NÚMEROS COMPLEJOS

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Números Complejos –Teoría – Página 1

NÚMEROS COMPLEJOS

Hasta aquí has estado estudiando el cuerpo R de los números reales y algunos de sus subconjuntos destacados como N, Z y Q.

Sabemos que, en R, toda ecuación polinómica de la forma ax+b=0 (con a y b reales y a_≠0) tiene solución. No sucede lo mismo con ecuaciones polinómicas de grado n>1.

Así, la ecuación x²+1=0 no tiene solución en el conjunto de los números reales puesto que no existe x_∈R tal que x²= –1. Este es un simple ejemplo que justifica la veracidad de siguiente afirmación: una ecuación de coeficientes reales y grado n>1 no tiene, necesariamente, todas sus soluciones reales.

El objetivo que se plantea es el de ampliar el conjunto de los números reales de forma tal de obtener un conjunto numérico en el cual, en principio, la ecuación anterior tenga solución. Este conjunto se denomina Conjunto de los números Complejos y se representa con la letra C

Un poco de historia

Una de las grandes preocupaciones de los matemáticos a través de la historia ha sido la resolución de ecuaciones, entendiendo que resolver una ecuación significa hallar todas sus soluciones, si las tiene, o bien demostrar que no las tiene.

El problema con que se encontraban estos estudiosos era el gran número de ecuaciones que parecían no tener solución, como la planteada en el párrafo anterior y muchas otras de segundo grado o de grado superior.

Durante el siglo XVI y a medida que estudiaron las ecuaciones de tercer y cuarto grado, comenzaron a visualizar una cierta anarquía en cuanto al número de soluciones. Pero sólo encontraron algunas soluciones para las ecuaciones de tercer y cuarto grado.

En el caso de las de tercer grado determinaron que tenían una solución o bien tres soluciones. En el caso de las de cuarto grado determinaron que tenían dos soluciones, cuatro o ninguna. Es claro que sólo estaban determinando las soluciones reales, ya que aún no consideraban que podían existir otras soluciones (números complejos) En la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado encontraban frecuentemente casos en los que, en la expresión del/los resultados aparecían por parejas, raíces cuadradas de números negativos. Esto carecía de significado para ellos y por eso consideraban que no había solución. A estos casos los llamaban casos irreducibles. Hoy sabemos que estos casos corresponden a soluciones que son números complejos.

Puede decirse que se tardó mucho en aceptar la existencia de estos números. El único conjunto numérico que el hombre asumió con naturalidad es el conjunto N de los números naturales. Es sabido lo que le costó aceptar la existencia del cero, de los números negativos, de los números racionales o fraccionarios (decimales ordinarios y periódicos) y de los números irracionales (números no enteros ni racionales). Cuando finalmente lo hizo, quedó constituido el conjunto R de los números reales.

Pero lo que más resistencia despertó fue la existencia de otros números que no eran números reales, los que hoy conocemos como números complejos.

En un principio eran usados con vergüenza y hasta se denominaron con nombres ofensivos. En el siglo XVII, Leibnitz decía que −1 es una especie de anfibio entre el ser y la nada. En el siglo XVIII, el matemático Euler introduce el signo “i” para designar a la raíz cuadrada de -1, aunque no profundiza en el estudio de este tipo de números

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aparentemente absurdos, que no se podían representar geométricamente como los números reales y a los que se comenzó a llamar números imaginarios.

Recién en el siglo XIX, Wessel y Argand, dos matemáticos aficionados idearon, en forma independiente, una manera de representar geométricamente a los números complejos mediante puntos de un plano.

De esta manera dejaron de ser algo misterioso e imposible, aunque por razones históricas se los siguió llamando imaginarios.

Durante ese mismo siglo, el matemático alemán Carl F. Gauss profundizó el estudio de estos números y publicó un trabajo en el que expone las propiedades de los números de la forma a+bi (números complejos, también llamados números de Gauss) y la representación geométrica de los mismos.

Los números complejos poseen la cualidad de integrar la trigonometría, el álgebra y la geometría. Se usan tanto para demostrar fórmulas trigonométricas, como para hallar todas las soluciones de ecuaciones de la forma xⁿ =a, como para estudiar las transformaciones en el plano. Y esto no es todo.

Se usan en muchos campos de la matemática y de la física, especialmente la mecánica cuántica. En particular son de gran aplicación en ingeniería electrónica, eléctrica y mecatrónica por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas, la corriente eléctrica y las transformaciones y movimientos geométricos.

En lo que sigue, se abordará el estudio de los números complejos desde un punto de vista formal, pero con una fuerte impronta geométrica.

Definición:

Sea el conjunto C= {(a,b)/ a∈^{R y b}

∈

R} formado por todos los pares ordenados de números reales entre los que definimos una relación, la igualdad, y dos operaciones binarias que llamaremos suma y multiplicación.

Igualdad: (a,b) = (c,d) sii a=c y b=d Suma: (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)

Multiplicación: (a,b) . (c,d) = (a.c – b.d, a.d + b.c)

donde la suma y la multiplicación entre los elementos de los pares son las usuales en R.

A este conjunto C, con la relación de igualdad y las dos operaciones definidas, lo llamaremos conjunto de los números complejos.

Observación

Es común designar con la letra z a los elementos del conjunto C y utilizar subíndices para diferenciarlos.

Ejemplo 1: algunos números complejos son

z1 = (1, –3) z2 = (1, 2)

z₃ = (–2, –2) z₄ = (5, 0)

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Ejemplo 2: la suma de z₁ y z₂ es

z₁+z₂= (1, –3) + (1, 2) = (1+1, –3+2) = (2, –1) Ejemplo 3: la suma de z₁ y z₃ es

z₁+z₃= (1, –3) + (–2, –2) = (1 + (–2), (–3) + (–2)) = (–1, –5) Ejemplo 4: el producto de z₁ y z₂ es

z₁. z₂= (1, –3) . (1, 2) = (1.1 – (–3).2 , 1.2 + (–3).1) = (1+ 6, 2 – 3) = (7, –1)

Puede observarse la inconveniencia de tener que recordar la definición de multiplicación para obtener el producto.

