15 Puntos 15 Puntos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO INTEGRAL

PRIMER EXAMEN EXTRAORDINARIO Sinodales: Ing. Sergio Carlos Crail Corzas

M.I. Mayverena Jurado Pineda

25 de septiembre de 2015 Semestre 2016-1

INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 6 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2 horas.

1. Si el valor medio de la función

f

 ^{a , } 

0

a

( )

2

f x ⁼

− sen 

^ 

 

 

15 Puntos

2. Calcular, si existe:

( )

0

lim

2

x

e x

→ +

+

15 Puntos

1EE16-1 3. Efectuar las integrales:

_{3 2}

2

1

d x d x

a ) x a n g t a n x d x b ) c )

x x

x − x −

  

30 Puntos

4. Calcular el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar alrededor del eje de las ordenadas a región limitada por las gráficas de:

2

1 0 0 y 0

y − − = x , x = y =

10 Puntos

5. Obtener ₀

1 s t

w s

=





^{w x y} ( ^, ) ^{= y}

^{− 3 x y}

x = − 4 e

y = 5 e

15 Puntos

6. La temperatura de una placa metálica en el punto

(

)

( ) ^{( )}

2

, 400

, 0 , 0

x y

T x y e x y

− +

=  

Determinar, a partir del punto

^P ( ) ^{3, 5}

15 Puntos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA CÁLCULO INTEGRAL

Solución del Primer Examen Extraordinario Semestre 2016 – 1

1. Sea

( )

( )

( )

( )

2 0

Sabiendo que entonces

2

0

0 0

0 0

a

a

a

sen x dx

f c ;

a

sen x cos x ,

cos x dx f c

a

sen x ; sen sen a

a angsen a

















−  −  

   

 

= =

−

 

−  −  =

= =

−

= − =



=  =





15 Puntos

2. La sustitución directa da

( )

( )

( )

( )

( )

3

3

0 0

0 0 0

3

0

1

Sea 2 entonces

ln ln 2 entonces

3 0

lim ln lim ln 2 Aplicando L'H pital 0

2 2 2

ln lim 3 lim 3 lim 9 entonces

1 2

9 9

lim 2

x x

x x

x

x x

x x x

x x x x

x x

x

L

y e x

y e x

y e x o

x e

e x e

y e x

e x

e

e

→ →

→ → →

→

= 

= +

= +

 

=  + =

+ +

= + = =

+

+ =  =

15 Puntos

S1EE16-1 3.

a) Por partes

( )

2

2 2

2

2

2 2

2

2

2 1

1

1 1 1

1

1

I x ang tan x dx

si u ang tan x dv x dx

du dx v x

x

I x ang tan x x dx

x

I x ang tan x dx

x

I x ang tan x x ang tan x C

I x ang tan x x C

=

= =

= =

+

 

= −  

 + 

 

= −  − 

 + 

= − + +

= + − +







10 Puntos

b) Por sustitución trigonométrica

2

2

2

1

entonces

1 1

1 1

cot

si x sen

x cos

dx cos d

cos d

d csc d

sen cos sen

I ln csc C

I ln x C

x x

I ln x C

x





 

    

  

 − 

=

− =

=

 

= =

 

 

= +

= − − +

− −

= +

  

10 Puntos

S1EE16-1

c) Por fracciones parciales

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

3 2 2

2 2

2

2 2

1

1 A B C

1 1

1 A 1 + B 1 + C

0 1 2

B 1 C 1 A 1

1 1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1

c c

c

d x d x

x x x x

x x

x x x

x x x x

si x si x si x

dx dx

x x

x x x

I ln x ln x

x I ln x

x x

I ln

x x

− = −

= + +

− −

= − −

= = =

= − = = −

 − − 

=  + + − 

−  

= − − + − +

 − 

=   + +

 

 

=  −  + +

 

 

 

10 Puntos 4. El volumen se puede calcular con:

( )

( ) ( )

1

2 2

0

1 1

2 2 4 2

0 0

5 1

3

0 3

1

1 2 1

2 1 2

5 3 5 3 1

8 15

V y d y

V y d y y y d y

V y y y

V u



 

 



= −

= − = − +

   

=  − +  =  − + 

 

 

=



 

10 Puntos

S1EE16-1 5. Se tiene que

( )

( )( )

3 2

2 2

0 0

1 1

, 3 , 4 , 5

6

3 3 0

0, 1

3, 5

6 6 3 5 90 90

s t

s

s

s s

t t

w x y y x y x e y e

w w x w y

s x s y s

w x

xy e

x s

w y

y x

y s

Para s t

x y e

w w

xye e e e

s ⁼ s ⁼

= =

= − = − =

 

 =  +   

 = −  = −

 

 = −  =

 

= =

= =

 = = =   =

 

15 Puntos

6. Para obtener la dirección de máxima temperatura, se tiene

( ) ^{( )}

( )

( ) ^{( )}

( )

( )

( ) ( ) ( )

2

2

2

2

2 7 3,5

2 7 3,5

7 7

, 400

400 1200

400 1 200

2

3, 5 1200 200

x y

x y

P

x y

P

T x y e

T T

T i j

x y

T x e e

x

T e e

y

T e i e j

− +

− +

−

− +

−

− −

=

 

 = +

 

 = − = −



 = −  = −

 = − + −

15 Puntos