

Si la mujer es portadora, cada uno de sus hijos tendrá

1 2 de probabilidad de heredar el gen y estar enfermo, si no es portadora, existe una probabilidad muy cercana a 1 de que un hijo de ella no esté enfermo.

Aplicando el teorema de Bayes, se tiene:

     

 0 1   1   0 0   0 

1 1

0 0

1       





 



    



 

P y

P P

y P

P y

y P P

  

 ^{0 . 25}      ^{0 0 . . 25 5}  ^{0 1 . 5 . 0 0 . 5  0 . 20}



Supóngase ahora que la mujer tiene un tercer hijo que no está enfermo, usando la distribución a posteriori anterior como la nueva a priori, se obtiene:

    

      0 . 5 0 . 2 1 . 0 0 . 8 ^{0 . 111} 2

. 0 5 . 0 0

1 

 



 y P 

Si se supone que el tercer hijo esta enfermo, se tiene que la

probabilidad a posteriori de que la mujer sea portadora es 1.

1.2 SELECCIÓN DE LA DISTRIBUCION A PRIORI

En la práctica, en general, no se tiene información suficiente para determinar una distribución a priori, este es el punto difícil de la estadística bayesiana.

En algunos casos, se puede aplicar el concepto de frecuencia relativa, pero no siempre es posible. Surge entonces la probabilidad subjetiva, con una idea principal: que la probabilidad de un evento refleje la credibilidad personal en la ocurrencia del evento.

1.2.1 Determinación de la distribución a priori subjetiva.

Si  es discreto, se determina la probabilidad subjetiva de cada elemento de  . Si  es un intervalo de  o un subconjunto no acotado de  , el problema de construir     es considerablemente más difícil. Berger (1985) plantea varias formas de construir la a priori, entre otras:

Método del Histograma.

Si  es un intervalo de  , se divide en subintervalos y se determina

la probabilidad subjetiva de cada subintervalo. De este histograma se

obtiene una densidad de     .

Método de verosimilitud relativa.

Es de mayor uso cuando  es un subconjunto de  .

Consiste en comparar las verosimilitudes relativas de puntos de  , y a partir de ello describir la distribución a priori.

Ejemplo 1.2:

Si     0 , 1 . Se determinan las verosimilitudes relativas de los puntos del parámetro “más probables” y “menos probables”. Se supone que el punto

3 4

  es el más probable, y   0 es el menos probable. Por otra parte se estima que

3 4 es tres veces más probable que el valor de 0. A partir de esta información se pueden tener los valores para otros puntos como

1 4 ,

1 2 y 1. Por simplicidad todos los puntos son comparados con   0 . Se decidió que

1 2

  ,   1 es dos veces tan probable como   0 . Se asigna al punto base   0 el valor 1. Se tiene entonces: 1 si   0 , 2 si

1 2

  , o   1 , y 3 si 3 4

  .

La integral de esta a priori no es igual a 1, pero se puede encontrar una constante c para que c     se una densidad propia.

1.2.2. Determinación de la distribución a priori no informativa.

Es la a priori que no contiene información acerca del parámetro,

porque no se dispone de información.

Por ejemplo: en una prueba de hipótesis entre dos hipótesis simples, la a priori que da la probabilidad

1 2 a cada una de las hipótesis, es claramente no informativa.

Método de Jeffreys.

Para determinar una a priori no informativa, el método más usado es el de Jeffreys.

Se seleccionar        I   

¹²

como la a priori no informativa donde:

   

 



 

 



²

log

₂







_

 f X

E I

  

I Es la información de Fisher, es decir el elemento (i,j) dado por

   



 





 

 

 





 E

_

 f X

I

j i

ij

log

2

Si  es un vector de p componentes, Jeffreys sugiere el uso de

    ^det    

¹²

  I .

1.2.3. Familias conjugadas.

Si  es una familia de funciones de densidad f   x  (indicada por  ), una clase  de distribuciones a priori se dice familia conjugada para

 si     ^x está en la clase  de todas las f en  y  en  .

Interesan las familias a priori conjugadas naturales que surgen tomando  como conjunto de todas las densidades que tienen la misma forma funcional como la de verosimilitud. Las distribuciones a priori conjugadas tienen una ventaja práctica, además de una conveniencia computacional.