Representación gráfica puntual de números complejos.

Dado que el conjunto C es un conjunto de pares ordenados de números reales , es natural representar gráficamente a C sobre un plano en el que se ha introducido un sistema de ejes cartesianos. En él, cada número complejo z= (a, b) queda representado por el punto de coordenadas (a, b) que llamaremos afijo de z. Es claro que el conjunto C cubre completamente este plano, de modo que, a cada número complejo z= (a, b) le corresponde uno y sólo un punto del plano;

y recíprocamente, cada punto del plano representa a un único número complejo.

En virtud de esta correspondencia es que dicho plano se llama plano complejo (también se conoce como plano de Argand-Gauss).

Este tipo de representación, en la que cada complejo se representa mediante un punto se llama representación puntual de los números complejos.

Ejemplo 5

En el gráfico siguiente representamos en forma puntual los complejos z1=(-1, -1), z₂=(2, 1), z₃=(0, -2), z₄=(0, 0), z₅=(0, 1)

.

z= (a, b)

z₂

z3

z4

z₅

z1

a b

-

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La estructura algebraica de C

El conjunto C, tal como ha sido definido en la pág.2, tiene la misma estructura que R, es decir, es un cuerpo conmutativo. Una ampliación de esta afirmación puede verse en el Anexo 1 al final del capítulo. Allí se demuestra el cumplimiento de las propiedades que hacen que C sea un cuerpo Conmutativo, a saber:

• la suma en C es conmutativa, es asociativa, tiene un elemento neutro que es el complejo nulo (0,0) y cada número complejo z=(a, b) tiene un (único) opuesto que es –z=(-a, -b) , tal que z+(-z)=(0, 0)

• la multiplicación es conmutativa, es asociativa, tiene un elemento neutro que es el complejo (1,0) y cada número complejo z≠(0, 0) tiene un (único) inverso que es z⁻¹ tal que z.z⁻¹ =(1,0) y cuya expresión en forma de par ordenado es





 





+

−

= +

−

2 2 2 2 1

b a , b b a

z a

• la multiplicación se distribuye con respecto a la suma.

La existencia de un único opuesto para cada número complejo permite definir a resta en C, como sigue:

z – z' = z + (– z' ) para todo z, z' _∈ C Ejemplo 6: la diferencia entre z₂=(2, 1) y z₃=(0, –2) es

z₂– z₃= (2, 1) - (0, -2) = (2, 1) + (0, 2) = (2, 3)

Análogamente, la existencia de un único inverso para cada número complejo no nulo permite definir la división en C, como sigue:

Si z, z’ ∈^{C y z'}≠0, entonces ^z^.

( )

^z^' ¹

' z

z ₋

= Elemplo 7: el cociente entre z₁ = (1, –3) y z₂ = (1, 2) es

z₁ : z₂ = (1, –3) : (1, 2) = (1, –3) . (1, 2)^-1= =(1,−3).(1/5,−2/5)=((1/5−6/5,−2/5−3/5)=(−1,−1)

Puede observarse la inconveniencia de tener que recordar la expresión del inverso y la definición de multiplicación para obtener el cociente entre dos números complejos.

C no es un cuerpo ordenado

La gran diferencia entre R y C es que R es un cuerpo ordenado, mientras que C es un cuerpo no ordenado. ¿Qué significa esto? Que los números reales se pueden ordenar, de modo tal que, dados dos número reales distintos siempre hay uno que es menor que el otro. Podemos aceptar una justificación geométrica de este hecho: los números reales, como puntos de una recta, están naturalmente ordenados. Aquél que se ubica a la izquierda del otro en la recta es el menor de los dos.

En cambio, los números complejos no se pueden ordenar. Una justificación intuitiva de esta afirmación puede obtenerse a partir de que, la representación de los

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números complejos en el plano de Argand-Gauss cubre dicho plano, y los puntos del plano no pueden ordenarse.

Luego, entre los números complejos no hay mayores ni menores, sólo hay iguales o distintos. Una demostración formal de este hecho puede verse en el Anexo 2 al final del capítulo.

Relación entre R y C

El sistema de números que hemos definido constituye una extensión del conjunto de los números reales.

En efecto, consideremos todos los números complejos de segunda componente nula, es decir números de la forma (a, 0) y una correspondencia biunívoca que asigna a cada número complejo (a, 0) el número real "a" y, recíprocamente, a cada número real "a" el número complejo (a, 0)

Podemos simbolizar (a, 0)↔^a

Se advierte que esta correspondencia preserva las operaciones de suma y producto, pues si aplicamos las definiciones, dadas en C para estas operaciones, tenemos:

(a, 0) + (b, 0) = (a+b, 0) ↔^{a + b} (a, 0) . (b, 0) = (a.b, 0 ) ↔^a.b

Este tipo de correspondencia entre elementos de dos conjuntos, tal que preserva las operaciones entre los elementos que se corresponden, se llama isomorfismo.

Entonces, podemos afirmar que:

El cuerpo de los números reales es isomorfo con una parte del conjunto de los números complejos.

Por esta razón podemos representar con un mismo símbolo al complejo (a, 0) y al número real "a". Por un abuso de notación escribiremos: (a, 0) = a

Unidad imaginaria Definición:

Proposición:

i es solución de la ecuación x²+1 = 0.

La demostración es sencilla, puesto que:

Se llama unidad imaginaria, y se representa con la letra “i” al número complejo (0, 1)

Luego, i = (0, 1)

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i² = (0, 1) . (0, 1) = (0.0-1.1 , 0.1+1.0) = (-1, 0)= –1 Por lo tanto, podemos afirmar que:

Y cumple el propósito formulado en los primeros párrafos de de la introducción (pág 1).

