Matemáticas Discretas TC1003

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Matemáticas Discretas TC1003

Recursión: Solución de Problemas

Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes

ITESM

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Hanoi Portada Links Soluci ´on

Recursión: Las Torres de Hanoi

En 1883 el matemático fran-

cés Édouard Lucas (4/april/1842-

3/october/1891) inventó un rom-

pecabezas que llamó Las Torres

de Hanoi.

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Recursión: Las Torres de Hanoi

En 1883 el matemático fran-

cés Édouard Lucas (4/april/1842-

3/october/1891) inventó un rom-

pecabezas que llamó Las Torres

de Hanoi. El juego consistía de

ocho discos de madera con hoyos

en su centro, los cuales se apila-

ban en tamaño decreciente en un

poste en una fila de tres postes.

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Recursión: Las Torres de Hanoi

En 1883 el matemático fran-

cés Édouard Lucas (4/april/1842-

3/october/1891) inventó un rom-

pecabezas que llamó Las Torres

de Hanoi. El juego consistía de

ocho discos de madera con hoyos

en su centro, los cuales se apila-

ban en tamaño decreciente en un

poste en una fila de tres postes.

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Recursión: Las Torres de Hanoi

En 1883 el matemático fran-

cés Édouard Lucas (4/april/1842-

3/october/1891) inventó un rom-

pecabezas que llamó Las Torres

de Hanoi. El juego consistía de

ocho discos de madera con hoyos

en su centro, los cuales se apila-

ban en tamaño decreciente en un

poste en una fila de tres postes. El

jugador debería cambiar todos los

discos de un poste a otro,

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Recursión: Las Torres de Hanoi

En 1883 el matemático fran-

cés Édouard Lucas (4/april/1842-

3/october/1891) inventó un rom-

pecabezas que llamó Las Torres

de Hanoi. El juego consistía de

ocho discos de madera con hoyos

en su centro, los cuales se apila-

ban en tamaño decreciente en un

poste en una fila de tres postes. El

jugador debería cambiar todos los

discos de un poste a otro, siempre

moviendo de uno en uno y

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Recursión: Las Torres de Hanoi

En 1883 el matemático fran-

cés Édouard Lucas (4/april/1842-

3/october/1891) inventó un rom-

pecabezas que llamó Las Torres

de Hanoi. El juego consistía de

ocho discos de madera con hoyos

en su centro, los cuales se apila-

ban en tamaño decreciente en un

poste en una fila de tres postes. El

jugador debería cambiar todos los

discos de un poste a otro, siempre

moviendo de uno en uno y nun-

ca apilando un disco sobre otro de

menor tamaño.

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Las Torres de Hanoi: Portada Juego

THE TOWER OF HANOÏ

AUTHENTIC BRAIN TEASER OF THE

ANAMITES

A GAME BROUGHT BACK FROM

TONKIN

BY PROFESSOR N.

CLAUS (OF SIAM)

Mandarin of the

College of

Li-Sou-Stian!

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Las Torres de Hanoi: Links

■

Un applet en:

http://www.mazeworks.com/hanoi/

■

Un juego interactivo en:

http://www.ability.org.uk/tower.html

■

Información:

http://www.cut-the-

knot.org/recurrence/hanoi.shtml

(10)

Las Torres de Hanoi: Solución

Suponga 3 postes:

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Las Torres de Hanoi: Solución

Suponga 3 postes:

■

Poste origen: donde se encuentran ahora los

discos.

(12)

Las Torres de Hanoi: Solución

Suponga 3 postes:

■

Poste origen: donde se encuentran ahora los discos.

■

Poste meta: donde se deberán colocar los

discos.

(13)

Las Torres de Hanoi: Solución

Suponga 3 postes:

■

Poste origen: donde se encuentran ahora los discos.

■

Poste meta: donde se deberán colocar los discos.

■

Poste auxiliar: donde se pueden hacer

movimientos.

(14)

Las Torres de Hanoi: Solución

Suponga 3 postes:

■

Poste origen: donde se encuentran ahora los discos.

■

Poste meta: donde se deberán colocar los discos.

■

Poste auxiliar: donde se pueden hacer

movimientos.

(15)

Caso Base

Si hay un sólo disco (n=1) sólo colóquelo en en

poste meta.

(16)

Caso Base

Si hay un sólo disco (n=1) sólo colóquelo en en poste meta.

Paso Inductivo

Suponga un pilar con k + 1 discos en un poste

“origen” y que se desean colocar en el poste

“meta”.

