E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios resueltos Tema 8 EDOs de orden superior

Ejercicios resueltos Tema 8 EDOs de orden superior

Francisco Palacios

Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña

Noviembre 2008, Versión 1.3

Ejercicio 1 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias 1. 4y⁰⁰+ y⁰= 0.

2. y⁰⁰− y⁰− 6y = 0.

3. y⁰⁰+ 8y⁰+ 16y = 0.

4. 12y⁰⁰− 5y⁰− 2y = 0.

5. y⁰⁰+ 9y = 0.

6. y⁰⁰− 4y⁰+ 5y = 0.

7. 3y⁰⁰+ 2y⁰+ y = 0.

(1.1)

4y⁰⁰+ y⁰ = 0.

Ecuación característica

4m²+ m = 0, m (4m + 1) = 0, raíces

m = 0, m = −1/4, soluciones

y1 = e^0x= 1, y2 = e^−14x. Solución general

y = c1+ c2e^−14x, c1, c2∈ R.

(1.2)

y⁰⁰− y⁰− 6y = 0.

Ecuación característica

m²− m − 6 = 0, m = 1 ±√

1 + 24

2 =1 ± 5

2 =

( ₆

2 = 3,

−⁴2 = −2.

1

Sistema fundamental de soluciones

y₁ = e^3x, y2 = e^−2x. Solución general

y = c1e^3x+ c2e^−2x, c1, c2∈ R.

(1.3)

y⁰⁰+ 8y⁰+ 16y = 0.

Ecuación característica

m²+ 8m + 16 = 0, m = −8 ±√

64 − 64

2 = −8

2= −4 (doble) . Sistema fundamental de soluciones

y1 = e^−4x, y2 = xe^−4x. Solución general

y = c1e^−4x+ c2xe^−4x, c1, c2∈ R.

(1.4)

12y⁰⁰− 5y⁰− 2y = 0.

Ecuación característica

12m²− 5m − 2 = 0,

m = 5 ±√

25 + 4 · 2 · 12

24 = 5 ±√

25 + 96 24

= 5 ±√ 121

24 = 5 ± 11 24 =

( ₁₆

24 = ²₃,

−24⁶ = −1/4.

Sistema fundamental de soluciones

y₁ = e^23x, y2 = e^−14x. Solución general

y = c1e^23x+ c2e^−14x, c1, c2∈ R.

(1.5)

y⁰⁰+ 9y = 0.

Ecuación característica

m²+ 9 = 0, m²= −9, m = ±√

−9 = ±3i.

Tenemos dos raíces complejas conjugadas (simples) z = α ± βi,

con α = 0 y β = 3. Las soluciones son del tipo y1 = e^αxcos βx, y₂ = e^αxsin βx.

Solución general

y = e^αx(c1cos βx + c2sin βx) , y = c1cos 3x + c2sin 3x, c1, c2∈ R.

(1.6)

y⁰⁰− 4y⁰+ 5y = 0.

Ecuación característica

m²− 4m + 5 = 0,

m = 4 ±√ 16 − 20

2 = 4 ±√

−4 2

= 4 ± 2i

2 = 2 ± i.

Sistema fundamental de soluciones

y₁ = e^2xcos x, y2 = e^2xsin x.

Solución general

y = e^2x(c1cos x + c2sin x) , c1, c2∈ R.

(1.7)

3y⁰⁰+ 2y⁰+ y = 0.

Ecuación característica

3m²+ 2m + 1 = 0,

m = −2 ±√ 4 − 12

6 =−2 ±√

−8 6

= −2 ± 2√ 2i

6 = −1

3±

√2 3 i.

Sistema fundamental de soluciones y1= e^−x3 cos

à √2 3 x

! ,

y2= e^−x3sin à √2

3 x

! . Solución general

y = e^−x3

"

c1cos à √2

3 x

!

+ c2sin Ã√2

3 x

!#

, c1, c2∈ R. ¤

Ejercicio 2 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias 1. y⁰⁰⁰− 4y⁰⁰− 5y⁰= 0.

2. y⁰⁰⁰− 5y⁰⁰+ 3y⁰+ 9y = 0.

3. d³u dt³ +d²u

dt² − 2u = 0.

4. y⁰⁰⁰+ 3y⁰⁰+ 3y⁰+ y = 0.

5. y⁽⁴⁾+ y⁰⁰⁰+ y⁰⁰= 0.

6. 16d⁴y

dx⁴ + 24d⁴y

dx⁴ + 9y = 0.

7. d⁵u

dr⁵ + 5d⁴u

dr⁴ − 2d³u

dr³ − 10d²u dr² +du

dr + 5u = 0.

(2.1)

y⁰⁰⁰− 4y⁰⁰+ 5y⁰ = 0.

Ecuación característica

m³− 4m²− 5m = 0, m¡

m²− 4m − 5¢

= 0, m = 0, m²− 4m − 5 = 0,

m²− 4m − 5 = 0, m = 4 ±√

16 + 20

2 =4 ±√

36

2 =4 ± 6

2 =

( ₁₀

2 = 5,

−²2 = −1.

Raíces

m = 0, m = 5, m = −1.

Sistema fundamental de soluciones

y₁ = e^0x= 1, y2 = e^5x, y₃ = e^−x. Solución general

y = c1+ c2e^5x+ c3e^−x, c1, c2, c3∈ R.

(2.2)

y⁰⁰⁰− 5y⁰⁰+ 3y⁰+ 9y = 0.

Ecuación característica

m³− 5m²+ 3m + 9 = 0.

