Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 1/29

(1)

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 1/29

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas

Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes

ITESM

(2)

Introducción Conjunto Construcción - por extensión - por intención Conceptos - x ∈ A - A ⊆ B - A ⊂ B

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

Ojo con ∅ Operaciones -A ∪ B

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 2/29

Introducción

En esta lectura veremos la teoría elemental de conjuntos. Esto incluye cómo se definen y cuáles son las operaciones básicas. Un aspecto que

intentamos enfatizar es cómo elaborar la teoría de

conjuntos haciendo uso de la lógica matemática.

(3)

Conjunto Construcción - por extensión - por intención Conceptos - x ∈ A - A ⊆ B - A ⊂ B

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 3/29

Un conjunto es una colección o familia de objetos.

(4)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 3/29

Definición de Conjunto

Definici´on

Un conjunto es una colección o familia de objetos.

Las llaves { } tendrán un uso muy especial y único:

(5)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 3/29

Un conjunto es una colección o familia de objetos.

Las llaves { } tendrán un uso muy especial y único:

servirán para definir un conjunto.

(6)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 3/29

Definición de Conjunto

Definici´on

Un conjunto es una colección o familia de objetos.

Las llaves { } tendrán un uso muy especial y único:

servirán para definir un conjunto. Para ninguna

otra cosa más.

(7)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 4/29

(8)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 4/29

Formas de Construir o Definir Conjuntos

Manejaremos dos formas de constrir conjuntos:

■

Definición de un conjunto por extensión.

(9)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 4/29

■

Definición de un conjunto por extensión.

■

Definición de un conjunto por intención.

(10)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 5/29

Definición por Extensión

Definici´on

Construir o definir un conjunto por extensión

consiste en declarar todos lo elementos que lo

forman.

(11)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 5/29

Construir o definir un conjunto por extensión consiste en declarar todos lo elementos que lo forman.

Ejemplo

{Rosana, Sakura, María del Carmen, Vito

Corleone, Pedro }

(12)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 6/29

Definición por Intención

Definici´on

Construir o definir un conjunto por intención

consiste en declarar cuáles elementos de un cierto

conjunto son seleccionados.

(13)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 6/29

Construir o definir un conjunto por intención

consiste en declarar cuáles elementos de un cierto

conjunto son seleccionados. Esto se lleva a cabo

por una propiedad o predicado P(x).

(14)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 6/29

Definición por Intención

Definici´on

Construir o definir un conjunto por intención

consiste en declarar cuáles elementos de un cierto conjunto son seleccionados. Esto se lleva a cabo por una propiedad o predicado P(x).

{x ∈ D|P(x)}

(15)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 6/29

Construir o definir un conjunto por intención

consiste en declarar cuáles elementos de un cierto conjunto son seleccionados. Esto se lleva a cabo por una propiedad o predicado P(x).

{x ∈ D|P(x)}

Ejemplo

{x ∈ R | − 2 < x}

(16)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 6/29

Definición por Intención

Definici´on

Construir o definir un conjunto por intención

consiste en declarar cuáles elementos de un cierto conjunto son seleccionados. Esto se lleva a cabo por una propiedad o predicado P(x).

{x ∈ D|P(x)}

Ejemplo

{x ∈ R | − 2 < x}

“Todos aquellos números reales que son mayores

que -2.”

(17)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 7/29

conjuntos.

(18)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 8/29

Pertenencia a un Conjunto

Definici´on

Un objeto x se dice pertenecer o ser elemento o

estar en un conjunto A si

(19)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 8/29

Un objeto x se dice pertenecer o ser elemento o estar en un conjunto A si

■

cuando el conjunto A está definido por extensión cuando el elemento x aparece en la lista de

elementos del conjunto A

(20)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 8/29

Pertenencia a un Conjunto

Definici´on

Un objeto x se dice pertenecer o ser elemento o estar en un conjunto A si

■

cuando el conjunto A está definido por extensión cuando el elemento x aparece en la lista de

elementos del conjunto A

■

cuando el conjunto A está definido por intención

cuando el elemento x es tomado del universo del

discurso y cumple la propiedad establecida para

A

(21)

