REGLA GENERAL DE UNA SUCESIÓN

(1)

CENTRO DE INTEGRACIÓN EDUCATIVA DEL NORTE CAMINO A SER UN CAMBRIDGE ENGLISH SCHOOL GUÍA DE ESTUDIO – SEGUNDO MES CUARTO PERIODO

ÁREA MATEMÁTICAS – GRADO OCTAVO Guía N° 1

Asignatura: Matemáticas

Docente: Leidy Viviana Moreno Ramos Tema: Sucesiones

Propósito: Determinar la regla general de una sucesión, así como los términos de una sucesión

Explicación del tema:

SUCESIONES

REGLA GENERAL DE UNA SUCESIÓN

3𝑛𝑛 𝑛𝑛 + 6 4𝑛𝑛 + 2

La letra puede tomar diferentes valores.

Cuando la expresión algebraica se usa para expresar el patrón de una sucesión, n representa el lugar que ocupa cualquier término. Por ejemplo, en la sucesión cuya expresión es

4𝑛𝑛 + 2

, el término que está en quinto lugar es

4 𝑥𝑥 5 + 2 = 22

^. Ejemplos:

En

4𝑛𝑛

hallar los tres primeros de la sucesión

𝑎𝑎

₁

= 4 (1) = 4

𝑎𝑎

₂

= 4 (2) = 8

Al conjunto de números ordenados con alguna regla o patrón se le conoce como sucesión y cada elemento de una sucesión recibe el nombre de término, así los siguientes números forman una sucesión con sus respectivos términos. Cuando al terminar la sucesión se hace con “tres puntos” significa que ésta continúa. El término general de una sucesión es un término arbitrario, que se indicará como el n-ésimo término. En el caso de una sucesión, el n-ésimo término está ocupado por un número que lo representaremos como n.

(2)

𝑎𝑎

₃

= 4 (3) = 12

Determinar la regla general de la siguiente sucesión

𝑎𝑎

_𝑛𝑛

= {1, 4, 7,10, 13, 16, 19 … }

Para determinar la regla general de la sucesión, se debe determinar la diferencia entre cada uno de los términos y este número será el que se multiplica por n que representa cada termino

Por lo tanto,

3𝑛𝑛 − 2

es la regla general de la sucesión.

Actividades:

1. Identificar la regla general de cada sucesión y relacionarla con la que corresponde

(3)

2. Completa la siguiente tabla

3. De cada sucesión hallar el termino indicado

Link de apoyo:

https://www.youtube.com/watch?v=lXEe11Sfwgo https://www.youtube.com/watch?v=FGoSqeFl5zg https://www.youtube.com/watch?v=bI99PoaU6P8

(4)

Docente: Leidy Viviana Moreno Ramos Tema: Series

Propósito: Identificar y hallar la notación sigma de una serie Explicación del tema:

SERIES

Para representar la suma de los primeros n términos de una sucesión se utiliza la notación sigma

Para la sucesión

{𝑎𝑎

_𝑛𝑛

} = �𝑎𝑎

_1,

𝑎𝑎

_2,

𝑎𝑎

_3,

𝑎𝑎

₄

, . . . 𝑎𝑎

_𝑛𝑛

… �

la notación sigma para los cuatro primeros términos es:

� 𝑎𝑎

_𝑛𝑛

= 𝑎𝑎

₁

+ 𝑎𝑎

₂

+ 𝑎𝑎

₃

+ 𝑎𝑎

₄

4

𝑛𝑛=1

Se lee la suma desde

𝑛𝑛

igual 1 hasta 4 de

𝑎𝑎

_𝑛𝑛 y representa la suma de los cuatro primeros términos de la sucesión

𝑎𝑎

_𝑛𝑛. Para encontrar la suma se remplaza n en la expresión, por los enteros 1, 2, 3, y 4 y luego se suman los valores resultantes Ejemplo 1: encontrar la suma

� 4𝑛𝑛

5

𝑛𝑛=1

� 4𝑛𝑛

5 𝑛𝑛=1

= 4.1 + 4.2 + 4.3 + 4.4 + 4.5 = 4 + 8 + 12 + 16 + 20 = 60

Ejemplo 2: expresar la suma usando la notación sigma

Una sucesión que se forma por la suma de los términos de una sucesión recibe el nombre de serie

Se remplaza n por los números 1, 2, 3, 4 y 5

Se multiplica y se suma

(5)

1 + 4 + 9 + 16 + 25

Primero, hallar termino general de la sucesión

{1,4,9,16,25 … }

es

𝑎𝑎

𝑛𝑛

= 𝑛𝑛

²

Porque cumple

𝑎𝑎

₁

= 1

²

= 1; 𝑎𝑎

₂

= 2

²

= 4; 𝑎𝑎

₃

= 3

²

= 9; 𝑎𝑎

₄

= 4

²

= 16 𝑦𝑦 𝑎𝑎

₅

= 5

²

= 25,

por lo tanto, la suma se expresa como:

� 𝑛𝑛

²

5

Actividades: 𝑛𝑛=1

1. Encuentra el valor de cada suma

�(4𝑛𝑛 − 2)

5 𝑛𝑛=1

� 3𝑛𝑛

6 𝑛𝑛=3

�(𝑛𝑛 + 2)

²

6 𝑛𝑛=3

� 2

^𝑛𝑛

6 𝑛𝑛=1

� 𝑛𝑛

²

− 1

8 𝑛𝑛=4

� 𝑛𝑛

²

+ 2𝑛𝑛 − 1

7 𝑛𝑛=2

2. Escribe cada una de las siguientes sumas utilizando notación sigma a)

2 + 4 + 6 + 8

b)

1 + 3 + 5 + 7 + 9

c)

5 + 8 + 11 + 14

d)

3 + 9 + 15 + 21 + 27

e)

3 + 8 + 27

f)

5 + 25 + 125 + 625

Link de apoyo

https://www.youtube.com/watch?v=Boa2dr_mlCw https://www.youtube.com/watch?v=xC6yplSb0bk https://www.youtube.com/watch?v=LB7hCjiHm7k

(6)

Docente: Leidy Viviana Moreno Ramos Tema: Progresiones aritméticas

Propósito: Identificar el termino general de una progresión aritmética Explicación del tema:

PROGRESIONES ARITMÉTICAS

La sucesión 1, 6, 11, 16, 21,… es una sucesión aritmética

𝑎𝑎

₁

= 1; 𝑎𝑎

₂

= 1 + 5 = 6; 𝑎𝑎

₃

= 6 + 5 = 11; 𝑎𝑎

₄

= 11 + 5 = 16

Y, así sucesivamente, todos los términos se encuentran sumando al termino anterior 5, que es la diferencia d=5

FÓRMULAS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

La fórmula se utiliza para hallar el término que nos indiquen de una sucesión Ejemplo 1: Hallar el termino 10 en la progresión aritmética 3, 7, 11, 15…

Primero se halla la diferencia 7 – 3 = 4, 11 – 7 = 4, 15 – 11 =4, la diferencia es 4

𝑎𝑎

_𝑛𝑛

= 𝑎𝑎

₁

+ (𝑛𝑛 − 1)𝑑𝑑

𝑎𝑎

10

= 3 + (10 − 1)4 𝑎𝑎

₁₀

= 3 + (9)4 𝑎𝑎

₁₀

= 3 + 36 𝑎𝑎

₁₀

= 39

Por lo tanto, el termino 10 es 39

Una progresión aritmética es una sucesión en la cual cada término, excepto el primero, se obtiene de sumar al anterior número fijo d llamado diferencia de la progresión. Este nombre se debe a que la diferencia entre cualquier par de términos consecutivos es d

Formula general

𝑎𝑎

_𝑛𝑛

= 𝑎𝑎

₁

+ (𝑛𝑛 − 1)𝑑𝑑

Se remplaza los valores

Se realizan operaciones

Variación para hallar el número de termino

𝑛𝑛 = 𝑎𝑎

_𝑛𝑛

− 𝑎𝑎

₁

𝑑𝑑 + 1

Para hallar la diferencia entre

términos

𝑑𝑑 = 𝑎𝑎

_𝑛𝑛

− 𝑎𝑎

₁

𝑛𝑛 − 1

Para hallar el primer termino

𝑎𝑎

₁

= 𝑎𝑎

_𝑛𝑛

− (𝑛𝑛 − 1)𝑑𝑑

(7)

Ejemplo 2: Determina el número del termino cuyo valor es 88 en 1, 4, 7…

Primero hallar la diferencia 4 – 1 = 3, 7 – 4 = 3, la diferencia es 3

𝑛𝑛 = 𝑎𝑎

_𝑛𝑛

− 𝑎𝑎

₁

𝑑𝑑 + 1 𝑛𝑛 = 88 − 1

3 + 1 𝑛𝑛 = 87

3 + 1

𝑛𝑛 = 29 + 1 = 30

Por lo tanto, 88 es el termino 30 de la progresión aritmética Actividades:

1. Determinar si l sucesión es o no una progresión aritmética. Si lo es, encuentra la diferencia

a)

1, 3, 5,7, …

b)

3, 6, 10, 13, …

c)

12, 10, 8, 6, 4, …

d)

2, −1, −4, −7, …

e)

7, 10, 13, 16, …

f)

11, 13, 16, 20, …

2. Agrega cinco términos a cada una de las siguientes progresiones aritméticas a)

1, 6, 11, …

b)

3, 1, −1, …

c)

−10, −5, 0, …

d)

−3, −1, 1, …

3. Calcula:

a) El 10º termino de

8, 0, −8, …

b) El 20º termino de

22, 29, 36, 43, …

c) El 12º termino de

4, 7, 10, …

d) Determina el puesto del valor 64 en la progresión aritmética

10, 16, 22, 28, …

e) Determina el puesto del valor 59 en la progresión

23, 27, 31, 35, …

f) Determina el puesto del valor 41 en la progresión

5, 8, 11, 14, …

Link de apoyo:

https://www.youtube.com/watch?v=VvOoYZj_OiE

https://www.youtube.com/watch?v=08_exV8PpPM&t=327s https://www.youtube.com/watch?v=VUJ6d0qmO34

Se remplazan valores

Se realizan operaciones

(8)

Docente: Leidy Viviana Moreno Ramos

Tema: Interpolación de medios aritméticos y la suma de los términos de una progresión aritmética

Propósito: Hallar la interpolación y suma de los términos de una progresión aritmética

INTERPOLACIÓN DE MEDIOS ARITMÉTICOS

Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.