Ejemplo 1.3

La clase de una a priori Normal es una familia conjugada para la clase de densidades Normal, es decir, si X  ^N  ^{ ,}

²

 ^{y } se distribuye Normal, entonces     ^x también se distribuye Normal.

Se termina la introducción al análisis bayesiano mostrando un paralelo entre los enfoques de la estadística clásica y Bayesiana:

Clásica:

 Diseñada para procesar la información muestral.

 No hace previsión para incorporar formalmente información previa.

 Puede ser puramente inferencial (estimación) o mezclar conceptos de decisión (pruebas de hipótesis).

 Los procedimientos se construyen y evalúan mediante la distribución muestral que se basa en un concepto frecuentista de probabilidad.

 Las medidas de utilidad involucran consideraciones de largo plazo.

 No es posible evaluar la veracidad de una inferencia o decisión

particular.

Bayesiana:

 La información muestral se combina con información previa.

 Las inferencias tienen una interpretación probabilística.

 Es posible evaluar inferencias particulares.

 Es necesario expresar la información previa en términos de una distribución de probabilidad.

 Puede ser inferencial o con un enfoque de teoría de decisiones.

 Se obtienen las distribuciones exactas para muestras pequeñas de las cantidades utilizadas para llevar a cabo la inferencia.

 Requiere conceptos de probabilidad más generales que el

puramente frecuentista.

CAPITULO DOS

EL ANALISIS BAYESIANO EN LA PROYECCION DE SINIESTRALIDAD (CASO DISCRETO)

En este capitulo se presenta un procedimiento bayesiano para el caso de variables de tipo discreto, independientemente del número de observaciones, cuando la proporción del fenómeno que ocurre en cada subperiodo es estable a través del tiempo.

2.1 METODOLOGIA BAYESIANA PARA VARIABLES DISCRETAS

Sea  X

_it

; i  1 , 2 ,..., s ; t  1 , 2 ,..., m  una serie de tiempo discreta tal que:

1.

t

s

i

it

N

X 



1

.

2. La proporción p

_i

que representa X en relación con

_it

N es

_t



Dadas las observaciones hasta t  m e i  s el problema consiste en estimar N en cuanto se conoce

_m

X

_1m

. Al conocer X

_1m

y X

_2m

se deberá actualizar la estimación de N que se había obtenido solo con

_m

X

_1m

; y así sucesivamente hasta i  s  1 . En el momento que se tenga X

_im

para i  1 , 2 ,..., s ya no será necesaria la estimación de N y se

_m

recomienza el ciclo para t  m  1 . Sin perdida de generalidad, y solo para simplificar la exposición, se tomara s  12 , como si las observaciones fueran mensuales y lo que se desea estimar es la cifra anual; con datos trimestrales se tendría s  4 , etc.

También se supondrá m  3 .

Podemos suponer que X

it

 Po   

i

, i  1 , 2 ,..., 12 , ya que esta distribución mide el numero de eventos por unidad de tiempo.

Además se supondrán independientes. De aquí que, con



t t



t

X X

X  

₁

,...,

₁₂

, se tiene:

   

 

_t

N

t t N X t t

N

X

f n

n x n f

x f

t t t t

t

 ,

!

!

12

12 1 1 12

1

t n

i i

i i

it it i i

n x e x

t i

 

 









 



















 



^





   





 

 







¹²

12 12

1 12

1

!

!

i

i i i

i

t t

x n





Es decir,

 

_^









 

 ^{t t}



ⁱ



ⁱ



ⁱ

t

t N n MN n

X













_{1 2 12}

,..., ,

,

Donde MN indica una multinomial con parámetros n

_t

_y p

_i

, con







₁₂

1 i

i i

p

i



 ,

O bien:



_{1 1}

 

_{1 1 2 12}



1

N n MN n , p , p ,..., p

X   .

Esta es la distribución conjunta de las X , dado el total de cuentas del

_it

año t y las p ’s que se suponen iguales para cada mes, año con año.

