◦Ba hi

(1)

DepartamentodeMatemáti as

I.E.S.VirgendelPuerto-PLASENCIA

(2)

1

Introdu ión

E ua ionesdeprimergrado

E ua ionesdesegundogrado

2

E ua ionesbi uadradasyasimiladas

3

Otrostiposdee ua iones

E ua iones onfra ionesalgebrai as

E ua iones onradi ales

E ua ionesfa torizadas

4

Sistemasdee ua ioneslineales

Clasi a iónymétodos

5

MétododeGauss

Introdu ión

S.Compatibledeterminado

S.Compatibleindeterminado

S.In ompatible

6

Ine ua iones

Introdu ión

Ine ua ionesdeprimergrado

Ine ua ionesdesegundogrado

Ine ua iones ondosin ógnitas

Sistemasdeine ua iones

7

ProblemasPropuestos

8

PersonajesenlaHistoria

Diofanto,al-JwarizmiyTartaglia

9

Bibliografía

10

Créditos

(3)

IraÍndi e

1| Introdu ión

(4)

E ua ióndeprimergradoolineal

Unae ua ióndeprimergradooe ua iónlineal,esaquellaquesepuderedu iralaforma

ax + b =

^0,^donde

a

^y

b

^son^números^reales,^on

a 6=

^0.^La^solu
ión^deêstaê
ua
iónês

x = − b a

.

(5)

ax + b =

^0,^donde

a

^y

b

a 6=

^0.^La^solu
ión^deêstaê
ua
iónês

x = − b a

.

Pararesolverunae ua ión, omoporejemplo

3

(x −

²

)

2

− (

²

x −

¹

) =

^0,^tenemos^que:

(6)

ax + b =

^0,^donde

a

^y

b

a 6=

^0.^La^solu
ión^deêstaê
ua
iónês

x = − b a

.

3

(x −

²

)

2

− (

²

x −

¹

) =

^0,^tenemos^que:

Eliminarlosdenominadores. Cal ulamosel

m.c.m

^.^de^losdenominadoresymultipli amos adatérminoporél. Como

m.c.m =

^2,^tenemos

✁

2

·

³

(x −

²

)

✁

2

−

²

· (

²

x −

¹

) =

²

·

⁰

⇒

³

(x −

²

) −

²

· (

²

x −

¹

) =

⁰

(7)

ax + b =

^0,^donde

a

^y

b

a 6=

^0.^La^solu
ión^deêstaê
ua
iónês

x = − b a

.

3

(x −

²

)

2

− (

²

x −

¹

) =

^0,^tenemos^que:

m.c.m

m.c.m =

^2,^tenemos

✁

2

·

³

(x −

²

)

✁

2

−

²

· (

²

x −

¹

) =

²

·

⁰

⇒

³

(x −

²

) −

²

· (

²

x −

¹

) =

⁰

Quitarparéntesis. Aquídebemostener uidado onelsignonegativo

3

(x −

²

) −

²

· (

²

x −

¹

) =

²

·

⁰

⇒

³

x −

⁶

−

⁴

x+

²

=

⁰

(8)

ax + b =

^0,^donde

a

^y

b

a 6=

^0.^La^solu
ión^deêstaê
ua
iónês

x = − b a

.

3

(x −

²

)

2

− (

²

x −

¹

) =

^0,^tenemos^que:

m.c.m

m.c.m =

^2,^tenemos

✁

2

·

³

(x −

²

)

✁

2

−

²

· (

²

x −

¹

) =

²

·

⁰

⇒

³

(x −

²

) −

²

· (

²

x −

¹

) =

⁰

3

(x −

²

) −

²

· (

²

x −

¹

) =

²

·

⁰

⇒

³

x −

⁶

−

⁴

x+

²

=

⁰

Redu irtérminossemejantes.

3

x −

⁴

x +

²

−

⁶

=

⁰

⇒ −x −

⁴

=

⁰

(9)

ax + b =

^0,^donde

a

^y

b

a 6=

^0.^La^solu
ión^deêstaê
ua
iónês

x = − b a

.

3

(x −

²

)

2

− (

²

x −

¹

) =

^0,^tenemos^que:

m.c.m

m.c.m =

^2,^tenemos

✁

2

·

³

(x −

²

)

✁

2

−

²

· (

²

x −

¹

) =

²

·

⁰

⇒

³

(x −

²

) −

²

· (

²

x −

¹

) =

⁰

3

(x −

²

) −

²

· (

²

x −

¹

) =

²

·

⁰

⇒

³

x −

⁶

−

⁴

x+

²

=

⁰

(10)

E ua ióndesegundogradoo uadráti a

Unae ua ióndesegundogradooe ua ión uadráti a,esaquellaquesepuderedu iralaforma

ax

²

+ bx + c =

^0,^donde

a

^,

b

^y

c

a 6=

^0.^Cuando

b

^y

c

^son^distintos^de

ero,sedi equelae ua iónen ompleta.Si

b =

⁰^o

c =

^0,^la^e
ua
ión^se^di
ein ompleta.