Forma binómica de un número complejo

Ya se ha advertido la inconveniencia de operar con la multiplicación y la división con los números complejos escritos en forma de par ordenado. En lo que sigue se verá cómo, partir de la forma de par ordenado, puede introducirse otra forma de escritura, la forma binómica. Ésta tiene la ventaja de ser mucho más práctica en cuanto a su aspecto operatorio, sobre todo en la multiplicación y en la división.

Comenzamos por mostrar que todo número complejo de la forma z=(0, b) puede escribirse como bi. En efecto, aplicando la definición de multiplicación, podemos expresar:

z = (0, b) = (b, 0) . (0, 1)

Como (0,1) = i por definición de unidad imaginaria y (b, 0) = b por la correspondencia existente entre los números complejos de segunda componente nula y los números reales, resulta:

(0, b) = (b, 0).(0,1) = bi

Por otra parte, si consideramos al número complejo z=(a, b):

z=(a, b) =

3 2 1 3 2 1

bi a

) b , 0 ( ) 0 , a

( + ^{= a + bi}

Escribimos z = (a, b) = a + bi. Esta expresión de los números complejos recibe el nombre de forma binómica.

Ejemplo 8:

(2, 3) = 2 + 3i (– 4, 1) = – 4 + i (– 3, – 2) = – 3 – 2i (5, – 6) = 5 – 6i Parte real y parte imaginaria de un número complejo

Definición:

Notación:

Re(z) = a y Im(z) = b

Es importante destacar nuevamente que, tanto la parte real como la parte imaginaria de un número complejo, son números reales

Dado el complejo z=(a, b), el número real a se llama parte real de z, y el número real b se llama parte imaginaria de z.

El conjunto C de los números complejos contiene una solución de la ecuación x²+1=0

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Ejemplo 9:

z₁ = (3 , –2), entonces Re(z₁) = 3 y Im(z₁) = – 2

z₂ = 



 



 , 3−1 3

1 , entonces Re(z₂) = 3

1 y Im(z₂) = 3−1

En particular si Im(z) = 0, el número complejo es isomorfo con un número real y lo llamaremos complejo real o, simplemente, número real.

Ejemplo 10:

z= (3, 0) = 3 + 0i = 3, es el número real 3. Mientras que si Re(z)=0, el número se denomina imaginario puro, o bien, número imaginario.

Ejemplo 11:

z=(0, 2) =0 + 2i = 2i , es un imaginario. Es claro que, en el plano complejo, los complejos reales a = a + 0i = (a, 0) quedan representados sobre el eje de abscisas.

Por esta razón, en el plano complejo, al eje de abscisas se le llama eje real. Y que los complejos imaginarios bi =0 + bi = (0, b) se representan sobre el eje de ordenadas, al que se llama eje imaginario. Al complejo nulo 0 = (0, 0) le corresponde el origen.

Ejemplo 12

Representar en el plano de Argand-Gauss los siguientes conjuntos:

M=

{

⁽^a^,⁰⁾^∈^C^/^a^>⁰

}

^{y P=}

{

⁽⁰^,^b⁾^∈^C^/^b^<⁰

}

Representación

M P

P(a, b)

Eje real (a, 0)

(0, b ) Eje imaginario

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Observación: se entiende que ambas representaciones corresponden a sendas semirrectas, sin su origen.

Ejemplo 13

Representar en el plano complejo el conjunto de todos los números complejos z=a+bi que cumplan las condiciones dadas. Construir un gráfico para cada caso.

1) Re(z)=2 2) Im(z)=1

3) Im(z)=0 y -1≤Re(z)≤3 4) Re(z)= Im(z)

5) −4<Im(z)<4 y -1<Re(z)<3 Resolución

Si se supone z=(a, b) y teniendo en cuenta que Re(z)=a, y que Im(z)=b se obtienen las representaciones siguientes:

Obsérvese que los lados del rectángulo no están incluidos en la representación.

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Ejemplo 14: escribir por comprensión, en cada caso, los subconjuntos de C representados en el plano de Argand-Gauss.

a)

Respuesta: T=

{

^z⁼⁽^a^,^b⁾^∈^C^/^a⁼⁻^b

}

}

Operaciones con números complejos en forma binómica.

Si bien la operatoria con números complejos expresados como pares ordenados es muy sencilla cuando se trata de sumar o restar, resulta algo más complicada cuando hay que multiplicar o dividir, ya que implica la memorización de fórmulas.

Veamos la ventaja de operar en forma binómica:

Suma: (a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i

Resta: (a + bi ) - (c + di ) = (a - c) + (b - d)i

Podemos observar que, tanto la suma como la resta, se resuelven operando las partes reales e imaginarias por separado, sumando o restando según corresponda.

Ejemplo 15:

Si z1= 2 + 3i y z2= –3 + 2i entonces:

z1+ z2 = (2 + 3i ) + (–3 + 2i ) = ( 2 + (–3)) + (3 + 2 )i = – 1 + 5i z1– z2 = (2 + 3i) – (–3 + 2i) = (2 – (–3) + (3 – 2i) = 5 + i

También puede operarse con los binomios usando las mismas propiedades que en campo real, ya que C tiene la misma estructura que R. A modo de ejemplo se efectúa la resta z₁– z₂ usando la ley de eliminación de paréntesis y la reducción de términos semejantes:

z₁– z₂ = (2 + 3i) – (–3 + 2i) = 2 +3i + 3 - 2i = 5 + i Multiplicación:

V

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Con este criterio, para efectuar la multiplicación operamos algebraicamente aplicando las propiedades y tenemos en cuenta que i ²= – 1. Entonces:

(a + bi ) . (c + di ) = ac + adi + cbi + bdi ² =

= ac + adi + bci + bd(–1) =

= ac + adi + bci – bd =

= (ac – bd) + (ad + bc)i Luego:

(a + bi) . (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Compare esta expresión con la definición de multiplicación dada en la página 2.

