Geometría de los problemas de Cálculo de variaciones con ligaduras y control óptimo

Geometr´ıa de los problemas de C´alculo de variaciones con ligaduras y control ´optimo

D. Mart´ın de Diego, CSIC (EL PATRONCITO) I Encuentro Iberoamericano sobre Geometr´ıa Diferencial

y Aplicaciones, 16 al 19 de junio de 2008

Junio 17, 2008

Esquema

Mec´anica vak ´onoma Control ´Optimo

Aproximaci ´on inicial

Qvariedad diferenciable

L : T Q−→ R funci´on diferenciable

Sea Ψ^k: T M−→ R (1 6 k 6 m) un conjunto de funciones diferenciables tales que la matriz

∂Ψ^k

∂˙q

!

es de rango m´aximo (m) Problema

Encontrar los puntos estacionarios del funcional acci ´on Z_T

0

L dt

en la clase de curvas con extremos fijos y verificando las ecuaciones

Ψ¹= Ψ²=. . . = Ψ^m =0

Aproximaci ´on inicial

Qvariedad diferenciable

L : T Q−→ R funci´on diferenciable

Sea Ψ^k: T M−→ R (1 6 k 6 m) un conjunto de funciones diferenciables tales que la matriz

∂Ψ^k

∂˙q

!

es de rango m´aximo (m) Problema

Encontrar los puntos estacionarios del funcional acci ´on Z_T

0

L dt

en la clase de curvas con extremos fijos y verificando las ecuaciones

Ψ¹= Ψ²=. . . = Ψ^m =0

Constantin Carath´eodory (13.9.1873 Berlin/Germany - 2.2.1950 Munich/Germany)

Sistemas lagrangianos

T Q

T Q

Q τ_Q

z∈ T_xQ

x

(q^A, ˙q^A)

(q^A)

? ? ?

Elevaci ´on vertical z ∈ TxQ

T_xQ −→ T_zT Q

X 7−→ (X^v)_z (t→ z + tX) (en coordinadas)^{X = XA}_∂q^∂A 7−→ X = X^{A ∂}

∂˙q^A

Campos de vectores de Liouville ∆

∆(z) = (z^V)_z ∆ = ˙q^A ∂

∂˙q^A Endomorfismo vertical S

T_zT Q −→ T_zT Q

Y 7−→ T τ_Q(z)(Y)
v z

A ∂ _A ∂ _A ∂ ∂ _A

L : T Q−→ R

1-forma de Poincar´e-Cartan αL = S^∗(dL) 2-forma de Poincar´e-Cartan ωL= −dα_L Funci ´on energ´ıa EL = ∆L − L

L es regular ⇐⇒ ∂²L

∂˙q^A∂˙q^B

!

es regular

i_ΓLω_L= dE_L Γ_Lcampo de vectores de Euler-Lagrange

1 SΓ_L = ∆(ΓLes una SODE) Γ_L = ˙q^A ∂

∂q^A + Γ^A ∂

∂˙q^A











 dq^A

dt = ˙q^A d˙q^A

dt = Γ^A(q^A, ˙q^A)

↔ d²q^A

dt² = Γ^A(q^A,dq^A dt )

2 Las soluciones de Γ_Lson soluciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange

d dt

 ∂L

∂˙q^A



− ∂L

∂˙q^A =0 ecuaciones de Euler-Lagrange

Aproximaci ´on variacional a sistemas con ligaduras

Qvariedad de configuraci ´on de dimensi ´on n y L : T Q −→ R.

M T Q

Q J

J J

J J

JJ^

 - i_M

(τ_Q)_|M τ_Q

M, localmente definido por Φ^α=0, 1 6 α 6 m.

