3. LÍMITES LATERALES 3.6. Limites laterales
3.6.1. Límites por derecha
Se dice que 𝑓(𝑥) posee límite finito por la derecha de 𝑥 = 𝑎, si para cualquier distancia elegida 𝜀 > 0, es posible encontrar una distancia 𝛿 > 0 tal que si “x” verifica que 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝛿, entonces su imagen 𝑓(𝑥) se encontrará a una distancia de “L” menor que “𝜀”.
Límite lateral finito por la derecha de 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 𝑎.
Sea 𝑓(𝑥) definida en el intervalo (𝑎, 𝑎 + 𝛿).
En símbolos:
𝑥→𝑎 lim
+𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ ∀ 𝜀 > ∃ 𝛿 > 0 tal que si 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 Cuando se escribe :
𝑥→𝑎 lim
+𝑓(𝑥) = 𝐿
Se esta diciendo que el límite derecho de 𝑓(𝑥) cuando “x” se aproxima a “a” [o el límite de 𝑓(𝑥) cuando “x” tiende a “a” por la derecha] es igual a “L” si podemos hacer que los valores de 𝑓(𝑥) se acerquen arbitrariamente a “L”, tanto como queramos, tomando “x” suficientemente cercanos a “a”, pero mayores que “a”.
3.6.2. Límites por izquierda
Se dice que 𝑓(𝑥) posee límite finito por la izquierda de 𝑥 = 𝑎, si para cualquier distancia elegida 𝜀 > 0, es posible encontrar una distancia 𝛿 > 0 tal que si “x” verifica que 𝑎 − 𝛿 < 𝑥 <
𝑎, entonces su imagen 𝑓(𝑥) se encontrará a una distancia de “L” menor que “𝜀”.
Límite lateral finito por la izquierda de 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 𝑎.
Sea 𝑓(𝑥) definida en el intervalo (𝑎 − 𝛿, 𝑎 ).
En símbolos:
𝑥→𝑎 lim
−𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ ∀ 𝜀 > ∃ 𝛿 > 0 tal que si 𝑎 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑎 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 Definición. - Cuando escribimos:
𝑥→𝑎 lim
−𝑓(𝑥) = 𝐿
Estamos diciendo que el límite izquierdo de 𝑓(𝑥) cuando “x” se aproxima a “a” [o el límite de 𝑓(𝑥) cuando “x” tiende a “a” por la izquierda] es igual a “L” si podemos hacer que los valores de 𝑓(𝑥) se acerquen arbitrariamente a “L”, tanto como queramos, tomando “x” suficientemente cercanos a “a”, pero menores que “a”.
Ejemplo. -
Hallar el límite de 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥 2
𝑥→−2 lim
+𝑓(𝑥) √4 − 𝑥 2 = 0 Ejercicios propuestos:
Demostrar:
𝑥→1 lim
−𝑥
2−1 𝑥−1 = 2
𝑥→1 lim