Ejemplo 16:

Si z₁ = 2 + 3i y z₂ = –3 + 2i entonces:

z1 . z2 = (2 + 3i ) . (– 3 + 2i ) = 2.( – 3) + (3i ).( – 3) + 2.(2i )+ (3i).(2i)=

= – 6 – 9i + 4i + 6i² = – 6 – 9i + 4i + 6(– 1) = – 6 – 9i + 4i – 6 = = – 12 – 5i

Antes de presentar la división en forma binómica introduciremos un concepto que nos será de utilidad.

Conjugado de un número complejo

Definición:

Ejemplo 17:

Si z = 3 + 2i entonces z= 3 – 2i Si z = – 4 + i entonces z= – 4 – i Si z = 3 – 4i entonces z= 3 + 4i Si z = 5i entonces z= –5i Si z = 3i – 2 entonces z= – 2 – 3i

División:

Para calcular el cociente entre dos números complejos vamos a usar un artificio de cálculo que consiste en multiplicar el dividendo y el divisor por el conjugado del divisor.

Dado un número complejo z= a +bi, se llama conjugado de z, al número complejo

z

^{= a – bi.}

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di c

bi a di c

bi a

+

= + +

+ .

di c

−

2 2

2 2 2

2

d c

i ad i bc bd ac

i d i cd i cd c

i bd i bc i ad ac

+

− +

= +

− +

−

− +

= −

Luego:

i d c

ad bc d

c bd ac i d c

i b a

2 2 2

2 +

+ − +

= + + +

Ejemplo 18:

Si z1 = 3 – 2i y z2 = 1 + i entonces

2 1

z z

i 1

i 2 3

+

= −

i 1

i . 1 i 1

i 2 3

−

− +

= −

1 1

2 i 3 i 2 3

+

−

= − ⁱ

2 5 2 1−

=

Representación gráfica vectorial de los números complejos

Introducimos ahora la llamada representación vectorial de los números complejos, en la que z= a+bi se representa mediante el vector OP cuyo origen coincide con origen de coordenadas (punto O) y su extremo es el afijo de z (punto P).

Recordemos que un vector OP es un segmento orientado de origen “O” y extremo “P”. Dichos puntos definen la dirección del vector, dada por la recta que determinan. El orden en que se dan los puntos define el sentido del vector. Es claro que para una dirección dada, hay sólo dos sentidos posibles, opuestos entre sí. La longitud del segmento OP es el módulo del vector y se escribe OP . Si O y P coinciden el vector se dice nulo, su representación gráfica es un punto, su módulo es cero y no tiene dirección ni sentido.

Entonces, así como en el campo real se estableció una correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de una recta, en el campo complejo es posible establecer una correspondencia del mismo tipo entre los números complejos y los vectores de origen O, de tal forma que, a cada a cada número complejo z=(a,b) le corresponde uno y sólo un vector de origen O, y recíprocamente, cada vector de origen O del plano representa a un único número complejo.

Ejemplo 19:

En el gráfico están representados vectorialmente los complejos z1 = 2 + 3i z₂ = 1 – 4i ; z₃ =–2 + i ; z₄ = –2 – 4i ; z₅ = 4 ; z₆ = –3 ; z₇ = –2i ; z₈ = 4i ; z₉ = 0

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Puede observarse en el gráfico que el complejo z₉ = 0=0+0i se representa por el vector nulo, de origen y extremo “O” (origen de coordenadas)

Módulo de un número complejo

Definición:

De la definición se sigue que z =0 si y sólo si z=0, y que z representa la distancia del afijo de z al origen (si la representación es puntual), o bien el módulo del vector correspondiente (si la representación es vectorial)

Observación: el módulo de un complejo real (a, 0)=a, según la definición dada es:





<

−

= >

= +

= a, sia 0

0 a si , a a

0 a

a ² ² ²

Obsérvese que la expresión del módulo de un complejo real “a” coincide con la definición de valor absoluto de “a” dada en el campo real. La definición de módulo de

Dado z=a+bi, se llama módulo de z, al número real no negativo z = a² +b²

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un número complejo es, entonces, una ampliación del concepto de valor absoluto o módulo de un número real en R, al campo complejo.

Ejemplo 20

Aplicar la definición para hallar el módulo de los números complejos z₁ = 2 + 3i z₈ = 4i y z₉ = 0 representados en la figura anterior.

Resolución:

13 3

2

z₁ = ²+ ² = ^; z₂ = 0² +4² = 16=4^; z₉ = 0²+0² = 0=0

Obsérvese que los números obtenidos representan, en cada caso, la distancia del afijo al origen o bien el módulo del vector representativo.

Ejemplo 21

En la figura de la derecha representamos en el plano de Argand-Gauss los números complejos

z1 = 2 + 4i y z2 = –3 + i y sus respectivos opuestos –z1 = – 2 – 4i y –z2 = 3 – i

Puede observarse que dos vectores opuestos entre sí, tienen igual módulo.

Además, que su representación coincide con la de dos vectores opuestos entre sí (vectores que tienen igual módulo y dirección, pero sentidos contrarios).

Ejemplo 22

Aquí representamos en el plano complejo los números complejos del ejemplo anterior, z₁ = 2 + 4i y z₂ = –3 + i y sus respectivos conjugados.

Se observa que dos vectores conjugados entre sí tienen igual módulo. También, que sus vectores representativos son simétricos respecto del eje real.

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Analice el caso de la representación de los números complejos z₃ = -2 y z₂ = 2i y sus respectivos conjugados. Luego, formule una conjetura para el caso general del conjugado de un complejo real, y otra para el caso del conjugado de un complejo imaginario.

Interpretación geométrica de la suma

Consideremos dos números complejos z = a + b i y z´=a´+ b´i .

Su suma es z + z’ = (a + a´) + (b + b´)i ; las respectivas representaciones vectoriales pueden verse en la figura de la derecha.

Observe que la suma de los vectores representativos de z y z´ es el vector de componentes (a + a´, b + b´) cuya suma gráfica coincide con el resultado de sumar según la conocida Ley del Paralelogramo los vectores representativos de los números complejos dados.