Intentamos con los divisores del término independiente

±1, ±3, ±9.

Para m = −1, obtenemos

(−1)³− 5(−1)²+ 3(−1) + 9 = −1 − 5 − 3 + 9 = 0.

Descomponemos usando la regla de Ruffini

1 −5 3 9

−1) −1 6 −9

1 −6 9 0

m³− 5m²+ 3m + 9 = (m + 1)¡

m²− 6m + 9¢ . Resolvemos

m²− 6m + 9 = 0, m = 6 ±√

36 − 36

2 =6

2 = 3 (doble) . Sistema fundamental de soluciones

y₁ = e^−x, y₂ = e^3x, y3 = xe^3x. Solución general

y = c1e^−x+ c2e^3x+ c3xe^3x, c1, c2, c3∈ R.

(2.3)

d³u dt² +d²u

dt² − 2u = 0, u⁰⁰⁰+ u⁰⁰− 2u = 0.

Ecuación característica

m³+ m²− 2 = 0.

Observamos que m = 1 es solución. Descomponemos usando la regla de Ruffini

1 1 0 −2

1) 1 2 2

1 2 2 0

m³+ m²− 2 = (m − 1)¡

m²+ 2m + 2¢ . Resolvemos

m²+ 2m + 2 = 0, m = −2 ±√

4 − 8

2 = −2 ±√

−4

2 =−2 ± 2i

2 = −1 ± i.

Raíces de la ecuación característica

m = 1, m = −1 ± i.

Sistema fundamental de soluciones y1 = e^t, y₂ = e^−tcos t, y3 = e^−tsin t.

Solución general

y = c1e^t+ e^−t(c2cos t + c3sin t) , c1, c2, c3∈ R.

(2.4)

y⁰⁰⁰+ 3y⁰⁰+ 3y⁰+ y = 0.

Ecuación característica

m³+ 3m²+ 3m + 1 = 0, (m + 1)³= 0.

Raíces

m = −1, (triple).

Sistema fundamental de soluciones

y1 = e^−x, y2 = xe^−x, y₃ = x²e^−x. Solución general

y = c₁e^−x+ c₂xe^−x+ c₃x²e^−x, c₁, c₂, c₃∈ R.

(2.5)

y⁽⁴⁾+ y⁰⁰⁰+ y⁰⁰= 0.

Ecuación característica

m⁴+ m³+ m²= 0, m²¡

m²+ m + 1¢

= 0.

Resolvemos

m²+ m + 1 = 0,

m = −1 ±√ 1 − 4

2 = −1 ±√

−3 2

= −1 ±√ 3 i

2 = −1

2±

√3 2 i.

Raíces de la ecuación característica m = 0 (doble) , m = −1

2±

√3

2 i (complejas conjugadas, simples) .

Sistema fundamental de soluciones y1 = e⁰= 1, y2 = xe⁰= x, y3 = e^−12xcos

Ã√3 2 x

! ,

y₄ = e^−12xsin Ã√3

2 x

! . Solución general

y = c1+ c2x + e^−12x Ã

c3cos à √3

2 x

!

+ c4sin Ã√3

2 x

!!

, c1, c2, c3, c4∈ R.

(2.6)

16d⁴y

dx⁴ + 24d²y

dx² + 9y = 0, 16y⁽⁴⁾+ 24y⁽²⁾+ 9y = 0.

Ecuación característica

16m⁴+ 24m²+ 9 = 0.

Se trata de una ecuación bicuadrada, realizamos el cambio t = m² 16t²+ 24t + 9 = 0,

t = −24 ±√

24²− 4 · 16 · 9

32 = −24 ±√

576 − 576 32

= −24

32 = −8 · 3 8 · 4 = −3

4 (doble).

m²= −3 4, m = ±

r

−3 4, m = ±

√3

2 i (dobles).

Sistema fundamental de soluciones y₁ = cos

Ã√3 2 x

! ,

y2 = x cos à √3

2 x

! ,

y3 = sin à √3

2 x

! ,

y4 = x sin Ã√3

2 x

! .

Solución general y = c1cos

à √3 2 x

!

+ c2x cos Ã√3

2 x

!

+ c3sin Ã√3

2 x

!

+ c4sin Ã√3

2 x

!

, cj∈ R.

(2.7)

d⁵u

dr⁵ +5d⁴u

dr⁴ − 2d³u

dr³ − 10d²u dr² +du

dr + 5u = 0.

Ecuación característica

m⁵+ 5m⁴− 2m³− 10m²+ m + 5 = 0.

Descomponemos usando la regla de Ruffini

1 5 −2 −10 1 5

1) 1 6 4 −6 5

1 6 4 −6 −5 0

1) 1 7 11 5

1 7 11 5 0

−1) −1 −6 −5

1 6 5 0

−1) −1 −5

1 5 0

Raíces

m = 1 (doble) , m = −1 (doble) , m = −5.

Sistema fundamental de soluciones

y₁ = e^r, y2 = re^r, y₃ = e^−r, y4 = re^−r, y5 = e^−5r. Solución general

y = c₁e^r+ c₂re^r+ c₃e^−r+ c₄re^−r+ c₅e^−5r, c_j∈ R. ¤ Ejercicio 3 Resuelve el problema de valor inicial

⎧⎨

⎩

y⁰⁰+ 16y = 0, y(0) = 2, y⁰(0) = −2.

Se trata de una EDO lineal homogénea con coeficientes constantes.

Ecuación característica

m²+ 16 = 0, m² = −16,

m = √

−16 = ±4i.