(11)

ax

²

+ bx + c =

^0,^donde

a

^,

b

^y

c

a 6=

^0.^Cuando

b

^y

c

^son^distintos^de

b =

⁰^o

c =

^0,^la^e
ua
ión^se^di
ein ompleta.

Lasolu ióngeneraldelase ua ionesdesegundogradoes

x = −b ± √ b

²

−

⁴

ac

2

a

(12)

ax

²

+ bx + c =

^0,^donde

a

^,

b

^y

c

a 6=

^0.^Cuando

b

^y

c

^son^distintos^de

b =

⁰^o

c =

^0,^la^e
ua
ión^se^di
ein ompleta.

x = −b ± √ b

²

−

⁴

ac

2

a

Cuando

b

^o

c

^son^ero,^tenemos^métodosparti ulares.Estosson:

(13)

ax

²

+ bx + c =

^0,^donde

a

^,

b

^y

c

a 6=

^0.^Cuando

b

^y

c

^son^distintos^de

b =

⁰^o

c =

^0,^la^e
ua
ión^se^di
ein ompleta.

x = −b ± √ b

²

−

⁴

ac

2

a

Cuando

b

^o

c

Si

b =

⁰^y

c 6=

^0,^la^e
ua
ión^queda^omo

ax

²

+ c =

⁰^y^tiene^por^solu
iones

x = ±

q _−c

a

(14)

ax

²

+ bx + c =

^0,^donde

a

^,

b

^y

c

a 6=

^0.^Cuando

b

^y

c

^son^distintos^de

b =

⁰^o

c =

^0,^la^e
ua
ión^se^di
ein ompleta.

x = −b ± √ b

²

−

⁴

ac

2

a

Cuando

b

^o

c

Si

b =

⁰^y

c 6=

^0,^la^e
ua
ión^queda^omo

ax

²

+ c =

iones

x = ±

q _−c

a

Si

b 6=

⁰^y

c =

^0,^la^e
ua
ión^queda^omo

ax

²

+ bx =

⁰^y^tiene^porsolu iones,sa ando fa tor omúnala

x

x(ax + b) =

⁰

⇒ x =

⁰ ^y

x = −b

a

(15)

ax

²

+ bx + c =

^0,^donde

a

^,

b

^y

c

a 6=

^0.^Cuando

b

^y

c

^son^distintos^de

b =

⁰^o

c =

^0,^la^e
ua
ión^se^di
ein ompleta.

x = −b ± √ b

²

−

⁴

ac

2

a

Cuando

b

^o

c

Si

b =

⁰^y

c 6=

^0,^la^e
ua
ión^queda^omo

ax

²

+ c =

iones

x = ±

q _−c

a

Si

b 6=

⁰^y

c =

^0,^la^e
ua
ión^queda^omo

ax

²

+ bx =

⁰^y^tiene^porsolu iones,sa ando

(16)

IraÍndi e

2| E ua iones

bi uadradas y

asimiladas

(17)

E ua ionesbi uadradas

Unae ua iónbi uadradaesunae ua iónquesepuederedu iralaforma

ax

⁴

+ bx

²

+ c =

^0,

donde

a

^,

b

^y

c

a 6=

^0.

(18)

ax

⁴

+ bx

²

+ c =

^0,

donde

a

^,

b

^y

c

a 6=

^0.

Pararesolverestase ua ionesusamoselmétodode ambiodevariable,dondesustituimos

x

²

porotravariable

z

⁽

z = x

²^),^que^nos^llevaâûnaê
ua
ión^de^segundo^gradoên

z

^.^Veamos^un

ejemplo. Sea

x

⁴

+ x

²

−

²

=

^0,^enton
es

(19)

ax

⁴

+ bx

²

+ c =

^0,

donde

a

^,

b

^y

c

a 6=

^0.

x

²

porotravariable

z

⁽

z = x

ua

z

^.^Veamos^un

ejemplo. Sea

x

⁴

+ x

²

−

²

=

^0,^enton
es

Ha emosel ambio

z = x

² ^(y^por^tanto

z

²

= x

⁴^).