Es decir que, gráficamente, la suma de números complejos se corresponde con la suma de los vectores que los representan.

Análogamente para la resta, recordando que, según la definición, restar equivale a sumar el opuesto.

z – z´ = z + (– z´) Ejemplo 23

En las figuras siguientes pueden verse la suma y la diferencia de los números complejos z = 2 + 4i y z´ = –3 + 2i

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Observaciones:

1. Con respecto a la suma, observe que los vectores representativos de z+z´, z y el que tiene origen en el afijo de z y extremo en el afijo de z+z´ (que es igual al que representa a z´) conforman un triángulo. Si recordamos la propiedad que cumplen los lados de un triángulo (cada lado es menor que la suma de los otros dos) y la expresamos en términos de los módulos de dichos vectores, obtenemos que z+z´ ^< z + z´^. Esta es una propiedad que se llama desigualdad triangular y que, en su forma general se expresa:

z+z´ ≤ z + z´

2. Con respecto a la diferencia, observe que z−z´ es igual a la distancia entre los afijos de z y z´, ya que el origen, conjuntamente con los afijos de z - z´, z y z´ conforman un paralelogramo. De este modo, así como en el campo real el valor absoluto de la diferencia entre dos números mide la distancia entre los puntos que los representan, en el campo complejo también se cumple que el módulo de la diferencia entre dos complejos mide la distancia entre sus correspondientes afijos.

Ejemplo 24

En cada caso, interpretar el módulo como distancia y representar gráficamente en el plano complejo o plano de Argand-Gauss, los conjuntos:

{

^z ^C^/ ^z ³

}

A= ∈ = ^;^B⁼

{

^z^∈^C^/ ^z⁻⁽¹⁺²ⁱ⁾ ⁼²

} {

^z ^C^/ ^z ¹ ³

}

C= ∈ + ≤ ^;^D⁼

{

^z^∈^C^/ ^z⁺¹ ^≤³ ^∧ ^Im(^z⁾^≤²

}

Resolución: de acuerdo a las interpretaciones geométricas dadas, la representación de A es el conjunto de todos los puntos del plano complejo cuya distancia al origen en igual a 2, por lo tanto es la circunferencia de centro en el origen y radio 2.

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Análogamente para los otros dos conjuntos. La representación de B es el conjunto de todos los puntos del plano complejo cuya distancia a 1+2i es igual a 2, por lo tanto es la circunferencia de centro en el afijo de 1+2i y radio igual a 2. Y la de C, es el conjunto de todos los puntos del plano complejo cuya distancia al punto representativo del complejo –1 es igual a 3. Por lo tanto, es la circunferencia de centro en –1 y radio igual a 3. En el caso del conjunto D, su representación se obtiene como intersección de C y el semiplano que representa a Im(z) ≤2

Propiedades de los conjugados

Ya hemos definido el concepto de conjugado de un número complejo.

Enunciamos a continuación las propiedades que se cumplen. Si bien es conveniente demostrarlas algebraicamente, se aconseja al estudiante no perder de vista su interpretación geométrica.

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Números Complejos –Teoría – Página 18 c1) z= z

c2) z + z= 2 Re(z)

c3) z = z sii z es un número real.

c4) z = – z sii z es un número imaginario puro c5) z+z'⁼z+z´^{, si}z, z´∈ C

c6) z.z'= z. z' , si z, z' ∈ C.

c7) z−z' =z−z'

c8) ^z⁻¹⁼

( )

^z ⁻¹^{, si}^z^≠^0.

c9) Si z, z' ∈ C y z'≠0 entonces: z:z' = 



 





´ z

z = ' z z

A modo de ejemplo demostraremos algebraicamente c3, c8 y c9. Algunas otras demostraciones pueden verse en el anexo 3, al final del capítulo.

Demostración de c3: z⁼z sii z es un número real

Es conveniente recordar la siguiente ley lógica en la que se basa la demostración de cualquier equivalencia:

) p q ( ) q p ( ) q p

( ⇔ ⇔ ⇒ ∧ ⇒

a) Demostraremos que si z = z entonces z es un número real (implicación directa).

Sea z = a+bi . Luego z = z⇒ a+bi = a–bi ⇒2b=0⇒b=0⇒z=a∈R b) Demostraremos que si z es real entonces z =z (implicación recíproca de la

anterior).

Sea z=a (a∈R). Luego, z=(a, 0)=a+0i en virtud del isomorfismo existente entre los números reales y los números complejos de componente imaginaria nula. Si z=a+0i, por definición de conjugado, z= a – 0i = a = z

Quedó demostrada la equivalencia.

Sugerencia: interpretar gráficamente esta propiedad.

Demostración de c8: ^z⁻¹ ⁼

( )

^z⁻¹^{, si z}^≠^0.

Demostrar la igualdad dada es equivalente a demostrar que, si z ≠0, los números z

y

z⁻¹ son inversos multiplicativos, es decir, que su producto es igual a 1. En efecto, al multiplicarlos se obtiene z⁻¹ . z =z⁻¹.z=1=1

En la demostración se usó el concepto de inverso multiplicativo, la propiedad c6y la definición de conjugado.

Demostración de c9: Si z, z' ∈ C y z'≠0 entonces: z:z' = 



 





´ z

z =

' z z

Usaremos, ordenadamente, la definición de división en C y las propiedades c6 y c8.



 





´ z

z = ^z^:^z^'⁼ ^z^.