Solución general

y = c1cos 4x + c2sin 4x, c1, c2∈ R.

Imponemos las condiciones iniciales, de y(0) = 2, obtenemos

c₁cos 0 + c₂sin 0 = 2, c1= 2.

Para imponer la segunda condición, necesitamos previamente calcular la derivada de la solución general

y⁰= −4c1sin 4x + 4c₂cos 4x, de la condición

y⁰(0) = −2, obtenemos

−4c¹sin 0 + 4c2cos 0 = −2, 4c₂= −2,

c₂= −1/2.

Solución del problema de valor inicial y = 2 cos 4x −1

2sin 4x. ¤ Ejercicio 4 Resuelve el problema de valor inicial

⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩ d²y dx² −4dy

dx − 5y = 0, y(1) = 0,

y⁰(1) = 2.

EDO lineal homogénea con coeficientes constantes.

Ecuación característica

m²− 4m − 5 = 0, m = 4 ±√

16 + 20

2 =4 ±√

36

2 =4 ± 6

2 =

( ₁₀

2 = 5,

−²2 = −1.

Solución general

y = c₁e^5t+ c₂e^−t, c₁, c₂∈ R.

Calculamos

y⁰ = 5c₁e^5t− c2e^−t, e imponemos las condiciones iniciales; de

y(1) = 0, obtenemos

c1e⁵+ c2e⁻¹= 0.

De

y⁰(1) = 2, resulta

5c1e⁵− c²e⁻¹= 2.

Tenemos el sistema ½

c1e⁵+ c2e⁻¹= 0, 5c1e⁵− c²e⁻¹= 2.

Sumamos las ecuaciones y resulta

6c1e⁵= 2, c1= 2

6e⁵ = 1 3e⁵. Sustituimos en

c1e⁵+ c2e⁻¹ = 0 y obtenemos

1

3e⁵e⁵+ c2e⁻¹= 0, c₂e⁻¹= −1

3, c2= −1

3e.

Solución del problema de valor inicial y = 1

3e⁵e^5t−1 3e · e^−t. Podemos reescribir la solución en la forma

y = 1

3e^5t−5−1 3e^−t+1,

y = 1

3e^5(t−1)−1

3e^−(t−1). ¤ Ejercicio 5 Resuelve el problema de valor inicial

½ y⁰⁰+ y⁰+ 2y = 0, y(0) = y⁰(0) = 0.

EDO lineal homogénea con coeficientes constantes.

Ecuación característica

m²+ m + 2 = 0, m =−1 ±√

1 − 8

2 = −1 ±√

−7

2 = −1

2±

√7 2 i.

Solución general y = e^−x2

"

c₁cos Ã√7

2 x

!

+ c₂sin à √7

2 x

!#

, c₁, c₂∈ R.

De

y(0) = 0, obtenemos

e⁰(c1cos 0 + c2sin 0) = 0 c1= 0.

Como c1= 0, sabemos que la solución es de la forma y = e^−x2c₂sin

Ã√7 2 x

! .

Calculamos

y⁰= −1

2e^−x/2c₂sin à √7

2 x

!

+ e^−x/2c₂

√7 2 cos

à √7 2 x

! ,

de la condición

y⁰(0) = 0, obtenemos

−1

2e⁰c2sin 0 + e⁰c2

√7

2 cos 0 = 0, c2= 0.

La solución es

y(x) = 0.

Este resultado puede deducirse sin realizar ningún cálculo, ya que sabemos que el sistema tiene solución única y la función y(x) = 0 es solución. ¤

Ejercicio 6 Resuelve el problema de valor inicial

⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

y⁰⁰⁰+ 12y⁰⁰+ 36y⁰= 0, y(0) = 0,

y⁰(0) = 1, y⁰⁰(0) = −7.

EDO lineal homogénea con coeficientes constantes.

Ecuación característica

m³+ 12m²+ 36m = 0, m¡

m²+ 12m + 36¢

= 0, m²+ 12m + 36 = (m + 6)². Raíces de la ecuación característica

m = 0, m = −6 (doble).

Solución general

y = c1+ c2e^−6x+ c3xe^−6x, c1, c2, c3∈ R.

Imponemos las condiciones iniciales. De y(0) = 0, obtenemos

c₁+ c₂e⁰+ c₃· 0 · e⁰= 0, c1+ c2= 0.

Calculamos

y⁰= −6c²e^−6x+ c3e^−6x− 6c³xe^−6x. De la condición

y⁰(0) = 1, resulta

−6c²+ c3= 1.

Calculamos

y⁰⁰ = 36c2e^−6x− 6c³e^−6x− 6c³e^−6x+ 36c3xe^−6x

= 36c₂e^−6x− 12c3e^−6x+ 36c₃xe^−6x. De la condición

y⁰⁰(0) = −7, resulta

36c₂− 12c3= −7.

Tenemos el sistema ⎧

⎨

⎩

c1+ c2= 0,

−6c²+ c3= 1, 36c2− 12c³= −7.

Multiplicamos la 2^a ecuación por 6 y la sumamos a la 3^a

⎧⎨

⎩

c₁+ c₂= 0,

−6c²+ c3= 1,

−6c³= −1, resulta

c3=1 6. Sustituimos en la 2^a

−6c²+1 6 = 1,

−6c²= 1 −1 6 =5

6, c₂=−5

36. Sustituimos en la 1^a

c1= −c²= 5 36. Solución del problema de valor inicial

y = 5 36− 5

36e^−6x+1

6xe^−6x. ¤

Ejercicio 7 Resuelve el problema de condiciones de contorno

⎧⎨

⎩

y⁰⁰− 10y⁰+ 25y = 0, y(0) = 1,

y(1) = 0.

