CO5213 - T´ opicos en An´ alisis Num´erico
1. Demuestre que x(t) = −t2/4 y x(t) = 1 − t son soluciones del problema de valores iniciales, pvi,
2x′ =√
t2+ 4x − t, x(2) = −1
¿Por qu´e esto no contradice la primera forma del teorema de existencia y unicidad?
2. Demuestre que el siguiente pvi tiene soluci´on en todo R.
x′ =q|x|, x(0) = 0.
3. Demuestre que el siguiente pvi tiene soluci´on en el intervalo (−π/4, π/4) x′ = tan(x), x(0) = 0.
4. Demuestre que el siguiente pvi tiene soluci´on en el intervalo [−0.351, 0.351]
x′ = t2+ exp(x), x(0) = 0.
5. Sea f una funci´on continua de una variable, definida en todo R. Sea M(r) = max|x|≤r|f(x)|. Si se sabe que M(r) = o(r) cuando r → ∞, esto es limr→∞M (r)r = 0, demuestre que el pvi
x′ = f (x), x(0) = 0 tiene soluci´on en todo R.
6. Sea f (t, x) una funci´on continua en el rect´angulo definido por |t| ≤ 3 y |x| ≤ 4.
Suponga que |f(t, x)| ≤ 7 para todos los puntos en este rect´angulo. ¿Cu´al es el intervalo m´as grande donde se puede asegurar existencia de soluci´on para el pvi
x′ = f (t, x), x(0) = 0 ?
7. Encuentre un intervalo en el cual se puede asegurar que el pvi x′ = sec(x), x(0) = 0
tiene soluci´on ´unica.
8. Dado el pvi
x′ = A2 + x2, x(0) = 0 para una constante positiva A cualquiera:
(a) Halle la soluci´on anal´ıtica por medios convencionales.
(b) Demuestre que el intervalo donde se puede asegurar existencia de soluci´on est´a contenido en [−π/24, π/24] para cualquier A > 0.
(c) ¿Cu´al es el intervalo m´as grande donde se puede asegurar existencia de soluci´on para este pvi? Razone su respuesta.
9. Demuestre que el pvi
x′ = 1 + x2, x(0) = 0
tiene soluci´on en el intervalo [−1, 1]. Demuestre que en este ejemplo no se satisfacen las hip´otesis de la segunda forma del teorema de existencia y unicidad. Explique por qu´e este ejemplo no contradice dicho teorema.
10. Dado el pvi
x′ = 3x + 1, x(0) = 2
(a) Demuestre que todas las aproximaciones sucesivas de Picard existen y est´an definidas en todo R (use inducci´on).
(b) Calcule las primeras 6 aproximaciones sucesivas de Picard. Infiera la soluci´on del pvi.
(c) Use m´etodos anal´ıticos para hallar la soluci´on del pvi.
(d) Compare los resultados obtenidos en (b) y (c), ¿qu´e concluye?
11. Dado el pvi
x′ = x2+ 1, x(0) = 1
(a) Demuestre que todas las aproximaciones sucesivas de Picard existen y est´an definidas en todo R.
(b) Calcule una soluci´on del pvi, explicando en qu´e intervalo est´a definida.
(c) Explique por qu´e las aproximaciones sucesivas de Picard halladas en (a) no pueden converger a una soluci´on del pvi para todo t ∈ R.
12. Demuestre que las siguientes funciones satisfacen una condici´on de Lipschitz en su segunda variable, en el dominio especificado
(a) f (t, x) = 2x/t, t ≥ 1, x ∈ R.
(b) f (t, x) = arctan(x), t ∈ R, x ∈ R.
(c) f (t, x) = (t17t3−2)2+427 t ∈ R, x ∈ R (d) f (t, x) = t − x2, t ∈ R, |x| ≤ 10.
13. Demuestre que la funci´on f (t, x) = tx2 no satisface una condici´on de Lipschitz en la franja D = {(t, x) ∈ R2 / |t| ≤ 1, x ∈ R}. ¿Qu´e se puede decir de la existencia y unicidad de la soluci´on del pvi
x′ = f (t, x), x(0) = 1?
Razone su respuesta.
14. Demuestre que la funci´on f (t, x) =q|x| no satisface una condici´on de Lipschitz en el rect´angulo D = {(t, x) ∈ R2 / |t| ≤ 1, |x| ≤ 1}. Luego verifique que el pvi
x′ = f (t, x), x(0) = 0
tiene m´as de una soluci´on. ¿est´a esto en concondancia con la segunda forma del teorema de existencia y unicidad? Explique.
15. Demuestre que la funci´on f (t, x)q|x| satisface una condici´on de Lipschitz en el rect´angulo D = {(t, x) ∈ R2 / |t| ≤ 1, 0 < α ≤ x ≤ 1}. ¿Qu´e se puede decir acerca de la existencia y unicidad de soluci´on para el pvi
x′ = f (t, x), x(0) = x0
donde x0 ∈ (α, 1)? Explique.
16. Para el problema de valor inicial
y′ = f (x, y), a ≤ x ≤ b, y(a) = α.
(a) Derivar el m´etodo de Euler integrando la ecuaci´on diferencial entre xi y xi+1, y usando una f´ormula de cuadratura apropiada para aproximar la integral.
(b) Derivar el m´etodo trapezoidal usando la regla del trapecio como f´ormula de cuadratura.
17. Considerar el problema de valor inicial
y′ = −10y, 0 ≤ x ≤ 2, y(0) = 1,
el cual tiene por soluci´on a y(x) = e−10x. ¿Qu´e pasa cuando el m´etodo de Euler se aplica a este problema con h = 0.1? ¿Viola este comportamiento los resultados vistos?