( )

^z^' ⁻¹ = ^z ^.⁽^z^´)⁻¹ ⁼ ^z^:

( )

^z^´⁻¹⁼

' z z

(19)

Propiedades del módulo

Enumeramos a continuación las propiedades del módulo, que, en forma análoga a las de los conjugados, aconsejamos demostrar algebraicamente sin perder de vista la interpretación geométrica.

m1) z = −z = z = −z

m2) z ²=z.z

m3) z ≥0^y z =0 sii z=0

m4) Si z , z´∈ C entonces z.z´ = z . z´

m5) Re(z)≤ z ; Im(z)≤ z

m6) Si z , z´∈ C entonces z+ z´ ≤ z + z´

m7) z⁻¹ = z ⁻¹ si z ≠0

m8) Si z, z´ ∈ C y z´≠ 0 entonces

´ z

z = z:z´ = z : z´

´ z

= z

A modo de ejemplo demostraremos m4, m5 y m6. La demostración de algunas otras propiedades puede verse en el anexo, al final del capítulo.

Demostración de m4: Si z , z´∈ C entonces z.z´ = z . z´

Para realizar la demostración vamos a necesitar la siguiente propiedad de los números reales

(1)

Comenzamos aplicando la propiedad m2 y luego usamos c6, propiedades de la multiplicación en C y nuevamente m2.

^z^.^z^´ ²⁼

( )

^z^.^z^´ ^.⁽^z^.^z^´⁾ ⁼

(

^z^.^z^´

)

^.⁽^z^.^z^´)⁼⁽^z^.^z^).⁽^z^´.^z^´⁾⁼ ^z ²^. ^z^´ ²

La igualdad obtenida es una igualdad entre números reales no negativos; luego, podemos usar la propiedad (1). Resulta así:

´ 2

z .

z = z ². z´ ² ⇔ z.z´ = z . z´

Que es lo que queríamos demostrar.

Demostración de m5: Re(z)≤ z ; Im(z)≤ z

Demostraremos la primera, ya que las demostraciones de ambas son similares.

Partimos del primer miembro de la desigualdad para llegar al segundo miembro, suponiendo que la expresión de “z”, en forma binómica es z=a+bi

Para todo a, b ∈ R, a² ≤b² ⇔

a ≤ b

(20)

Re(z)=a≤ a = a² ≤ a²+b² = z , de lo que se sigue que Re(z)≤ z

En la demostración se usaron: la definición de parte real de z, la definición de módulo de z y propiedades de los números reales (analice cuáles son).

Demostración de m6: Si z , z´∈ C entonces z+z´ ≤ z + z´

Debido a que la expresión a demostrar es una desigualdad entre números reales no negativos volveremos a usar la propiedad (1), en base a la cual dicha desigualdad es equivalente a la siguiente:

( )

²

2 z z´

´ z

z+ ≤ +

Por lo tanto podemos demostrar esta última, ya que en virtud de la equivalencia quedará demostrada la dada.

²

+ z . z ´ + z . z ´ =

≤ +

+

´ z z 2

´ z

z + + = +

=

Hasta aquí hemos demostrado que

^z ⁺ ^z ^´

²

^≤ ( ^z ⁺ ^z ^´ )

². Por lo tanto, quedó demostrada su equivalente

z + z ´ ≤ z + z ´

En el anexo 4 al final del capítulo pueden verse otras demostraciones.

Potencia de base compleja y exponente entero.

Definiremos las potencias de base compleja y exponente entero en forma análoga a las de base real y exponente entero:

Definición:

Se demuestra que las potencias de base compleja y exponente entero cumplen las mismas propiedades que las de base real y exponente entero, a saber:

1. Distributiva con respecto a la multiplicación y a la división Si

z ∈ C y n ∈ N

0 definimos:

0 z si , 1

z

⁰

= ≠

z . z z

ⁿ⁺¹

=

ⁿ

0 z si , ) z (

z

⁻ⁿ

=

⁻¹ ⁿ

≠

(21)

n n

n z .w

) w . z

( = ^;(z:w)ⁿ =zⁿ:wⁿ

2. Producto y cociente de potencias de igual base zⁿ.z^m =zⁿ⁺^m ; zⁿ:z^m = zⁿ⁻^m

3. Potencia de otra potencia (zⁿ)^m=zⁿ^.^m

Un caso particular que es necesario tratar previamente es el siguiente:

Potencias de unidad imaginaria.

Calcularemos las potencias usando la definición y/o las propiedades.

i i ).

1 ( i . i i i

i ).

1 ( i . i i i

i . 1 i . i i

1 ) 1 .(

1 i . i i 1

) 1 ( . 1 i . i i 1

i

i i . 1 i . i i i

i . 1 i . i i i

i . i i

1 1 . 1 i . i i 1

) 1 ( ).

1 ( i . i i 1

i

10 11 6

7 2

3

2 8 10 2

4 6 2

8 9 4

5 0

1

4 4 8 2

2 4 0

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

El análisis de estas primeras potencias de i, nos permiten conjeturar que los únicos valores posibles para potencias de exponente natural o 0 de i son 1, i, -1 y –i ; y que, además, estos valores se repiten cíclicamente cada cuatro. Vamos a demostrar que esta conjetura es cierta.

Demostración:

Si “n” es un número natural podemos escribirlo, según el algoritmo de la división en N, como:

n=4.k + r

donde 0 ≤ r < 4 y “k” y “r” son, respectivamente, el cociente y el resto de dividir a “n” por 4. De aquí:

r r k r k 4 r k 4 r k 4

n i i .i (i ) .i 1.i i

i = ⁺ = = = =

donde ^r∈

{

⁰^;¹^;²^;³

}

y es el resto de dividir a “n” por 4 Ejemplo 25:

. i

i . 1 i 1 i

i

³¹

1

₃₁

=

−

= −

=

− pues

7 3

4 31

Cálculo de potencias en forma binómica

Las fórmulas correspondientes al cuadrado y al cubo de un binomio pueden aplicarse para calcular el cuadrado y el cubo de un números complejos en forma binómica.

Ejemplo 26:

Dado z = 1+i calcularemos

z

²

y z

³ en forma binómica

i 2 1 i 2 1 i i . 1 . 2 1 ) i 1 (

z

²

= +

²

− +

−

= − +

−

=

⁻ ⁻

−

Para exponentes naturales mayores que 3 puede usarse la Fórmula del Binomio de Newton, que se usa para calcular las potencias de exponente natural de un binomio y que desarrollará en la tercera unidad.