𝑑𝑑 = 𝑎𝑎

_𝑛𝑛

− 𝑎𝑎

₁

𝑛𝑛 − 1 𝑑𝑑 = −12 − 8

5 − 1 = − 20

4 = −5

8, 3, −2, −7 , −12

SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Ejemplo: halla la suma de los seis primeros términos de la progresión aritmética 5, 8, 11, 14, 17, 20,

𝑠𝑠

₆

= 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20

𝑠𝑠

_𝑛𝑛

= (𝑎𝑎

₁

+ 𝑎𝑎

_𝑛𝑛

) × 𝑛𝑛 2

𝑠𝑠

₆

= (5 + 20) × 6

2 = 25 × 6

2 = 75

Interpolar medios aritméticos entre dos números, es construir una progresión aritmética que tenga por extremos los números dados. Para lo cual se debe hallar la diferencia entre los términos, se utiliza la ecuación:

𝑑𝑑 = 𝑎𝑎 _𝑛𝑛 − 𝑎𝑎 ₁ 𝑛𝑛 − 1

A la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética se le llama serie aritmética y se simboliza

𝑠𝑠

_𝑛𝑛

Fórmula para hallar la serie aritmética

𝑠𝑠

_𝑛𝑛

= (𝑎𝑎

₁

+ 𝑎𝑎

_𝑛𝑛

) × 𝑛𝑛

2

(9)

Actividades:

1. Interpola

a. Tres medios aritméticos entre 1 y 3 b. Cuatro medios aritméticos entre 15 y 43 c. Cinco medios aritméticos entre 5 y 12 d. Nueve medios aritméticos entre – 8 y 11 e. Siete medios aritméticos entre – 2 y – 5

2. En cada progresión aritmética, encuentra la suma de:

a. Los 50 primeros términos de –10, –6, –2, … b. Los 12 primeros términos de 44, 34, 24, … c. Los 18 primeros términos de – 5, –13, –21, … d. Los 45 primeros términos de 13, 17, 21, …

3. Desarrolla las siguientes progresiones aritméticas

Link de apoyo:

https://www.youtube.com/watch?v=QvtNQnTxHxw https://www.youtube.com/watch?v=5MmouL9w7kM https://www.youtube.com/watch?v=urD4CVZnqOc https://www.youtube.com/watch?v=ELMQGDldQDE

(10)

Docente: Leidy Viviana Moreno Ramos Tema: Solución de problemas

Propósito: solucionar problemas que requieren la aplicación de progresiones aritméticas

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE PROGRESIONES ARITMÉTICAS

En la solución de problemas que requieren el uso de las progresiones aritméticas, es importante identificar los datos conocidos, y luego relacionarlos para aplicar adecuadamente las formulas dadas

Ejemplo:

El valor de compra de un computador es de 1`250.000 pesos. Su depreciación anual, es decir, su pérdida de valor es de 187.500 pesos. Hallar el valor del computador al cabo de 6 años.

Primero se determina los datos conocidos en relación con una progresión aritmética

𝑎𝑎

₁

= 1`250.000 𝑑𝑑 = −187.500 𝑛𝑛 = 7

Se utiliza la formula general del termino

𝑎𝑎

_𝑛𝑛

= 𝑎𝑎

₁

+ (𝑛𝑛 − 1)𝑑𝑑

𝑎𝑎

₇

= 1`250.000 + (7 − 1)(−187.500)

𝑎𝑎

₇

= 1`250.000 − 1`125.000 𝑎𝑎

7

= 125.000

El valor del computador será125.000 pesos Actividad:

Soluciona los siguientes problemas

Un estudiante de octavo se propone el día 1 de septiembre repasar matemáticas durante una quincena, haciendo cada día 2 ejercicios más que el día anterior. Si el primer día empezó haciendo un ejercicio: a) ¿Cuántos ejercicios le tocará hacer el día 15 de septiembre? b) ¿Cuántos ejercicios hará en total?

En una urbanización realizaron la instalación del gas natural en el año 1999.

Consideramos que en ese momento se hizo la primera revisión. Sabiendo que las revisiones sucesivas se realizan cada 3 años, responde: a) ¿En qué año se realizará la décima revisión?

Link de apoyo

https://www.youtube.com/watch?v=NMaYHNA6XYo Valor inicial

Pérdida de valor

Al cabo del primer año empieza a depreciarse