Condici ´on de admisibilidad: para todo x ∈ M, dim TxM^o =dim S^∗T_xM^o

˙q^α= Ψ^α(q^A, ˙q^a), 1 6 α 6 m, m + 1 6 a 6 n y 1 6 A 6 n

C²(x, y) ={c : [0, 1] −→ Q | c es C², c(0) = x y c(1) = y} . Sea c una curva enC²(x, y). A variaci ´on de c es una curva csen C²(x, y), esto es, es una aplicaci ´on diferenciable

c_s : (−, ) →C²(x, y), s 7→ cs(t), tal que c₀ = c. Una variaci ´on infinitesimal de c es un campo de vectores tangente a c, es decir,

u(t) = dc_s(t) ds

s=0∈ T_c(t)Q. El espacio tangente deC²(x, y) en c est´a dado por

T_cC²(x, y) = {u : [0, 1] −→ TQ | u is C¹,

u(t)∈ T_c(t)Q, u(0) = 0 y u(1) = 0} .

C˜²(x, y) ={c ∈ C²(x, y)| ˙c(t) ∈ Mc(t) = M∩τ⁻¹_Q(c(t)), ∀t ∈ [0, 1]} . Considera el funcionalJ definido por

J : C²(x, y) −→ R , c7→J(c) = Z₁

0

L(˙c(t)) dt .

Definition

El problema vak ´onomo asociado a (Q, L, M, x, y) consiste en extremizar el funcionalJ entre las curvas satisfaciendo las ligaduras impuestas por M, c ∈ ˜C²(x, y). As´ı, una curva c∈ ˜C²(x, y) ser´a una soluci ´on del problema vak ´onomo si c es un punto cr´ıtico deJ_{| ˜C}2(x,y).

Theorem

Una curva c ∈ ˜C²(x, y) es una soluci´on normal del problema vak´onomo si y solamente si existe µ : [0, 1] → R^mtal que















 d dt

∂ ˜L

∂˙q^a

!

− ∂ ˜L

∂q^a = µ_α

"

d dt

 ∂Ψ^α

∂˙q^a



− ∂Ψ^α

∂q^a

# + ˙µα

∂Ψ^α

∂˙q^a,

˙µα= ∂ ˜L

∂q^α − µ_β∂Ψ^β

∂q^α,

˙q^α= Ψ^α(q^A, ˙q^a),

donde ˜L : M → R es la restricci´on de L a M.

Demostraci ´on:

La condici ´on para que una curva sea una soluci ´on del problema vak ´onomo es

0 = dJ(c) · u = d dsJ(cs)

  s=0,

para cada variaci ´on csen ˜C²(x, y) de c, donde u = dc_s ds

  s=0.

0 = d dsJ(cs)

s=0 = d ds

Z₁

0

L(˙cs(t)) dt

!   s=0

= Z₁

0

d

dsL(˙cs(t))  

s=0dt.

Demostraci ´on:

En coordenadas locales, obtenemos

0 = Z₁

0

 ∂L

∂q^Au^A+ ∂L

∂˙q^a˙u^a+ ∂L

∂˙q^α

∂Ψ^α

∂q^Au^A+ ∂L

∂˙q^α

∂Ψ^α

∂˙q^a ˙u^a

 dt

= Z₁

0

 ∂L

∂q^A+ ∂L

∂˙q^α

∂Ψ^α

∂q^A



u^A+ ∂L

∂˙q^a+ ∂L

∂˙q^α

∂Ψ^α

∂˙q^a



˙u^a

! dt

= Z₁

0

∂ ˜L

∂q^Au^A+ ∂ ˜L

∂˙q^a˙u^a

! dt.

