CEROS DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL

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CEROS DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL

DIVISIÓN SINTÉTICA TEOREMA DEL RESIDUO TEOREMA DEL FACTOR

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OBJETIVOS

•

Definir el teorema del residuo.

•

Utilizar el teorema del residuo para evaluar funciones polinomiales.

•

Definir el teorema del factor.

•

Utilizar el teorema del factor para determinar si un binomio es factor de un polinomio.

•

Definir el Teorema fundamental del álgebra.

•

Establecer la relación entre el grado del polinomio y el número de raíces que éste tiene (teorema de los “n” ceros).

•

Determinar los ceros racionales de un polinomio de grado menor o igual a 4 a partir del teorema de raíces racionales.

•

Definir el teorema de los ceros complejos.

•

Determinar una función polinomial a partir de sus ceros.

•

Obtener los ceros de una función polinomial utilizando recursos tecnológicos.

Ing. Caribay Godoy

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CEROS DE UN FUNCIÓN POLINOMIAL

•

Los valores de la variable x para los cuales la función es igual a cero, a los que se llaman raíces del polinomio y se representan de la forma 𝑟₁, 𝑟₂, 𝑟₃, … , 𝑟_𝑛.

•

Estos puntos tienen coordenadas (𝑟₁, 0) para cada una delas raíces reales del polinomio. Y se les llama ceros de la función.

•

La mayoría de las funciones polinómicas tiene n ceros reales.

•

La mayoría de la funciones polinomicas tiene n-1 puntos de inflexión. (También

llamada máximos relativos o mínimos relativos que son los puntos donde la gráfica pasa de creciente a decreciente o viceversa.)

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•

1.- Factorización

Encuentre los ceros reales (intersecciones con el eje x) de la función:

𝑓 𝑥 = −4𝑥⁴ + 2𝑥²

Para encontrar los ceros resuelvo para x, (encuentro los valores de x cuando y es igual a cero).

0 = −4𝑥⁴ + 2𝑥² 0 = −2𝑥² 𝑥² − 2

0 = −2𝑥²(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) Entonces los ceros reales son: x = 0, x = -1, x = 1

¿CÓMO OBTENGO LOS CEROS DE UNA FUNCIÓN?

Recuerda: como es un polinomio de grado 4, puede tener a lo sumo 4-1 = 3 puntos de inflexión.

Ing. Caribay Godoy

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REPETICIÓN DE CEROS

• El factor (𝑥 − 𝑎)

^𝑘

, 𝑘 > 1 indica una intersección del eje x,en x = a.

• Si k es impar: la grafica cruza el eje de las x en x = a

• Si k es par: la gráfica toca el eje x pero no lo atraviesa.

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•

𝑓 𝑥 = 3𝑥⁴ − 4𝑥³ 0 = 3𝑥⁴ − 4𝑥³ 0 = 𝑥³ 3𝑥 − 4

Entonces los ceros reales son: x = 0 (exponente impar), x = 4/3 (exponente impar)

Ing. Caribay Godoy

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•

𝑓 𝑥 = −2𝑥³ + 6𝑥² − 9 2 𝑥

0 = −1

2 𝑥(4𝑥² − 12𝑥 + 9) 0 = − 1

2 𝑥(2𝑥 − 3)²

Entonces los ceros reales son: x = 0 (exponente impar), x = 3/2 (exponente par)

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¿CÓMO OBTENGO LOS CEROS DE UNA FUNCIÓN?

•

2.- División sintética (Teorema del factor)

Suponga que tiene la gráfica de la función: 𝑓 𝑥 = 6𝑥³ − 19𝑥² + 16𝑥 − 4

Un cero de la función ocurre en x = 2 para que sepa que (x-2) es un factor de f (x).

Esto significa que existe un polinomio de segundo grado tal que:

f (x) = (x-2) q (x)

Para conocer q (x) podemos usar la división sintética.

Ing. Caribay Godoy

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ALGORÍTMO DE LA DIVISIÓN

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ALGORITMO DE LA DIVISIÓN ENTRE POLINÓMIOS

Ing. Caribay Godoy

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DIVISIÓN SINTÉTICA

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De la división podemos concluir que:

6𝑥³ − 19𝑥² + 16𝑥 − 4

= (𝑥 − 2)(6𝑥² − 7𝑥 + 2)

Factorizando la ecuación cuadrática tenemos:

= (𝑥 − 2)(2𝑥 − 1)(3𝑥 − 2)

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DIVISIÓN SINTÉTICA (ALGORITMO CORTO)

•

Una forma sencilla de ver la división sintética es como sigue:

•

Divide el polinomio 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥³ + 𝑏𝑥² + 𝑐𝑥 + 𝑑 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 (𝑥 − 𝑘), podemos usar el siguiente patrón:

Coeficientes de la función

residuo Coeficientes de la

función resultante

Ing. Caribay Godoy

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•

EJEMPLO: Divide 𝑥⁴ − 10𝑥² − 2𝑥 + 4 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥 + 3 Dividendo: 𝑥⁴ − 10𝑥² − 2𝑥 + 4 Divisor: x+3

Residuo Coeficientes del nuevo polinomio

𝑥³ − 3𝑥² + 9𝑥 + 1

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EJERCICIOS

•

Ing. Caribay Godoy

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TEOREMA DEL RESIDUO

EN PALABRAS SENCILLAS: si un polinomio 𝑓(𝑥) se divide entre

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•

Determine el residuo de

𝑓 𝑥 = −50𝑥³ + 2𝑥⁵ + 4𝑥 − 25 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 (𝑥 − 5) Y demostrar que f(5) = residuo

Ing. Caribay Godoy

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•

Ejercicios propuestos:

1) Determine el residuo de

𝑓 𝑥 = −2𝑥⁶ + 3𝑥³ + 5𝑥 − 4 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 (𝑥 − 1) Y demostrar que f(1)= residuo

𝑓 𝑥 = 3𝑥³ − 5𝑥² + 3𝑥 + 8 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 (−𝑥 + 1) Y demostrar que f(1) = residuo

𝑓 𝑥 = −2𝑥⁴ + 4𝑥³ + 3𝑥² + 4𝑥 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 (2 − 𝑥)

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TEOREMA DEL FACTOR

• El teorema del factor establece que un polinomio 𝑓(𝑥) tiene un factor

(𝑥 − 𝑘) si y solo si k es una raíz de 𝑓(𝑥), es decir 𝑓 𝑘 = 0

Ing. Caribay Godoy

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TEOREMA DEL FACTOR

•

Demuestre que el binomio es un factor del polinomio:

𝑓 𝑥 = 𝑥³ − 5𝑥² + 2𝑥 + 8 (𝑥 + 1)

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•

EJERCICIOS PROPUESTOS:

Demuestre por medio del teorema del factor que el binomio es un factor del polinomio.

Ing. Caribay Godoy