(17)

Caso Base

Si hay un sólo disco (n=1) sólo colóquelo en en poste meta.

Paso Inductivo

Suponga un pilar con k + 1 discos en un poste

“origen” y que se desean colocar en el poste

“meta”. Suponga también que se tiene una forma

de colocar k discos de un poste cualquiera a otro

poste cualquiera usando un poste auxiliar para

movimientos (Hipótesis Inductiva).

(18)

Caso Base

Si hay un sólo disco (n=1) sólo colóquelo en en poste meta.

Paso Inductivo

Suponga un pilar con k + 1 discos en un poste

“origen” y que se desean colocar en el poste

“meta”. Suponga también que se tiene una forma

de colocar k discos de un poste cualquiera a otro

poste cualquiera usando un poste auxiliar para

movimientos (Hipótesis Inductiva). Entonces una

estrategia de solución será:

(19)

Caso Base

Si hay un sólo disco (n=1) sólo colóquelo en en poste meta.

Paso Inductivo

Suponga un pilar con k + 1 discos en un poste

“origen” y que se desean colocar en el poste

“meta”. Suponga también que se tiene una forma de colocar k discos de un poste cualquiera a otro poste cualquiera usando un poste auxiliar para movimientos (Hipótesis Inductiva). Entonces una estrategia de solución será:

■

Mover los k primeros discos del poste origen al poste auxiliar con

el proceso solución dado en la hipótesis inductiva,

(20)

Caso Base

Si hay un sólo disco (n=1) sólo colóquelo en en poste meta.

Paso Inductivo

Suponga un pilar con k + 1 discos en un poste

“origen” y que se desean colocar en el poste

“meta”. Suponga también que se tiene una forma de colocar k discos de un poste cualquiera a otro poste cualquiera usando un poste auxiliar para movimientos (Hipótesis Inductiva). Entonces una estrategia de solución será:

■

Mover los k primeros discos del poste origen al poste auxiliar con el proceso solución dado en la hipótesis inductiva,

■

Una vez liberado el disco k + 1 , moverlo del poste origen al poste

meta, y

(21)

Caso Base

Si hay un sólo disco (n=1) sólo colóquelo en en poste meta.

Paso Inductivo

Suponga un pilar con k + 1 discos en un poste

“origen” y que se desean colocar en el poste

“meta”. Suponga también que se tiene una forma de colocar k discos de un poste cualquiera a otro poste cualquiera usando un poste auxiliar para movimientos (Hipótesis Inductiva). Entonces una estrategia de solución será:

■

Mover los k primeros discos del poste origen al poste auxiliar con el proceso solución dado en la hipótesis inductiva,

■

Una vez liberado el disco k + 1 , moverlo del poste origen al poste

meta, y

(22)

Hanoi( n, origen, distino, auxiliar) if (n == 1) then

printf(“Disco %d: de %d a %d\n”,1,origen,destino);

else

Hanoi(n-1,origen,auxiliar,destino);

printf(“Disco %d: de %d a %d\n”,n,origen,destino);

Hanoi(n-1,auxiliar,destino,origen);

end if

(23)

Hanoi( n, origen, distino, auxiliar) if (n == 1) then

printf(“Disco %d: de %d a %d\n”,1,origen,destino);

else

Hanoi(n-1,origen,auxiliar,destino);

printf(“Disco %d: de %d a %d\n”,n,origen,destino);

Hanoi(n-1,auxiliar,destino,origen);

end if Ejecutar

Hanoi(8,1,2,3)

(24)

Hanoi( n, origen, distino, auxiliar) if (n == 1) then

printf(“Disco %d: de %d a %d\n”,1,origen,destino);

else

Hanoi(n-1,origen,auxiliar,destino);

printf(“Disco %d: de %d a %d\n”,n,origen,destino);

Hanoi(n-1,auxiliar,destino,origen);

end if Ejecutar

Hanoi(8,1,2,3)

¿¿Total de movimientos para mover n discos??

(25)

Hanoi( n, origen, distino, auxiliar) if (n == 1) then

printf(“Disco %d: de %d a %d\n”,1,origen,destino);

else

Hanoi(n-1,origen,auxiliar,destino);

printf(“Disco %d: de %d a %d\n”,n,origen,destino);

Hanoi(n-1,auxiliar,destino,origen);

end if Ejecutar

Hanoi(8,1,2,3)

¿¿Total de movimientos para mover n discos??