Demostraci ´on:

Considera las funciones µαdefinidas como las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones de primer orden

˙µα= ∂ ˜L

∂q^α   c− µβ

∂Ψ^β

∂q^α  

c, 1 6 α 6 m . Como ˙u^α=∂Ψ^α

∂q^Au^A+∂Ψ^α

∂˙q^a ˙u^a, obtenemos d

dt(µ_αu^α) = µ_α˙u^α+ ∂ ˜L

∂q^α − µ_β∂Ψ^β

∂q^α

! u^α

= ∂ ˜L

∂q^αu^α+ µα

∂Ψ^α

∂q^au^a+ µα

∂Ψ^α

∂˙q^a ˙u^a,

o, equivalentemente,

∂ ˜L

∂q^αu^α= d

dt(µαu^α) − µα

∂Ψ^α

∂q^au^a− µα

∂Ψ^α

∂˙q^a ˙u^a

Demostraci ´on:

dJ(c) · u = Z₁

0





"

∂ ˜L

∂q^a− µα

∂Ψ^α

∂q^a

# u^a+

"

∂ ˜L

∂˙q^a− µα

∂Ψ^α

∂˙q^a

#

˙u^a



dt.

"

∂ ˜L

∂˙q^a− µα

∂Ψ^α

∂˙q^a

#

˙u^a= d dt





"

∂ ˜L

∂˙q^a− µα

∂Ψ^α

∂˙q^a

# u^a



− d dt

∂ ˜L

∂˙q^a− µα

∂Ψ^α

∂˙q^a

! u^a,

usando integraci ´on por partes, podemos escribir

0 = Z₁

0





∂ ˜L

∂q^a − µα

∂Ψ^α

∂q^a − d dt

∂ ˜L

∂˙q^a − µα

∂Ψ^α

∂˙q^a

!

u^adt.

FIN DE LA DEMOSTRACI ´ON

Comentario

Forma usual de las ecuaciones vak ´onomas:











 d dt

 ∂L

∂˙q^A



− ∂L

∂q^A = ˙λ_α∂Φ^α

∂˙q^A + λ_α

"

d dt

 ∂Φ^α

∂˙q^A



− ∂Φ^α

∂q^A

# ,

Φ^α(q, ˙q) = 0, 1 6 α 6 m ,

donde Φ^α= Ψ^α− ˙q^αy λα= ∂L

∂˙q^α − µ_α, 1 6 α 6 m.

Algunas referencias

V.I. Arnold: Dynamical Systems, vol. III, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1988.

A.M. Bloch, P.E. Crouch: Nonholonomic and Vakonomic control systems on Riemannian manifolds, in Dynamics and Control of Mechanical Systems, The Falling Cat and Related Problems, Michael J. Enos, Editor, Fields Institute

Communications, AMS, 1993.

J. Cort´es, M. de Le ´on, D. Mart´ın de Diego, S. Mart´ınez:

Geometric description of vakonomic and nonholonomic dynamics. Comparison of solutions, SIAM J. Control and Optimization 41 (2003), 5, 1389-1412.

M. Favretti: Equivalence of dynamics for nonholonomic systems with transverse constraints, J. Dynam. Differential Equations, 10 (4) (1998), 511–536.

M. de Le ´on, J.C. Marrero, D. Mart´ın de Diego: Vakonomic mechanics versus nonholonomic mechanics: an unified geometrical approach. Journal of Geometry and Physics 35 (2000)

A.D. Lewis, R.M. Murray: Variational principles for

constrained systems: theory and experiments, International Journal of Nonlinear Mechanics, 30 (6) (1995), 793-815.

Aproximaci ´on geom´etrica a la mec´anica vak ´onoma

W₀= T^∗Q×_QMsubvariedad de T^∗Q⊕ T Q (qⁱ, pi, ˙q^a) coordenadas en W₀

π₁: T^∗Q×_QM→ T^∗Q π₂: T^∗Q×_QM→ M



ω = π^∗₁ω_Q, forma presimpl´ectica H =hπ₁, π₂i − π^∗₂˜L, hamiltoniano Localmente, si ˙q^α= Φ^α(qⁱ, ˙q^a)

ω = dqⁱ∧ dpi

H(qⁱ, pi, ˙q^a) = p_a˙q^a+ p_αΦ^α− ˜L(qⁱ, ˙q^a)

(T^∗Q×_QM, ω, H), i_Xω = dH

W₁={x ∈ T^∗Q×_QM| ∀V ∈ ker ω(x), dH(x)(V) = 0} . Ligaduras pri-

marias ϕ_a= p_a+ p_α∂Φ^α

∂˙q^a − ∂ ˜L

∂˙q^a =0,

M T^∗Q

Q T^∗Q⊕ T Q

W₀= T^∗Q×_QM

W₁ 6

6

?