Este tipo de cálculo no es muy práctico cuando los exponentes son más grandes, ya que, a medida que crece el exponente, crece el número de términos del desarrollo.

A continuación veremos qué sucede con el cálculo de raíces en C.

Las raíces enésimas de un complejo en C.

Definición:

Si z ∈ C y n ∈ N se llama raíz n-ésima ( o de orden “n”) de z, a todo número complejo w, tal que w ⁿ = z

Es importante guiar la atención a la palabra todo, que da la pauta de que puede haber más de una raíz para cada complejo. Veamos los ejemplos siguientes:

Ejemplo 27

En C, las raíces cuadradas de -1 son los números complejos i y –i, ya que ambos satisfacen la definición dada. En efecto, i²= -1 y (-i)²= (-i). (-i) = i²= -1

(23)

Observe que en R, el número -1 no tiene ninguna raíz cuadrada, mientras que en C tiene dos. Observe también que éstas son las dos soluciones de la ecuación x²=-1 en el campo complejo.

En C, las raíces cúbicas de 1 son los números complejos 1,

i 2

3 2 1 +

−

^y

2 i 3 2 1 −

−

(comprobarlo aplicando la definición).

Observe que en R, el número 1 tiene una sola raíz cúbica ( el 1), mientras que en C tiene tres. También observe que estos tres números complejos son las soluciones de la ecuación x³= 1 en el campo complejo.

Cálculo de las raíces cuadradas de un número complejo en forma binómica

A modo de ejemplo, veremos cómo se calculan las raíces cuadradas del complejo z= 5+12i en forma binómica. Supongamos que las mismas tienen la forma de la forma w=x+yi. Como deben cumplir con la definición, deberá ser:

w²= 5+12i

Luego, debemos encontrar todas las soluciones de esta ecuación en C. Para ello escribimos w en su forma binómica x+yi , usamos la definición de igualdad y obtenemos:

( x+yi)²= 5+12i _⇔ x²- y²+2xyi = 5+12i





=

⇔ −

) 2 ( 12 xy 2

) 1 ( 5 y x² ²

Obsérvese que las dos ecuaciones obtenidas son ecuaciones en R. Elevando ambos miembros de estas dos ecuaciones al cuadrado se obtiene:

144 y

x 4

25 y x 2 y x

2 2

2 2 4 4

=

− +

Sumando miembro a miembro ambas igualdades:

x⁴ +y⁴ +2x²y² =169

Expresando el primer miembro como el cuadrado de un binomio se obtiene:

(x² +y²)² =169

cuya única solución en R es: x²+y² = 13 (3)

De (1) y (3) :





= +

=

−

13 y x

5 y x

2 2

de donde se sigue que:

2 y 4 y

3 x 9 x

2 2

±

=

= ⇒

±

=

= ⇒

(24)

Las combinaciones de estos valores dan lugar a cuatro posibles resultados, pero como 2xy = 12 ( por (2)) se toman aquéllos pares de valores (x, y) que cumplan x.y>0.

Luego, las raíces buscadas son w₁ = 3+2i y w₂ = -3-2i (valide esta afirmación comprobando que, w₁ = 3+2i y w₂ = -3-2i, satisfacen la ecuación w²= 5+12i).

Como se puede apreciar, el cálculo de las raíces resultó bastante trabajoso desde el punto de vista algebraico. Y esta dificultad aumenta a medida que aumenta el orden de las raíces a calcular. Veremos a continuación otra forma de expresar a los números complejos que resuelve, entre otros, este problema.

Forma Polar de un complejo.

La insuficiencia de la forma binómica para operar con números complejos que se puso de manifiesto en el cálculo de potencias de exponente entero y, sobre todo, en el cálculo de raíces, se ve superada por la forma polar, que introducimos a continuación.

Ya hemos establecido que todo complejo z = a+bi se representa indistintamente por el punto de coordenadas (a, b), o bien por un vector de origen O y extremo (a, b).

Puede observarse que, si z≠0, ese vector queda unívocamente determinado por la longitud ρ>0 del vector, que llamaremos módulo de z y uno cualquiera de los ángulos orientados ϕ que forma el semieje correspondiente a los números complejos reales positivos con el vector representativo de z. Cualquiera de esos ángulo será llamado argumento de z.

Cabe aclarar que se ha excluido a z=0 porque su vector representativo es un punto y no está definido su argumento. Se observa que, en el caso de la representación puntual, el módulo representa la distancia entre el afijo de z y el origen.

Luego, podemos decir que, todo número complejo z≠0 queda unívocamente determinado por esos dos números, llamados “coordenadas polares de z”. De aquí surge otra forma de expresar al complejo z

Representación vectorial

“ρ” representa el módulo del vector

Representación puntual

"ρ” representa la distancia del afijo al origen

Los números (ρ;φ), se llaman coordenadas polares de z. Obsérvese que si el argumento está expresado en radianes es un número real. En ese caso las coordenadas polares de z son un par de números reales y podrían confundirse con las

(25)

coordenadas rectangulares de z. Por ese motivo y para evitar confusiones, la notación )

;φ

(ρ se reemplaza por ρ φ Definición:

Sea el complejo z=a+bi≠0. La expresión z=ρ φ recibe el nombre de forma polar de z, siendo:

ρ el módulo de z que también se indica z y es el número real no negativo z =ρ= a² +b²

ϕ el argumento de z que también se indica arg (z) y es la amplitud de uno cualquiera de los ángulos que el vector representativo de z forma con el semieje correspondiente a los números complejos reales positivos.

Si el complejo es el nulo (z=0), su módulo es cero y su argumento no está definido, por lo tanto no puede escribirse en forma polar.

Observación

De la definición se sigue que existen infinidad de argumentos para un complejo dado. Pero de todos ellos, sólo hay uno que es positivo o nulo y menor que un giro.

