ANTIDERIVADAS. Pues... si es tan simple así significa que ya soy capaz de hacerlo. Lo intentaré. Quiero encontrar la antiderivada de 2x.

ANTIDERIVADAS

¿Qu´ e es una antiderivada? La respuesta es muy simple. Una antiderivada es la operaci´ on inversa a la derivada. Pero ¿qu´ e significa ser la operaci´ on inversa de la derivada? Significa que la antiderivada va a deshacer lo que la derivada se encarg´ o de hacer. El m´ etodo m´ as b´ asico para resolver una antiderivada es adivinar. Lo que har´ as es pensar en una posible respuesta, derivarla y ver si da!

Las antiderivadas tambi´ en son llamadas Integrales Indefinidas.

Pues... si es tan simple as´ı significa que ya soy capaz de hacerlo. Lo intentar´ e. Quiero encontrar la antiderivada de 2x.

Objetivo: Encontrar la antiderivada de 2x

Me guiar´ e por lo que dije arriba. Necesito deshacer lo que una derivada hizo. Debo devolver la funci´ on f (x) = 2x a su forma antes de derivar. Sencillo! Si derivo F (x) = x

obtengo 2x!

Lo primero que har´ as al momento de hacer una antiderivada es preguntarte ¿Qu´ e funci´ on debo derivar para que me d´ e 2x? (2x para este caso).

Ahora si me fijo con cuidado me puedo dar cuenta que si derivo F (x) = x

+ 1 tambi´ en obtengo 2x... y si derivo F (x) = x

+ 3.55 tambi´ en obtengo 2x. Cada vez que le sumo una constante a F (x) y derivo eso, sigo obteniendo 2x. As´ı que realmente la antiderivada de mi funci´ on f (x) = 2x es F (x) = x

+ C, donde C representa cualquier constante.

Eso no fue tan dif´ıcil. Lo intentar´ e de nuevo!

Objetivo: Encontrar la antiderivada de f (x) = 3x

Me hago la pregunta ¿Qu´ e funci´ on debo derivar para obtener 3x

? De ahora en adelante le llamar´ e a esa funci´ on F (x). ¿Puedo encontrar F (x) en este caso? ¡Claro que s´ı!

Si digo F (x) = x

+ C al momento de derivar encuentro que F

(x) = 3x

y esto es igual a f (x).

Intentemos con una un poco m´ as dif´ıcil.

Objetivo: Encuentra la antiderivada de f (x) = x

¿Qu´ e funci´ on debo derivar para que me de x

? Puedes pensar un poco y decir, si derivo F (x) = x

+C entonces F

(x) = 5x

... ¡Casi! Estoy cerca! Tengo un 5 que no quiero ah´ı... Intentar´ e esto, dir´ e que F (x) = x

5 + C.

Si derivo F (x) = x

5 + C entonces

F

(x) = 5x

5 = x

= f (x)

La funci´ on F (x) que encontr´ e funciona. ¿Como s´ e que funciona? Al derivar F (x) obtengo f (x).

En notaci´ on F

(x) = f (x). Har´ e una m´ as!

Objetivo: Encuentra la antiderivada de f (x) = 3x

¿Qu´ e funci´ on debo derivar para que me de 3x

? Intentar´ e usando F (x) = 3x

4 + C

F

(x) = 3(4)x

4 = 3x

= f (x)

Funciona. La F (x) que encontr´ e es correcta. Es hora de formalizar un par de cosas. Debemos comenzar por encontrar una notaci´ on para la operaci´ on de la antiderivada. Otra!

Objetivo: Encuentra la antiderivada de f (x) = x

¿Qu´ e funci´ on debo derivar para obtener x

? Esta es un poco m´ as dif´ıcil que las dem´ as...

Intentar´ e F (x) = x

. Eleg´ı 5/3 por qu´ e al derivar yo le resto 1 al exponente as´ı que si estoy aplicando la operaci´ on inversa por que no sumarle 1...

F

(x) = 5x

3

Deriv´ e mi F (x) pero no me dio lo que ten´ıa que dar! Para quitarle el 5/3 que est´ a al frente, multiplicar´ e eso por 3/5. Mi nueva F (x) ser´ a 3x

5 .

F

(x) = 3 5

5x

3 = x

Funciona! Uno m´ as...

Objetivo: Encuentra la antiderivada de f (x) = 1 x

Igual que cuando calculaba derivadas, escribir´ e 1

x

como x

. Ver´ e si F (x) = x

funciona.

F

(x) = −3(x

)

Casi... intentar´ e con F (x) = x

−3 .

F

(x) = − 1

3 (−3x

) = x

Si funciona! Para avanzar debo introducir la notaci´ on para la operaci´ on ”antiderivar”.

Anteriormente utiliz´ abamos la operaci´ on de la derivada y dec´ıamos por ejemplo...

derivar(x

) = 3x

Luego introdujimos esta notaci´ on

d

dx (x

) = 3x

¿Qu´ e notaci´ on deber´ıa usar para la antiderivada? Como s´ımbolo utilizo para expresar

antiderivar(3x

) = x

+ C

Para antiderivada usare la siguiente notaci´ on

Z

3x

dx = x

+ C

EXPLICACI ´ ON DE LA SIMBOLOG´ IA DE LA ANTIDERIVADA

Cuando us´ abamos la derivada ten´ıamos dos notaciones:

dy dx y

Donde dy

dx es la notaci´ on de Leibniz y y

es la notaci´ on de Newton.

Para la antiderivada usaremos esta notaci´ on

Z

f (x) dx = F (x) + C

F (x) es la antiderivada de f (x); recuerda que eso significa qu´ e al derivar F (x) obtienes f (x). La C es para hacer la antiderivada m´ as general (pero necesaria).

El s´ımbolo R

es una ”S” alargada, la raz´ on de eso lo ver´ as m´ as adelante. Lo que har´ e ahora ser´ a intentar encontrar un patr´ on en las antiderivadas que encontr´ e anteriormente.

Cuando busco la antiderivada de x

el resultado tiene exponente n + 1 (le sumo 1 al exponente).

Esto tiene sentido dado que

d

dx (x

) = nx

La derivada le quita 1 y la antiderivada le suma 1 (SON INVERSAS!). Al mirar nuevamente los

ejemplos, veo que el n´ umero que tengo en el exponente en el resultado de la antiderivada aparece

en el denominador. En el primer ejemplo tengo x

en el numerador y 5 en el denominador. Lo que

significa que si antiderivo x

mi resultado ser´ a una fracci´ on en donde el numerador ser´ a x

y el denominador ser´ a n + 1, con ese patr´ on reconocido puedo escribir una f´ ormula general para este caso.

Z

x

dx = x

n + 1 + C

Observa que tambi´ en funciona para los ´ ultimos ejemplos!

CUIDADO: ¿Qu´ e sucede si tengo esta integral?

Z dx x =

Z x

dx

Aplicando la f´ ormula te encontrar´ as un inconveniente... ¿Cu´ al es?

Al aplicar la f´ ormula cuando n = −1 obtengo, x

0 . Esto no puede ser... ¿Cu´ al es la integral

entonces? ¡Esto lo veremos m´ as adelante! Con eso, puedo decir que mi f´ ormula es

(F 1.1) Z

x

dx = x

n + 1 + C; n 6= −1

Recuerda que la constante C es para generalizar la antiderivada! A esta se le llama constante de integraci´ on. ”Integraci´ on”? Eso tambi´ en lo veremos despu´ es!

