Clasificación y transformación de funciones
En esta sección vamos a conocer la forma en como se han clasificado las funciones para su estudio.
También vamos a conocer ciertas funciones que «hacen la transformación inversa» que realiza una función dada, conocidas como funciones inversas y finalmente vamos a aprender a graficar fun- ciones sin necesidad de tabular.
Tipos de funciones
En matemáticas hay varias formas de clasificar las funciones.
Definición 1 Función Algebraica
Las funciones algebraicas son las funciones que pueden obtenerse a partir de operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, raíz) entre polinomios.
Ejemplo 1 Las siguientes funciones son algebraicas.
• f(x) =x+4
• f(x) =x2−1
• f(x) =x3−x2+x−1
• f(x) =5 x12−12 x5
• f(x) =√
2 x5+√3
5 x3+1
• f(x) =17 x+19 3 x−5
• f(x) = 1 x+√
6
• f(x) = x−1 x+1
• f(x) = x
3−x2+x−11 2 x3−3 x2+5x−7
• f(x) = x x2+1
• f(x) = 1
x+1+ 1 x−1
• f(x) =x2−1+ 1 x2−1
• f(x) =√ x2+1
Definición 2 Función Trascendente
Las funciones trascendentes son las funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y las trigonométricas inversas.
Ejemplo 2 Las siguientes funciones son trascendentes.
• f(x) =log x+2
• f(x) =ln(x−e)
• f(x) =2 ln x2+1
• f(x) =log x−1 x+1
• f(x) =e1−x
• f(x) =exp x2−1 x2+1
!
• f(x) =sin x
• f(x) =cos(x−π)
• f(x) =tan 1+x 1−x
• f(x) =sec x+tan x
• f(x) =csc(2 x) +cot(3 x)
• f(x) =arctan x−arcsin x
Definición 3
Función contínua (Definición informal)
Una función es contínua si su gráfica tiene solamente una rama. En otras palabras, si su gráfica consta de una sola línea ininterrumpida.
La definición formal de función contínua indica que si al dar un valor x0a la función y= f(x), y damos un incremento muy al valor de∆x, el valor de f(x)también debe cambiar, pero ese cambio debe ser más pequeño conforme damos incrementos más pequeños a x0, es decir, si hacemos que
∆x se haga casi cero, el valor de f(x0+∆x)debe estar muy cerca del valor de f(x0). La siguiente gráfica ilustra esta situación.
x y
x0
y= f(x)
∆x f(x0)
f(x0+∆x)
Conforme hacemos∆x más pequeño, el valor de f(x0+∆x)se acerca más al valor de f(x0). Por eso concluimos que la función es contínua.
Si esta condición se cumple solamente para algún intervalo, decimos que la función es contínua en él, pero posiblemente presente discontiuidades fuera de ese intervalo.
Definición 4
Función discontínua
Una función es discontínua si no es contínua. Geométricamente una función discontínua presenta al menos un «salto» en su gráfica.
En la sección anterior (página ??) se menciona la forma como se cobra el envío a través de una oficina postal. La gráfica de esta función es discontínua. Esto es evidente de la gráfica misma.
Observa que I(700) =49.35. Si damos incrementos a 700 cada vez más pequeños, siempre vamos a obtener 55.20, independientemente de lo pequeño que sea el incremento.
Esto nos indica que la gráfica de la función dio un salto, lo cual es característico de esta función.
Otro ejemplo de la gráfica de una función discontínua es el siguiente:
x y
y= f(x)
En cualquier caso, la gráfica consta de varias ramas, es decir, segmentos de líneas que forman la gráfica de la función.
Precisamente por esa razón estas funciones se llaman «discontínuas», porque no es posible dibujar su gráfica con una sola línea contínua.
Definición 5 Función creciente
Una función es creciente en un intervalo I si para cualesquiera x1, x2 ∈ I, se cumple que si x2 > x1, entonces f(x2) > f(x1).
Geométricamente esto indica que conforme nos movemos a la derecha de la gráfica en un intervalo que es creciente, la gráfica va hacia arriba.
La siguiente gráfica muestra un caso:
−3 −2 −1 1 2 3 x
y
1 2 3 4 5 6
y=x2
En la gráfica de esta parábola, a partir del origen, la función empieza a crecer, por eso es creciente.
Definición 6 Función decreciente
Una función es creciente en un intervalo I si para cualesquiera x1, x2 ∈ I, se cumple que si x2 > x1, entonces f(x2) < f(x1).
Este es el caso contrario al anterior. Si la gráfica de la función va hacia abajo cuando nos movemos a la derecha en un intervalo, entonces la función es decreciente en ese intervalo.
Inmediatamente observamos que la función y=x2es decreciente en el intervalo(−∞, 0). También hemos mencionado que esa misma función es creciente en el intervalo(0,∞).
Definición 7 Uno a uno
Una función se dice que es «uno a uno» cuando a elementos distintos de su dominio le corresponden diferentes elementos de su contradominio. Es decir, si a=b, entonces, f(a) = f(b)y si a6=b, entonces
f(a) 6= f(b).
Por ejemplo, la función y =7 x+1 es una función uno a uno, porque a distintos valores de x le corresponden distintos valores de y.
Demostrar lo anterior es muy sencillo:
f(a) = f(b) ⇒ 7 a+1 = 7 b+1
7 a = 7 b ⇒ a=b
La función y=x2noes uno a uno, porque si x=2 la función asigna y=4, pero también asigna el mismo valor a y cuando x= −2.
A las funciones uno a uno también se les conoce como funciones inyectivas.
Si una función es inyectiva, entonces, es posible asociar los elementos de su dominio X con los elementos de su contradominioY de tal manera que a cada elemento del dominio le corresponda exactamente un elemento de su contradominio y viceversa, a cada elemento de su contradominio le corresponda exactamente un elemento de su dominio.
Entonces, otra forma de definir a las funciones inyectivas es decir que «nunca toman el mismo valor dos veces», es decir, una vez que la función ha asignado un valor de y0 a su correspondiente x0, jamás lo volverá a asignar a algún otro valor de x que le demos. Esto es,
Si a6=b, entonces f(a) 6= f(b)
Para verificar si una función es uno a uno, basta trazar una recta horizontal y ver si corta a la gráfica de la función en dos de sus puntos. Si es así, entoncesnoes una función uno a uno, porque asigna el mismo valor de y a diferentes valores de x.
En la gráfica ahora puedes justificar por quénoes uno a uno.
−3 −2 −1 1 2 3 x
y
1 2 3 4 5 6
y=x2
Definición 8
Función sobre
Una función se dice que es «sobre» cuando a cada elemento de su contradominio le corresponde a lo menos un elemento de su dominio.
Por ejemplo, la función f(x) = x3 es sobre.Piensa un número. Siempre puedes encontrar un número x tal que al elevarlo al cubo obtengas el número que pensaste, no importa cuál sea1. A las funciones sobre también se les conoce como funciones «sobreyectivas».
1Ese número es igual a la raíz cúbica del número que pensaste.
Créditos
Albert Einstein Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es com- partir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 07 de agosto de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
efrain@aprendematematicas.org.mx