+𝑥
2−1 𝑥−1 = 2
f(x)=sqrt(4-x^2) Serie de puntos 1
-3 -2 -1 1 2 3
1 2
x y
Para que una función f(x) tenga límite en x = a es necesario y suficiente que existan ambos límites laterales y coincidan, es decir:
lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
+𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
−𝑓(𝑥)
Resolver los siguientes límites con funciones especiales y continuidad:
1) 𝐿 = lim
𝑥→3 𝑥
2−9
|𝑥
2−8𝑥+15| R.- 𝐿 = ∄
𝐿 = lim
𝑥→3 𝑥
2−9
|𝑥
2−8𝑥+15| = lim
𝑥→3
(𝑥+3)(𝑥−3)
|(𝑥−5)(𝑥−3)|
𝑥 − 5 > 0 → 𝑥 > 5 ⊕ 𝑥 − 3 > 0 → 𝑥 > 3 ⊕
𝑓(𝑥) = {
(𝑥+3)(𝑥−3)
(𝑥−5)(𝑥−3) ; 𝑆𝑖 𝑥 < 3 ∪ 𝑥 > 5
(𝑥+3)(𝑥−3)
−(𝑥−5)(𝑥−3) ; 𝑆𝑖 3 < 𝑥 < 5 𝑁𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 {3, 5}
→ 𝑓(𝑥) = {
𝑥+3
𝑥−5 ; 𝑆𝑖 𝑥 < 3 ∪ 𝑥 > 5
𝑥+3
−𝑥+5 ; 𝑆𝑖 𝑆𝑖 3 < 𝑥 < 5 𝑁𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 {3, 5}
𝐿 =
𝑥→3 𝑙𝑖𝑚
−𝑥
2−9
|𝑥
2−8𝑥+15| = 3+3
3−5 = −3
𝑥→3 𝑙𝑖𝑚
+𝑥
2−9
|𝑥
2−8𝑥+15| = 3+3
−3+5 = 3
} → 𝑵𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒆𝒍 𝒍í𝒎𝒊𝒕𝒆
2) 𝐿 = lim
𝑥→1 | 𝑥
3−𝑥
2+3𝑥−3
𝑥−1 | R.- 𝐿 = 4
𝐿 = lim
𝑥→1 | 𝑥
3−𝑥
2+3𝑥−3
𝑥−1 | = lim
𝑥→1 | 𝑥
2(𝑥−1)+3(𝑥−1) 𝑥−1 | = lim
𝑥→1 |𝑥 2 + 3| = lim
𝑥→1 (𝑥 2 + 3) = 1 + 3 → 𝑳 = 𝟒 𝑥 2 + 3 Siempre es positivo.
3) 𝐿 = lim
𝑥→−3 | 𝑥
4−7𝑥
2+6𝑥
𝑥
2−2𝑥−15 | R.- 𝐿 = 15
2
𝐿 = lim
𝑥→−3 | 𝑥
4−7𝑥
2+6𝑥
𝑥
2−2𝑥−15 | = lim
𝑥→−3 | 𝑥(𝑥
3−7x+6)
𝑥
2−2𝑥−15 | = lim
𝑥→−3 | 𝑥(𝑥
3−7x+6)
𝑥
2−2𝑥−15 | 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−3 | 𝑥(𝑥−1)(𝑥−2)(𝑥+3)
(𝑥−5)(𝑥+3) | = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−3 | 𝑥(𝑥−1)(𝑥−2) (𝑥−5) | 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−3
𝑥(𝑥−1)(𝑥−2)
(𝑥−5) = −3(−3−1)(−3−2) (−3−5) 𝐿 = −60
−8 → 𝑳 = 𝟏𝟓
𝟐
1 0 -7 6 a) 𝑥 − 1 ≥ 0 ⊕ → 𝑥 ≥ 1 ⊕ b) 𝑥 − 2 ≥ 0 ⊕ → 𝑥 ≥ 2 ⊕ c) 𝑥 − 5 ≥ 0 ⊕ → 𝑥 ≥ 5 ⊕ d) 𝑥 ≥ 0 ⊕
Para x=-3 ⊕
1 1 1 -6
1 1 -6 0
2 2 6
1 3 0
-3 -3
1 0
4) 𝐿 = lim
𝑥→−3
−𝑠𝑔𝑛 (𝑥 2 − 9) Por definición:
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑛𝑔 (𝑥) = |𝑥|
𝑥 𝐿 = lim
𝑥→−3
−𝑠𝑔𝑛 (𝑥 2 − 9) = lim
𝑥→−3
−|𝑥
2−9|
𝑥
2−9 𝑥 2 − 9 ≥ 0 → 𝑥 2 ≥ 9 → 𝑥 ≤ −3 ∪ 𝑥 ≥ 3 𝐿 = lim
𝑥→−3
−|𝑥
2−9|
𝑥
2−9 = 𝑥
2−9
𝑥
2−9 → 𝑳 = 𝟏
5) 𝐿 = lim
𝑥→3 𝑠𝑔𝑛 (𝑥 3 + 2𝑥 2 − 9𝑥 − 18) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3 𝑠𝑔𝑛 (𝑥 3 + 2𝑥 2 − 9𝑥 − 18) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3 𝑠𝑔𝑛 |𝑥
3+2𝑥
2−9𝑥−18|