De cierta manera, la antiderivada y la derivada son hermanas, es posible que la antiderivada herede propiedades de la derivada.

Objetivo: Encuentra la antiderivada de 3x

+ 2x. Usando los s´ımbolos, eval´ ua Z

(3x

+ 2x) dx

Recuerda hacerte la pregunta ¿Qu´ e debo derivar para obtener 3x

+ 2x? Si derivo la expresi´ on x

+ x

+ C obtengo 3x

+ 2x. Si ves es como si hubiese antiderivado 3x

primero y luego 2x. Al tener ambas antiderivadas simplemente las sumo y obtengo mi respuesta.

Puedo decir entonces que la antiderivada de una suma es la suma de las antiderivadas de cada funci´ on. Tomar´ e dos funciones f (x), g(x), sus antiderivadas ser´ an F (x) y G(x) respectivamente.

Para mi ejemplo puedo escribir

Z

(3x

+ 2x)dx = Z

3x

dx + Z

2x dx = x

+ x

+ C

Despu´ es te demostrar´ e que poner una sola constante de integraci´ on es suficiente. Con eso listo,

puedo escribir mi propiedad

(P 1.1) Z

[f (x) + g(x)]dx = Z

f (x) dx + Z

g(x) dx = F (x) + G(x) + C

Objetivo: Eval´ ua Z

dx

Cuando ves solamente el diferencial se da por entendido que es ”1 dx” ¿Qu´ e derivo para obtener 1? Simple, x + C.

¿Como eval´ uo Z

3dx? Si derivo, 3x + C obtengo 3, listo. Y si eval´ uo Z 4x

5 dx? En este caso la respuesta es x

5 + C.

En los ´ ultimos dos casos puedo escribir las antiderivadas as´ı

Z

3dx = 3 Z

dx Z 4x

5 dx = 1 5 Z

4x

dx

¡Si saco alguna constante de la antiderivada el resultado es el mismo! (Siempre y cuando multiplique la constante de vuelta). Escribir´ e mi otra propiedad.

Si k es una constante y F (x) es la antiderivada de f (x),

(P 1.2) Z

kf (x)dx = k Z

f (x) dx = kF (x) + C

Las propiedades P 1.1 y P 1.2 muestran la linealidad de una antiderivada (busca m´ as informaci´ on

de esto en otros documentos).

Curiosidad: Te he dicho que las derivadas y las antiderivadas son operaciones inversas. Se que son inversas pero de alguna manera, muy en el fondo, son hermanas. Linealidad de una derivada:

d

dx [f (x) + g(x)] = d

dx (f (x)) + d dx (g(x))

d

dx [kf (x)] = k d dx [f (x)]

EJEMPLOS

Ejemplo 1: Calcula la antiderivada Z

9 x

dx

a.) Primer acercamiento: En vez de aplicar la f´ ormula y memorizar todo, puedes piensa: ¿Qu´ e puedo derivar para conseguir la funci´ on que est´ a dentro de la integral? Digamos que la respuesta a la integral es f (x). La misma puede ser f (x) = x

+ 1 o incluso f (x) = x

+ 4.5, por eso la respuesta mas general es: f (x) = x

+ C.

b.) Segundo Acercamiento: Aplicando la f´ ormula F 1.1, el procedimiento ser´ a el siguiente...

Para este caso (y usando la propiedad P 1.1) n = 8. Por eso:

Z

9 x

dx = 9 Z

x

dx = 9 x

8 + 1 + C = x

+ C

¡Listo! Toma en cuenta que seg´ un el diferencial (dx) me dice que integre x, por eso lo hice. No olvides, nunca, la constante de integraci´ on.

Ejemplo 2: Eval´ ua

Z 1

√ u

du

En problemas que se ven como este, pensar en una soluci´ on directa (como se hizo en el primer acercamiento del primer ejemplo) puede resultar complicado. Por eso, despu´ es de modificar un par de cosas utilizar´ e, las f´ ormulas.

Soluci´ on:

Antes de comenzar a resolver, puedo usar varias propiedades de exponentes para volver a escribir lo que est´ a dentro de la integral de manera que pueda aplicar una de las f´ ormulas mencionadas.

Para esto digo: √

u

= (u

)

(escribo la ra´ız como exponente), luego (u

)

= u

(propiedad de exponenciaci´ on), finalmente

= u

(propiedad de exponenciaci´ on, la u sube al numerador con exponente negativo).

Haciendo esto, puedes aplicar la f´ ormula F 1.1:

Z 1

√

u

du = Z

u

du = u

(−3/2) + 1 + C = u

−1/2 + C

Recuerda que se ve mejor hacer que la respuesta se vea como la funci´ on que est´ a dentro de la antiderivada por eso; el 1/2 sube al numerador como 2 y el u

baja al denominador con exponente positivo y cambiado a ra´ız cuadrada. Por eso la respuesta es:

Z 1

√

u

du = −2

√ u + C

No olvides la constante de integraci´ on, y observa que antideriv´ e con respecto a u por que el diferencial du me lo dijo!

Ejemplo 3: Integra Z

( 2t

− 7t

t

+ 25) dt

Para poder resolver la integral lo ideal es separar la fracci´ on en varias partes:

2t

− 7t

t

= 2t

t

− 7t

t

= 2t − 7 Mira que puedo sumar el 7 y el 25 antes de hacer la antiderivada:

Z

( 2t

− 7t

t

+ 25) dt = Z

(2t − 7 + 25) dt = Z

(2t + 18) dt Puedo separar, usando la propiedad P 1.1, esta antiderivada en varias partes:

= Z

2t dt + Z

18 dt

Un dato interesante, para estas dos antiderivadas no es necesario escribir una constante de inte- graci´ on para cada una; puedes escribir una sola para todas las antiderivadas, ya te lo demostrar´ e.

Observa que ambas antiderivadas se pueden resolver de manera directa haciendo la pregunta: ”¿Qu´ e debo derivar para que me resulte lo que tengo dentro de la integral?” Si derivo t

+ C

donde C

es una constante, obtengo 2t, si derivo 18t + C

donde C

es una constante obtengo 18. Por eso:

Z

2t dt + Z

32 dt = t

+ C

+ 32t + C

Con esto hecho, la respuesta debe ser:

Z

( 2t

− 7t

t

+ 25) dt = t

+ 18t + C

+ C

Pero como C

y C

son constantes, las puedo sumar para hacer una sola constante C.

Por eso la respuesta es:

Z

( 2t

+ 7t

t

+ 25) dt = t

+ 18t + C

Ya te demostr´ e que puedes usar una sola constante de integraci´ on. Termin´ o el problema. No olvides:

Nunca dejes la constante de integraci´ on, no olvides ver el diferencial antes de integrar.

Ejemplo 4: Calcula la antiderivada Z

( a y

√ a

+ b

− 1

ab

) dy donde a y b son constantes.

a.) Recuerda que a y b son constantes, por eso las puedes sacar de la antiderivada (propiedad P 1.2). Aplica la f´ ormula F 1.1.

Z a y

√ a

+ b

dy = a

√ a

+ b

Z

y

dy = a

√ a

+ b

y

(3/4) + 1 = a

√ a

+ b

y

7/4 = 4 a y

7 √

a

+ b

b.) Constantes fuera de la antiderivada y luego efectu´ o la operaci´ on.