x

⁴

+ x

²

−

²

=

⁰

−→ z

²

+ z −

²

=

⁰

(20)

ax

⁴

+ bx

²

+ c =

^0,

donde

a

^,

b

^y

c

a 6=

^0.

x

²

porotravariable

z

⁽

z = x

ua

z

^.^Veamos^un

ejemplo. Sea

x

⁴

+ x

²

−

²

=

^0,^enton
es

Ha emosel ambio

z = x

² ^(y^por^tanto

z

²

= x

⁴^).

x

⁴

+ x

²

−

²

=

⁰

−→ z

²

+ z −

²

=

⁰

Resolvemoslae ua ióndesegundogradoen

z

^.

z = −

¹

± p

1

2

−

⁴

·

¹

· (−

²

)

2

⇒ z =

¹ ^y

z = −

²

(21)

ax

⁴

+ bx

²

+ c =

^0,

donde

a

^,

b

^y

c

a 6=

^0.

x

²

porotravariable

z

⁽

z = x

ua

z

^.^Veamos^un

ejemplo. Sea

x

⁴

+ x

²

−

²

=

^0,^enton
es

Ha emosel ambio

z = x

² ^(y^por^tanto

z

²

= x

⁴^).

x

⁴

+ x

²

−

²

=

⁰

−→ z

²

+ z −

²

=

⁰

z

^.

z = −

¹

± p

1

2

−

⁴

·

¹

· (−

²

)

2

⇒ z =

¹ ^y

z = −

²

(22)

E ua iónasimiladaalasbi uadradas

Unae ua iónasimiladaaunabi uadradaesunae ua iónquesepuedees ribirenlaforma

ax

²ⁿ

+ bx

ⁿ

+ c =

^0,^donde

a

^,

b

^y

c

a 6=

^0,^y

n

^un^número^natural^tal^que

n ≥

^3.

x

ⁿ

porotravariable

z

⁽

z = x

ⁿ ^y

z

²

= x

²ⁿ^),^que^nos^llevaâûnaê
ua

z

^.

Veamosunejemplo. Sea

x

⁶

+

⁷

x

³

−

⁸

=

^0,^enton
es

(23)

ax

²ⁿ

+ bx

ⁿ

+ c =

^0,^donde

a

^,

b

^y

c

a 6=

^0,^y

n

n ≥

^3.

x

ⁿ

porotravariable

z

⁽

z = x

ⁿ ^y

z

²

= x

ua

z

^.

x

⁶

+

⁷

x

³

−

⁸

=

^0,^enton
es

Ha emosel ambio

z = x

³ ^(y^por^tanto

z

²

= x

⁶^).

x

⁶

+

⁷

x

³

−

⁸

=

⁰

−→ z

²

+

⁷

z −

⁸

=

⁰

(24)

ax

²ⁿ

+ bx

ⁿ

+ c =

^0,^donde

a

^,

b

^y

c

a 6=

^0,^y

n

n ≥

^3.

x

ⁿ

porotravariable

z

⁽

z = x

ⁿ ^y

z

²

= x

ua

z

^.

x

⁶

+

⁷

x

³

−

⁸

=

^0,^enton
es

Ha emosel ambio

z = x

³ ^(y^por^tanto

z

²

= x

⁶^).

x

⁶

+

⁷

x

³

−

⁸

=

⁰

−→ z

²

+

⁷

z −

⁸

=

⁰

z

^.

z = −

⁷

± p

7

2

−

⁴

·

¹

· (−

⁸

)

2

⇒ z =

¹ ^y

z = −

⁸

(25)

ax

²ⁿ

+ bx

ⁿ

+ c =

^0,^donde

a

^,

b

^y

c

a 6=

^0,^y

n

n ≥

^3.

x

ⁿ

porotravariable

z

⁽

z = x

ⁿ ^y

z

²

= x

ua

z

^.

x

⁶

+

⁷

x

³

−

⁸

=

^0,^enton
es

Ha emosel ambio

z = x

³ ^(y^por^tanto

z

²

= x

⁶^).

x

⁶

+

⁷

x

³

−

⁸

=

⁰

−→ z

²

+

⁷

z −

⁸

=

⁰

z

^.

z = −

⁷

± p

7

2

−

⁴

·

¹

· (−

⁸

)

2

⇒ z =

¹ ^y

z = −

⁸

(26)

IraÍndi e

3| Otros tipos

de e ua iones

(27)

E ua iones onfra ionesalgebrai asora ionales

Comosunombreindi a,lase ua iones onfra ionesalgebrai asoe ua ionesra ionalesson

e ua ionesenlasquehayfra ionesalgebrai as,esde ir,lain ógnitaapare eeneldenominador

dealgunafra ión. Lassolu ionesobtenidashayque omprobarlas,puespuedenintrodu irse

solu ionesin orre tas.

