3. LÍMITES LATERALES 3.6. Limites laterales

3. LÍMITES LATERALES 3.6. Limites laterales

3.6.1. Límites por derecha

Se dice que 𝑓(𝑥) posee límite finito por la derecha de 𝑥 = 𝑎, si para cualquier distancia elegida 𝜀 > 0, es posible encontrar una distancia 𝛿 > 0 tal que si “x” verifica que 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝛿, entonces su imagen 𝑓(𝑥) se encontrará a una distancia de “L” menor que “𝜀”.

Límite lateral finito por la derecha de 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 𝑎.

Sea 𝑓(𝑥) definida en el intervalo (𝑎, 𝑎 + 𝛿).

En símbolos:

𝑥→𝑎 lim

𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ ∀ 𝜀 > ∃ 𝛿 > 0 tal que si 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 Cuando se escribe :

𝑥→𝑎 lim

𝑓(𝑥) = 𝐿

Se esta diciendo que el límite derecho de 𝑓(𝑥) cuando “x” se aproxima a “a” [o el límite de 𝑓(𝑥) cuando “x” tiende a “a” por la derecha] es igual a “L” si podemos hacer que los valores de 𝑓(𝑥) se acerquen arbitrariamente a “L”, tanto como queramos, tomando “x” suficientemente cercanos a “a”, pero mayores que “a”.

3.6.2. Límites por izquierda

Se dice que 𝑓(𝑥) posee límite finito por la izquierda de 𝑥 = 𝑎, si para cualquier distancia elegida 𝜀 > 0, es posible encontrar una distancia 𝛿 > 0 tal que si “x” verifica que 𝑎 − 𝛿 < 𝑥 <

𝑎, entonces su imagen 𝑓(𝑥) se encontrará a una distancia de “L” menor que “𝜀”.

Límite lateral finito por la izquierda de 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 𝑎.

Sea 𝑓(𝑥) definida en el intervalo (𝑎 − 𝛿, 𝑎 ).

En símbolos:

𝑥→𝑎 lim

𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ ∀ 𝜀 > ∃ 𝛿 > 0 tal que si 𝑎 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑎 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 Definición. - Cuando escribimos:

𝑥→𝑎 lim

𝑓(𝑥) = 𝐿

Estamos diciendo que el límite izquierdo de 𝑓(𝑥) cuando “x” se aproxima a “a” [o el límite de 𝑓(𝑥) cuando “x” tiende a “a” por la izquierda] es igual a “L” si podemos hacer que los valores de 𝑓(𝑥) se acerquen arbitrariamente a “L”, tanto como queramos, tomando “x” suficientemente cercanos a “a”, pero menores que “a”.

Ejemplo. -

Hallar el límite de 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥 ²

𝑥→−2 lim

𝑓(𝑥) √4 − 𝑥 ² = 0 Ejercicios propuestos:

Demostrar:

𝑥→1 lim

𝑥

−1 𝑥−1 = 2

𝑥→1 lim

𝑥

−1 𝑥−1 = 2

f(x)=sqrt(4-x^2) Serie de puntos 1

-3 -2 -1 1 2 3

1 2

x y

Para que una función f(x) tenga límite en x = a es necesario y suficiente que existan ambos límites laterales y coincidan, es decir:

lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = lim

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = lim

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

Resolver los siguientes límites con funciones especiales y continuidad:

1) 𝐿 = lim

𝑥→3 𝑥

−9

|𝑥

−8𝑥+15| R.- 𝐿 = ∄

𝐿 = lim

𝑥→3 𝑥

−9

|𝑥

−8𝑥+15| = lim

𝑥→3

(𝑥+3)(𝑥−3)

|(𝑥−5)(𝑥−3)|

𝑥 − 5 > 0 → 𝑥 > 5 ⊕ 𝑥 − 3 > 0 → 𝑥 > 3 ⊕

𝑓(𝑥) = {

(𝑥+3)(𝑥−3)

(𝑥−5)(𝑥−3) ; 𝑆𝑖 𝑥 < 3 ∪ 𝑥 > 5

(𝑥+3)(𝑥−3)

−(𝑥−5)(𝑥−3) ; 𝑆𝑖 3 < 𝑥 < 5 𝑁𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 {3, 5}