Z 1

ab

dy = 1 ab

Z

dy = 1

ab

y = y

ab

d.) Combinando todo y agregando la constante de integraci´ on:

Z

( a y

√ a

+ b

− 1

ab

) dy = 4 a y

7 √

a

+ b

− y

ab

+ C

Antiderivadas de Funciones Trigonom´ etricas

Recuerda siempre la antiderivada es la operaci´ on inversa a la derivada. Con eso en mente completar´ e los siguientes objetivos.

Objetivo: Encuentra la antiderivada de f (x) = cos(x)

¿Qu´ e debo derivar para obtener cos(x)? Es es la primera pregunta que debes hacerte. Intentar´ e con F (x) = sen(x). Recuerdo que

d

dx (sen(x)) = cos(x) La derivada de sen(x) es cos(x). Por eso entonces,

Z

cos(x)dx = sen(x)

¿Qu´ e sucede si tengo F (x) = sen(x) + 1.1 o F (x) = sen(x) + 5/8...? Al derivar todas esas opciones obtengo cos(x) por eso para generalizar la antiderivada le sumar´ e una C (constante de integraci´ on).

(F 2.1) Z

cos(x) dx = sen(x) + C

Objetivo: Encuentra la antiderivada de f (x) = sen(x)

Recuerda que el m´ etodo principal para encontrar la antiderivada de una funci´ on es adivinando.

Comienza preguntando, ¿Qu´ e debo derivar para obtener sen(x). Intentar´ e con F (x) = cos(x).

F

(x) = −sen(x)

Cerca... la respuesta debe ser sen(x) no −sen(x), ¿por qu´ e no agregarle un negativo (-) a mi F (x) para tener una nueva F (x)? Intentar´ e con F (x) = −cos(x).

F

(x) = −(−sen(x)) = sen(x)

Funciona! Puedo decir entonces que

Z

sen(x) = −cos(x)

Mira que al derivar −cos(x) + 5 o −cos(x) − 2.56 o −cos(x) + 2/3... obtengo sen(x). Por eso, generalizar´ e la antiderivada sumando una constante de integraci´ on C. Finalmente

(F 2.2) Z

sen(x) dx = −cos(x) + C

Objetivo: Encuentra la antiderivada de f (x) = sec

(x)

¿Qu´ e debo derivar para obtener f (x) = sec

(x)? Recuerda que

d

dx (tan(x)) = sec

(x)

Al derivar tan(x) obtengo sec

(x)... pero tambi´ en puedo tener tan(x) + 2 o tan(x) + 3/4... as´ı que para generalizar sumar´ e una constante de integraci´ on.

(F 2.3) Z

sec

(x) dx = tan(x) + C

Objetivo: Encuentra la antiderivada de f (x) = csc

(x)

¿Qu´ e debo derivar para obtener f (x) = csc

(x)? Similar al problema anterior, puedo intentar con F (x) = cot(x)...

d

dx (cot(x)) = −csc

(x)

Casi... tengo un negativo que no quiero ah´ı as´ı que dir´ e que F (x) = −cot(x) + C (Recuerda que la C es para generalizar la antiderivada).

(F 2.4) Z

csc

(x) dx = −cot(x) + C

Te dejar´ e de ejercicio demostrar estas ´ ultimas f´ ormulas

(F 2.5) Z

sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C

(F 2.6) Z

csc(x)cot(x) dx = −csc(x) + C

¿Cu´ al es la respuesta a estas integrales?

Z

tan(x)dx

Z

csc(x)dx

Encontraremos la soluci´ on a esas integrales m´ as adelante.

Con estas f´ ormulas podemos encontrar la antiderivada a varias funciones (esencialmente, son las

mismas funciones que est´ an en las f´ ormulas).

Integrales de Funciones Exponenciales

Utilizar´ e la definici´ on de antiderivada para encontrar la antiderivada de e

y de a

. Recuerda que la derivada y la antiderivada son operaciones inversas.

Objetivo: Encuentra la antiderivada de f (x) = e

¿Qu´ e funci´ on debo derivar para obtener e

? No es tan dif´ıcil, F (x) = e

+ C (¿recuerdas por que la C?)

F

(x) = e

Funciona. Entonces,

(F 2.7) Z

e

dx = e

+ C

Objetivo: Encuentra la antiderivada de f (x) = a

Debo derivar una funci´ on F (x) para obtener a

. Intentar´ e con F (x) = a

.

F

(x) = a

(ln(a))

¡Casi! No quiero ese ln(a) ah´ı... Cambiar´ e mi F (x) a F (x) = a

ln(a)

F

(x) = 1

ln(a) (a

ln(a)) = a

¡Funciona! Entonces,

(F 2.8) Z

a

dx = a

ln(a) + C

Ejemplo 1: Integra Z e

e

dx

Como ves, esto no se parece a ninguna de las f´ ormulas mencionadas. Debo reducirla a una de ellas, en este caso subir´ e (por propiedades de exponentes) la e

al numerador con exponente positivo.

Z e

e

dx =

Z

e

 e

dx

Por propiedad de exponentes, puedo sumar los exponentes de cada e y expresar todo como e

= e

.

Z e

e

dx =

Z

(e

 e

) dx = Z

e

dx

¿Qu´ e debo derivar para obtener e

? Una propuesta l´ ogica es F (x) = e

(al derivar una exponencial siempre obtienes la misma exponencial).

F

(x) = 6e

Casi... Intentar´ e con F (x) = e

6 + K

F

(x) = 1

6 (6e

) = e

Si K es la constante de integraci´ on entonces,

Z e

e

dx = e

6 + K

Antiderivada: Logaritmo Natural

Anteriormente hab´ıamos encontrado que

Z

x

dx = x

n + 1 + C

para n 6= −1. ¿Qu´ e sucede cuando n = −1? ... Cuando estudiamos derivadas, encontramos que

d

dx [ln(x)] = 1 x Si la derivada de ln(x) es 1/x entonces tiene sentido decir que

Z dx

x = ln(x) + C Mira que esta antiderivada representa el caso

Z x

dx

para cuando n = −1. Por eso

(F 2.9)

Z 1

x dx = ln(x) + C

Nota: Recuerda que el logaritmo natural ln(x) es un logaritmo de base e ( log

(x) ) y estar´ a definido para x > 0.

e = 2.7182818...

Integrales (Antiderivadas) Directas

Algo que he mencionado muchas veces es que la derivada y la antiderivada son operaciones inversas. La antiderivada (o integral indefinida) deshace lo que la derivada hizo. Para resolver los ejemplos de esta secci´ on necesitar´ as de las f´ ormulas ya vistas.

Ejemplo 1: Eval´ ua la integral Z

sen(2x)dx

Esta integral es similar a

Z

sen(x)dx = −cos(x) + C

Lo ´ unico que cambia es el argumento de la funci´ on seno. En vez de ser x es 2x. Dir´ e que la antiderivada de la funci´ on sen(2x) es F (x) = −cos(2x). Derivar´ e F (x) para ver si obtengo sen(2x).

F

(x) = −2(−sen(2x)) = 2sen(2x)

Estoy cerca... para obtener la respuesta que quiero dir´ e F (x) = −cos(2x)

2 (divid´ı entre un 2).

Derivando F (x)...

F

(x) = −1

2 (−2sen(2x)) = sen(2x) Entonces

Z

sen(2x)dx = −cos(2x)

2 + C

Recuerda que la C es para generalizar la antiderivada. Har´ e los siguientes ejemplos m´ as directo.