EDO lineal homogénea con coeficientes constantes.

Ecuación característica

m²− 10m + 25 = 0, m = 10 ±√

100 − 100

2 = 5 (doble) . Solución general

y = c₁e^5x+ c₂xe^5x, c₁, c₂∈ R.

Imponemos las condiciones de contorno

½ y(0) = 1, y(1) = 0.

y obtenemos el sistema ½

c₁= 1,

c₁e⁵+ c₂e⁵= 0,

½ c₁= 1, c₁+ c₂= 0, c1= 1, c2= −1.

Solución

y = e^5x− xe^5x.

= e^5x(1 − x) . ¤

Ejercicio 8 Resuelve el problema de condiciones de contorno

⎧⎨

⎩

y⁰⁰+ y = 0, y⁰(0) = 0, y⁰(^π₂) = 2.

Ecuación característica

m²+ 1 = 0, raíces

m²= −1, m = ±√

−1 = ±i.

Solución general

y = e^0x(c₁cos x + c₂sin x) , y = c₁cos x + c₂sin x, c₁, c₂∈ R.

Calculamos y⁰

y⁰= −c1sin x + c₂cos x

e imponemos las condiciones de contorno

½ y⁰(0) = 0, y⁰(^π₂) = 2.

Obtenemos ½

−c1· 0 + c2· 1 = 0,

−c¹· 1 + c²· 0 = 2,

½ c₂= 0,

−c1= 2,

½ c1= −2, c2= 0.

La solución es

y = −2 cos x. ¤

Ejercicio 9 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales completas 1. y⁰⁰+ y = sec x.

2. y⁰⁰+ y = cos²x.

3. y⁰⁰− y = cosh x.

4. y⁰⁰+ 3y⁰+ 2y = 1 1 + e^x. 5. y⁰⁰+ 3y⁰+ 2y = sin (e^x) . 6. y⁰⁰+ 2y⁰+ y = e^−tln t.

7. 3y⁰⁰− 6y⁰+ 6y = e^xsec x.

(9.1)

y⁰⁰+ y = sec x.

Homogénea asociada

y⁰⁰+ y = 0, ecuación característica

m²+ 1 = 0, m² = −1,

m = ±√

−1 = ±i.

Sistema fundamental de soluciones

y1 = cos x, y₂ = sin x.

Solución de la EDO homogénea

yh= c1cos x + c2sin x, c1, c2∈ R.

Solución particular

yp= u1y1+ u2y2,

que verifica ½

y1u⁰₁+ y2u⁰₂= 0,

y₁⁰u⁰₁+ y₂⁰u⁰₂= f (x) = sec x.

u⁰₁= W1

W , u⁰₂=W2

W . W =

¯¯

¯¯ y₁ y₂ y₁⁰ y₂⁰

¯¯

¯¯ =

¯¯

¯¯ cos x sin x

− sin x cos x

¯¯

¯¯ = cos²x + sin²x = 1.

W1=

¯¯

¯¯ 0 y₂ f (x) y⁰₂

¯¯

¯¯ =

¯¯

¯¯ 0 sin x sec x cos x

¯¯

¯¯ =

¯¯

¯¯

¯¯

0 sin x 1

cos x cos x

¯¯

¯¯

¯¯= −sin x cos x.

W2=

¯¯

¯¯ y1 0 y₁⁰ f (x)

¯¯

¯¯ =

¯¯

¯¯

¯¯

cos x 0

− sin x 1 cos x

¯¯

¯¯

¯¯= 1.

Determinamos u1(x)

u⁰₁=W₁

W = −sin x cos x, u₁=

Z − sin x

cos x dx = ln |cos x| . Determinamos u2(x)

u⁰₂= W₂ W = 1, u₂=

Z

dx = x.

Solución particular de la EDO completa

yp= cos x ln |cos x| + x sin x.

Solución general de la EDO completa

y = c1cos x + c2sin x + cos x ln |cos x| + x sin x, c1, c2∈ R.

(9.2)

y⁰⁰+ y = cos²x.

EDO lineal completa con coeficientes constantes. Homogénea asociada y⁰⁰+ y = 0,

ecuación característica

m²+ 1 = 0, m² = −1,

m = ±√

−1 = ±i.

Sistema fundamental de soluciones

y1 = cos x, y2 = sin x.

Solución general de la EDO homogénea asociada

y_h= c₁cos x + c₂sin x, c₁, c₂∈ R.

Solución particular de la EDO completa y_p= u₁y₁+ u₂y₂

que verifica ½

y1u⁰₁+ y2u⁰₂= 0, y₁⁰u⁰₁+ y⁰₂u⁰₂= cos²x.

Wronskiano W =

¯¯

¯¯ y1 y2

y₁⁰ y₂⁰

¯¯

¯¯ =

¯¯

¯¯ cos x sin x

− sin x cos x

¯¯

¯¯ = cos²x + sin²x = 1,

W1=

¯¯

¯¯ 0 y2

f (x) y₂⁰

¯¯

¯¯ =

¯¯

¯¯ 0 sin x cos²x cos x

¯¯

¯¯ = − sin x cos²x,

W₂=

¯¯

¯¯ y₁ 0 y⁰₁ f (x)

¯¯

¯¯ =

¯¯

¯¯ cos x 0

− sin x cos²x

¯¯

¯¯ = cos³x, determinamos u₁

u⁰₁=W1

W = − sin x cos²x

1 = − sin x cos²x, u₁ =

Z

− sin x cos²x dx = Z

cos²x(− sin x) dx

= 1

3cos³x.