18. Sea
E(h) = hM 2 + δ
h
el error de redondeo asociado al m´etodo de Euler. Para el problema de valor inicial y′ = −y + 1, 0 ≤ x ≤ 1, y(0) = 0
calcular el valor de h que minimiza a E(h). Suponer que δ = 5 ×10−(n+1), cuando se utiliza una aritm´etica de n d´ıgitos. Calcular el error de redondeo m´ınimo obtenible.
¿Qu´e concluye?
19. Mostrar que el m´etodo de Euler falla en aproximar la soluci´on Y (x) = (2x/3)3/2 para x ≥ 0 del problema de valor inicial
y′ = y1/3, y(0) = 0.
Explicar a que se debe esto.
20. Calcule x(0.1) resolviendo el pvi
x′ = −tx2, x(0) = 2
mediante el m´etodo de la serie de Taylor de orden 2. Adem´as, usando una tolerancia de 10−6, calcule el error de trucamiento local bas´andose en la aproximaci´on x(3) ≈
x(2)(t+h)−x(2)(t)
h .
21. Puede usarse el m´etodo de diferencia
wi+1= wi−1+ 2 h f (xi, wi), i = 1, 2, . . . , n − 1 con w0 = α y wi = y(xi) para la ecuaci´on diferencial
y′ = f (x, y), a ≤ x ≤ b, y(a) = α.
Justifique la respuesta. Encontar el error de truncamiento local.
22. Demostrar que los m´etodos del punto medio (tangente mejorado), de Euler mejorado (Heun) y de Heun modificado dan las mismas aproximaciones al problema de valor inicial
y′ = −y + x + 1, 0 ≤ x ≤ 1, y(0) = 1 para cualquier valor de h. Justifique la respuesta.
23. Demostrar que el m´etodo de diferencia siguiente w0 = α
wi+1= wi+ a1hf (xi, wi) + a2hf (xi+ α2h, wi+ δ2hf (xi, wi))
para cada i = 0, 1, · · · , N − 1, no puede tener un error de truncamiento local O(h3) para cualquier elecci´on de las constantes a1, a2, α2 y δ2.
24. El m´etodo de Rung-Kutta de orden 4 puede escribirse en la forma w0 = α
wi+1 = wi+h
6 f (xi, wi) + h
3 f (xi+ α1h, wi+ δ1hf (xi, wi)) +h
3 f (xi+ α2h, wi+ δ2hf (xi+ γ2h, wi+ γ3hf (xi, wi))) +h
6 f (xi + α3h, wi+ δ3hf (xi+ γ4h, wi+ γ5hf (xi+ γ6h, wi+ γ7hf (xi, wi)))).
Encontrar los valores de las constantes α1, α2, α3, δ1, δ2, δ3, γ2, γ3, γ4, γ5, γ6, γ7. 25. Considerar el m´etodo de 2 pasos
yn+1 = 1
2 (yn+ yn−1) + h
4 (4 yn+1′ − yn′ + 3 y′n−1), n ≥ 1
con yn′ = f (xn, yn). Mostrar que este es un m´etodo de orden 2, y determinar su error de truncamiento.
26. Derive la f´ormula de Adams-Bashforth de 3 pasos usando el siguiente procedimiento.
Tome
y(xi+1) = y(xi) + a h f (xi, y(xi)) + b h f (xi−1, y(xi−1)) + c h f (xi−2, y(xi−2)).
Expanda y(xi+1), f (xi−2, y(xi−2)) y f (xi−1, y(xi−1)) en series de Taylor alrededor de (xi, y(xi)) e iguale los coeficientes de h, h2 y h3 para obtener a, b y c.
27. Derive la f´ormula de Adams-Moulton de 2 pasos y su error de truncamiento local usando una forma apropiada para el polinomio interpolante.
28. Dado el pvi
x′ = t2 − x, x(0) = 1
para 0 ≤ t ≤ 4, resu´elvalo num´ericamente tomando h = 0.25, h = 0.125 y h = 0.625. Para cada valor de h, imprima en pantalla la soluci´on exacta, la aprox- imaci´on dada por Euler impl´ıcito (progresivo) y el error relativo en los tiempos t = 0, 0.25, 0.50, 0.75, . . . , 4. Analice los resultados.
29. Resuelva la ecuaci´on diferencial ordinaria
x′ = 10x + 11t − 5t2 − 1, x(0) = 0,
usando el m´etodo de Runge-Kutta cl´asico de orden 4, tomando h = 2−8 en el intervalo [0, 5]. Grafique la soluci´on exacta t2/2 − t y la soluci´on num´erica en un mismo lienzo. Verifique que la soluci´on de la misma ecuaci´on diferencial con el valor inicial x(0) = ǫ es ǫ exp(10t) + t2/2 − t. Tomando ǫ = 0.1 resuelva el pvi perturbado usando el m´etodo de Runge-Kutta cl´asico de orden 4, con el mismo valor de h en el mismo intervalo. Grafique las soluciones exacta y num´erica del problema perturbado en un mismo lienzo. ¿Qu´e puede cloncluir?, ¿qu´e sucede en general para ǫ peque˜no?,
¿el pvi original es estable o inestable? Razone sus respuestas.
30. Considere el pvi
x′ = (tx)3− (x
t)2, x(1) = 1.
Tome un paso del m´etodo de la serie de Taylor de orden 2 con h = 0.1, luego use el m´etodo de Euler mejorado (Heun) para calcular x(1.1). Compare los resultados.
31. Demuestre que el siguiente m´etodo multipaso lineal es A-estable 3xn+1 = 4xn− xn−1+ 2hfn+1 (n ≥ 1).