Ejemplo 2: Eval´ ua la integral Z

xcos(x

)dx

Recuerda que

Z

cos(x)dx = sen(x) + C

Es razonable entonces pensar que la antiderivada de la funci´ on es F (x) = sen(x

). Derivando F (x) (recuerda la regla de la cadena)

F

(x) = cos(x

)(x

)

= 2xcos(x

)

Casi... Si divido mi F (x) entre 2 , mi nueva F (x) ser´ a F (x) = sen(x

)

2 Por eso, Z

xcos(x

)dx = sen(x

)

2 + C

Ejemplo 3: Encuentra la antiderivada de f (x) = (12x − 2)sec

(3x

− x + 1)

De la integral

Z

sec

(x)dx = tan(x) + C

Con eso puedo suponer que F (x) = tan(3x

− x + 1). Derivando

F

(x) = sec

(3x

− x + 1)(3x

− x + 1)

= (6x − 1)sec

(3x

− x + 1)

Mira que 12x − 2 = 2(6x − 1) lo que significa que a mi F (x) solamente le falta un 2. Mi nueva F (x) ser´ a entonces F (x) = 2tan(3x

− x + 1). Entonces

Z

(12x − 2)sec

(3x

− x + 1)dx = 2tan(3x

− x + 1) + C

Ejemplo 4: Eval´ ua

Z csc(

)cot(

)dx x

De la f´ ormula

Z

csc(x)cot(x)dx = −csc(x) + C

Puedo decir entonces F (x) = −csc(

) Derivando...

F

(x) = −csc( 1 x )cot( 1

x )[( 1

x )]

= −csc( 1 x )cot( 1

x )[ −1

x

] = csc(

)cot(

) x

Funcion´ o! Entonces,

Z csc(

)cot(

)dx

x

= csc( 1 x ) + C

Ejemplo 5: Integra Z

(x + 2)

dx

Es muy similar al caso

Z x

dx

Solamente que en vez de ser x

es (x + 2)

as´ı que intentar´ e ver´ e si F (x) =

+ C funciona como mi antiderivada.

F

(x) = 1

3 3(x + 2)

(x + 2)

= (x + 2)

Funciona!! Por eso

Z

(x + 2)

= (x + 2)

3 + C

Ejemplo 6: Eval´ ua

Z dx

2x + 25 Esta integral es similar a

Z dx

x = ln(x) + C Tiene sentido intentar con F (x) = ln(2x + 25) + C

F

(x) = 1

2x + 25 (2x + 25)

= 2 2x + 5

Cerca... Modificar´ e F (x) a F (x) = ln(2x + 25)

2 + C

F

(x) = 1 2

1

2x + 25 (2x + 5)

= 1 2

2

2x + 5 = 1 2x + 25 Finalmente

Z dx

2x + 25 = ln(2x + 5)

2 + C

Nota: Estos son casos muy espec´ıficos en donde usando las f´ ormulas llegas a la respuesta. En casos m´ as generales, usaremos diferentes m´ etodos para poder encontrar la soluci´ on a un problema.

Ejemplo...

Z

cos(x

)dx

Pasos para resolver una integral indefinida (antiderivada):

1.) Observar con cuidado la integral 2.) ”Adivinar” la respuesta

3.) Revisar si tu respuesta funciona.

T´ ecnicas de Integraci´ on I

Hasta ahora no hemos utilizado ning´ un procedimiento matem´ atico para encontrar la soluci´ on a una antiderivada; simplemente hemos adivinado. ¿Qu´ e sucede cuando tengo integrales m´ as complejas?

En estos casos, ser´ a dif´ıcil utilizar el ”m´ etodo” de adivinar, por eso debo utilizar alg´ un procedimiento matem´ atico confiable, un m´ etodo o t´ ecnica.

El primer m´ etodo utilizado para resolver una integral es el Cambio de Variable o Sustituci´ on Simple.

Utilizar´ e una nueva variable (diferente a la que est´ a dentro de la integral) para llevar la integral a una forma conocida.

Ejemplo 1: Integra

Z 1

√ 2x + 1 dx

Primero mira que la forma de esta integral no est´ a en las f´ ormulas ya conocidas, sin embargo podemos convertirla a una forma conocida utilizando el m´ etodo de sustituci´ on simple.

a.) Escoge una variable cualquiera, en este caso escoger´ e t. Si quieres reducir esta integral a una integral conocida lo mejor es que se vea como algo as´ı: R

√u

du (Piensalo...)

b.) Para que mi integral se vea como mencion´ e dir´ e entonces que t = 2x + 1.De modo que la integral queda como: R

t

dx. Pero esta integral est´ a extra˜ na... el diferencial sigue siendo dx, la idea es integrar tu nueva variable pero para hacer eso necesito un diferencial que vaya con tu variable, en este caso necesito un dt.

c.) Para conseguir mi diferencial lo que har´ e es derivar ambos lados de mi sustituci´ on y despejar mi diferencial original para reemplazarlo en la integral. Te lo muestro:

t = 2x + 1

Derivo t con respecto a x:

dt

dx = 2

Despejando:

dx = dt 2

Opcional: Usualmente derivar se hace as´ı t = 2x + 1 → dt = 2dx.

d.) Reemplazando dx en la integral:

Z 1

√ t dx = Z 1

√ t ( dt 2 ) = 1

2 Z dt

√ t = √ t + C

e.) ¡Esta no es la respuesta de la integral! Necesito dar la respuesta en la variable original, x en este caso. Por eso, uso la sustituci´ on t = 2x + 1. Queda algo as´ı:

Z 1

√ 2x + 1 dx = 1 2

Z dt

√ t = √

t + C = √

2x + 1 + C .

La respuesta:

Z 1

√ 2x + 1 dx = √

2x + 1 + C

Ejemplo 2: Integrar

Z 4u

u

+ 1 du

Identificar en este caso cual debe ser tu sustituci´ on puede ser un poco m´ as dif´ıcil, sigue estos pasos:

a.) Primero debes ver que el numerador, por coincidencia, es igual a la derivada del denominador, asi que el denominador puede ser una buena sustituci´ on. Mi nueva variable ser´ a z.

z = u

+ 1 → dz = 4u

du

b.) Mira que dz es igual a todo el numerador de la integral, por eso sustituyendo dz = 4u

du y z = u

+ 1. Reemplazando la integral queda como: R

z

y su respuesta ln | z | +C.

c.) Mas claro:

Z 4u

u

+ 1 du =

Z dz

z = ln | z | +C = ln | u

+ 1 | +C

Practica para reconocer diferentes sustituciones que se pueden hacer. Para m´ as ejemplos de susti-

tuciones simples revisa el documento: Ejemplos Adicionales - Antiderivadas.

Ejemplos Adicionales - Antiderivadas

Este documento contiene integrales que requieren de las f´ ormulas ya vistas y del m´ etodo de susti- tuci´ on simple. Estos problemas deben servir de gran ayuda al momento de practicar sustituci´ on simple.

I. Integrales Trigonom´ etricas

Problema 1: Integra Z

sen(t)cos(t) dt

Me gusta este ejemplo por que puedes resolverlo de varias maneras (aqu´ı mostrar´ e 3). Usaremos sustituci´ on simple muchas veces, mira con cuidado.

a.) Primer m´ etodo: Mi sustituci´ on ser´ a u = cos(t).

u = cos(t) → du = −sen(t)dt

Mira que:

−du = sen(t)dt

Ya yo tengo sen(t)dt en mi integral, entonces lo substituir´ e por −du. Tambi´ en, sustituir´ e cos(t) por u.