 )

PP PP

PPq

π₂ π₁

Q Q

Q Q

Q Q

Q Q

Q Q s



















 +

(τ_Q)_|M π_Q

Ecuaciones del movimiento

Ecuaciones del movimiento de la mec´anica vak ´onoma:

˙q^α = Φ^α(qⁱ, ˙q^a)

˙pα = ∂ ˜L

∂q^α− p_β∂Φ^β

∂q^α d

dt

∂ ˜L

∂˙q^a − p_α∂Φ^α

∂˙q^a

!

= ∂ ˜L

∂q^a − p_β∂Φ^β

∂q^a

Proposici ´on

(W₁, ωW₁)es una variedad simpl´ectica si y solamente si

det ∂²˜L

∂˙q^a∂˙q^b − p_α ∂²Φ^α

∂˙q^a∂˙q^b

! , 0

Si (W₁, ωW₁)es una variedad simpl´ectica:





























˙q^α= Φ^α(qⁱ, ˙q^a),

˙pα= ∂ ˜L

∂q^α − p_β∂Φ^β

∂q^α ,

¨q^a= − ¯C^ab

"

˙qⁱ ∂²˜L

∂qⁱ∂˙q^b − ˙qⁱp_α ∂²Φ^α

∂qⁱ∂˙q^b

− ∂ ˜L

∂q^b+ p_α∂Φ^α

∂q^b − ∂ ˜L

∂q^γ − p_β∂Φ^β

∂q^γ

!∂Φ^γ

∂˙q^b



,

C¯ab= ∂²˜L

∂˙q^a∂˙q^b− p_α ∂²Φ^α

∂˙q^a∂˙q^b,

Modelo de von Neumann cerrado

El problema de von Neumann consiste en maximizar

ZT 0

˙Kndtsujeto a F(K1, . . . , Kn, ˙K1, . . . , ˙Kn) = K^α₁¹K^α₂²· · · K^α_nⁿ−h

˙K²₁+. . . + ˙K²_ni1/2

=0 En coordenadas (K1, . . . , Kn, ˙K2, . . . , ˙Kn, P¹, . . . , Pⁿ)

ω = Xn

i=1

dKi∧ dPⁱ

HW₀= Xn

i=2

Pⁱ˙K_i+ P¹·



K^2α₁ ¹K^2α₂ ²· · · K^2α_nⁿ− Xn i=2

˙K²_i





1/2

− ˙Kn

Ligaduras primarias:

Pⁱ = P¹˙Ki



K^2α₁ ¹K^2α₂ ²· · · K^2α_nⁿ− Xn

i=2

˙K²_i





−1/2

, 2 6 i 6 n − 1

 Xn −1/2

necuaciones diferenciales en las variables (K₁, . . . , Kn, ˙K₂, . . . , ˙Kn, P¹)











˙P¹= −P¹α1



K^2α₁ ¹⁻¹K^2α₂ ²· · · K^2α_nⁿ

· G 0 = ˙P¹˙KiG + P¹

"

 K¨i+ αi



K^2α₁ ¹· · · K^2α_i ⁱ⁻¹· · · K^2α_nⁿ

G + ˙Kid dt(G)i

2 6 i 6 n donde

G(K₁, . . . , Kn, ˙K₂, . . . , ˙Kn) = 1

Φ(K₁, . . . , Kn, ˙K₂, . . . , ˙Kn).

Mec´anicas vak ´onoma y nohol ´onoma: Comparaci ´on de la din´amica

X_vken W₁y Xnhen ˜M.