Determinamos u2

u⁰₂= cos³x, u2 =

Z

cos³x dx = Z

cos²x cos x dx

= Z ¡

1 − sin²x¢

cos x dx

= Z

cos x dx − Z

sin²x cos x dx

= sin x −1 3sin³x.

Solución particular de la EDO completa y_p =

µ1 3cos³x

¶ cos x +

µ

sin x − 1 3sin³x

¶ sin x

= 1

3cos⁴x + sin²x −1 3sin⁴x.

Solución general de la EDO completa y = y_h+ y_p= c₁cos x + c₂sin x +1

3cos⁴x + sin²x −1

3sin⁴x, c₁, c₂∈ R.

Podemos simplificar 1

3cos⁴x + sin²x −1

3sin⁴x = 1 3

£cos⁴x − sin⁴x¤

+ sin²x

= 1

3

⎡

⎢⎣¡

cos²x + sin²x¢

| {z }

=1

¡cos²x − sin²x¢

| {z }

cos 2x

⎤

⎥⎦ + sin²x

= 1

3cos 2x + sin²x

= 1

3cos 2x +1 − cos 2x

2 =1

2+1

3cos 2x −1 2cos 2x

= 1

2−1 6cos 2x.

Finalmente

y = c1cos x + c2sin x + 1 2−1

6cos 2x, c1, c2∈ R.

(9.3)

y⁰⁰− y = cosh x.

EDO lineal completa con coeficientes constantes. Homogénea asociada y⁰⁰− y = 0,

ecuación característica

m²− 1 = 0, raíces

m = ±1, sistema fundamental de soluciones

y1 = e^x, y₂ = e^−x. Solución de la EDO homogénea

y_h= c₁e^x+ c₂e^−x, c₁, c₂∈ R.

Solución particular de la EDO completa yp= u1y1+ u2y2

con ⎧

⎨

⎩

y1u⁰₁+ y2u⁰₂= 0,

y₁⁰u⁰₁+ y⁰₂u⁰₂= cosh x = e^x+ e^−x

2 .

u⁰₁= W₁

W , u⁰₂=W₂ W . Wronskiano

W =

¯¯

¯¯ y1 y2

y₁⁰ y₂⁰

¯¯

¯¯ =

¯¯

¯¯ e^x e^−x e^x −e^−x

¯¯

¯¯ = −e^xe^−x− e^xe^−x

= −1 − 1 = −2.

Calculamos W1 =

¯¯

¯¯ 0 y2

f (x) y₂⁰

¯¯

¯¯ =

¯¯

¯¯ 0 e^−x cosh x −e^−x

¯¯

¯¯ = −e^−xcosh x

= −e^−xe^x+ e^−x

2 = −1 + e^−2x

2 .

Determinamos u1

u⁰₁=W1

W =

³−^1+e₂^2x´

−2 = 1 + e^−2x

4 ,

u1= 1 4

Z ¡1 + e^−2x¢

dx = 1 4x − 1

8e^−2x. Calculamos

W2 =

¯¯

¯¯ y1 0 y₁⁰ f (x)

¯¯

¯¯ =

¯¯

¯¯ e^x 0 e^x cosh x

¯¯

¯¯

= e^xcosh x = e^xe^x+ e^−x

2 = e^2x+ 1 2 , determinamos u₂

u⁰₂=W₂

W =

³e^2x+1 2

´

−2 = −1 4

¡e^2x+ 1¢ ,

u₂ = Z µ

−1 4

¶¡

e^2x+ 1¢

dx = −1 4

µ1 2e^2x+ x

¶

= −1 8e^2x−1

4x.

Solución particular de la EDO completa yp =

µ1 4x −1

8e^−2x

¶ e^x+

µ

−1

8e^2x−x 4

¶ e^−x

= 1

4xe^x−1

8e^−x−1 8e^x−x

4e^−x. Solución general de la EDO completa

y = c1e^x+ c2e^−x+1 4x¡

e^x− e^−x¢

−1 8

¡e^x+ e^−x¢

, c1, c2∈ R.

Como

sinh x =e^x− e^−x

2 , cosh x = e^x+ e^−x

2 ,

la solución puede reescribirse en la forma y = c1e^x+ c2e^−x+1

2x sinh x −1 4cosh x.

(9.4)

y⁰⁰+ 3y⁰+ 2y = 1 1 + e^x.

EDO lineal completa con coeficientes constantes. Homogénea asociada y⁰⁰+ 3y⁰+ 2y = 0,

ecuación característica

m²+ 3m + 2 = 0, raíces

m = −3 ±√ 9 − 8

2 =−3 ± 1

2 =

⎧⎨

⎩

−3+12 = −1,

−3−12 = −2.

Sistema fundamental de soluciones

y₁ = e^−x, y2 = e^−2x. Solución general de la EDO homogénea

y_h= c₁e^−x+ c₂e^−2x, c₁, c₂∈ R.