Z

sen(t)cos(t) dt = Z

cos(t)[sen(t) dt] = Z

u(−du) = − Z

u du

Integrando:

− Z

u du = − u

2 + k

La letra k representa una constante (no solo te acostumbres a C). Reemplazo para tener cos(t) de

nuevo y obtengo:

Z

sen(t)cos(t) dt = − (cos(t))

2 + k = − cos

(t) 2 + k Listo. Siguiente m´ etodo.

b.) Segundo M´ etodo: Est´ e procedimiento es bien similar al anterior, no voy a detallar tanto los pasos. Mi sustituci´ on ser´ a u = sen(t).

u = sen(t) → du = cos(t)dt

Reemplazando en la integral:

Z

sen(t) [cos(t)dt] = Z

u du = u

2 + C = sen

(t)

2 + C

Listo. ´ Ultimo m´ etodo.

c.) Tercer M´ etodo: Usar´ e la f´ ormula de seno de doble ´ angulo...

sen(2θ) = 2sen(θ)cos(θ)

Despejando encuentras que para este caso:

sen(t)cos(t) = 1 2 sen(2t)

Reemplazo esto en la integral para desarrollarla de manera que queda como:

Z

sen(t)cos(t) dt = 1 2

Z

sen(2t) dt

Por sustituci´ on simple voy a decir que z = 2t → dz = 2dt → dt =

y luego aplicar´ e la f´ ormula de integral de seno...

1 2

Z

sen(2t)dt = 1 2

Z

sen(z)( dz 2 ) = 1

2  1 2

Z

sen(z) dz = 1

4 (−cos(z)) + C

Cambiare de variable nuevamente [ z = 2t ] y encuentro que finalmente:

Z

sen(t)cos(t) dt = −cos(2t)

4 + C

Nunca olvides que la respuesta de una integral puede NO ser ´ unica, por eso encontramos tantas respuestas. En vez de pensar que la respuesta que encontraste es definitiva, abre tu mente. Si alguien viene con una respuesta diferente a la tuya, derivala y fijate si da lo que ten´ıa la integral adentro.

Problema 2: Integra

Z sec

(ln(x))

x dx

Esta integral no se parece en nada a las f´ ormulas dadas, tengo que llevarla a una de esas formas.

¿Como lo hago? Primero mira la integral as´ı:

Z sec

(ln(x))

x dx =

Z

sec

(ln(x))  1 x dx

Mira que la expresi´ on 1

x dx es la derivada de ln(x) por eso la sustituci´ on u = ln(x) → du =

dx tiene sentido, por eso la usar´ e y resolver´ e la integral:

Z sec

(ln(x))

x dx =

Z

sec

(u)du = tan(u) + K

donde K es una constante. Reemplazo las variables nuevamente y encuentro que:

Z sec

(ln(x))

x dx = tan(ln(x)) + K

¡Listo! Mira otro ejemplo.

Problema 3: Integra Z

cos

(x) dx

Hay veces (de hecho muchas veces) que debes utilizar f´ ormulas para resolver las integrales (usar f´ ormulas antes de integrar). En este caso existe esta f´ ormula: 1 + cos(2x)

2 = 1

2 + cos(2x)

2 . Con

eso, intenta resolver...

Z

cos

(x) dx =

Z 1 + cos(2x)

2 dx = 1

2 Z

(1 + cos(2x)) dx = 1 2 (

Z dx +

Z

cos(2x)dx)

Solamente reemplac´ e y separ´ e la integral en dos integrales, ahora har´ e la sustituci´ on u = 2x para la segunda integral ( no detallar´ e tanto) y llego a que...

1 2 (

Z dx +

Z

cos(2x)dx) = 1

2 (x + sen(2x) 2 + C

)

Ahora mira esto que va a ser ´ util en varias ocasiones. Al multiplicar

por lo que est´ a dentro del par´ entesis, me quedar´ a el t´ ermino

. Est´ e termino representa a otra constante diferente de C

por eso la llamar´ e C

. La respuesta a esta integral es:

Z

cos

(x) dx = x

2 + sen(2x) 4 + C

Puedes cambiar C

por C si quieres pero ten en cuenta que esta constante C era diferente a la constante dentro del par´ entesis C

. La integral R sin

(x)dx se resuelve de una manera similar.

Problema 4 : Integra Z

cos(3x)sen(19x) dx

Hmmm.... Esta integral parece realmente extra˜ na y no va con ninguna de nuestras f´ ormulas.. ¿Qu´ e hago?... Reducirla a las f´ ormulas conocidas, nunca lo olvides.

Para este problema no detallar´ e tanto al momento de integrar, solo te mostrar´ e como reducir la integral a integrales conocidas. Te dejar´ e lo dem´ as como ejercicio. Usar´ e la siguiente f´ ormula:

sen(A)cos(B) = 1

2 (sen(A − B) + sen(A + B))

En este caso, A = 19x y B = 3x ¿lo ves? Mira como queda lo que est´ a adentro de la integral seg´ un la f´ ormula:

cos(3x)sen(19x) = 1

2 (sen(19x − 3x) + sen(19x + 3x)) = 1

2 (sen(16x) + sen(22x))

Por eso la integral quedar´ a como...

Z

cos(3x)sen(19x) dx = 1 2 [

Z

(sen(16x) + sen(22x))dx]

Mi esp´ıritu poderoso me dice que puedes hacer estas integrales por eso te dir´ e la respuesta y tu la revisas:

Z

cos(3x)sen(19x) dx = −cos(16x)

32 − cos(22x) 44 + C

Problema 5: Integra

Z xcsc(ln(x)) + xcsc(ln(x))cot(ln(x))

x

dx

Regla N1: No te dejes intimidar por una integral, puede ser m´ as f´ acil de lo que parece. Reducir´ e est´ a integral a las f´ ormulas conocidas. Comenzar´ e por factorizar la x del numerador y simplificarla con la x

del denominador:

Z xcsc(ln(x)) − xcsc(ln(x))cot(ln(x))

x

dx =

Z x[csc(ln(x)) − csc(ln(x))cot(ln(x))]

x

dx

=

Z csc(ln(x)) − csc(ln(x))cot(ln(x))

x dx =

Z

[csc(ln(x)) − csc(ln(x))cot(ln(x)]  1 x dx Mira que

dx es la derivada de ln(x) por eso la sustituci´ on t = ln(x) → dt =

dx =

tiene sentido y por eso mismo la usar´ e y luego integrar´ e.

Z

[csc(ln(x)) − csc(ln(x))cot(ln(x)]  1 x dx =

Z

[csc(t) − csc(t)cot(t)] dt

Separando en varias integrales y usando las f´ ormulas:

Z

[csc(t) − csc(t)cot(t)] dt = Z

csc(t)dt − Z

csc(t)cot(t)dt = ln | csc(t) − cot(t) | +csc(t) + K

Reemplazando de vuelta a la variable x encuentro esta fea, pero no tan dif´ıcil de obtener, respuesta:

Z xcsc(ln(x)) + xcsc(ln(x))cot(ln(x))

x

dx = ln | csc(ln(x)) − cot(ln(x)) | +csc(ln(x)) + K

II. Integrales de Exponenciales

Problema 6: Si Z

t p

t

+ 1 = ( √ t

+ 1)

3 + C , integra Z

e

p

e

+ e

dx

Esto te puede suceder bastante despu´ es, te dan una f´ ormula y adaptas tu integral a esa f´ ormula (lo has hecho antes con f´ ormulas m´ as f´ aciles); de hecho, puedes usar sustituci´ on simple para demostrar esa f´ ormula que te di.