A ese argumento lo llamaremos argumento principal de z y lo representaremos con la notación Arg(z). Conviene también destacar que es más sencillo ubicarse en el plano complejo en base al argumento principal.

Es claro que, dadas las coordenadas polares de un número complejo, éste es único; por ejemplo, la expresión

3

2 π corresponde a un único número complejo “z”, cuyo afijo está a dos unidades del origen y determina con el semieje correspondiente a los reales positivos un ángulo de 60º. La representación vectorial puede verse en la figura de la derecha.

Pero la recíproca no es cierta, ya que un mismo número complejo puede tener infinidad de representaciones polares distintas. Por ejemplo,

las representaciones 2 15π

y 1 π2

son distintas pero corresponden al mismo número complejo z de módulo 1, como puede verse en la figura de la izquierda. Esto es debido a que sus argumentos son congruentes

Este ejemplo permite introducir la siguiente definición:

z

1

(26)

Igualdad de números complejos en forma polar Definición

Ejemplo 27

39 2 2 10

10 3 π = π

porque tienen el mismo módulo 10 y la diferencia entre sus argumentos es

π − π =

39 2

3 2 − π = − 18 π = 2 .( − 9 ) π

36 2

(múltiplo entero de 2π)

El número entero k= -9 indica que la diferencia entre el argumento del primero y el segundo número es 9 giros negativos.

Por una cuestión de practicidad, se conviene en escribir los complejos en forma polar, tomando el argumento principal. El complejo del ejemplo anterior, escrito en función de su argumento principal es

3 2 10 π

Ejemplo 28

Escribir los siguientes números complejos en forma polar, en base a su argumento principal y realizar su correspondiente representación vectorial.

a) 4

3 33

z = π b)

2 3 43

w= π

Resolución

a) π≡ π

4 1 4

33 , ya que π− π=8π=4.2π 4

1 4 33

Además, ≤ π<2π 4

0 1 , por lo tanto es el argumento principal. Luego = π 4 3 1 z

b) π≡ π

2 3 2

43 , ya que π− π=20π=10.2π 2

3 2 43

Dos complejos escritos en forma polar son iguales si y sólo si tienen igual módulo y argumentos congruentes. En símbolos:



 



π

=

−

⇔ =

=

entero k

ún lg a para , k 2 ) z arg(

) z arg(

z z z

z

2 1

2 1 2

1

(27)

Además, ≤ π<2π 2

0 3 , por lo tanto es el argumento principal. Luego = π 2 3 3 w

En el gráfico que sigue se ven las representaciones vectoriales de z y w

Ejemplo 29

Representar vectorialmente los números complejos

2 3 2

z

₁

= π , z

₂

= 3 π 6

^,

5 6 1

z

₃

= π z

₄

= 3 0

^y

z

₅

= 2 π

dados en forma polar en base a su argumento principal.

Representación:

En las tres figuras siguientes se visualizan en línea punteada los lados terminales de los ángulos de 0º, 30º, 60º, 90º, 120º, 150º, 180º, 210º, 240º, 270º, 300º y 330º que permitieron representar los vectores dados por sus coordenadas polares. La misma aclaración vale para varios de los gráficos que siguen.

(28)

Ejemplo 30

Escribir en forma polar los números complejos representados vectorialmente.

Respuesta:

2 2

2 3

z

₁

= π , z

₂

= 3 0

^,

z

₃

= 3 5 π 3 z

₅

= 2 7 π 6

^y

2 3 1

z

₆

= π

(29)

z

₄=0 no puede escribirse en forma polar porque no tiene argumento.

Observación: con respecto a la representación puntual, en el gráfico anterior se visualiza, por ejemplo, que z₁ =2. También, que todos los demás puntos de la circunferencia a la que pertenece el punto que representa a z₁, corresponden a vectores de módulo igual a 2. Asimismo, se ve que Arg

) 3 z

(

₁

= π

, pero que todos los puntos (salvo el origen) que pertenecen a la semirrecta de origen O, que pasa por el punto representativo de z₁, corresponden a números complejos cuyo argumento principal es

3 π

Ejemplo 32

Representar en el plano de Argand-Gauss los conjuntos:







 ∈ = π

= 6

) 7 z ( Arg / C z

B ,

3 ) 2 z ( 3 Arg / 1 C z

D 



 ∈ π≤ ≤ π

=

 



 

 ∈ = ∧ ≤ π

= z C / z 2 Arg ( z ) 6

M

 



 

 ∈ ≤ ≤ ∧ π ≤ ≤ π

= Arg ( z )

3 3 z 1 / C z P

Representación

Observación: el origen está excluido

{z2/Cz},3

P=∈≤≤D

Observación: el origen está excluido B

(30)

Determinación del módulo y del argumento principal de un número complejo.

En base a la definición de la pág.25, y si z = a+bi ≠ 0,

• el módulo de z es el número z =ρ= a² +b² ^{, y}

• el Argumento Principal de z es el único ángulo que cumple, simultáneamente, las tres relaciones siguientes:

z cos a z ,

sen ϕ = b ϕ =

^y

0 ≤ ϕ < 2 π

Ejemplo 33

Hallar el módulo y el argumento principal de z=1− 3i , y escribirlo en forma polar.

Resolución :

• Hallamos el módulo z =ρ= 1² +(− 3)² =2

• Hallamos el argumento principal, teniendo en cuenta que a=1 , b=− 3 y

z = 2. El mismo debe satisfacer en forma simultánea las tres relaciones

y 0 φ 2π

2 φ 3 sen 2, φ 1

cos = =− ≤ <

Observamos que el coseno es positivo y el seno es negativo. Luego, el ángulo pertenece al cuarto cuadrante, su valor en grados es 300° y su medida en

radianes es π 3

5 . Por lo tanto,

= π 3 ) 5 z ( Arg

{z2/Cz},3 P∈≤≤

= P

NÚMEROS COMPLEJOS