Solución particular de la EDO completa

y_p= u₁y₁+ u₂y₂, que verifica

( y₁u⁰₁+ y₂u⁰₂= 0,

y₁⁰u⁰₁+ y⁰₂u⁰₂= f (x) = 1 1 + e^x. Wronskiano

W =

¯¯

¯¯ y₁ y₂ y₁⁰ y₂⁰

¯¯

¯¯ =

¯¯

¯¯ e^−x e^−2x

−e^−x −2e^−2x

¯¯

¯¯

= e^−x(−2)e^−2x+ e^−xe^−2x= −2e^3x+ e^−3x

= −e^−3x. También puede calcularse como sigue

W =

¯¯

¯¯ e^−x e^−2x

−e^−x −2e^−2x

¯¯

¯¯ = e^−xe^−2x

¯¯

¯¯ 1 1

−1 −2

¯¯

¯¯ = e^−3x(−2 + 1)

= −e^−3x. Calculamos

W1 =

¯¯

¯¯ 0 y2

f (x) y⁰₂

¯¯

¯¯ =

¯¯

¯¯ 0 e^−2x

1

1+e^x −2e^−2x

¯¯

¯¯

= −e^−2x 1 + e^x,

determinamos u₁

u⁰₁= W₁

W =

³−e^−2x 1+e^x

´

−e^−3x = e^−2x

(1 + e^x) e^−3x = e^x 1 + e^x, u₁=

Z e^x

1 + e^xdx = ln (1 + e^x) . Calculamos

W₂ =

¯¯

¯¯ y₁ 0 y⁰₁ f (x)

¯¯

¯¯ =

¯¯

¯¯ e^−x 0

−e^−x 1+e^1x

¯¯

¯¯

= e^−x e^x+ 1, determinamos u₂

u⁰₂ = W2

W =

³e^−x e^x+1

´

−e^−3x = −1

e^−2x(e^x+ 1)

= − e^2x e^x+ 1. u₂= −

Z e^2x e^x+ 1dx.

Realizamos el cambio de variable e^x= t

dt = e^xdx dx = ¹_tdt

⎫⎬

⎭⇒ −

Z e^2x

e^x+ 1dx = − Z t²

t + 1·1 t dt

= −

Z t dt t + 1 = −

Z t + 1 − 1 t + 1 dt

= −

Z µ 1 − 1

t + 1

¶

dt = −t + ln(t + 1)

= −e^x+ ln (e^x+ 1) . Solución particular de la EDO completa

yp = e^−xln (1 + e^x) + e^−2x(−e^x+ ln (e^x+ 1))

= e^−xln (1 + e^x) − e^−x+ e^−2xln (e^x+ 1)

= −e^−x+¡

e^−x+ e^−2x¢

ln (e^x+ 1) . Solución general de la EDO completa

y = c1e^−x+ c2e^−2x− e^−x+¡

e^−x+ e^−2x¢

ln (e^x+ 1) , c1, c2∈ R.

Podemos reescribir la solución en la forma y = e^−x(c1− 1) + c²e^−2x+¡

e^x+ e^−2x¢

ln (e^x+ 1)

= c⁰₁e^−x+ c2e^−2x+¡

e^−x+ e^−2x¢

ln (e^x+ 1) .

con c⁰₁= (c₁− 1) , resulta y = c⁰₁e^−x+ c2e^−2x+¡

e^−x+ e^−2x¢

ln (e^x+ 1) , c⁰₁, c2∈ R (9.5)

y⁰⁰+ 3y⁰+ 2y = sin (e^x) . EDO lineal completa con coeficientes constantes.

EDO homogénea asociada

y⁰⁰+ 3y⁰+ 2y = 0, ecuación característica

m²+ 3m + 2 = 0, raíces

m = −3 ±√ 9 − 8

2 = −3 ± 1

2 =

⎧⎨

⎩

−3+12 = −1,

−3−12 = ⁻⁴₂ = −2.

Sistema fundamental de soluciones

y₁ = e^−x, y2 = e^−2x. Solución general de la EDO homogénea

yh= c1e^−x+ c2e^−2x, c1, c2∈ R.

Solución particular de la EDO completa

yp= u1y1+ u2y2,

que verifica ½

y1u⁰₁+ y2u⁰₂= 0,

y⁰₁u⁰₁+ y₂⁰u⁰₂= f (x) = sin (e^x) . Wronskiano

W =

¯¯

¯¯ y₁ y₂ y⁰₁ y⁰₂

¯¯

¯¯ =

¯¯

¯¯ e^−x e^−2x

−e^−x −2e^−2x

¯¯

¯¯

= −2e^−3x+ e^−3x= −e^−3x. Calculamos

W1=

¯¯

¯¯ 0 y2

f (x) y₂⁰

¯¯

¯¯ =

¯¯

¯¯ 0 e^−2x sin e^x −2e^−2x

¯¯

¯¯ = −e^−2xsin (e^x) ,

determinamos u1

u⁰₁ = W1

W =−e^−2xsin (e^x)

−e^−3x = sin (e^x) e^−x

= sin (e^x) · e^x, u₁=

Z

sin (e^x) e^xdx.

Con el cambio ½

t = e^x, dt = e^xdx, resulta

u₁ = Z

sin t dt = − cos t, u₁ = − cos (e^x) .

Calculamos W2=

¯¯

¯¯ y1 0 y₁⁰ f (x)

¯¯

¯¯ =

¯¯

¯¯ e^−x 0

−e^−x sin (e^x)

¯¯

¯¯ = e^−xsin (e^x) ,

determinamos u₂

u⁰₂ = W₂

W = e^−xsin (e^x)

−e^−3x = − sin (e^x) e^−2x , u⁰₂ = −e^2xsin (e^x) ,

u2= − Z

e^2xsin (e^x) dx.