Conceptos - x ∈ A - A ⊆ B - A ⊂ B

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 9/29

A = { Rosana, Sakura, María del Carmen, Vito Corleone, Pedro}

1. Jonas

(22)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 9/29

Ejemplo

Indique cuáles opciones contienen elementos del conjunto:

A = { Rosana, Sakura, María del Carmen, Vito Corleone, Pedro}

1. Jonas : Jonas < A 2. Tomás Tomás

3. Agrin

4. Lucía

5. Pedro

(23)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 9/29

A = { Rosana, Sakura, María del Carmen, Vito Corleone, Pedro}

1. Jonas : Jonas < A 2. Tomás Tomás

3. Agrin 4. Lucía

5. Pedro :Pedro ∈ A

6. Pablo Morales

(24)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 10/29

Ejemplo

Indique cuáles opciones contienen elementos del conjunto:

{x ∈ Z| − 2 < x < 5}

1. 3

(25)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 10/29

{x ∈ Z| − 2 < x < 5}

1. 3 : 3 ∈ A pues 3 es entero y comple −2 < 3 < 5

2. 6

(26)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 10/29

Ejemplo

Indique cuáles opciones contienen elementos del conjunto:

{x ∈ Z| − 2 < x < 5}

1. 3 : 3 ∈ A pues 3 es entero y comple −2 < 3 < 5 2. 6 : 6 < A pues −2 < 6 ≮ 5

3. -3

(27)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 10/29

{x ∈ Z| − 2 < x < 5}

1. 3 : 3 ∈ A pues 3 es entero y comple −2 < 3 < 5 2. 6 : 6 < A pues −2 < 6 ≮ 5

3. -3 : −3 < A pues −2 ≮ −3 < 5

4. 1.5

(28)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 10/29

Ejemplo

Indique cuáles opciones contienen elementos del conjunto:

{x ∈ Z| − 2 < x < 5}

1. 3 : 3 ∈ A pues 3 es entero y comple −2 < 3 < 5 2. 6 : 6 < A pues −2 < 6 ≮ 5

3. -3 : −3 < A pues −2 ≮ −3 < 5

4. 1.5 : 1.5 < A pues 1.5 no es entero.

(29)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 11/29

Diremos que un conjunto A es un subconjunto de el conjunto B y lo simbolizaremos

A ⊆ B

si todo elemento de A es también elemento de B.

(30)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 11/29

Definición de Subconjunto

Definici´on

Diremos que un conjunto A es un subconjunto de el conjunto B y lo simbolizaremos

A ⊆ B

si todo elemento de A es también elemento de B.

Observe que de la definición se tiene la siguiente equivalencia:

A ⊆ B ≡ ∀x, x ∈ A → x ∈ B

(31)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 11/29

Diremos que un conjunto A es un subconjunto de el conjunto B y lo simbolizaremos

A ⊆ B

si todo elemento de A es también elemento de B.

Observe que de la definición se tiene la siguiente equivalencia:

A ⊆ B ≡ ∀x, x ∈ A → x ∈ B Y negando lo anterior:

A B ≡ ∃x, x ∈ A ∧ x < B*

(32)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/29

Ejemplo

En referencia a los conjuntos

N El conjunto de los números enteros positivos Z El conjunto de los enteros

R El conjunto de los números reales

Q El conjunto de los números racionales o fraccionarios

(33)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/29

Z El conjunto de los enteros

R El conjunto de los números reales

Q El conjunto de los números racionales o fraccionarios Se tiene:

1. N ⊆ Z

(34)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/29

Ejemplo

En referencia a los conjuntos

N El conjunto de los números enteros positivos Z El conjunto de los enteros

R El conjunto de los números reales

Q El conjunto de los números racionales o fraccionarios Se tiene:

1. N ⊆ Z

2. Z ⊆ Q

(35)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/29

Z El conjunto de los enteros

R El conjunto de los números reales

Q El conjunto de los números racionales o fraccionarios Se tiene:

1. N ⊆ Z

2. Z ⊆ Q

3. Q ⊆ R

(36)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/29

Ejemplo

En referencia a los conjuntos

N El conjunto de los números enteros positivos Z El conjunto de los enteros

R El conjunto de los números reales

Q El conjunto de los números racionales o fraccionarios Se tiene:

1. N ⊆ Z

2. Z ⊆ Q

3. Q ⊆ R

4. **Z * N**

(37)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/29

Z El conjunto de los enteros

R El conjunto de los números reales

Q El conjunto de los números racionales o fraccionarios Se tiene:

1. N ⊆ Z

2. Z ⊆ Q

3. Q ⊆ R

4. **Z * N**

5. **Q * Z**

(38)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/29

Ejemplo

En referencia a los conjuntos

N El conjunto de los números enteros positivos Z El conjunto de los enteros

R El conjunto de los números reales

Q El conjunto de los números racionales o fraccionarios Se tiene:

1. N ⊆ Z

2. Z ⊆ Q

3. Q ⊆ R

4. **Z * N**

5. **Q * Z**

6. **R * Q**

(39)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 13/29

Diremos que un conjunto A es un subconjunto propio de el conjunto B y lo simbolizaremos

A ⊂ B

si todo elemento de A es también elemento de B y además existe un elemento de b que no es

elemento de A.

(40)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 13/29

Definición de Subconjunto Propio

Definici´on

Diremos que un conjunto A es un subconjunto propio de el conjunto B y lo simbolizaremos

A ⊂ B

si todo elemento de A es también elemento de B y además existe un elemento de b que no es

elemento de A.

A ⊂ B ≡ (A ⊆ B) ∧ (B A)*

(41)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 14/29

(42)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 14/29

Ejemplo

En referencia a los conjuntos N, Z, Q, R:

1. N ⊂ Z

(43)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 14/29

2. Z ⊂ Q

(44)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 14/29

Ejemplo

En referencia a los conjuntos N, Z, Q, R:

1. N ⊂ Z

2. Z ⊂ Q

3. Q ⊂ R

(45)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 15/29

B = {a, f } C = {c, i}

Indique cuáles afirmaciones son verdaderas:

(a) B ⊆ B : (b) B ⊂ B

(c) C ⊆ B

(d) C ⊆ A

(46)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 15/29

Ejemplo Si

A = {c, d, f, i}

B = {a, f } C = {c, i}

Indique cuáles afirmaciones son verdaderas:

(a) B ⊆ B : (b) B ⊂ B

(c) C ⊆ B (d) C ⊆ A

(a) cierto pues todo elemento de B es elemento de B. (b) Falso, pues ⊂ no tolera la igualdad. (c) Falso, pues existe un elemento en C, a saber i, que no es elemento de B. (d) Cierto, pues todo

elemento de C, tanto c como i, son elementos de A.

(47)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 16/29

Indique cuáles opciones contienen afirmaciones falsas:

1. c ⊂ {c}

2. {c} ⊆ {a, b, {c}}

3. {c} ∈ {a, b, {c}}

4. {c} ∈ {{c}}

5. {c} ⊆ {{c}}

(48)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 16/29

Cuidado con la Notación

Ejemplo

Indique cuáles opciones contienen afirmaciones falsas:

1. c ⊂ {c}

2. {c} ⊆ {a, b, {c}}

3. {c} ∈ {a, b, {c}}

4. {c} ∈ {{c}}

5. {c} ⊆ {{c}}

1. Falsa: Note que X ⊂ y se usa para cuando x es conjunto y Y es conjunto. 2. Falsa: Para revisar si se tiene ⊆ se deben tomar los elementos de {c}, el único es c y ver si son elementos de {a, b, {c}}, pero no es elemento: el conjunto formado con c sí es elemento pero c no. 3. Cierta: {c} es un elemento de {a, b, {c}}, es el último

elemento. 4. Cierta: {c} efectivamente es elemento de {{c}} (es el

único elemento!) 5. Falsa: el elemento c no es elemento de {{c}}, el

que sí es elemento es {c}.