_i

Por lo anterior sabemos que



_{1 1}

 

_{1 1 2 12}



1

N n MN n , p , p ,..., p

X  



_{2 2}

 

_{2 1 2 12}



2

N n MN n , p , p ,..., p

X  

Lo cual se puede simplificar si se define una nueva variable aleatoria

2 1

*

X X

X   , de donde



_{1 1 2 2}

 

_{1 2 1 2 12}



* N n ,N n MN n n ,p ,p ,..., p

X    

.

Nuestro interés radica en ir estimando n

₃

conforme se vayan conociendo las x

_i3

. Sabemos por las propiedades de la multinomial que si X

_t

N

_t

tiene la distribución X

1

 N

₁

 n

₁

  MN  n

₁

, p

₁

, p

₂

,..., p

₁₂

 , entonces



t k



k

i

t

it

n Bi n p p

X   





...

,

₁

1

Donde el parámetro desconocido es p

_k^*

 p

₁

 ...  p

_k

.

Como queremos predecir n

₃

, necesitamos obtener la función de densidad marginal posterior para N , la cual se obtiene de la

₃

siguiente manera.

  

1 2



^*

* 3

1 2 0

1

3

, , , , ,

3

3 ij N k ij k

N

n x n n f n p x n n dp

f ^ 

  

1 2



^*

*

* 3

1

0 *

, ,

3 k p k ij k

N

n p f p x n n dp

f



k



Para obtener la densidad anterior, obtendremos f  n

3

p

k^*

 y



1 2



*

x , n , n

p

f

_{k ij}

.

Para obtener f  n

3

p

k^*

 , la distribución posterior de n

₃

_dado p

_k^*

_,

Utilizamos la distribución a priori no informativa.

 

₃

¹

3

n n

f

_N



Ahora, nuestra verosimilitud, dados los k meses conocidos de t  m , es la binomial:

   ^  ^















 

^{  }





k

i i k

i i n x

k x

k k

i i

i

p p

x n x

n

L

^{* 1 3 * 3 1 3}

1 3 3 3

3

1 _.

Por lo que

  ^  ^  ^















 

^{  }





k

i i k

i

i n x

k x

k k

i i i

k

p p

x n x n

p n

f

^{* 1 3 * 3 1 3}

1 3 3

3 3

*

3

1 1

,

Una binomial negativa con parámetros x

^*

y p

_k^*

, donde 





^k

i

x

i

x

1 3

*

;

 significa “proporcional a”.

La expresión 

1 2



*

x , n , n

p

f

_{k ij}

es la distribución posterior para

*

p

k

dado que se conoce la información de los años pasados. Para obtenerla proponemos nuevamente una distribución previa, una no informativa, la de Jeffreys.

  p

k^*

^ p

k^*12

 ^{1 } p

k^*



^12

f

La verosimilitud esta dada por la binomial, que incorpora la

información de los años anteriores hasta el mes k,

 

^{ }

 

^{  }















 







 





 

  

2 1 1 2 1 2

1

1 *

* 2

1 1

2 1

*

1

^{j ij}

k

i

j ij

k

i

x n

n k x

k j

ij k

i ij

k

p p

x n n x

p L

Ahora se tiene la posterior:

 

^{2 * 12}



^*



¹²

1 1

2 1

*

2 1 1 2 1 2

1

1 ^{ }

1

^{   }

















 







 





 

  

^{j ij}

k i

j ij

k i

x n

n k x

k j

ij k

i ij

k

p p

x n n x

p f

En la que se puede observar que, dados los datos

 

 



    

    









2

, 1 2

1

²

1 1 2 1 2

1 1

*

j ij k

i j

ij k

i

k

Be x n n x

p .

A partir de

 

^{2 * 12}



^*



¹²

1 1

2 1

*

2 1 1 2 1 2

1

1 ^{ }

1

^{   }

















 







 





 

  

^{j ij}

k i

j ij

k i

x n

n k x

k j

ij k

i ij

k

p p

x n n x

p f

y

 



 

    

    









2

, 1 2

1

²

1 1 2 1 2

1 1

*

j ij k

i j

ij k

i

k

Be x n n x

p ,

La densidad marginal posterior de N esta dada por la Beta-Binomial

₃

negativa

    

1 2



^*

*

* 3 1

2 0 1

3

, ,

*

, ,

3

3 ij N k p k ij k

N

n x n n f n p f p x n n dp

f



k



Al llevar a cabo la integral se obtiene la función de densidad posterior, para N , siguiente:

₃

   

 ^  ^{ } _ ^{   } _ ^

 

_*

3 3

* 3

* 2

1 3

1

; , ,

3

,

x n

n B

x n x

n B n x n f

_{N ij}









Donde

2

2

1

1 1



  



 j

ij k

i

 x ,

2

2

1

1 1 2

1

  

  



 j

ij k

i

x n

 n

Y







^k

i

x

i

x

1 3

*

.

