Clase 2: Potencial eléctrico y Configuraciones de Alta Simetría. 25 de marzo de 2021 Física 3 (Prácticas) Clase 2 25 de marzo de / 14

Clase 2: Potencial el´ ectrico y

Configuraciones de Alta Simetr´ıa

Clase 2

C´ alculo del Potencial el´ ectrico

Dependencia y Direcci´ on del campo en configuraciones de alta simetr´ıa

F´ısica 3 (Pr´acticas) Clase 2 25 de marzo de 2021 2 / 14

Potencial el´ ectrico

En la clase te´ orica vieron que en electrost´ atica:

∇ × ~ ~ E = 0 (1)

Y a partir de esta propiedad se puede definir el potencial el´ ectrico V (~ r ) de la siguiente manera:

V (~ r ) = − Z r

r

E . ~ ~ dl (2)

donde r ~ _O es un punto arbitrario.

Dados V y V ⁰ , tal que ambos cumplen que - ∇V = ~ ~ E (~ r ), entonces V = V ⁰ + cte

El potencial no tiene sentido f´ısico, mientras que ∆V = V (a) − V (b) con a y b dos puntos cualquiera si lo tiene.

Por lo tanto, tambi´ en se puede definir el potencial:

V (~ r ) = − Z

E . ~ ~ dl + cte (3)

Potencial el´ ectrico

El potencial el´ ectrico para una distribuci´ on de cargas en volumen se puede expresar:

V (~ r ) = 1 4π ₀

Z ρ(~ r ⁰ )

|~ r − ~ r ⁰ | dV ⁰ + cte (4) Si tenemos una distribuci´ on de cargas en superficie:

V (~ r ) = 1 4π ₀

Z σ(~ r ⁰ )

|~ r − ~ r ⁰ | dS ⁰ + cte (5) mientras que si tenemos una distribuci´ on lineal de cargas:

V (~ r ) = 1 4π 0

Z λ(~ r ⁰ )

|~ r − ~ r ⁰ | dl ⁰ + cte (6)

F´ısica 3 (Pr´acticas) Clase 2 25 de marzo de 2021 4 / 14

Potencial el´ ectrico por integraci´ on directa

Calcular el potencial el´ ectrico de un disco de radio R cargado con densidad constante σ sobre el eje z:

Vamos a usar la expresi´ on:

V (~ r ) = 1 4π ₀

Z σ(~ r ⁰ )

|~ r − ~ r ⁰ | dS ⁰ + cte

Recordemos que

las variables primadas corresponden a los puntos que son fuente del campo y potencial el´ ectrico:

~ r ⁰ = (r ⁰ cos φ ⁰ , r ⁰ sin φ ⁰ , 0)

mientras que ~ r es la posici´ on de los puntos donde queremos calcular el campo, en este caso el eje z , De manera que :

~ r = (0, 0, z) (~ r − ~ r ⁰ ) = (−r ⁰ cos φ ⁰ , −r ⁰ sin φ ⁰ , z) |~ r − ~ r ⁰ | = p

r ⁰² + z ²

Potencial el´ ectrico por integraci´ on directa

Calcular el potencial el´ ectrico de un disco de radio R cargado con densidad constante σ sobre el eje z:

Vamos a usar la expresi´ on:

V (~ r ) = 1 4π ₀

Z σ(~ r ⁰ )

|~ r − ~ r ⁰ | dS ⁰ + cte Recordemos que

las variables primadas corresponden a los puntos que son fuente del campo y potencial el´ ectrico:

~ r ⁰ = (r ⁰ cos φ ⁰ , r ⁰ sin φ ⁰ , 0)

mientras que ~ r es la posici´ on de los puntos donde queremos calcular el campo, en este caso el eje z , De manera que :