→ 𝑓(𝑥) = {

𝑥+3

𝑥−5 ; 𝑆𝑖 𝑥 < 3 ∪ 𝑥 > 5

𝑥+3

−𝑥+5 ; 𝑆𝑖 𝑆𝑖 3 < 𝑥 < 5 𝑁𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 {3, 5}

𝐿 =

𝑥→3 𝑙𝑖𝑚

𝑥

−9

|𝑥

−8𝑥+15| = ³⁺³

3−5 = −3

𝑥→3 𝑙𝑖𝑚

𝑥

−9

|𝑥

−8𝑥+15| = ³⁺³

−3+5 = 3

} → 𝑵𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒆𝒍 𝒍í𝒎𝒊𝒕𝒆

2) 𝐿 = lim

𝑥→1 | ^𝑥

^−𝑥

^+3𝑥−3

𝑥−1 | R.- 𝐿 = 4

𝐿 = lim

𝑥→1 | ^𝑥

^−𝑥

^+3𝑥−3

𝑥−1 | = lim

𝑥→1 | ^𝑥

(𝑥−1)+3(𝑥−1) 𝑥−1 | = lim

𝑥→1 |𝑥 ² + 3| = lim

𝑥→1 (𝑥 ² + 3) = 1 + 3 → 𝑳 = 𝟒 𝑥 ² + 3 Siempre es positivo.

3) 𝐿 = lim

𝑥→−3 | ^𝑥

^−7𝑥

^+6𝑥

𝑥

−2𝑥−15 | R.- 𝐿 = ¹⁵

2

𝐿 = lim

𝑥→−3 | ^𝑥

^−7𝑥

^+6𝑥

𝑥

−2𝑥−15 | = lim

𝑥→−3 | ^𝑥(𝑥

^−7x+6)

𝑥

−2𝑥−15 | = lim

𝑥→−3 | ^𝑥(𝑥

^−7x+6)

𝑥

−2𝑥−15 | 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→−3 | 𝑥(𝑥−1)(𝑥−2)(𝑥+3)

(𝑥−5)(𝑥+3) | = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→−3 | 𝑥(𝑥−1)(𝑥−2) (𝑥−5) | 𝑙𝑖𝑚

𝑥→−3

𝑥(𝑥−1)(𝑥−2)

(𝑥−5) = −3(−3−1)(−3−2) (−3−5) 𝐿 = ⁻⁶⁰

−8 → 𝑳 = ^𝟏𝟓

𝟐

1 0 -7 6 a) 𝑥 − 1 ≥ 0 ⊕ → 𝑥 ≥ 1 ⊕ b) 𝑥 − 2 ≥ 0 ⊕ → 𝑥 ≥ 2 ⊕ c) 𝑥 − 5 ≥ 0 ⊕ → 𝑥 ≥ 5 ⊕ d) 𝑥 ≥ 0 ⊕

Para x=-3 ⊕

1 1 1 -6

1 1 -6 0

2 2 6

1 3 0

-3 -3

1 0

4) 𝐿 = lim

𝑥→−3

𝑠𝑔𝑛 (𝑥 ² − 9) Por definición:

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑛𝑔 (𝑥) = ^|𝑥|

𝑥 𝐿 = lim

𝑥→−3

𝑠𝑔𝑛 (𝑥 ² − 9) = lim

𝑥→−3

|𝑥

−9|

𝑥

−9 𝑥 ² − 9 ≥ 0 → 𝑥 ² ≥ 9 → 𝑥 ≤ −3 ∪ 𝑥 ≥ 3 𝐿 = lim

𝑥→−3

|𝑥

−9|

𝑥

−9 = ^𝑥

⁻⁹

𝑥

−9 → 𝑳 = 𝟏

5) 𝐿 = lim

𝑥→3 𝑠𝑔𝑛 (𝑥 ³ + 2𝑥 ² − 9𝑥 − 18) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→3 𝑠𝑔𝑛 (𝑥 ³ + 2𝑥 ² − 9𝑥 − 18) = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→3 𝑠𝑔𝑛 ^|𝑥

^+2𝑥

^{−9𝑥−18|}

𝑥

+2𝑥

−9𝑥−18 = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→3 𝑠𝑔𝑛 |(𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥+3)|

(𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥+3) 𝑓(𝑥) = |(𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥+3)|

(𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥+3)

𝑓(𝑥) = {

−(𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥+3)

(𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥+3) ; 𝑆𝑖 𝑥 < −2 ∪ −3 < 𝑥 < 3

(𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥+3)

(𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥+3) ; 𝑆𝑖 − 2 < 𝑥 < −3 ∪ 𝑥 > 3 →= { −1; 𝑆𝑖 𝑥 < −2 ∪ −3 < 𝑥 < 3 1; 𝑆𝑖 − 2 < 𝑥 < −3 ∪ 𝑥 > 3

𝐿 =

𝑥→3 𝑙𝑖𝑚

|(𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥+3)|

(𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥+3) = −1

𝑥→3 𝑙𝑖𝑚

|(𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥+3)|

(𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥+3) = 1 } → 𝑵𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒆𝒍 𝒍í𝒎𝒊𝒕𝒆

1 2 -9 -18 a) 𝑥 + 2 ≥ 0 ⊕ → 𝑥 ≥ −2 ⊕ b) 𝑥 − 3 ≥ 0 ⊕ → 𝑥 ≥ 3 ⊕ c) 𝑥 + 3 ≥ 0 ⊕ → 𝑥 ≥ −3 ⊕ Para 𝑥 = 3 ⁻ ⊖

Para 𝑥 = 3 ⁺ ⊕

-2 -2 0 18

1 0 -9 0

3 3 9

1 3 0

-3 -3

1 0

6) 𝐿 = lim

𝑥→2

⟦𝑥−1⟧−𝑥

√𝑥

−⟦𝑥⟧

Por definición de parte entera:

𝑓(𝑥) = ⟦𝑥⟧ → 𝑓(𝑥) = {

𝑥 ; 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 ∨ 𝑥 ≤ 𝑥 < 𝑥 + 1 𝑥 − 1; 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 ∨ 𝑥 − 1 < 𝑥 < 𝑥 𝑥 ; 𝑠𝑖 𝑥 < 0 ∨ 𝑥 ≤ 𝑥 < 𝑥 + 1 𝑥 − 1; 𝑠𝑖 𝑥 < 0 ∨ 𝑥 < 𝑥 < 𝑥 − 1

𝐿 = lim

𝑥→2

⟦𝑥−1⟧−𝑥

√𝑥

−⟦𝑥⟧ = lim

𝑥→2

⟦2−1⟧−2

√(2)

−⟦2⟧ = lim

𝑥→2

1−2

√4−2 = ⁻¹

√2 ∙ ^√2

√2 → 𝑳 = − ^√𝟐

𝟐 7) Calcular si existe: 𝐿 = lim

𝑥→−3

⟦𝑥−1⟧−𝑥

√𝑥

−⟦𝑥⟧

𝐿 = lim

𝑥→−3

⟦𝑥−1⟧−𝑥

√𝑥

−⟦𝑥⟧ = lim

𝑥→−3

⟦−3−1⟧−(−3)

√(−3)

−⟦−3⟧ = lim

𝑥→−3

⟦−4⟧−(−3)

√(−3)

−⟦−3⟧ = lim

𝑥→−3

−4−(−3)

√(−3)

−⟦−3⟧ = lim

𝑥→−3

−1

√9−⟦−3⟧

⟦−𝑥⟧ → 𝑃𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎; ⟦−𝑥⟧ = −𝑥 𝑃𝑜𝑟 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎; ⟦−𝑥⟧ = −𝑥 − 1 }

𝐿 =

𝑥→−3 𝑙𝑖𝑚

−1

√9−(−4) = ⁻¹

√13 𝑥→−3 𝑙𝑖𝑚

−1

√9−(−3) = ⁻¹

√12

} → 𝑵𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒆𝒍 𝒍í𝒎𝒊𝒕𝒆

8) Determinar el valor de A para que la función 𝑓(𝑥) sea continua en 𝑥 = 4, si 𝑓(𝑥) = {

𝑥

−3𝑥−4 𝑥−4

𝐴; 𝑥 = 4 ; 𝑥 ≠ 4 R.- El valor de A es 5.

𝑥

−3𝑥−4

𝑥−4 = ^{(x−4)(𝑥+1)}

𝑥−4 = 𝑥 + 1 𝑥 + 1

𝑥 = 4 } → 4 + 1 = 𝐴 → 𝑨 = 𝟓

9) Hallar el valor de la constante “A”, de manera que la función:

𝑓(𝑥) = {( 𝑠𝑒𝑛 𝑐+𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑐−𝑠𝑒𝑛 𝑥 )

1 𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝐴; 𝑥 = 0

; 𝑥 ≠ 0 R.- sea continua en toda la recta real.