El estimador Bayesiano será la media posterior de esta distribución, para obtener este estimador es de gran importancia el uso de las siguientes identidades,

  ^{X E}  ^E  ^{X Y}  

E 

_Y

A partir de

  ^  ^  ^



















^{  }





k

i i k

i

i n x

k x

k k

i i i

k

p p

x n x n

p n

f

^{* 1 3 * 3 1 3}

1 3 3

3 3

*

3

1 1

,

Se obtiene

1 1 1

* *





 

 

 











k

p

p

E

k

Y

  

 ^{1 1}  ²  ²

1 2

* *











 

 



 















k

p

p

E

k

Aplicando las siguientes expresiones ^E   ^X  ^E

Y

 ^E  ^{X Y}   y

  X E  Var  X Y   Var  E  X Y  

Var 

_Y



_Y

se obtiene

  



 

 











^k



i i

it

x

x n n N E

1 3 2

1

3

1

, 1

, 





Este es nuestro estimador, y sustituyendo las definiciones de  y

 queda

  







 

 

 

 

 

 

 











^k



i i k

it

x n x n

x n n N E

1 2

2 1 3 2

1 3

1 , 1

,

A partir de la ecuación

  ^{X E}  ^Var  ^{X Y}   ^Var  ^E  ^{X Y}  

Var 

_Y



_Y

, utilizando

1 1 1

* *





 

 

 











k

p

p

E

k

Y   

 ^{1 1}  ²  ²

1 2

* *











 

 

 

















k

p

p

E

k

Obtenemos la varianza posterior para N

₃

    _



 



 



 





 

 



 





 



 



 





 

 

 





 

 1 1 1

1 1 2 1

1 1 1

,

,

₂ ^{* * * *}

1

3















 x x x x

x n n N

Var

_it

De manera que tenemos la media y varianza posteriores de la

distribución marginal de N , dados los totales

₃

n

₁

y n

₂

, así como las

observaciones mensuales de los años anteriores y los k primeros

meses del actual.

CAPITULO TRES

APLICACION DEL ANALISIS BAYESIANO EN LA PROYECCION DE SINIESTRALIDAD

En este capitulo se va a utilizar el modelo Bayesiano para variables de tipo discreto con el fin de brindar una solución eficiente al problema de las compañías aseguradoras como es la proyección de la siniestralidad del seguro obligatorio de accidentes de transito (SOAT).

3.1 APLICACION CON DATOS REALES DE UNA ASEGURADORA

Se conocen los datos reales de una compañía aseguradora (Tabla 1) los cuales corresponden a las reclamaciones realizadas mensualmente al seguro obligatorio de accidentes de transito de dicha aseguradora durante los años 2005, 2006 y los tres primeros meses del año 2007.

Estas reclamaciones se dividen en cinco amparos diferentes los cuales

son: Reclamaciones por gastos médicos, reclamaciones por gastos de

transporte, reclamaciones por indemnización en caso incapacidad,

reclamaciones por gastos funerarios y reclamaciones por indemnización en caso de muerte.

La compañía aseguradora necesita obtener la proyección del costo total de las reclamaciones por amparo al final del año 2007.

MES AMPAROS 2005 2006 2007

Med. 470 $ 195.012.417 583 $ 229.875.369 658 $ 259.859.375 Tran. 37 $ 3.613.256 43 $ 4.594.089 52 $ 5.236.985

Inc. 2 $ 4.536.235 2 $ 4.850.000 2 $ 4.969.058 Fun. 5 $ 9.580.126 8 $ 8.677.978 11 $ 23.288.100 Ene.