(49)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 17/29

Dos conjuntos A y B se dicen iguales si poseen los mismos elementos. Es decir, todos los elementos de A son elementos de B y todos los elementos de B son también elementos de A. En términos

formales:

A = B ≡ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)

(50)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 18/29

Ejemplo

Indique cuáles opciones contienen afirmaciones ciertas para los conjuntos:

a) D = {a, b, e, f }

b) A = {a, a, f, g, e, g}

c) C = { f, g, a, e}

d) B = { f, b, a, e}

Entre:

1. D = C

2. C = A

3. D = B

4. D = A

(51)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 18/29

a) D = {a, b, e, f }

b) A = {a, a, f, g, e, g}

c) C = { f, g, a, e}

d) B = { f, b, a, e}

Entre:

1. D = C 2. C = A 3. D = B 4. D = A

1. es falsa, pues D C* debido a que b ∈ D y b < C . 2. es cierta,

pues todo elemento de A (tanto a, como f , como g, y como e) están

en C y recíprocamente. 3. es cierta, por el mismo tipo de razón que

2. 4. es falsa, pues b ∈ D y b < A.

(52)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 19/29

El conjunto Vacío

Definici´on

El conjunto que no tiene ningún elemento se llamará el conjunto vacío.

Y se simbolizará por:

∅

(53)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 20/29

Indique cuáles opciones contienen afirmaciones falsas:

1. ∅ ∈ {∅}

(54)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 20/29

Ojo con la notación

Ejemplo

Indique cuáles opciones contienen afirmaciones falsas:

1. ∅ ∈ {∅} Cierto: aparece como elemento.

2. ∅ ⊆ {∅}

(55)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 20/29

Indique cuáles opciones contienen afirmaciones falsas:

1. ∅ ∈ {∅} Cierto: aparece como elemento.

2. ∅ ⊆ {∅} Cierto: el vacío es subconjunto de cualquiera

3. ∅ ⊂ {∅}

(56)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 20/29

Ojo con la notación

Ejemplo

Indique cuáles opciones contienen afirmaciones falsas:

1. ∅ ∈ {∅} Cierto: aparece como elemento.

2. ∅ ⊆ {∅} Cierto: el vacío es subconjunto de cualquiera

3. ∅ ⊂ {∅} Cierto

4. ∅ ⊂ ∅

(57)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 20/29

Indique cuáles opciones contienen afirmaciones falsas:

1. ∅ ∈ {∅} Cierto: aparece como elemento.

2. ∅ ⊆ {∅} Cierto: el vacío es subconjunto de cualquiera

3. ∅ ⊂ {∅} Cierto

4. ∅ ⊂ ∅ Falso

5. 0 = ∅

(58)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 20/29

Ojo con la notación

Ejemplo

Indique cuáles opciones contienen afirmaciones falsas:

1. ∅ ∈ {∅} Cierto: aparece como elemento.

2. ∅ ⊆ {∅} Cierto: el vacío es subconjunto de cualquiera

3. ∅ ⊂ {∅} Cierto

4. ∅ ⊂ ∅ Falso

5. 0 = ∅ Falso

(59)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 21/29

conjuntos: Unión, intersección, complemento, diferencia, conjunto potencia y producto

cartesiano.

(60)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 22/29

Operaciones entre conjuntos: Unión

Definici´on

Sean A y B dos conjuntos. La unión de A con B es el conjunto de aquellos elementos que están en A o que están en B. Este conjunto se simbolizará por

A ∪ B

(61)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 22/29

Sean A y B dos conjuntos. La unión de A con B es el conjunto de aquellos elementos que están en A o que están en B. Este conjunto se simbolizará por

A ∪ B Así

x ∈ A ∪ B ≡ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)

(62)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 23/29

Operaciones entre conjuntos: Intersección

Definici´on

Sean A y B dos conjuntos. La intersección de A con B es el conjunto de aquellos elementos que están en A y que están en B. Este conjunto se simbolizará por

A ∩ B

(63)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 23/29

Sean A y B dos conjuntos. La intersección de A con B es el conjunto de aquellos elementos que están en A y que están en B. Este conjunto se simbolizará por

A ∩ B Así

x ∈ A ∩ B ≡ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)