Con el cambio ½

t = e^x, dt = e^xdx, resulta

u2 = − Z

t sin t dt = − µ

−t cos t + Z

cos t dt

¶ , u2 = − (−t cos t + sin t) ,

= t cos t − sin t, deshacemos el cambio

u2= e^xcos (e^x) − sin (e^x) . La solución particular de la EDO completa es

yp = − (cos e^x) e^−x+ (e^xcos (e^x) − sin (e^x)) e^−2x

= −e^−xcos (e^x) + e^−xcos (e^x) − e^−2xsin (e^x)

= −e^−2xsin (e^x) . Solución general de la EDO completa

y = c1e^−x+ c2e^−2x− e^−2xsin (e^x) , c1, c2∈ R.

(9.6)

y⁰⁰+ 2y⁰+ y = e^−tln t.

EDO lineal completa con coeficientes constantes. La EDO homogénea asociada es

y⁰⁰+ 2y⁰+ y = 0,

ecuación característica

m²+ 2m + 1 = 0, raíces

m = −2 ±√ 4 − 4

2 = −1 (doble) . Sistema fundamental de soluciones

y₁ = e^−t, y2 = t e^−t. Solución general de la EDO homogénea asociada

yh= c1e^−t+ c2te^−2t. c1, c2∈ R.

Solución particular de la EDO completa

y_p= u₁y₁+ u₂y₂,

que verifica ½

y₁u⁰₁+ y₂u⁰₂= 0,

y⁰₁u⁰₁+ y₂⁰u⁰₂= f (t) = e^−tln t.

Wronskiano

W =

¯¯

¯¯ y₁ y₂ y₁⁰ y₂⁰

¯¯

¯¯ =

¯¯

¯¯ e^−t te^−t

−e^−t e^−t− te^−t

¯¯

¯¯

= e^−t(e^−t− te^−t) + te^−2t

= e^−2t− te^−2t+ te^−2t= e^−2t. Calculamos

W1 =

¯¯

¯¯ 0 y2

f (t) y⁰₂

¯¯

¯¯ =

¯¯

¯¯ 0 te^−t e^−tln t (1 − t)e^−t

¯¯

¯¯

= −¡

e^−tln t¢ ¡ te^−t¢

= −e^−2tt ln t.

Determinamos u1

u⁰₁ = W1

W = −e^−2tt ln t

e^−2t = −t ln t, u₁ =

Z

(−t ln t) dt = − µt²

2 ln t − Z 1

2t²· 1 tdt

¶

= −

µt²

2 ln t −1 2 Z

t dt

¶

= −t²

2 ln t + 1 4t². Calculamos

W2 =

¯¯

¯¯ y1 0 y⁰₁ f (t)

¯¯

¯¯ =

¯¯

¯¯ e^−t 0

−e^−t e^−tln t

¯¯

¯¯

= e^−2tln t.

Determinamos u₂

u⁰₂ = W2

W = e^−2tln t e^−2t = ln t, u₂ =

Z

ln t dt = t ln t − Z

t ·1 t dt

= t ln t − Z

dt

= t ln t − t.

Solución particular de la EDO completa yp = e^−t

µ

−t²

2 ln t +1 4t²

¶

+ te^−t(t ln t − t)

= e^−t µ

−t²

2 ln t +1

4t²+ t²ln t − t²

¶

= e^−t µt²

2 ln t −3 4t²

¶ . Solución general de la EDO completa

y = c1e^−t+ c2te^−t+ e^−t µt²

2 ln t − 3 4t²

¶

, c1, c2∈ R.

(9.7)

3y⁰⁰− 6y⁰+ 6y = e^xsec x.

EDO lineal completa con coeficientes constantes, la forma estándar es y⁰⁰− 2y⁰+ 2y = 1

3e^xsec x.

Ecuación homogénea asociada

y⁰⁰− 2y⁰+ 2y = 0, ecuación característica

m²− 2m + 2 = 0, raíces

m = 2 ±√ 4 − 8

2 =2 ±√

−4

2 =2 ± 2i 2 , m = 1 ± i.

Tenemos un par de raíces complejas conjugadas, el sistema fundamental de soluciones es

y1 = e^xcos x, y₂ = e^xsin x.

Solución general de la EDO homogénea

y = c1e^xcos x + c2e^xsin x, c1, c2∈ R.

Solución particular de la EDO completa

yp= u1y1+ u2y2, que verifica ½

y₁u⁰₁+ y₂u⁰₂= 0,

y₁⁰u⁰₁+ y⁰₂u⁰₂= f (x) =¹₃e^xsec x.

Wronskiano

W =

¯¯

¯¯ y1 y2

y₁⁰ y₂⁰

¯¯

¯¯ =

¯¯

¯¯ e^xcos x e^xsin x e^xcos x − e^xsin x e^xsin x + e^xcos x

¯¯

¯¯

= e^2x¡

cos x sin x + cos²x¢

− e^2x¡

cos x sin x − sin²x¢

= e^2x¡

cos x sin x + cos²x − cos x sin x + sin²x¢

= e^2x¡

sin²x + cos²x¢

= e^2x. Calculamos

W1 =

¯¯

¯¯ 0 y2

f (x) y⁰₂

¯¯

¯¯ =

¯¯

¯¯ 0 e^xsin x

1

3e^xsec x e^x(sin x + cos x)

¯¯

¯¯

= −1

3e^2xsin x · sec x = −1

3e^2xsin x 1 cos x

= −1

3e^2xsin x cos x, determinamos u1

u⁰₁ = W₁

W =−¹₃e^2x¡_{sin x}

cos x

¢ e^2x = −1

3 sin x cos x u1 = 1

3

Z − sin x cos x dx = 1

3ln | cos x|.