Muer. 9 $ 57.817.213 10 $ 73.997.018 12 $ 86.062.857 Med. 477 $ 199.703.717 518 $ 192.468.997 540 $ 211.357.891 Tran. 43 $ 3.999.797 50 $ 4.892.163 47 $ 4.469.830

Inc. 1 $ 3.775.046 2 $ 5.822.321 3 $ 6.400.000 Fun. 3 $ 4.133.327 8 $ 11.334.836 8 $ 16.587.000 Feb.

Muer. 6 $ 43.000.158 7 $ 42.841.452 9 $ 69.325.860 Med. 491 $ 194.422.560 553 $ 209.783.901 583 $ 227.747.081 Tran. 30 $ 3.960.085 49 $ 3.772.646 54 $ 4.836.614

Inc. 1 $ 2.163.459 1 $ 2.356.981 2 $ 4.896.000 Fun. 7 $ 11.994.731 5 $ 10.091.516 5 $ 10.585.500 Mar.

Muer. 8 $ 59.368.159 10 $ 71.171.277 11 $ 79.160.000 Med. 481 $ 183.847.622 555 $ 206.648.940

Tran. 34 $ 3.490.568 50 $ 4.705.477 Inc. 1 $ 1.985.637 4 $ 7.169.989 Fun. 4 $ 7.539.872 7 $ 11.568.493 Abr.

Muer. 9 $ 69.549.835 5 $ 29.294.147 Med. 510 $ 187.026.231 567 $ 204.138.884 Tran. 42 $ 3.656.809 52 $ 3.931.142

Inc. 1 $ 2.400.000 2 $ 4.689.741 Fun. 4 $ 11.255.319 7 $ 9.985.478 May.

Muer. 6 $ 46.079.212 5 $ 38.791.909 Med. 464 $ 194.792.923 566 $ 197.551.000 Tran. 43 $ 3.629.387 49 $ 3.109.742

Inc. 1 $ 2.400.000 4 $ 5.751.468 Fun. 4 $ 6.319.441 10 $ 19.310.902 Jun.

Muer. 9 $ 57.675.167 8 $ 57.468.670 Med. 455 $ 193.147.200 509 $ 201.841.654 Tran. 43 $ 3.681.328 42 $ 3.025.187

Inc. 1 $ 2.169.658 1 $ 2.217.091 Fun. 3 $ 6.371.277 5 $ 14.335.262 Jul.

Muer. 4 $ 28.385.126 11 $ 83.188.366 Med. 520 $ 196.927.902 513 $ 196.299.060 Tran. 38 $ 3.280.331 40 $ 3.582.920

Inc. 2 $ 4.358.900 1 $ 2.369.951 Ago.

Med. 511 $ 180.252.132 502 $ 202.992.756 Tran. 36 $ 3.539.470 54 $ 4.574.140

Inc. 2 $ 3.827.007 3 $ 6.895.354 Fun. 8 $ 12.056.000 9 $ 15.621.506 Sep.

Muer. 8 $ 48.994.065 12 $ 91.013.540 Med. 466 $ 191.503.877 566 $ 205.335.403 Tran. 45 $ 3.407.498 47 $ 3.348.045

Inc. 2 $ 3.337.220 1 $ 2.400.000 Fun. 5 $ 5.816.673 6 $ 9.495.181 Oct.

Muer. 5 $ 40.161.618 7 $ 43.437.881 Med. 497 $ 180.203.020 547 $ 191.861.214 Tran. 38 $ 3.293.968 40 $ 3.761.435

Inc. 1 $ 1.950.000 2 $ 3.556.154 Fun. 3 $ 5.943.832 10 $ 17.352.021 Nov.

Muer. 6 $ 66.325.685 5 $ 38.957.761 Med. 508 $ 181.693.518 562 $ 197.811.471 Tran. 34 $ 3.908.045 50 $ 3.491.463

Inc. 1 $ 2.107.241 1 $ 2.542.921 Fun. 3 $ 3.551.687 5 $ 9.223.543 Dic.

Muer. 7 $ 29.143.169 6 $ 47.590.387 Tabla 1. Datos Generales

3.1.1 Cálculo de proporciones

Para cada amparo se calculan las proporciones de las reclamaciones en cada mes de cada año. Dichas proporciones se encuentran en las tablas 2, 3, 4, 5 y 6.