Ahora con la integral. Para resolverla debo llevarla a la forma de la integral que te di. Para hacer esto comenzar´ e haciendo varios pasos:

a.) Recordando la propiedad de exponentes que dice (a

)

= a

, escribo lo que esta dentro de la ra´ız de la siguiente manera: √

e

+ e

= p(e

)

+ (e

)

b.) Factorizando (e

)

en la expresi´ on dentro de la ra´ız me queda: p(e

)

)[(e

)

+ 1]

c.) Separando la ra´ız en dos ra´ıces (Propiedad: √ ab = √

a √

b) y luego simplificando la ra´ız que tiene a (e

)

: p(e

)

)[(e

)

+ 1] = p(e

)

p(e

)

+ 1 = e

p(e

)

+ 1. [Nota: esto es ignorando una formalidad...].

d.) Te das cuenta que ahora lo que est´ a dentro de la integral se parece m´ as a lo que est´ a a dentro de la integral de la f´ ormula que te di? Para completar su ”look”, har´ e la substituci´ on z = e

→ dz = e

dx, mostrar´ e los pasos:

Z e

p

e

+ e

dx = Z

e

[e

p

(e

)

+ 1] dx = Z

e

p

(e

)

+ 1(e

dx)

= Z

z p

z

+ 1 dz

e.) ¡Ahora si se parece! Aplica la f´ ormula ya y luego pasar´ e todo a la variable x:

Z z p

z

+ 1 dz = (p(z

+ 1)

3 + C

Reemplazando todo a la variable x, mi respuesta es:

Z e

p

e

+ e

dx = (p(e

)

+ 1)

3 + C = ( √

e

+ 1)

3 + C

Problema 7: Integra

Z e

u du

Para este problema utilizar´ e dos caminos, cada uno de ellos llevar´ an a la misma respuesta. Mira con cuidado.

a.) Primer Camino: Usare la substituci´ on t = ln(3u) → dt = [

(3)]du → dt =

du (usa Regla de la Cadena al derivar no lo olvides). Reemplazo eso en la integral y desarrollo:

Z e

u du =

Z

e

[ 1 u du] =

Z

e

dt = e

+ C

Ahora cambiando la variable t a la variable x encuentro:

Z e

u du = e

+ C

Ahora puedes simplificar eso utilizando la propiedad: e

= a en donde la respuesta totalmente simplificada es:

Z e

u du = 3u + C

b.) Segundo Camino: ¿Lo viste? Esa ´ ultima propiedad que us´ e al final de los pasos del Primer

Camino, la pude haber usado al comienzo del problema (SIN HACER SUSTITUCI ´ ON). El problema

se hubiese visto as´ı:

Z e

u du =

Z 3u u du =

Z

3 du = 3u + C

Eso era todo... Nota: OBSERVA BIEN CUANDO PUEDES APLICAR PROPIEDADES, pueden simplificarte la vida.

Problema 8: Integra Z

(6x

+ 2)a

dx ( a es una constante )

Esta integral no se parece a las f´ ormulas que escrib´ı al comienzo. Lo que debo hacer (como regla) es llevarla a una de esas formas. Debes intentar ver que puedes factorizar (por 2) los t´ erminos dentro del par´ entesis: 6x

+ 2 = 2(3x

+ 1). Al haber hecho eso, debes intentar ver que lo que est´ a dentro del par´ entesis (excluyendo al 2) es la derivada de lo que est´ a en el exponente de la a.

Con eso, me doy cuenta de que la substituci´ on u = x

+ x → du = (3x

+ 1)dx tiene sentido, y por eso la usar´ e:

Z

2(3x

+ 1)a

dx = 2 Z

a

[(3x

+ 1)dx] = 2 Z

a

du

Ahora si puedo usar la f´ ormula:

2 Z

a

du = 2 a

ln(a) + K

Recuerda que yo me refiero a C y a K como constantes cualquiera. Ahora volviendo a la variable x, mi respuesta ser´ a:

Z

(6x

+ 2)a

dx = 2 a

ln(a) + K Listo. Pasar´ e a un ejemplo mas inusual, pero igual de interesante...

Problema 9: Demuestra que

Z dx

1 + e

= ln | 1

1 + e

| +C

Esta integral no tiene el ”look” de ninguna de las f´ ormulas que escrib´ı... ¿Qu´ e debo hacer? Esta es una de las integrales en las cuales se aplican m´ etodos nuevos, o inusuales. Si intentas hacer la substituci´ on u = 1 + e

´ o u = e

te dar´ as cuenta que te faltan cosas en la integral para reemplazar tu du.

Te invito a pensar un minuto... Ahora te dar´ e el secreto. Como me faltan cosas para reem- plazar por un du (asumiendo que mi nueva variable ser´ a u) tengo que agreg´ arselas de una manera matem´ aticamente v´ alida. Har´ e la substituci´ on u = 1 + e

→ du = e

dx. Con esto me doy cuenta que necesito un e

en el numerador. Se lo agregar´ e:

Z dx 1 + e

 e

Le multipliqu´ e un t´ ermino e

al numerador, pero creo haber dicho que debe ser matem´ aticamente v´ alido; por eso debo agregarle un t´ ermino e

al denominador tambi´ en. Lo har´ e y todo debe funcionar como quiero!:

Z dx 1 + e

 e

e

Haciendo esto, todo es matem´ aticamente v´ alido! Por que

= 1 y t´ ecnicamente mi integral est´ a intacta, todo est´ a bien no le agregu´ e nada que no deb´ıa. La arreglar´ e un poco m´ as.

Z dx 1 + e

 e

e

=

Z e

dx e

+ e

Rayos... Mi denominador cambi´ o... ¡La sustituci´ on que hice enante no funciona! Ahora que hago...

Intentar´ e multiplicar por e

a ver que sucede:

Z dx 1 + e

 e

e

En el numerador me quedar´ a e

dx y en el denominador ocurrir´ a esto: (1 + e

)e

= e

+

(e

)(e

) = e

+ e

= e

+ e

= e

+ 1 (debes intentar hacer esto mucho m´ as directo en

un futuro cercano). Ahora con eso mi integral se vera as´ı:

Z e

dx e

+ 1

Para continuar el problema, intentar´ e hacer la substituci´ on u = e

+ 1 → du = −e

dx →

−du = e

dx (nunca olvides la Regla de la Cadena...). Espera, todo parece funcionar... en mi numerador tengo la substituci´ on para mi du y en el denominador tengo mi u... ¡No me falta m´ as nada! Desarrollo:

Z e

dx e

+ 1 =

Z −du u = −

Z du

u = −ln | u | +C Paso de la variable u a la variable x:

Z dx

1 + e

= −ln | e

+ 1 | +C

Esto no parece ser la respuesta que escrib´ı al comienzo del problema, ¿Me habr´ e equivocado? No.