Υ : W₁ −→ M˜

(α, v) 7−→ (LegL(v), v) (qⁱ, ˙q^a, pα) 7−→ (qⁱ, ˙q^a)

T^∗Q⊕ T Q

W₁ M˜

S₁

...

S_f













 7

S S S S S S S o

- 6

6

6

M pr₂

T Q 6 XXXX

XXXXz

XXXX

XXXX

XXXX

XXXX XXz

Z Z Z Z } Z

Z Z

Z

~ Υ

pr₂/W₁

S₁={w ∈ S0| TwΥ(X_vk(w)) = X_nh(Υ(w))} .

Paso 1: Para cada w ∈ S₁, consideremos C_(w) =∪_iC_(w)i, la uni ´on de todos las subvariedades conexas C_(w)ide dimensi ´on m´axima en S₁, contenidas en un entorno U de w y pasando a trav´es de w. Supongamos que C_(w), {w}.

Para cada i consideremos el subconjunto de C_(w)i C˜_(w)i={v ∈ C(w)i| Xvk(v)∈ T_vC_(w)i} . Si ˜C_(w)i= C_(w)ientonces llamamos a la subvariedad C_(w)ila variedad final de ligaduras en w. Si ˜C_(w)i=∅, exclu´ımos C_(w)idel conjunto C_(w). Si ∅ ( ˜C_(w)i( C(w)i, procedemos al siguiente paso.

Paso 2: Rep´ıtase el Paso 1 con ˜C_(w)ien vez de S₁.

˙q^α= µ^α_a(q)˙q^a .

Proposici ´on. S₁ est´a localmente caracterizado por la anu- laci ´on de las n − m ligaduras en W₁(con m + 1 6 b 6 n):

g_b = ˙q^a



p_α− i^∗∂L

∂˙q^α

  ∂µ^α_b

∂q^a − ∂µ^α_a

∂q^b +µ^β_a∂µ^α_b

∂q^β − µ^β_b∂µ^α_a

∂q^β

 ,

m +1 6 b 6 n.

ρ(q^a, q^α) = (q^α), H^o =hdq^α− µ^α_adq^a, 1 6 α 6 mi .

R( ∂

∂q^a, ∂

∂q^b) = R^α_ab ∂

∂q^α , con R^αab= ∂µ^α_b

∂q^a−∂µ^α_a

∂q^b + µ^β_a∂µ^α_b

∂q^β − µ^β_b∂µ^α_a

∂q^β .

g_b= ˙q^a



p_α− i^∗∂L

∂˙q^α



R^α_ab, m +1 6 b 6 n .

Proposici ´on

Si c(t) = (qⁱ(t))es una soluci ´on del problema libre que verifica todas las ligaduras, es decir,

˙q^α(t) = µ^α_a(q(t))˙q^a(t), 1 6 α 6 m ,

entonces c(t) es una soluci ´on de los problemas no- hol ´onomo y vak ´onomo, simult´aneamente.

Ejemplo: Disco rodando

L = 1 2



˙x²+ ˙y²+ ˙θ²+ ˙φ²



, ˙x = ˙θ cos φ , ˙y = ˙θ sin φ . S₁ tiene dos componentes

conexas

C₁ = {w ∈ W1| pxsin φ − pycos φ = 0} , C₂ = {w ∈ W1| ˙θ = 0 , ˙φ = 0} .

Aplicando el algoritmo, obtenemos ˜C₁= C₁₁∪ C₁₂y ˜C₂= C₂, donde

C₁₁ = {w ∈ C1| ˙φ = 0} ,

C₁₂ = {w ∈ C1| 2 ˙θ = pxcos φ + pysin φ} . Cualquier soluci ´on noh ´olonoma puede ser vista como una soluci ´on vak ´onoma contenida en la subvariedad de ligaduras

Ejemplo: Part´ıcula no-hol ´onoma

L = 1 2



˙x²+ ˙y²+ ˙z²

, Φ = ˙z − y ˙x = 0 . S₁tiene dos componentes conexas

C₁ = {w ∈ W1| pz− ˙z = 0} , C₂ = {w ∈ W1| ˙x = 0 , ˙y = 0} .