MES 2005 2006 Proporción 2005 Proporción 2006

Ene. 470 583 0,080 0,089

Feb. 477 518 0,082 0,079

Mar. 491 553 0,084 0,085

Abr. 481 555 0,082 0,085

May. 510 567 0,087 0,087

Jun. 464 566 0,079 0,087

Jul. 455 509 0,078 0,078

Ago. 520 513 0,089 0,078

Sep. 511 502 0,087 0,077

Oct. 466 566 0,080 0,087

Nov. 497 547 0,085 0,084

Dic. 508 562 0,087 0,086

Total 5.850 6.541

MES 2005 2006 Proporción 2005 Proporción 2006

Ene. 37 43 0,080 0,076

Feb. 43 50 0,093 0,088

Mar. 30 49 0,065 0,087

Abr. 34 50 0,073 0,088

May. 42 52 0,091 0,092

Jun. 43 49 0,093 0,087

Jul. 43 42 0,093 0,074

Ago. 38 40 0,082 0,071

Sep. 36 54 0,078 0,095

Oct. 45 47 0,097 0,083

Nov. 38 40 0,082 0,071

Dic. 34 50 0,073 0,088

Total 463 566

Tabla 3.Proporciones de las reclamaciones por gastos de transporte.

MES 2005 2006 Proporción 2005 Proporción 2006

Ene. 2 2 0,125 0,083

Feb. 1 2 0,063 0,083

Mar. 1 1 0,063 0,042

Abr. 1 4 0,063 0,167

May. 1 2 0,063 0,083

Jun. 1 4 0,063 0,167

Jul. 1 1 0,063 0,042

Ago. 2 1 0,125 0,042

Sep. 2 3 0,125 0,125

Oct. 2 1 0,125 0,042

Nov. 1 2 0,063 0,083

Dic. 1 1 0,063 0,042

Total 16 24

Tabla 4.Proporciones de las reclamaciones de indemnización por incapacidad.

MES 2005 2006 Proporción 2005 Proporción 2006

Ene. 5 8 0,089 0,101

Feb. 3 8 0,054 0,101

Mar. 7 5 0,125 0,063

Abr. 4 7 0,071 0,089

May. 4 7 0,071 0,089

Jun. 4 6 0,071 0,076

Jul. 3 5 0,054 0,063

Ago. 7 9 0,125 0,114

Sep. 8 9 0,143 0,114

Oct. 5 6 0,089 0,076

Nov. 3 4 0,054 0,051

Dic. 3 5 0,054 0,063

Total 56 79

Tabla 5.Proporciones de las reclamaciones por gastos funerarios.

MES 2005 2006 Proporción 2005 Proporción 2006

Ene. 9 10 0,110 0,103

Feb. 6 7 0,073 0,072

Mar. 8 10 0,098 0,103

Abr. 9 5 0,110 0,052

May. 6 5 0,073 0,052

Jun. 9 8 0,110 0,082

Jul. 4 11 0,049 0,113

Ago. 5 11 0,061 0,113

Sep. 8 12 0,098 0,124

Oct. 5 7 0,061 0,072

Nov. 6 5 0,073 0,052

Dic. 7 6 0,085 0,062

Total 82 97

Tabla 6. Proporciones de las reclamaciones de indemnización por muerte.

3.1.2 Cálculo de proyección de reclamaciones.

Se observa que las proporciones de las reclamaciones son muy similares, entonces se debe continuar con los cálculos que hacen falta para saber el total de reclamaciones por amparo del año 2007. Los cálculos se encuentran de la tabla 7 a la 21.

MES 2005 2006 2007

2

1

N

N  

 12

1 3 i

x

i

1

12

1 2

1

 





 

 

 

i j

x

ij

1

12

1 2

1 2 1 12

1 3

 





 





  

 



i j

ij i

i

x N x N

Ene. 470 583 658 12.391 658 1.052 7.750

Feb. 477 518 Mar. 491 553 Abr. 481 555 May. 510 567 Jun. 464 566 Jul. 455 509 Ago. 520 513 Sep. 511 502 Oct. 466 566 Nov. 497 547 Dic. 508 562

Total 5.850 6.541 7.750

Tabla 7. Cálculos de proyección de reclamaciones por gastos médicos.