(28)

Pararesolverestase ua ioneseliminamoslosdenominadoresmultipli andoporel

m.c.m.

^y

resolviendolae ua iónresultante.

Ejemplo:

x +

¹

2

−

⁴

x +

¹

=

^1.^El

m.c.m.

^de^losdenominadoreses

m.c.m. =

²

· (x +

¹

)

^,^por^tanto:

(29)

m.c.m.

^y

Ejemplo:

x +

¹

2

−

⁴

x +

¹

=

^1.^El

m.c.m.

m.c.m. =

²

· (x +

¹

)

^,^por^tanto:

Eliminamoslosdenominadoresmultipli ando adatérminoporel

m.c.m

✁

2

· (x +

¹

) · x +

¹

✁

2

−

²

· ✘✘✘ (x +

¹

) ✘✘ _x ₊

⁴

✘

1

=

²

· (x +

¹

) ·

¹

⇒ (x +

¹

) · (x +

¹

) −

²

·

⁴

=

²

· (x +

¹

)

(30)

m.c.m.

^y

Ejemplo:

x +

¹

2

−

⁴

x +

¹

=

^1.^El

m.c.m.

m.c.m. =

²

· (x +

¹

)

^,^por^tanto:

m.c.m

✁

2

· (x +

¹

) · x +

¹

✁

2

−

²

· ✘✘✘ (x +

¹

) ✘✘ _x ₊

⁴

✘

1

=

²

· (x +

¹

) ·

¹

⇒ (x +

¹

) · (x +

¹

) −

²

·

⁴

=

²

· (x +

¹

)

Quitarparéntesis. Cuidado onelsignonegativo

x

²

+

¹

+

²

x −

⁸

=

²

x +

²

(31)

m.c.m.

^y

Ejemplo:

x +

¹

2

−

⁴

x +

¹

=

^1.^El

m.c.m.

m.c.m. =

²

· (x +

¹

)

^,^por^tanto:

m.c.m

✁

2

· (x +

¹

) · x +

¹

✁

2

−

²

· ✘✘✘ (x +

¹

) ✘✘ _x ₊

⁴

✘

1

=

²

· (x +

¹

) ·

¹

⇒ (x +

¹

) · (x +

¹

) −

²

·

⁴

=

²

· (x +

¹

)

Quitarparéntesis. Cuidado onelsignonegativo

x

²

+ + x − = x +

(32)

Resolvemoslae ua ióndesegundogradoin ompleta.

x

²

−

⁹

=

⁰

⇒ x = ±

³

(33)

x

²

−

⁹

=

⁰

⇒ x = ±

³

Ahorahayque omprobarlassolu iones

(34)

x

²

−

⁹

=

⁰

⇒ x = ±

³

Solu ión

x =

^3:

x +

¹

2

−

⁴

x +

¹

=

¹

⇒

³

+

¹

2

−

⁴

3

+

¹

=

¹

⇒

²

−

¹

=

¹

Solu iónválida

(35)

x

²

−

⁹

=

⁰

⇒ x = ±

³

Solu ión

x =

^3:

x +

¹

2

−

⁴

x +

¹

=

¹

⇒

³

+

¹

2

−

⁴

3

+

¹

=

¹

⇒

²

−

¹

=

¹

Solu iónválida

Solu ión

x = −

^3:

x +

¹

2

−

⁴

x +

¹

=

¹

⇒ (−

³

) +

¹

2

−

⁴

(−

³

) +

¹

=

¹

⇒ −

¹

− (−

²

) =

¹

Solu iónválida

(36)

E ua iones onradi alesoirra ionales

Unae ua ión onradi alesoirra ionalesunae ua iónenlaquelain ógnitaseen uentra

dentrodeunaraíz.Lassolu ionesobtenidashayque omprobarlas,puespuedenintrodu irse

(37)

Veamos onunejemplo omoseresuelvenestase ua iones.

Ejemplo:

√ x +

¹³

−

¹

= √

x +

^6.

(38)

Veamos onunejemplo omoseresuelvenestase ua iones.

Ejemplo:

√ x +

¹³

−

¹

= √ x +

^6.

Aislamosunodelosradi alesenunmiembro.

√ x +

¹³

−

¹

= √

x +

⁶

⇒ √

x +

¹³

= √

x +

⁶

+

¹