Aplicando el algoritmo, obtenemos que ˜C₁= C₁₁∪ C₁₂, donde C₁₁ = {w ∈ C1| ˙y = 0} ,

C₁₂ = {w ∈ C1| ˙x = 0} .

Por otro lado, ˜C₂= C₂. El segundo paso del algoritmo determina

C˜ = C , C˜ = C .

Teor´ıa del control ´optimo

˙q^A = Γ^A(q(t), u(t)) , 1 6 A 6 n , Ecuaciones de control Dadas condiciones iniciales, usualmente q₀= q(t₀), se trata de encontrar una curva C²-a trozos γ(t) = (q(t), u(t)), verificando las ecuaciones de control y minimizando el funcional

J(γ) = Z_T

t₀

L(q(t), u(t)) dt + S(q(T ))

C Γ ^- T Q

@

@

π@ τ_Q

Principio del m´aximo de Pontryaguin

Consideremos el problema de control

˙x(t) = Γ (x(t), u(t)), x∈ M, u ∈ U ⊂ R^m x(t₀) = x₀, x(t₁) = x₁

minimizar Z_t1

t₀

L(x(t), u(t)) dt

Se define elHamiltoniano de Pontryaguin, H : T^∗M× U −→ R definido por

H((x, p); u) = L(x, u) + hp, Γ (x, u)i

donde x ∈ M, p ∈ T_x^∗M, u ∈ U y donde  es cero o un n ´umero real no nulo menor que cero (por ejemplo,  = −1).

El principio del m´aximo de Pontryaguin asegura que si u^∗: [t₀, t₁]−→ U es un control ´optimo, entonces la correspondiente trayectoria x^∗ : [t₀, t₁]−→ M puede ser levantada a una curva ξ^∗: [t₀, t₁]−→ T^∗M, ξ^∗(t) = (x(t), p(t)) tal que (, p(t)) , (0, 0) y verificando las siguientes

condiciones:

(A) ˙ξ^∗(t) = X_H(ξ^∗(t), u^∗(t));

(B) H(ξ^∗(t), u^∗(t))> H(ξ^∗(t), u), para todo u ∈ U y casi todo t∈ [t₀, t₁];

(C) La funci ´on t 7−→ H(ξ^∗(t), u^∗(t))es constante (siendo cero si el tiempo t₁es libre).

Las funciones t 7−→ x^∗(t)que satisfacen el principio de

Pontryaguin con  , 0 se llaman soluciones regulares y soluciones singulares o abnormales si  = 0.

Control ´optimo de la posici ´on de un cuerpo r´ıgido

Spindler, K. Optimal attitude control of a rigid body. Appl.

Math. Optim. 34 (1996), no. 1, 79–90

Ecuaciones de control del cuerpo r´ıgidoRecordemos las ecuaciones del cuerpo r´ıgido:

˙R(t) = R(t)[Ω(t)

= R(t)







0 −Ω₃(t) Ω₂(t) Ω₃(t) 0 −Ω₁(t)

−Ω₂(t) Ω₁(t) 0







= R(t)(Ω₁(t)E₁+ Ω₂(t)E₂+ Ω₃(t)E₃),

donde las velocidades angulares (Ω₁(t), Ω2(t), Ω3(t))verifican las ecuaciones de Euler:

I₁Ω˙ ₁(t) = (I₂− I₃)Ω₂(t)Ω₃(t) + T₁(t) I₂Ω˙ ₂(t) = (I₃− I₁)Ω₃(t)Ω₁(t) + T₂(t) I₃Ω˙ ₃(t) = (I₁− I₂)Ω₁(t)Ω₂(t) + T₃(t)