𝑥
3+2𝑥
2−9𝑥−18 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3 𝑠𝑔𝑛 |(𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥+3)|
(𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥+3) 𝑓(𝑥) = |(𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥+3)|
(𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥+3)
𝑓(𝑥) = {
−(𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥+3)
(𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥+3) ; 𝑆𝑖 𝑥 < −2 ∪ −3 < 𝑥 < 3
(𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥+3)
(𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥+3) ; 𝑆𝑖 − 2 < 𝑥 < −3 ∪ 𝑥 > 3 →= { −1; 𝑆𝑖 𝑥 < −2 ∪ −3 < 𝑥 < 3 1; 𝑆𝑖 − 2 < 𝑥 < −3 ∪ 𝑥 > 3
𝐿 =
𝑥→3 𝑙𝑖𝑚
−|(𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥+3)|
(𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥+3) = −1
𝑥→3 𝑙𝑖𝑚
+|(𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥+3)|
(𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥+3) = 1 } → 𝑵𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒆𝒍 𝒍í𝒎𝒊𝒕𝒆
1 2 -9 -18 a) 𝑥 + 2 ≥ 0 ⊕ → 𝑥 ≥ −2 ⊕ b) 𝑥 − 3 ≥ 0 ⊕ → 𝑥 ≥ 3 ⊕ c) 𝑥 + 3 ≥ 0 ⊕ → 𝑥 ≥ −3 ⊕ Para 𝑥 = 3 − ⊖
Para 𝑥 = 3 + ⊕
-2 -2 0 18
1 0 -9 0
3 3 9
1 3 0
-3 -3
1 0
6) 𝐿 = lim
𝑥→2
+⟦𝑥−1⟧−𝑥
√𝑥
2−⟦𝑥⟧
Por definición de parte entera:
𝑓(𝑥) = ⟦𝑥⟧ → 𝑓(𝑥) = {
𝑥 ; 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 ∨ 𝑥 ≤ 𝑥 < 𝑥 + 1 𝑥 − 1; 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 ∨ 𝑥 − 1 < 𝑥 < 𝑥 𝑥 ; 𝑠𝑖 𝑥 < 0 ∨ 𝑥 ≤ 𝑥 < 𝑥 + 1 𝑥 − 1; 𝑠𝑖 𝑥 < 0 ∨ 𝑥 < 𝑥 < 𝑥 − 1
𝐿 = lim
𝑥→2
+⟦𝑥−1⟧−𝑥
√𝑥
2−⟦𝑥⟧ = lim
𝑥→2
+⟦2−1⟧−2
√(2)
2−⟦2⟧ = lim
𝑥→2
+1−2
√4−2 = −1
√2 ∙ √2
√2 → 𝑳 = − √𝟐
𝟐 7) Calcular si existe: 𝐿 = lim
𝑥→−3
⟦𝑥−1⟧−𝑥
√𝑥
2−⟦𝑥⟧
𝐿 = lim
𝑥→−3
⟦𝑥−1⟧−𝑥
√𝑥
2−⟦𝑥⟧ = lim
𝑥→−3
⟦−3−1⟧−(−3)
√(−3)
2−⟦−3⟧ = lim
𝑥→−3
⟦−4⟧−(−3)
√(−3)
2−⟦−3⟧ = lim
𝑥→−3
−4−(−3)
√(−3)
2−⟦−3⟧ = lim
𝑥→−3
−1
√9−⟦−3⟧
⟦−𝑥⟧ → 𝑃𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎; ⟦−𝑥⟧ = −𝑥 𝑃𝑜𝑟 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎; ⟦−𝑥⟧ = −𝑥 − 1 }
𝐿 =
𝑥→−3 𝑙𝑖𝑚
−−1
√9−(−4) = −1
√13 𝑥→−3 𝑙𝑖𝑚
+−1
√9−(−3) = −1
√12
} → 𝑵𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒆𝒍 𝒍í𝒎𝒊𝒕𝒆
8) Determinar el valor de A para que la función 𝑓(𝑥) sea continua en 𝑥 = 4, si 𝑓(𝑥) = {
𝑥
2−3𝑥−4 𝑥−4
𝐴; 𝑥 = 4 ; 𝑥 ≠ 4 R.- El valor de A es 5.