(64)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 24/29

Operaciones entre conjuntos: Diferencia

Definici´on

Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A con B es el conjunto de aquellos elementos que están en A y que no están en B. (el orden diferencia de

con importa). Este conjunto se simbolizará por

A − B

(65)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 24/29

Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A con B es el conjunto de aquellos elementos que están en A y que no están en B. (el orden diferencia de

con importa). Este conjunto se simbolizará por

A − B Así

x ∈ A − B ≡ (x ∈ A) ∧ (x < B)

(66)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 25/29

Operaciones entre conjuntos: Complemento

Definici´on

Sea A un subconjunto de un conjunto universal U . El complemento de A son todos aquellos

elementos de U que no están en A. Este conjunto se simbolizará por

A

^c

(67)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 25/29

Sea A un subconjunto de un conjunto universal U . El complemento de A son todos aquellos

elementos de U que no están en A. Este conjunto se simbolizará por

A

^c

Así

x ∈ A

^c

≡ (x ∈ U) ∧ (x < A)

(68)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 26/29

Ejemplo Si

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A = {2, 5, 6, 7}

B = {1, 2, 4, 6}

C = {4, 5, 6, 8}

Calcule

a) B

^c

(69)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 26/29

A = {2, 5, 6, 7}

B = {1, 2, 4, 6}

C = {4, 5, 6, 8}

Calcule

a) B

^c

={3,5,7,8}

b) C − (A − B)

(70)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 26/29

Ejemplo Si

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A = {2, 5, 6, 7}

B = {1, 2, 4, 6}

C = {4, 5, 6, 8}

Calcule

a) B

^c

={3,5,7,8}

b) C − (A − B) ={4,5,6,8}-{5,7}={4,6,8}

c) A ∩ C

(71)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 26/29

A = {2, 5, 6, 7}

B = {1, 2, 4, 6}

C = {4, 5, 6, 8}

Calcule

a) B

^c

={3,5,7,8}

b) C − (A − B) ={4,5,6,8}-{5,7}={4,6,8}

c) A ∩ C ={5,6}

d) B − (A ∪ C )

(72)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 26/29

Ejemplo Si

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A = {2, 5, 6, 7}

B = {1, 2, 4, 6}

C = {4, 5, 6, 8}

Calcule

a) B

^c

={3,5,7,8}

b) C − (A − B) ={4,5,6,8}-{5,7}={4,6,8}

c) A ∩ C ={5,6}

d) B − (A ∪ C ) ={ 1,2,4,6}-{ 2,4,5,6,7,8}={1}

(73)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 27/29

El conjunto potencia de una conjunto A es el conjunto que contiene todos los posibles

subconjuntos de A.

(74)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 27/29

Conjunto Potencia

Definici´on

El conjunto potencia de una conjunto A es el conjunto que contiene todos los posibles

subconjuntos de A. Notación o simbología:

P (A)

(75)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 27/29

El conjunto potencia de una conjunto A es el conjunto que contiene todos los posibles

subconjuntos de A. Notación o simbología:

P (A) Ejemplo

Determinar P ({4, 15}).

(76)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 27/29

Conjunto Potencia

Definici´on

El conjunto potencia de una conjunto A es el conjunto que contiene todos los posibles

subconjuntos de A. Notación o simbología:

P (A)

Ejemplo

Determinar P ({4, 15}).

Se tiene:

P ({4, 15}) = {{}, {4}, {15}, {4, 15}}

(77)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 28/29

Sean A y B dos conjuntos (posiblemente iguales pero no vacíos). El producto cartesiano de A con B (el orden de con importa). Es el

conjunto de todas las parejas ordenadas (a, b)

donde a ∈ A y b ∈ B.

(78)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 28/29

El Producto Cartesiano

Definici´on

Sean A y B dos conjuntos (posiblemente iguales pero no vacíos). El producto cartesiano de A con B (el orden de con importa). Es el

conjunto de todas las parejas ordenadas (a, b) donde a ∈ A y b ∈ B. Notación:

A × B = {(a, b)|a ∈ A ∧ b ∈ B}

(79)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B

Teoría de Conjuntos: Definiciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 29/29

(80)

Ojo con ∈ y ⊆ - A ≃ B

- ∅

- A ∩ B - A − B - A^c - P(A) - A × B