Usa la propiedad: a ln(b) = ln(b

). Para este caso, mi ”b” es e

+ 1 y la ”a” es −1 (ese negativo que tiene enfrente es lo mismo que decir −1), aplico la propiedad al logaritmo de mi respuesta:

−ln | e

+ 1 |= ln | (e

+ 1)

|= ln | 1 e

+ 1 |

Para aclarar: El −1 eleva a todo el argumento del logaritmo natural, y para pasarlo al denominador para TODO con exponente positivo. Finalmente demuestro que:

Z dx

1 + e

= ln | 1

1 + e

| +C

Integrales que producen Funciones Trigonom´ etricas Inversas

Veremos un grupo de funciones cuyas antiderivadas son funciones trigonom´ etricas inversas. Para comenzar, recuerda que

d

dx (sen

(x)) = 1

√ 1 − x

Si al derivar sen

(x) obtienes

1−x²

. Por eso puedo decir que

Z dx

√ 1 − x

= sen

(x) + C

Lo que har´ e ahora es generalizar esta integral. En otras palabras, evaluar´ e

Z dx

√ a

− x

Usar´ e el ”m´ etodo” de ”adivinar”. ¿Qu´ e sucede si derivo sen

( x a )?

d

dx (sen

( x

a )) = 1 p1 − (

)

( x

a )

= 1 q

a²

1

a = 1

1 a

√ a

− x

1

a = 1

√ a

− x

Al derivar sen

( x

a ) obtengo 1

√ a

− x

por eso...

(F 2.1)

Z dx

√ a

− x

= sen

( x

a ) + C

Tambi´ en conoces que

d

dx (tan

(x)) = 1 1 + x

d

dx (sec

(x)) = 1

|x| √ x

− 1 Entonces,

Z dx

x

+ 1 = tan

(x) + C

Z dx

x √

x

− 1 = sec

(x) + C Te dejo como ejercicio generalizar estas integrales.

(F 2.1)

Z dx

x

+ a

= 1

a tan

( x a ) + C

(F 2.1)

Z dx

x √

x

− a = sec

   x a    + C

El enfoque es el mismo: cada vez que veas una integral parecida lleva la integral a una de las formas conocidas y luego integras. Tambi´ en recuerda no olvidar los valores absolutos cuando son necesarios. Antes de pasar a ejemplos de integrales te dar´ e un ejemplo especial para que recuerdes como completar el cuadrado. Resultar´ a ´ util.

Ejemplo Especial 1: Completa x

− 4x + 13

Ser´ a ´ util escribir esta expresi´ on de la forma (ax − b)

+ c (eso es lo que es completar el cuadrado).

Recuerda la f´ ormula que dice (x + a)

= x

+ 2(a)x + a

. En nuestro caso puedo escribir la ecuaci´ on como: x

− 4x + 13 = x

− 2(2)x + 13 para completar, seg´ un la f´ ormula, necesito el n´ umero 2

´ o 4 asi que separar´ e el 13 como 13 = 9 + 4 = 9 + 2

.

Ahora completando la ecuaci´ on original x

− 4x + 13 = x

− 2(2)x + 13 = x

− 2(2)x + 2

+ 9 = (x − 2)

+ 9. Listo, ya le di la forma que quer´ıa.

Ejemplo Especial 2: Completa −x

+ 8x − 13

Para ver mejor lo que voy a completar, sacar´ e un negativo de toda la expresi´ on y quedar´ a as´ı:

−(x

−8x+13). Si miras bien para completar la expresi´ on dentro de el par´ entesis necesito un 16 = 4

, se lo sumar´ e y a la vez lo restar´ e para que la operaci´ on sea v´ alida as´ı: −(x

− 8x + 13 + 16 − 16).

Ordenando un poquito: −[(x

− 8x + 16) − 3], con eso puedo escribir: −[(x

− 8x + 16) − 3] =

−[(x − 4)

− 3] = 3 − (x − 4)

.

Listo, ya llev´ e la expresi´ on a la forma que necesitaba. Te recomiendo que practiques m´ as esto para hacerlo m´ as r´ apido y no sea un problema (o p´ erdida de tiempo en un problema). En los ejemplos que te escribir´ e, te dejar´ e como ejercicio completar el cuadrado (no mostrar´ e procedimiento.)

Ejemplo 1: Integra Z

0

1 + x 1 + x

dx

Primero har´ e la antiderivada

Z 1 + x 1 + x

dx.

Separando la antiderivada en dos partes, encuentro que:

Z 1 + x 1 + x

dx =

Z 1

1 + x

dx +

Z x

1 + x

dx

La primera integral tiene la forma de la f´ ormula (2). Para este caso a = 1. Asi que la respuesta a la primera integral es simplemente:

Z 1

1 + x

dx = arctan(x) + K

= tan

(x) + K

Nota: Decir arctan(x) es lo mismo que decir tan

(x). Para la segunda integral usar´ e una susti- tuci´ on simple: t = 1 + x

→ dt = 2xdx →

= xdx. Reemplazando en la integral

Z x

1 + x

dx = 1 2

Z dt t = 1

2 ln|t| + K

= 1

2 ln|x

+ 1| + K

En general, la antiderivada de mi integral ( la del comienzo ) es:

Z 1 + x

1 + x

dx = tan

(x) + 1

2 ln|x

+ 1| + K Evaluando la integral:

Z

1 + x

1 + x

dx = h

tan

(x) + 1

2 ln|x

+ 1| i

|

= tan

(1) + 1

2 ln|1

+ 1| − tan

(0) − 1

2 ln|0

+ 1|

Z

1 + x

1 + x

dx = π 4 + 1

2 ln(2) = π

4 + ln( √ 2)

Ojo:

ln(2) = ln(2

) = ln( √ 2)

Ejemplo 2: Desarrolla la antiderivada

Z sen(2θ) dθ p20 − sen

(θ)

Antes de ponerme a integrar debo tratar de reducir la integral a una f´ ormula conocida. La integral se parece a la f´ ormula (1). Por eso escribir´ e la integral as´ı:

Z sen(2θ) dθ p20 − sen

(θ) =

Z sen(2θ) dθ q

( √

20)

− (sen

(θ))

Ahora har´ e un cambio de variable: u = sen

(θ) → du = 2sen(θ)cos(θ)dθ. Pareciera que en mi integral no tengo nada para sustituir por du, antes de borrar todo recuerda que sen(2θ) = 2sen(θ)cos(θ) por eso puedo decir que du = sen(2θ)dθ. Paso todo esto a la integral:

Z sen(2θ) dθ q

( √

20)

− (sen

(θ))

=

Z du

q ( √

20)

− u

Usando la f´ ormula:

Z du

q ( √

20)

− u

= sen

 u

√ 20

 + C

Regreso a la variable θ y mi respuesta ser´ a:

Z sen(2θ) dθ

p20 − sen

(θ) = sen

 sen

(θ)

√ 20



+ C = sen

 sen

(θ) 2 √

5



Listo. Hasta el m´ as feo de los problemas, puede resultar como el m´ as f´ acil.

Ejemplo 3: Integra Z

1

dx x[1 + ln

(x)]

Como regla, debes llevar esta integral a una forma conocida. Antes de resolver la integral (evaluarla), solamente desarrollar´ e su antiderivada.

