Desigualdad de Jensen
Objetivos. Demostrar la desigualdad de Jensen y conocer algunas de sus aplicaciones.
Requisitos. Funciones convexas, derivadas unilaterales de una funci´on convexa.
1. Proposici´on sobre la recta b´asica de la gr´afica de una funci´on convexa. Sean A ⊂ R un intervalo, ϕ : A → R una funci´on convexa y c un punto interior de A. Entonces existe un α ∈ R tal que para todo x en A
ϕ(x) ≥ α(x − c) + f (c). (1)
El papel de α puede hacer cualquier elemento del intervalo cerrado [ϕ0izq(c), ϕ0der(c)].
Demostraci´on. Como ϕ es convexa, sus derivadas unilaterales en el punto c existen, son finitas y satisfacen la siguiente desigualdad:
ϕ0izq(c) ≤ ϕ0der(c).
Sea α cualquier n´umero del intervalo [ϕ0izq(c), ϕ0der(c)].
I. Probemos (1) para todo x en A tal que x < c. De la f´ormula ϕ0izq(c) = sup
x∈A x<c
ϕ(x) − ϕ(c) x − c se sigue que para todo x < c se cumple la desigualdad
ϕ(x) − ϕ(c)
x − c ≤ ϕ0izq(c) ≤ α.
Multiplicamos esta desigualdad por el n´umero negativo x − c:
ϕ(x) − ϕ(c) ≥ α(x − c).
Al despejar ϕ(x) obtenemos (1).
II. Si x ∈ A y x > c, entonces (1) se obtiene de la f´ormula ϕ0der(c) = inf
x∈Ax>c
ϕ(x) − ϕ(c) x − c , al multiplicarla x − c > 0 y despejar ϕ(x).
III. Para x = c la f´ormula (1) se convierte en la igualdad trivial ϕ(c) = ϕ(c).
Desigualdad de Jensen, p´agina 1 de 3
2. Desigualdad de Jensen finita (repaso). Sea A un intervalo de R y sea f : A → R una funci´on convexa. Entonces para cualquier m en N, cualesquiera a1, . . . , am en A y cualesquiera λ1, . . . , λm ≥ 0 con Pm
j=1λj = 1, f
m
X
j=1
λjaj
!
≤
m
X
j=1
λjf (aj).
3. Teorema (desigualdad de Jensen). Sean:
1) (X,F, µ) un espacio de medida tal que µ(X) = 1 (es decir, un espacio de probabili- dad);
2) A un intervalo del eje real R;
3) g ∈ L1(X, µ, A), es decir, sea g un una funci´on µ-integrable con valores en A;
4) f : A → R una funci´on convexa.
Entonces
f
Z
X
g dµ
≤ Z
X
f ◦ g dµ. (2)
Demostraci´on. Sean a y b los extremos del intervalo A, y sea c el valor promedio de g en el conjunto X respecto a la medida µ:
a := inf(A), b := sup(A), c :=
Z
X
g dµ.
1. Demostremos que c ∈ [a, b]. Para todo x en X tenemos que g(x) ∈ A y por lo tanto g(x) ≥ a. Esto significa que g ≥ a o, m´as formalmente, g ≥ a1X, donde 1X es la funci´on constante 1 definida en X. Aplicamos la propiedad mon´otona de la integral:
c = Z
X
g dµ ≥ Z
X
a dµ = a.
De manera similar, g ≤ b y
c = Z
X
g dµ ≤ Z
X
b dµ = b.
Estas desigualdades muestran que c ∈ [a, b]. Consideremos tres casos: c = a, c = b y c ∈ (a, b).
Desigualdad de Jensen, p´agina 2 de 3
2. Si c = a, entonces Z
X
(g − a) dµ = Z
X
g dµ − Z
X
a dµ = c − a = 0.
Notando que g −a ≥ 0 concluimos que en este caso g = a c.t.p. en X. Como µ(X) = 1 > 0 y µ({x ∈ X : g(x) 6= a}) = 0, existen puntos x ∈ X con g(x) = a = c. Esto significa que el n´umero a = c pertenece a la imagen (es decir, al conjunto de los valores) de la funci´on g y por lo tanto pertenece al intervalo A. La desigualdad (2) en este caso se convierte en una igualdad:
Z
X
(f ◦ g)dµ = f (a) Z
X
dµ = f (a) = f (c).
3. Si c = b, entonces de manera similar se demuestra que g = b1X c.t.p. en X, c = b ∈ A y ambos lados de (2) son iguales al n´umero f (c) = f (b).
4. Consideremos el caso principal, cuando c ∈ (a, b). Entonces c es un punto interior del intervalo A y podemos aplicar la proposici´on sobre la recta b´asica de la gr´afica de una funci´on convexa. Elegimos alg´un elemento α del intervalo cerrado [fizq0 (c), fder0 (c)] y obtenemos que
∀t ∈ A f (t) ≥ f (c) + α(t − c).
Sustituimos t por g(x):
∀x ∈ X (f ◦ g)(x) ≥ f (c) + α(f (x) − c).
Integramos sobre X respecto la medida µ y aplicamos la hip´otesis que µ(X) = 1:
Z
X
(f ◦ g) dµ ≥ f (c) + α
Z
X
g dµ − c
= f (c).
4. Ejemplo. Sea f : X → [0, +∞] una funci´on medible e integrable y sea p ≥ 1. Entonces
Z
X
f dµ
p
≤ Z
X
fpdµ.
Aqu´ı la funci´on convexa es ϕ(t) = tp.
5. Ejercicio (desigualdad de Hardy). Sea f : [0, +∞] → [0, +∞] una funci´on medible y sea p > 1. Demuestre que
+∞
Z
0
1 x
x
Z
0
f (t) dt
p
dx ≤
p
p − 1
p +∞
Z
0
fp(x) dx.
Desigualdad de Jensen, p´agina 3 de 3