LEY DE SENOS Y
COSENOS
LEY DE SENOS
EN TODO TRIÁNGULO, LOS LADOS SON PROPORCIONALES A LOS SENOS DE LOS ÁNGULOS OPUESTOS:
senC c senB
b senA
a
B
C A
D a
c
E b
Se tiene el triángulo ABC y se trazan las alturas y .
En el triángulo ABE: Sen A = Por lo que = c Sen A
En el triángulo CBE: Sen (180°-C)= Sen C Sen C = . Por lo que = a Sen C
CD BE
c BE
BE
a BE
BE
Entonces = c Sen A = a Sen C Y despejando: ---(1)
En el triángulo BCD: Sen B = Por lo que = a Sen B
En el triángulo ACD: Sen A = Por lo que = b Sen A
Entonces = a Sen B = b Sen A Y despejando: ---(2) De (1) y (2) y la propiedad transitiva de la igualdad:
BE
SenC c SenA
a
a CD
CD
b CD
CD CD
SenB b SenA
a
senC c senB
b senA
a
LEY DE COSENOS
A
2= B
2+ C
2– 2BC COS A
B
2= A
2+ C
2– 2AC COS B C
2= A
2+ B
2– 2AB COS C
b A C
B
a
c D
En el ABC, se traza la altura
En el BCD, a2 = 2 + 2 ---(1) En el ACD, b2 = 2 + 2
Y despejando: 2 = b2 - 2 ---(2) En el segmento : ---(3) Sustituyendo (2) y (3) en (1) :
a2 = ( c - ) 2 + b2 - 2
BD CD
AD CD
CD AD
AD AD
a2 = c2 – 2c + 2 + b2 - 2 a2 = b2 + c2 – 2c ---(4) Pero cos A =
Y despejando: = b cos A Por lo que sustituyendo en (4):
a2 = b2 + c2 – 2c ( b cos A ) a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
AD AD AD
AD
b AD
AD
1. RESUELVE EL TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO CUYOS LADOS MIDEN: A = 80, B = 65, C = 74.
Debemos hallar la medida de los tres ángulos: A, B y C.
Calculamos el ángulo A aplicando la Ley de Cosenos: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A Despejando: cos A =
Entonces Cos –1 0.343139 = 69.931765° , y para obtener minutos y segundos:
60(.931765) = 55.9059 y 60(.9059) = 54.354 por lo que A = 69° 55’ 54’’.
Calculamos el ángulo B aplicando la Ley de Senos:
Despejando: sen B =
Entonces sen –1 0.763169 = 49.744372° por lo que B = 49° 44’ 39’’.
Calculamos el ángulo C aplicando la Ley de Senos:
Despejando: sen C =
Entonces sen –1 0.868839 = 60.324003° por lo que C = 60° 19’ 26’’.
Comprobación: A + B + C = 179° 59’ 59’’. La diferencia es 1’’ por redondeo.
343139 .
) 0 74 )(
65 ( 2
74 65 80 2
2 2 2 2 2
2
bc
c b a
senB b senA
a
763169 .
80 0 931765 .
69
65
sen a
bsenA
senC c senA
a
868839 .
80 0
931765 .
69
74
sen a
csenA
2. RESUELVE EL TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO CON DATOS:
A = 50, B= 40, C= 76°42’
Debemos hallar la medida del tercer lado (c) y de los otros dos ángulos A y B.
Calculamos el lado c aplicando la Ley de Cosenos: c2 = a2 + b2 – 2ab cos C c2 = 502 + 402 – 2(50)(40) cos 76°42’. Como 42 / 60 = 0.7, entonces:
c2 = 2500 + 1600 – 4000 cos 76.7° = 3179.8 Así que c = = 56.39 Calculamos el ángulo A aplicando la Ley de Senos:
Despejando: Sen A =
Entonces Sen –1 0.862900 = 59.643771° por lo que A = 59° 38’ 37’’
Calculamos el ángulo B aplicando la Ley de Senos:
Despejando: Sen B =
Entonces Sen –1 0.69032 = 43.655445° por lo que B = 43° 39’ 19’’ .
Comprobación: A + B + C = 179° 59’ 56’’ . La diferencia es de 4’’ por redondeo.
8 . 3179
senC c senA
a
862900 .
39 0 . 56
7 . 76
50
Sen c
aSenC
SenB b SenA
a
69032 . 50 0
643771 .
59
40
Sen a
bSenA
3. UN TÚNEL SE VA A CONSTRUIR A TRAVÉS DE UNA MONTAÑA.SE FIJA UN PUNTO DE REFERENCIA QUE SE OBSERVA DESDE LOS PUNTOS DE ENTRADA Y DE SALIDA. LA DISTANCIA DE ESTE PUNTO AL DE ENTRADA ES DE 253 M Y AL DE SALIDA ES DE 462 M. EL ÁNGULO FORMADO POR ESTAS DISTANCIAS CON VÉRTICE EN EL PUNTO DE REFERENCIA ES DE 75° 30’. CALCULA LA LONGITUD DEL TÚNEL.
Según la figura, tenemos que C = 75° 30’
y el lado opuesto será c, que representa la longitud del túnel.
Como 30 / 60 = 0.5, entonces C = 75.5°
a = 462 m y b = 253 m
A B
253 462
C c
Calculamos el lado c aplicando la Ley de Cosenos: c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
c2 = 4622 + 2532 – 2(462)(253) Cos 75.5°
c2 = 218921.17 por lo que c = c = 467.89
Entonces, la longitud del túnel es 468 m.
17 . 218921
4. DOS PERSONAS SITUADAS EN PUNTOS OPUESTOS DE UNA CIUDAD UBICADA EN UN TERRENO PLANO, OBSERVAN QUE SOBRE LA CIUDAD HAY UN OBJETO QUE PARECE SER UN OVNI. LOS ÁNGULOS DE ELEVACIÓN DEL PUNTO DE
OBSERVACIÓN DE CADA PERSONA CON RESPECTO AL OBJETO SON DE 25° Y 30°.
SI LA DISTANCIA ENTRE LAS DOS PERSONAS ES DE 2 KM, ¿A QUÉ ALTURA SE ENCUENTRA EL OBJETO?
A B
C
D
a b
c
El ángulo A= 25° y el ángulo B= 30°.
En el ABC, el lado c mide 2000 m y queremos hallar la medida de la altura . Como A + B + C = 180°, entonces C = 125°
Calculamos el lado a, aplicando la Ley de Senos:
CD
senC c senA
a
Despejando: a = a = 1031.84 m
Ahora, el BCD es rectángulo y respecto al ángulo B, conocemos la hipotenusa a y queremos hallar el cateto opuesto . Por lo que Sen B = y despejando:
= a Sen 30° = 1031.84 (0.5) = 515.92
Por lo que el objeto se encuentra a una altura de 516 m.
125 25 2000
Sen Sen SenC
cSenA
CD
a CD
CD CD