𝐿 = lim

𝑥→0 ( 𝑠𝑒𝑛 𝑐+𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑐−𝑠𝑒𝑛 𝑥 )

1 𝑠𝑒𝑛 𝑥

= 1 ^∞

𝐿 = lim

𝑥→0 ( 𝑠𝑒𝑛 𝑐+𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑐−𝑠𝑒𝑛 𝑥 )

1 𝑠𝑒𝑛 𝑥

= 𝑒

^{lim (}

𝑠𝑒𝑛 𝑐+𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑐−𝑠𝑒𝑛 𝑥

−1)∙

= 𝑒

^{lim (}

𝑠𝑒𝑛 𝑐+𝑠𝑒𝑛 𝑥−𝑠𝑒𝑛 𝑐+𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑐−𝑠𝑒𝑛 𝑥

)∙

= 𝑒

^{lim (}

2𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑠𝑒𝑛 𝑐−𝑠𝑒𝑛 𝑥

)∙

𝐿 = 𝑒

^{lim (}

2 𝑠𝑒𝑛 𝑐−𝑠𝑒𝑛 𝑥

)

= 𝑒

𝑨 = 𝒆

10) Sea: (𝑥) = {

𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑥 ; Si 𝑥 < 0 𝐴𝑥 + 3𝐵 + 1; Si 0 ≤ 𝑥 ≤ 1

𝑥 ² − 3𝐴𝑥 − 3; 𝑆𝑖 𝑥 > 1

Encuentre “A” y “B” tal que f(x) sea continua en cualquier punto. R.- 𝐴 = 2/5 y 𝐵 =– 7/15.

lim 𝑥→0 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑥 = 𝐴 lim

𝑥→0 𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑥 = 𝐴 𝐴𝑥 + 3𝐵 + 1

𝑥 = 0 } → 0 + 3𝐵 + 1 = 𝐴 → 𝐴 − 3𝐵 = 1 (1) 𝐴𝑥 + 3𝐵 + 1

𝑥 ² − 3𝐴𝑥 − 3 𝑥 = 1

} → 𝐴 + 3𝐵 + 1 = 1 − 3𝐴 − 3 → 4A + 3 = −3B (2) (2) en (1)

𝐴 + 4𝐴 + 3 = 1 → 5𝐴 = −2 → 𝑨 = − ^𝟐

𝟓

− ²

5 − 3𝐵 = 1 → − ²

5 − 1 = 3𝐵 → − ⁷

5 = 3𝐵 → 𝑩 = − ^𝟕

𝟏𝟓

11) Calcular los valores de “A” y “B” para que la siguiente función sea continua:

f(x)=floor(x) Serie de puntos 1 Serie de puntos 2

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

x y

(𝑥) = {

𝑥

+𝑥

+𝑥+1

𝑥

+1 ; 𝑆𝑖 𝑥 < −1 𝐴𝑥 ³ + 𝐵; 𝑆𝑖 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1

3

√𝑥 −1

√𝑥−1 ; 𝑆𝑖 𝑥 > 1

R.- Para que la función 𝑓(𝑥) sea continua “A” debe valer

–1/3 y “B” debe vale 1/3.

𝑥

+𝑥

+𝑥+1

𝑥

+1 = ^{(𝑥+1)(𝑥}

⁺¹⁾

(𝑥+1)(𝑥

−𝑥+1) = ^𝑥

⁺¹

𝑥

−𝑥+1 .

3

√𝑥 −1

√𝑥−1 ∙ ^{( √𝑥}

3 2

+ √𝑥

+1) ( √𝑥

+ √𝑥

+1) ∙ ^√𝑥−1

√𝑥−1 = ^{(𝑥−1)√𝑥−1}

(𝑥−1) = √𝑥 − 1

𝑥

+1 𝑥

−𝑥+1

𝑥 = −1

} → ¹⁺¹

1++1 = −𝐴 + 𝐵 → −𝐴 + 𝐵 = ²

3 (1) 𝐴𝑥 ³ + 𝐵

√𝑥 − 1 𝑥 = 1

} → 𝐴 + B = 0 (2)

Sumando (1) y (2) 2𝐵 = ²

3 → 𝑩 = ^𝟏

𝟑 𝐴 + ¹

3 = 0 → 𝐀 = − ^𝟏

𝟑

1 1 1 1

-1 -1 0 -1

1 0 1 0

-1 -1 1