MES 2005 2006 2007

2

1

N

N  

 12

1 3 i

x

i

1

12

1 2

1

 





 

 

 

i j

x

ij

1

12

1 2

1 2 1 12

1 3

 



 







  

 



i j

ij i

i

x N x N

Ene. 470 583 658 12.391 658 1.052 7.750

Feb. 477 518 540 12.391 1.198 2.047 7.252

Mar. 491 553 Abr. 481 555 May. 510 567 Jun. 464 566 Jul. 455 509 Ago. 520 513 Sep. 511 502 Oct. 466 566 Nov. 497 547 Dic. 508 562

Total 5.850 6.541 7.252

Tabla 8.Cálculos de proyección de reclamaciones por gastos médicos.

MES 2005 2006 2007

2

1

N

N  

 12

1 3 i

x

i

1

12

1 2

1

 





 

 

 

i j

x

ij

1

12

1 2

1 2 1 12

1 3

 



 







  

 



i j

ij i

i

x N x N

Ene. 470 583 658 12.391 658 1.052 7.750

Feb. 477 518 540 12.391 1.198 2.047 7.252

Mar. 491 553 583 12.391 1.781 3.091 7.140

Abr. 481 555 May. 510 567 Jun. 464 566 Jul. 455 509 Ago. 520 513 Sep. 511 502 Oct. 466 566 Nov. 497 547 Dic. 508 562

Total 5.850 6.541 7.140

Tabla 9. Cálculos de proyección de reclamaciones por gastos médicos.

MES 2005 2006 2007

2

1

N

N  

 12

1 3 i

x

i

1

12

1 2

1

 





 

 

 

i j

x

ij

1

12

1 2

1 2 1 12

1 3

 



 







  

 



i j

ij i

i

x N x N

Ene. 37 43 52 1.029 52 79 677

Feb. 43 50

Mar. 30 49

Abr. 34 50

May. 42 52

Jun. 43 49

Jul. 43 42

Ago. 38 40

Sep. 36 54

Oct. 45 47

Nov. 38 40

Dic. 34 50

Total 463 566 677

Tabla 10.Cálculos de proyección de reclamaciones por gastos de transporte.

MES 2005 2006 2007

2

1

N

N  

 12

1 3 i

x

i

1

12

1 2

1

 



 



 

 

i j

x

ij

1

12

1 2

1 2 1 12

1 3

 



 







  

 



i j

ij i

i

x N x N

Ene. 37 43 52 1.029 52 79 677

Feb. 43 50 47 1.029 99 172 592

Mar. 30 49

Abr. 34 50

May. 42 52

Jun. 43 49

Jul. 43 42

Ago. 38 40

Sep. 36 54

Oct. 45 47

Nov. 38 40

Dic. 34 50

Total 463 566 592

Tabla 11. Cálculos de proyección de reclamaciones por gastos de transporte.

MES 2005 2006 2007

2

1

N

N  

 12

1 3 i

x

i

1

12

1 2

1

 





 

 

 

i j

x

ij

1

12

1 2

1 2 1 12

1 3

 



 







  

 



i j

ij i

i

x N x N

Ene. 37 43 52 1.029 52 79 677

Feb. 43 50 37 1.029 89 172 532

Mar. 30 49 54 1.029 153 251 627

Abr. 34 50

May. 42 52

Jun. 43 49

Jul. 43 42

Ago. 38 40

Sep. 36 54

Oct. 45 47

Nov. 38 40

Dic. 34 50

Total 463 566 627

Tabla 12.Cálculos de proyección de reclamaciones por gastos de transporte.

MES 2005 2006 2007

2

1

N

N  

 12

1 3 i

x

i

1

12

1 2

1

 





 

 

 

i j

x

ij

1

12

1 2

1 2 1 12

1 3

 



 







  

 



i j

ij i

i

x N x N

Ene. 2 2 2 40 2 3 27

Feb. 1 2

Mar. 1 1

Abr. 1 4

May. 1 2

Jun. 1 4

Jul. 1 1

Ago. 2 1

Sep. 2 3

Oct. 2 1

Nov. 1 2

Dic. 1 1

Total 16 24 27

Tabla 13.Cálculos de proyección de reclamaciones de indemnización por incapacidad.