~ r = (0, 0, z) (~ r − ~ r ⁰ ) = (−r ⁰ cos φ ⁰ , −r ⁰ sin φ ⁰ , z) |~ r − ~ r ⁰ | = p

r ⁰² + z ²

F´ısica 3 (Pr´acticas) Clase 2 25 de marzo de 2021 5 / 14

Potencial el´ ectrico por integraci´ on directa

Calcular el potencial el´ ectrico de un disco de radio R cargado con densidad constante σ sobre el eje z:

Vamos a usar la expresi´ on:

V (~ r ) = 1 4π ₀

Z σ(~ r ⁰ )

|~ r − ~ r ⁰ | dS ⁰ + cte Recordemos que

las variables primadas corresponden a los puntos que son fuente del campo y potencial el´ ectrico:

~ r ⁰ = (r ⁰ cos φ ⁰ , r ⁰ sin φ ⁰ , 0)

mientras que ~ r es la posici´ on de los puntos donde queremos calcular el campo, en este caso el eje z , De manera que :

~ r = (0, 0, z) (~ r − ~ r ⁰ ) = (−r ⁰ cos φ ⁰ , −r ⁰ sin φ ⁰ , z) |~ r − ~ r ⁰ | = p

r ⁰² + z ²

Potencial el´ ectrico por integraci´ on directa

A su vez:

dS ⁰ = dx ⁰ dy ⁰ = r ⁰ dr ⁰ d φ ⁰

De esta manera, podemos calcular el potencial:

V (~ r ) = 1 4π 0

Z σ(~ r ⁰ )

|~ r − ~ r ⁰ | dS ⁰ + cte

V (0, 0, z) = 1 4π 0

Z R 0

Z 2π 0

r ⁰ dr ⁰ d φ ⁰ pr ⁰² + z ² )

= 1

2 0

Z R 0

r ⁰ dr ⁰ pr ⁰² + z ² )

= σ

2 0

p r ⁰² + z ² | ^R ₀ + cte

= σ

2 ₀

p R ² + z ² − |z| 

(7)

F´ısica 3 (Pr´acticas) Clase 2 25 de marzo de 2021 6 / 14

Potencial el´ ectrico por integraci´ on directa

A su vez:

dS ⁰ = dx ⁰ dy ⁰ = r ⁰ dr ⁰ d φ ⁰

De esta manera, podemos calcular el potencial:

V (~ r ) = 1 4π 0

Z σ(~ r ⁰ )

|~ r − ~ r ⁰ | dS ⁰ + cte V (0, 0, z) = 1

4π 0

Z R 0

Z 2π 0

r ⁰ dr ⁰ d φ ⁰ pr ⁰² + z ² )

= 1

2 0

Z R 0

r ⁰ dr ⁰ pr ⁰² + z ² )

= σ

2 0

p r ⁰² + z ² | ^R ₀ + cte

= σ

2 ₀

p R ² + z ² − |z| 

(7)

Potencial el´ ectrico por integraci´ on directa

A su vez:

dS ⁰ = dx ⁰ dy ⁰ = r ⁰ dr ⁰ d φ ⁰

De esta manera, podemos calcular el potencial:

V (~ r ) = 1 4π 0

Z σ(~ r ⁰ )

|~ r − ~ r ⁰ | dS ⁰ + cte V (0, 0, z) = 1

4π 0

Z R 0

Z 2π 0

r ⁰ dr ⁰ d φ ⁰ pr ⁰² + z ² )

= 1

2 ₀ Z R

0

r ⁰ dr ⁰ pr ⁰² + z ² )

= σ

2 0

p r ⁰² + z ² | ^R ₀ + cte

= σ

2 ₀

p R ² + z ² − |z| 

(7)

F´ısica 3 (Pr´acticas) Clase 2 25 de marzo de 2021 6 / 14

Potencial el´ ectrico por integraci´ on directa

A su vez:

dS ⁰ = dx ⁰ dy ⁰ = r ⁰ dr ⁰ d φ ⁰

De esta manera, podemos calcular el potencial:

V (~ r ) = 1 4π 0

Z σ(~ r ⁰ )

|~ r − ~ r ⁰ | dS ⁰ + cte V (0, 0, z) = 1

4π 0

Z R 0

Z 2π 0

r ⁰ dr ⁰ d φ ⁰ pr ⁰² + z ² )

= 1

2 ₀ Z R

0

r ⁰ dr ⁰ pr ⁰² + z ² )

= σ

2 0

p r ⁰² + z ² | ^R ₀ + cte

= σ

2 ₀

p R ² + z ² − |z| 

(7)

Potencial el´ ectrico por integraci´ on directa

A su vez:

dS ⁰ = dx ⁰ dy ⁰ = r ⁰ dr ⁰ d φ ⁰

De esta manera, podemos calcular el potencial:

V (~ r ) = 1 4π 0

Z σ(~ r ⁰ )

|~ r − ~ r ⁰ | dS ⁰ + cte V (0, 0, z) = 1

4π 0

Z R 0

Z 2π 0

r ⁰ dr ⁰ d φ ⁰ pr ⁰² + z ² )

= 1

2 ₀ Z R

0

r ⁰ dr ⁰ pr ⁰² + z ² )

= σ

2 0

p r ⁰² + z ² | ^R ₀ + cte

= σ

2 ₀

p R ² + z ² − |z| 

(7)

F´ısica 3 (Pr´acticas) Clase 2 25 de marzo de 2021 6 / 14

Disco de radio R cargado con σ

Podemos calcular el campo en el eje z a partir del V (0, 0, z)?

La respuesta mas general es NO, porque

E (0,0, z) = −∇V (x , y , z)| ~ _(0,0,z) = −( dV dr r + ˆ 1

r dV

d φ φ + ˆ dV

dz z)| ˆ _(0,0,z) (8) Y nosotros calculamos V (0, 0, z) y no V (x , y , z).

Sin embargo, en este caso, por argumentos de simetr´ıa (ver clase pasada) sabemos que E = E ~ z z ˆ y como justamente E z = − ^dV _dz z ˆ , en este caso, es v´ alido calcular E (0, 0, z) = − ~ ^{dV (0,0,z)} _dz z ˆ .

Entonces:

E (0,0, z) ~ = − dV (0, 0, z) dz

= − d dz

 σ 2 0

p R ² + z ² − |z|  

= σ

2 ₀



− z

√

R ² + z ² + sig(z)



(9)

Disco de radio R cargado con σ

Podemos calcular el campo en el eje z a partir del V (0, 0, z)? La respuesta mas general es NO, porque

E (0,0, z) = −∇V (x , y , z)| ~ _(0,0,z) = −( dV dr r + ˆ 1

r dV

d φ φ + ˆ dV

dz z)| ˆ _(0,0,z) (8) Y nosotros calculamos V (0, 0, z) y no V (x , y , z).

Sin embargo, en este caso, por argumentos de simetr´ıa (ver clase pasada) sabemos que E = E ~ z z ˆ y como justamente E z = − ^dV _dz z ˆ , en este caso, es v´ alido calcular E (0, 0, z) = − ~ ^{dV (0,0,z)} _dz z ˆ .

Entonces:

E (0,0, z) ~ = − dV (0, 0, z) dz

= − d dz

 σ 2 0

p R ² + z ² − |z|  

= σ

2 ₀



− z

√

R ² + z ² + sig(z)



(9)

F´ısica 3 (Pr´acticas) Clase 2 25 de marzo de 2021 7 / 14

Disco de radio R cargado con σ

Podemos calcular el campo en el eje z a partir del V (0, 0, z)? La respuesta mas general es NO, porque

E (0,0, z) = −∇V (x , y , z)| ~ _(0,0,z) = −( dV dr r + ˆ 1

r dV

d φ φ + ˆ dV

dz z)| ˆ _(0,0,z) (8) Y nosotros calculamos V (0, 0, z) y no V (x , y , z).