Calculamos W2 =

¯¯

¯¯ y1 0 y⁰₁ f (x)

¯¯

¯¯ =

¯¯

¯¯ e^xcos x 0 e^x(cos x − sin x) ¹3e^xsec x

¯¯

¯¯

= 1

3e^2xcos x · sec x = 1

3e^2xcos x 1 cos x =1

3e^2x. Determinamos u₂

u⁰₂ = W₂

W =

1 3e^2x

e^2x = 1/3, u2 = 1

3 Z

dx = x/3.

Solución particular de la EDO completa yp=

µ1

3ln |cos x|

¶

e^xcos x +x

3e^xsin x.

Solución general de la EDO completa y = c₁e^xcos x + c₂e^xsin x + 1

3e^xcos x ln |cos x| +1

3xe^xsin x, c₁, c₂∈ R.

Ejercicio 10 Resuelve el problema de valor inicial

⎧⎨

⎩

4y⁰⁰− y = x e^x/2, y(0) = 1,

y⁰(0) = 0.

Se trata de una EDO lineal completa de segundo orden con coeficientes con- stantes, escribimos la ecuación en forma estándar

y⁰⁰−1 4y =1

4xe^x/2. Homogénea asociada

y⁰⁰−1 4y = 0, ecuación característica

m²−1 4= 0, raíces

m²= 1 4, m = ±1

2. Sistema fundamental de soluciones

y₁ = e^12x, y2 = e^−x/2. Solución general de la EDO homogénea

y = c₁e^x/2+ c₂e^−x/2, c₁, c₂∈ R.

Solución particular de la EDO completa

yp= u1y1+ u2y2,

que verifica ½

y₁u⁰₁+ y₂u⁰₂= 0,

y₁⁰u⁰₁+ y⁰₂u⁰₂= f (x) =¹₄xe^x/2. Wronskiano

W =

¯¯

¯¯ y1 y2

y₁⁰ y₂⁰

¯¯

¯¯ =

¯¯

¯¯ e^x/2 e^−x/2

1

2e^x/2 −¹2e^−x/2

¯¯

¯¯

= −1 2−1

2 = −1.

Calculamos

W₁ =

¯¯

¯¯ 0 y₂ f (x) y⁰₂

¯¯

¯¯ =

¯¯

¯¯ 0 e^−x/2

1

4xe^x/2 −¹2e^−x/2

¯¯

¯¯

= −1

4xe^x/2e^−x/2= −1 4x.

Determinamos u₁

u⁰₁ = W₁

W = −¹₄x (−1)= 1

4x, u1 =

Z 1

4x dx = 1 8x². Calculamos

W₂ =

¯¯

¯¯ y1 0 y₁⁰ f (x)

¯¯

¯¯ =

¯¯

¯¯ e^x/2 0

1

2e^{x/2 1}₄xe^x/2

¯¯

¯¯

= e^x/21

4xe^x/2=1 4x e^x. Determinamos u2

u⁰₂ = W2

W =

1 4xe^x

−1 = −1 4xe^x, u2 =

Z µ

−1 4xe^x

¶

dx = −1 4 Z

xe^xdx = −1

4 (x − 1) e^x=1

4(1 − x) e^x. Solución particular de la EDO completa

yp = µ1

8x²

¶

e^x/2+(1 − x)

4 e^x· e^−x/2

= µ1

8x²−x 4+1

4

¶ e^x/2. Solución general de la EDO completa

y = c1e^x/2+ c2e^−x/2+ µ1

8x²−x 4+1

4

¶

e^x/2, c1, c2∈ R.

Imponemos las condiciones iniciales

½ y(0) = 1, y⁰(0) = 0.

De la condición

y(0) = 1 resulta

c1+ c2+1 4 = 1, c1+ c2= 3/4.

Calculamos y⁰ =1

2c1e^x/2−1

2c2e^−x/2+ µ1

4x −1 4

¶ e^x/2+

µ1 8x²−x

4+1 4

¶1 2e^x/2 e imponemos la condición

y⁰(0) = 0,

resulta

1 2c₁−1

2c₂−1 4+1

8 = 0, 1

2c1−1 2c2−1

8 = 0, c1− c²= 1

4. Resolvemos el sistema ½

c₁+ c₂= 3/4, c₁− c2= 1/4.

Sumando, resulta

2c₁ = 1, c1 = 1/2.

Restando, la 2^aecuación a la 1^a, obtenemos 2c₂ = 1/2,

c2 = 1/4.

La solución del problema de valor inicial es

y = 1

2e^x/2+1

4e^−x/2+ µ1

8x²−x 4 +1

4

¶ e^x/2

= 3

4e^x/2+1

4e^−x/2+ µ1

8x²−x 4

¶

e^x/2. ¤ Ejercicio 11 Resuelve el problema de valor inicial

⎧⎨

⎩

y⁰⁰+ 2y⁰− 8y = 2e^−2x− e^−x, y(0) = 1,

y⁰(0) = 0.

EDO lineal completa de segundo orden con coeficientes constantes. La ho- mogénea asociada es

y⁰⁰+ 2y⁰− 8y = 0.

Ecuación característica

m²+ 2m − 8 = 0, raíces

m = −2 ±√ 4 + 32

2 = −2 ± 6

2 =

⎧⎨

⎩

−2+62 = 2,

−2−62 = −4.

Sistema fundamental de soluciones

y1 = e^2x, y₂ = e^−4x. Solución general de la EDO homogénea

y = c1e^2x+ c2e^−4x, c1, c2∈ R.