Z dx

x[4 + ln

(x)] =

Z dx

x[4 + (ln(x))

]

A simple vista, parece que transformar esta integral a la forma de la f´ ormula (2). Har´ e el cambio de variable para comprobar: t = ln(x) → dt =

. Hago el cambio en la integral:

Z dx

x[(2)

+ (ln

x))

] =

Z dt

(2)

+ t

Aplico la f´ ormula (2) donde a = 2,

Z dt

(2)

+ t

= 1

2 tan

 t 2

 + K

La antiderivada es:

Z dx

x[4 + ln

(x)] = 1

2 tan

 ln(x) 2



+ K

Evaluando la integral en los l´ımites de integraci´ on:

Z

dx

x[1 + ln

(x)] = 1

2 tan

 ln(e) 2

 − 1

2 tan

 ln(1) 2



= 1

2 tan

 1 2

 − 1

2 tan

(0) = 1

2 tan

 1 2

 ≈ 0.232

Listo. Veamos ejemplos m´ as comunes.

Ejemplo 4: Desarrolla la antiderivada

Z dx

√ 5 − 4x − x

No me cansar´ e de decirlo. Lleva esto a una forma conocida. Cuando tienes una expresi´ on como la que est´ a dentro de la ra´ız lo mejor ser´ a completar al cuadrado. Sin explicaci´ on de pasos, este procedimiento se debe ver m´ as o menos as´ı: 5 − 4x − x

= −[x

+ 4x − 5] = −[x

+ 4x + 4 − 4 − 5] =

−[(x + 2)

− 9] = 9 − (x + 2)

= 3

− (x + 2)

Continuo:

Z dx

√

5 − 4x − x

=

Z dx

p(3)

− (x + 2)

Para terminar de darle forma, har´ e la sustituci´ on u = x + 2 → du = dx. Sustituyendo

Z dx

p(3)

− (x + 2)

=

Z du

p(3)

− u

Para aplicar la f´ ormula, miro que a = 3 por eso

Z du

p(3)

− u

= sen

 u 3

 + C

Sustituyendo nuevamente a la variable x, mi respuesta es

Z dx

√ 5 − 4x − x

= sen

 x + 2 3



+ C

Ejemplo 5: Integra

Z dt

t √ 4t

− 1

La forma de esta integral es similar a la f´ ormula (3). Escribir´ e la integral as´ı:

Z dt

tp(2t)

− 1

Hago la sustituci´ on u = 2t → du = 2dt →

. Para darle la forma completa debo saber tambi´ en que t =

, despejando en la sustituci´ on anterior. Sustituyendo:

Z dt

tp(2t)

− 1 =

Z

2 u 2

√

u

− 1 =

Z du

u √ u

− 1 Usando la f´ ormula (3) y regresando a la variable t, la respuesta ser´ a

Z dt

t √

4t

− 1 = sec

|2t| + K Ejemplo 6: Integra

Z x − 3 x

+ 2x + 2 dx

Un ejemplo cl´ asico. Llevaremos esto a alguna(s) forma(s) conocida(s). Primero al completar el cuadrado encuentras que x

+ 2x + 2 = (x + 1)

+ 1. Separar´ e la integral en varias partes:

Z x − 3

(x + 1)

+ 1 dx =

Z xdx

x

+ 2x + 2 −

Z 3dx

(x + 1)

+ 1

¿Viste que deje expandido el denominador de la primera integral? Eso tiene una raz´ on, a medida avanzamos paso a paso ver´ as por que es ´ util.

Para resolver la primera integral dir´ e u = x

+ 2x + 2 → du = (2x + 2)dx. ¡No tengo esa expresi´ on para reemplazar por du! Pienso que puedo hacer algunas manipulaciones para conseguir la expresi´ on 2x + 2. Primero agregare el 2 a la x para que sea 2x. Lograr´ e eso, multiplicando por 2 y dividiendo por 2:

Z xdx

x

+ 2x + 2 = Z 2

2

xdx

x

+ 2x + 2 = 1 2

Z 2xdx

x

+ 2x + 2

Lo logr´ e. Ahora necesito un +2. Para hacer eso, sumar´ e y restar´ e 2 de 2x, te lo muestro.

1 2

Z 2xdx

x

+ 2x + 2 = 1 2

Z (2x + 2 − 2)dx x

+ 2x + 2 Separando esta integral en varias integrales

1 2

Z (2x + 2 − 2)dx x

+ 2x + 2 = 1

2

h Z (2x + 2)dx x

+ 2x + 2 −

Z 2dx

x

+ 2x + 2 i

= 1 2

Z (2x + 2)dx x

+ 2x + 2 −

Z dx

x

+ 2x + 2 Vuelvo a unir todas las partes de la integral principal

Z x − 3

(x + 1)

+ 1 dx = 1 2

Z (2x + 2)dx x

+ 2x + 2 −

Z dx

(x + 1)

+ 1 −

Z 3dx

(x + 1)

+ 1

En la segunda integral puse el denominador completado, de manera que pueda unir la segunda y tercera integral en una sola. Continuo:

1 2

Z (2x + 2)dx x

+ 2x + 2 −

Z dx

(x + 1)

+ 1 −

Z 3dx

(x + 1)

+ 1 = 1 2

Z (2x + 2)dx x

+ 2x + 2 −

Z 4dx

(x + 1)

+ 1 Con eso listo, solamente te dar´ e el resultado (s´ e que puedes comprobarlo). El enfoque de este problema era como arreglar la integral de manera que me queden f´ ormulas conocidas, ya lo hice, tu har´ as la integraci´ on. Respuesta:

Z x − 3

x

+ 2x + 2 dx = ln| p

x

+ 2x + 2| − 4 tan

(x + 1) + C

Si a´ un encuentras dificultades al momento de completar al cuadrado, revisa los v´ıdeos o documentos

que tengan que ver con este tema.

La Integral Definida I

Anteriormente hab´ıamos estudiado el concepto de antiderivada o integral indefinida. Hab´ıamos mencionado que el s´ımbolo para representar a la operaci´ on de antiderivada era ”R ”, y este s´ımbolo es una ”S” alargada. ¿Por qu´ e es una S alargada? ¿Para qu´ e estudi´ e antiderivadas?

Introducir´ e una nueva definici´ on, un nuevo concepto. Estudiaremos la Integral Definida. Para no introducir un concepto muy abstracto, resolveremos un problema para introducir el concepto de manera m´ as clara. Aproximaremos el ´ area bajo una curva.

Mira la gr´ afica de abajo. Lo primero que har´ e es dividir el intervalo [a, b] en n subintervalos de longitud ∆x como se muestra (estoy asumiendo que todos los intervalos tienen la misma longitud).

Ya que estoy dividiendo el intervalo [a, b] en n intervalos de igual longitud entonces,

∆x = b − a n

Llamar´ e a cada punto del eje x

, x

, ...x

(lo que quiero decir es que i = 1, 2, 3...), por eso tiene

sentido que tambi´ en pueda escribir ∆x = x

− x

. Ahora escoger´ e un punto que est´ e en la mitad

del intervalo [x

, x

] y le llamar´ e x

.

Ahora, coloco un rect´ angulo como se muestra en la gr´ afica de abajo. Observa que la base del rect´ angulo es de longitud ∆x (recuerda que todos los intervalos miden lo mismo) y la altura ser´ a la funci´ on evaluada en el punto medio (x

) del intervalo, en otras palabras la altura es f (x

).

El ´ area A

de ese rect´ angulo es

A

= f (x

)∆x

Lo que har´ e ahora es colocar m´ as rect´ angulos como se muestra abajo. Llenando el ´ area bajo la

curva de rect´ angulos, puedo aproximar el valor de dicha ´ area.