Ejemplos de construcci´ on de bases de Jordan de matrices cuadradas de orden 3
Objetivos. Por medio de ejemplos aprender a construir bases de Jordan de matrices no diagonalizables de orden 3.
Requisitos. C´alculo de valores y vectores propios.
1. Ejemplo con dos valores propios. Consideremos la matriz real
A =
−2 4 −5
−2 −9 6
−3 −8 4
.
Primero calculamos el polinomio caracter´ıstico y el espectro de la matriz A (est´an omitidos los c´alculos):
CA(λ) = (λ + 3)2(λ + 1), sp(A) = {−3, −1}.
Encontremos una base del subespacio propio SA,−3 = ker(A + 3I3):
A + 3I3 =
1 4 −5
−2 −6 6
−3 −8 7
−→...
1 0 3
0 1 −2
0 0 0
.
Una base del subespacio propio SA,−3 est´a formada por el vector propio
u1 =
−3 2 1
.
La multiplicidad geom´etrica no coincide con la algebraica (1 < 2), por eso la matriz A no es diagonalizable. La forma can´onica de Jordan J de la matriz A tendr´a entradas diagonales −3, −3, −1, pero al valor propio −3 le corresponde s´olo un vector propio. Por eso
J =
−3 1 0
0 −3 0 0 0 −1
= diag(J2(−3), J1(−1)).
El vector u2 de la base de Jordan debe satisfacer la ecuaci´on Au2 = u1− 3u2.
Resolvamos el sistema (A + 3I3)u2 = u1:
1 4 −5 −3
−2 −6 6 2
−3 −8 7 1
−→...
1 0 3 5
0 1 −2 −2
0 0 0 0
.
Ejemplos de construcci´on de bases de Jordan, orden 3, p´agina 1 de 4
Una soluci´on particular es (con x3 = 1)
u2 =
2 0 1
.
Falta encontrar una base del subespacio propio SA,−1 = ker(A + I3):
A + I3 =
−1 4 −5
−2 −8 6
−3 −8 5
−→...
1 0 1
0 1 −1
0 0 0
.
Una base del subespacio propio SA,−1 est´a formada por el vector propio
u3 =
−1 1 1
.
Hemos encontrado una base de Jordan U = (u1, u2, u3). La matriz de cambio es
P = PE,U =
−3 2 −1
2 0 1
1 1 1
.
Hagamos la comprobaci´on AP = P J . Por un lado,
P J =
−3 2 −1
2 0 1
1 1 1
−3 1 0
0 −3 0 0 0 −1
=
9 −3 − 6 1
−6 2 + 0 −1
−3 1 − 3 −1
=
9 −9 −1
−6 2 −1
−3 −2 −1
.
Por otro lado,
AP =
−2 4 −5
−2 −9 6
−3 −8 4
−3 2 1 2 0 1 1 1 1
=
6 + 8 − 5 −4 + 0 − 5 2 + 4 − 5 6 − 18 + 6 −4 + 0 + 6 2 − 9 + 6 9 − 16 + 4 −6 + 0 + 4 3 − 8 + 4
=
9 −9 1
−6 2 −1
−3 −2 −1
. X
Al saber la forma can´onica de Jordan J = diag(J2(−3), J1(1)) de la matriz A, es f´acil construir su polinomio m´ınimo:
µA(λ) = (λ + 3)2(λ + 1).
Aqu´ı la potencia 2 es el orden m´aximo de los bloques de Jordan con entrada diagonal −3, y la potencia 1 el el orden m´aximo de los bloques de Jordan con entrada diagonal −1,
Ejemplos de construcci´on de bases de Jordan, orden 3, p´agina 2 de 4
2. Ejemplo con un valor propio y multiplicidad geom´etrica 1. Consideremos la matriz real
A =
4 −1 0
6 0 1
−4 2 2
.
Calculamos el polinomio caracter´ıstico y el espectro de la matriz A (est´an omitidos los c´alculos):
CA(λ) = (λ − 2)3, sp(A) = {2}.
Encontremos una base del subespacio propio SA,2 = ker(A − 2I3):
A − 2I3 =
2 −1 0 6 −2 1
−4 2 0
−→...
−2 1 0 2 0 1 0 0 0
.
Una base del subespacio propio SA,2 est´a formada por el vector
u1 =
1 2
−2
.
La multiplicidad geom´etrica del valor propio 2 es menor que su multiplicidad algebraica (1 < 3), por eso A no es diagonalizable. En la forma can´onica de Jordan de la matriz A todas las entradas diagonales son 2, pero s´olo una columna corresponde a a´un vector propio. Las dem´as dos columnas corresponden a vectores propios generalizados y por eso tienen 1 por arriba de la diagonal principal:
J =
2 1 0 0 2 1 0 0 2
= J3(2).
Si U = (u1, u2, u3) es una base de Jordan de A, sus elementos deben satisfacer las igual- dades
Au1 = 2u1, Au2 = u1+ 2u2, Au3 = u2+ 2u3. Buscamos un vector u2 que satisfaga la ecuaci´on (A − 2I3)u2 = u1:
2 −1 0 1 6 −2 1 2
−4 2 0 −2
−→...
−2 1 0 −1 2 0 1 0 0 0 0 0
.
Una soluci´on particular es (con x1 = 0)
u2 =
0
−1 0
.
Ejemplos de construcci´on de bases de Jordan, orden 3, p´agina 3 de 4
Buscamos un vector u3 que satisfaga la ecuaci´on (A − 2I3)u3 = u2:
2 −1 0 0 6 −2 1 −1
−4 2 0 0
−→...
−2 1 0 0 2 0 1 −1 0 0 0 0
.
Una soluci´on particular es (con x1 = 0)
u3 =
0 0
−1
.
Hemos encontrado una base de Jordan U = (u1, u2, u3). La matriz de cambio es
P = PE,U =
1 0 0
2 −1 0
−2 0 −1
.
Hagamos la comprobaci´on AP = P J . Por un lado,
AP =
4 −1 0
6 0 1
−4 2 2
1 0 0
2 −1 0
−2 0 −1
=
4 − 2 + 0 0 + 1 + 0 0 + 0 + 0 6 + 0 − 2 0 + 0 + 0 0 + 0 − 1
−4 + 4 − 4 0 − 2 + 0 0 + 0 − 2
=
2 1 0
4 0 −1
−4 −2 −2
.
Por otro lado,
P J =
1 0 0
2 −1 0
−2 0 −1
2 1 0 0 2 1 0 0 2
=
2 + 0 + 0 1 + 0 + 0 0 + 0 + 0 4 + 0 + 0 2 − 2 + 0 0 − 1 + 0
−4 + 0 + 0 −2 + 0 + 0 0 + 0 − 2
=
2 1 0
4 0 −1
−4 −2 −2
. X
El polinomio m´ınimo es
µA(λ) = (λ − 2)3.
La potencia 3 corresponde al orden m´aximo entre los bloques de Jordan con entrada diagonal 2 (en este ejemplo J est´a formada por un bloque).
Ejemplos de construcci´on de bases de Jordan, orden 3, p´agina 4 de 4