𝑥
2−3𝑥−4
𝑥−4 = (x−4)(𝑥+1)
𝑥−4 = 𝑥 + 1 𝑥 + 1
𝑥 = 4 } → 4 + 1 = 𝐴 → 𝑨 = 𝟓
9) Hallar el valor de la constante “A”, de manera que la función:
𝑓(𝑥) = {( 𝑠𝑒𝑛 𝑐+𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑐−𝑠𝑒𝑛 𝑥 )
1 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝐴; 𝑥 = 0
; 𝑥 ≠ 0 R.- sea continua en toda la recta real.
𝐿 = lim
𝑥→0 ( 𝑠𝑒𝑛 𝑐+𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑐−𝑠𝑒𝑛 𝑥 )
1 𝑠𝑒𝑛 𝑥
= 1 ∞
𝐿 = lim
𝑥→0 ( 𝑠𝑒𝑛 𝑐+𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑐−𝑠𝑒𝑛 𝑥 )
1 𝑠𝑒𝑛 𝑥
= 𝑒
𝑥→0lim (
𝑠𝑒𝑛 𝑐+𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑐−𝑠𝑒𝑛 𝑥
−1)∙
𝑠𝑒𝑛 𝑥1= 𝑒
𝑥→0lim (
𝑠𝑒𝑛 𝑐+𝑠𝑒𝑛 𝑥−𝑠𝑒𝑛 𝑐+𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑐−𝑠𝑒𝑛 𝑥
)∙
𝑠𝑒𝑛 𝑥1= 𝑒
𝑥→0lim (
2𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑐−𝑠𝑒𝑛 𝑥
)∙
𝑠𝑒𝑛 𝑥1𝐿 = 𝑒
𝑥→0lim (
2 𝑠𝑒𝑛 𝑐−𝑠𝑒𝑛 𝑥
)
= 𝑒
𝑠𝑒𝑛 𝑐2𝑨 = 𝒆
𝒔𝒆𝒏 𝒄𝟐10) Sea: (𝑥) = {
𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥 ; Si 𝑥 < 0 𝐴𝑥 + 3𝐵 + 1; Si 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
𝑥 2 − 3𝐴𝑥 − 3; 𝑆𝑖 𝑥 > 1
Encuentre “A” y “B” tal que f(x) sea continua en cualquier punto. R.- 𝐴 = 2/5 y 𝐵 =– 7/15.
lim 𝑥→0 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥 = 𝐴 lim
𝑥→0 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥 = 𝐴 𝐴𝑥 + 3𝐵 + 1
𝑥 = 0 } → 0 + 3𝐵 + 1 = 𝐴 → 𝐴 − 3𝐵 = 1 (1) 𝐴𝑥 + 3𝐵 + 1
𝑥 2 − 3𝐴𝑥 − 3 𝑥 = 1
} → 𝐴 + 3𝐵 + 1 = 1 − 3𝐴 − 3 → 4A + 3 = −3B (2) (2) en (1)
𝐴 + 4𝐴 + 3 = 1 → 5𝐴 = −2 → 𝑨 = − 𝟐
𝟓
− 2
5 − 3𝐵 = 1 → − 2
5 − 1 = 3𝐵 → − 7
5 = 3𝐵 → 𝑩 = − 𝟕
𝟏𝟓
11) Calcular los valores de “A” y “B” para que la siguiente función sea continua:
f(x)=floor(x) Serie de puntos 1 Serie de puntos 2
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
x y
(𝑥) = {
𝑥
3+𝑥
2+𝑥+1
𝑥
3+1 ; 𝑆𝑖 𝑥 < −1 𝐴𝑥 3 + 𝐵; 𝑆𝑖 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1
3
√𝑥 −1
√𝑥−1 ; 𝑆𝑖 𝑥 > 1
R.- Para que la función 𝑓(𝑥) sea continua “A” debe valer
–1/3 y “B” debe vale 1/3.
𝑥
3+𝑥
2+𝑥+1
𝑥
3+1 = (𝑥+1)(𝑥
2+1)
(𝑥+1)(𝑥
2−𝑥+1) = 𝑥
2+1
𝑥
2−𝑥+1 .
3
√𝑥 −1
√𝑥−1 ∙ ( √𝑥
3 2