Sin embargo, en este caso, por argumentos de simetr´ıa (ver clase pasada) sabemos que E = E ~ z z ˆ y como justamente E z = − ^dV _dz z ˆ , en este caso, es v´ alido calcular E (0, 0, z) = − ~ ^{dV (0,0,z)} _dz z ˆ .

Entonces:

E (0,0, z) ~ = − dV (0, 0, z) dz

= − d dz

 σ 2 0

p R ² + z ² − |z|  

= σ

2 ₀



− z

√

R ² + z ² + sig(z)



(9)

Disco de radio R cargado con σ

Podemos calcular el campo en el eje z a partir del V (0, 0, z)? La respuesta mas general es NO, porque

E (0,0, z) = −∇V (x , y , z)| ~ _(0,0,z) = −( dV dr r + ˆ 1

r dV

d φ φ + ˆ dV

dz z)| ˆ _(0,0,z) (8) Y nosotros calculamos V (0, 0, z) y no V (x , y , z).

Sin embargo, en este caso, por argumentos de simetr´ıa (ver clase pasada) sabemos que E = E ~ z z ˆ y como justamente E z = − ^dV _dz z ˆ , en este caso, es v´ alido calcular E (0, 0, z) = − ~ ^{dV (0,0,z)} _dz z ˆ .

Entonces:

E (0,0, z) ~ = − dV (0, 0, z) dz

= − d dz

 σ 2 0

p R ² + z ² − |z|  

= σ

2 ₀



− z

√

R ² + z ² + sig(z)



(9)

F´ısica 3 (Pr´acticas) Clase 2 25 de marzo de 2021 7 / 14

Disco de radio R cargado con σ

Podemos calcular el campo en el eje z a partir del V (0, 0, z)? La respuesta mas general es NO, porque

E (0,0, z) = −∇V (x , y , z)| ~ _(0,0,z) = −( dV dr r + ˆ 1

r dV

d φ φ + ˆ dV

dz z)| ˆ _(0,0,z) (8) Y nosotros calculamos V (0, 0, z) y no V (x , y , z).

Sin embargo, en este caso, por argumentos de simetr´ıa (ver clase pasada) sabemos que E = E ~ z z ˆ y como justamente E z = − ^dV _dz z ˆ , en este caso, es v´ alido calcular E (0, 0, z) = − ~ ^{dV (0,0,z)} _dz z ˆ .

Entonces:

E (0,0, z) ~ = − dV (0, 0, z) dz

= − d dz

 σ 2 0

p R ² + z ² − |z|  

= σ

2 ₀



− z

√

R ² + z ² + sig(z)



(9)

Disco de radio R cargado con σ

Podemos calcular el campo en el eje z a partir del V (0, 0, z)? La respuesta mas general es NO, porque

E (0,0, z) = −∇V (x , y , z)| ~ _(0,0,z) = −( dV dr r + ˆ 1

r dV

d φ φ + ˆ dV

dz z)| ˆ _(0,0,z) (8) Y nosotros calculamos V (0, 0, z) y no V (x , y , z).

Sin embargo, en este caso, por argumentos de simetr´ıa (ver clase pasada) sabemos que E = E ~ z z ˆ y como justamente E z = − ^dV _dz z ˆ , en este caso, es v´ alido calcular E (0, 0, z) = − ~ ^{dV (0,0,z)} _dz z ˆ .

Entonces:

E (0,0, z) ~ = − dV (0, 0, z) dz

= − d dz

 σ 2 0

p R ² + z ² − |z|  

= σ

2 ₀



− z

√

R ² + z ² + sig(z)



(9)

F´ısica 3 (Pr´acticas) Clase 2 25 de marzo de 2021 7 / 14

Campo el´ ectrico de un hilo infinito con densidad de carga lineal uniforme λ

Primero vamos a ver la dependencia del campo.

