E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios Tema 5
Valores y vectores propios
Francisco Palacios
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña
Octubre 2008, Versión 1.3
Ejercicio 1 Consideramos la matriz A=
à 1 2 2 1
! .
1. Calcula los valores propios.
2. Determina una base de vectores propios.
3. Diagonaliza la matriz.
4. Verifica los resultados con Maple.
Ejercicio 2 Consideramos la matriz A=
à a11 a12 a21 a22
! .
1. Demuestra que el polinomio característico es p(λ) = λ2− traza(A) λ + det(A).
2. Demuestra que A tiene dos valores propios reales distintos si y sólo si [traza(A)]2 > 4 det(A).
Recuerda que la traza de una matriz es la suma de los elementos de la diagonal.
Ejercicio 3 Consideramos la matriz A=
à −5 18
−6 16
! .
1
Ejercicios: Valores y vectores propios 2
1. Determina el número de valores propios reales de A usando la traza y el determinante.
2. Calcula el polinomio característicos y el espectro.
3. Determina un base de vectores propios y diagonaliza A.
4. Verifica los resultados con Maple.
Ejercicio 4 Consideramos la matriz
A=
⎛
⎜⎝
3 −2 −6
−4 5 4
5 −5 −8
⎞
⎟⎠.
1. Calcula los valores propios.
2. Determina una base de vectores propios.
3. Diagonaliza la matriz.
4. Verifica los resultados con Maple.
Ejercicio 5 Consideramos la matriz
A=
⎛
⎜⎝
1 −1 0
−2 4 −2
0 −1 1
⎞
⎟⎠.
1. Calcula los valores propios.
2. Determina una base de vectores propios.
3. Diagonaliza la matriz.
4. Verifica los resultados con Maple.
Ejercicio 6 Dada la matriz
A=
⎛
⎜⎝
−4 14 0
−5 13 0
−1 0 2
⎞
⎟⎠,
queremos determinar el valor propio dominante usando el método de la potencia a partir del vector
x(0)=
⎛
⎜⎝ 1 0 0
⎞
⎟⎠.
Ejercicios: Valores y vectores propios 3
1. Haz las 4 primeras iteraciones de forma manual.
2. Escribe un programa Maple que permita aplicar el método de la po- tencia. Verifica su funcionamiento con el valor de las iteraciones cal- culadas manualmente.
3. Aproxima el valor propio dominante con 5 decimales. Determina un vector propio asociado.
Ejercicio 7 Sea A una matriz de dimensiones n × n con espectro σ(A) = {λ1, λ2, . . . , λn},
entonces, se cumple.
1. λ1+ λ2+ · · · + λn= traza(A).
2. λ1· λ2· · · λn= det(A).
Usando estas propiedades y los resultados del ejercicio anterior, determina el espectro de
A=
⎛
⎜⎝
−4 14 0
−5 13 0
−1 0 2
⎞
⎟⎠.
Verifica los resultados con Maple.
Ejercicio 8 Consideramos la matriz
A=
⎛
⎜⎜
⎜⎝
1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 4
⎞
⎟⎟
⎟⎠.
1. Determina el valor propio dominante usando el método de la potencia.
2. Determina el valor propio de módulo mínimo usando el método de la potencia inversa.
3. Usando la traza y el determinante, calcula el espectro de A.
4. Verifica los resultados con Maple.
Ejercicio 9 Consideramos la matriz
A=
⎛
⎜⎝
−4 14 0
−5 13 0
−1 0 2
⎞
⎟⎠,
que tiene un valor propio próximo a ¯λ = 3.1.
Ejercicios: Valores y vectores propios 4
1. Calcula el valor propio y un vector propio asociado usando el método de la potencia desplazada. Inicia las iteraciones con el vector
x(0)=
⎛
⎜⎝ 5 1 1
⎞
⎟⎠.
2. Verifica el resultado con Maple.
Ejercicio 10 Determina una matriz A con espectro λ1= 1.23, λ2 = 5.67, λ3 = 8.62 y que tenga como vectores propios asociados,
v1 =
⎛
⎜⎝ 0.23 1.42
−1.54
⎞
⎟⎠, v2=
⎛
⎜⎝ 1.53
−1.42
−2.54
⎞
⎟⎠, v3 =
⎛
⎜⎝ 0
−3.12 5.45
⎞
⎟⎠.
Verifica los resultados con Maple.
Ejercicio 11 Usando el método de la potencia, determina el valor propio dominante y un valor propio asociado para la matriz obtenida en el Ejercicio 10.
Ejercicio 12 Usando el método de la potencia inversa, determina el valor propio de módulo mínimo y un valor propio asociado para la matriz obtenida en el Ejercicio 10.
Ejercicio 13 Aplica el método de la potencia desplazada con ¯λ = 5.1 a la matriz obtenida en el Ejercicio 10.