Elijo coordenadas cil´ındricas porque me van a facilitar el an´ alisis. Lo primero que tenemos que notar es que para esta configuraci´ on de cargas tenemos simetra de rotaci´ on

alrededor del eje z y de traslaci´ on alrededor del eje z . Esto quiere decir que

si roto a la configuraci´ on de cargas (en este caso el hilo) un ´ angulo φ

alrededor del eje z , obtengo la misma configuraci´ on de cargas, y lo mismo

sucede si traslado la configuraci´ on de cargas a lo largo del eje z, ya que al

ser un hilo infinito, obtengo otro hilo infinito. Como conclusi´ on de lo

anterior, el campo de un hilo infinito s´ olo va a depender de la coordenada

r de coordenadas cil´ındricas: E = E (r ).

Direcci´ on del campo el´ ectrico de un hilo infinito cargado con λ

x y z

En la figura

se puede ver la direcci´ on de la contribuci´ on al campo el´ ecricos de dos δq (en el dibujo

uno en rojo y el otro en azul) a un punto campo, donde ambos δq estan ubicados a la misma distancia del punto campo.

F´ısica 3 (Pr´acticas) Clase 2 25 de marzo de 2021 9 / 14

Campo el´ ectrico de un hilo infinito con densidad de carga lineal uniforme λ

x y z

El razonamiento de la figura anterior se puede extener a todos los puntos campo del espacio, algunos se pueden ver en la figura. Por lo tanto el campo el´ ectrico de un hilo infinito:

E (~ ~ r ) = E (r )ˆ r

Campo el´ ectrico de un cilindro infinito con densidad de carga uniforme ρ y radio R

Nuevamente elegiremos coordenadas cil´ındricas para analizar la dependencia del campo. Al igual que en el caso del hilo infinito cargado, para esta configuraci´ on de cargas hay simetr´ıa de rotaci´ on alrededor del eje z y de traslaci´ on en el eje z. Por lo tanto:

E = E (r )

F´ısica 3 (Pr´acticas) Clase 2 25 de marzo de 2021 11 / 14

Campo el´ ectrico de un cilindro infinito con densidad carga uniforme ρ y radio R

R

An´ alogamente

al caso del hilo, se puede ver que:

E = E (r )ˆ ~ r donde r y r ˆ

refieren a coordenadas cil´ındricas.

Campo el´ ectrico de un plano infinito con densidad de carga uniforme σ

En primer lugar veamos de qu´ e coordenadas depende el campo y cu´ al es su direcci´ on.

x y z

Se puede

ver que la configuraci´ on de cargas tiene

simetr´ıa de traslaci´ on en los ejes x e y y por lo tanto:

E = E (z)

Por otra parte, del dibujo podemos inferir que:

E (~ ~ r ) =

( E (z)ˆ z z > 0

−E (z)ˆ z z < 0

F´ısica 3 (Pr´acticas) Clase 2 25 de marzo de 2021 13 / 14

Campo el´ ectrico de un plano infinito con densidad de carga uniforme σ

En primer lugar veamos de qu´ e coordenadas depende el campo y cu´ al es su direcci´ on.

x y z

Se puede

ver que la configuraci´ on de cargas tiene

simetr´ıa de traslaci´ on en los ejes x e y y por lo tanto:

E = E (z) Por otra parte, del dibujo podemos inferir que:

E (~ ~ r ) =

( E (z)ˆ z z > 0

−E (z)ˆ z z < 0

Campo el´ ectrico de una esfera con densidad de carga uniforme ρ

R

Del dibujo se puede ver que el campo el´ ectrico de una esfera:

E = E (r )ˆ ~ r donde r y r ˆ refieren a coordenadas esf´ ericas.

F´ısica 3 (Pr´acticas) Clase 2 25 de marzo de 2021 14 / 14