Suponemos que debemos pasar de la matriz R(t₀)para un tiempo t₀a una matriz R(t₁)a un tiempo t₁eligiendo una sucesi ´on de pares adecuada. La funci ´on a minimizar es:

Z_t1

t0

(c₁Ω₁(t)^p1+ c₂Ω₂(t)^p2 + c₃Ω₃(t)^p3) dt con c₁, c₂, c₃ >0 and p₁, p₂, p₃∈

N

As´ı pues, elproblema de control ´optimoque tenemos es:

minimizar Z_t1

t₀

(c₁Ω₁(t)^p1+ c₂Ω₂(t)^p2 + c₃Ω₃(t)^p3) dt con ecuaciones de control:

˙R(t) = R(t)(Ω1(t)E₁+Ω₂(t)E₂+Ω₃(t)E₃), (Ω1(t), Ω2(t), Ω3(t))∈ R³ y condiciones R(t ) =R y R(t ) =R fijadas.

El Hamiltoniano de Pontryagin ser´a una funci ´on:

H : T^∗SO(3) × R³−→ R definida por:

H(R, αR, Ω) = hα_R, R ˆΩi +

2 c₁Ω₁(t)^p1+ c₂Ω₂(t)^p2+ c₃Ω₃(t)^p3

= hα, ˆΩi +

2 c₁Ω₁(t)^p1+ c₂Ω₂(t)^p2+ c₃Ω₃(t)^p3

= Ω₁H₁+ Ω₂H₂+ Ω₃H₃+

2((c₁Ω^p₁¹+ c₂Ω^p₂²+ c₃Ω^p₃³)

donde Hi: T^∗SO(3) −→ R definida por Hi(R, α) = α(Ei), i =1, 2, 3.

Supongamos que el control ´optimo est´e dado por funciones t7−→ (Ω^∗₁(t), Ω^∗₂(t), Ω^∗₃(t))entonces la trayectoria

t7−→ ξ^∗(t)∈ T^∗SO(3) verificar´a, aplicando el principio del m´aximo de Pontryagin, que

˙ξ^∗(t) = Ω^∗₁(t)X_H1(ξ^∗(t)) + Ω^∗₂(t)X_H2(ξ^∗(t)) + Ω^∗₃(t)X_H3(ξ^∗(t))

Estudio de las soluciones singulares o abnormales

Supongamos que el par´ametro  = 0 y que existe una soluci ´on del problema de control ´optimo. Entonces como

H(ξ^∗(t), Ω^∗(t))> H(ξ^∗(t), Ω), para todo Ω∈ R³ es decir,

Ω^∗₁(t)H₁(ξ^∗(t)) + Ω^∗₂(t)H₂(ξ^∗(t)) + Ω^∗₃(t)H₃(ξ^∗(t))

> Ω1H₁(ξ^∗(t)) + Ω₂H₂(ξ^∗(t)) + Ω₃H₃(ξ^∗(t)) para todo Ω = (Ω₁, Ω₂, Ω₃)∈ R³.

De aqu´ı f´acilmente se deduce que Hi(ξ^∗(t)) =0. Si denotamos por (R^∗(t), α^∗(t))∈ SO(3) × so(3)^∗la trayectoria tal que L(R^∗(t), α^∗(t)) = ξ^∗(t)entonces

0 = Hi(ξ^∗(t)) = α^∗(t)(E_i), i =1, 2, 3

∗

Estudio de las soluciones regulares

Tomamos el valor  = −1.

Partimos de las ecuaciones ∂H

∂Ω_i(ξ^∗(t)) =0, i = 1, 2, 3, es decir H_i(ξ^∗(t)) = c_ip_iΩ^∗_i(t)^qi

donde qi= p_i−1. Eliminando los controles obtenemos:

˙ξ^∗(t) =  H₁(ξ^∗(t)) c₁p₁

1/q₁

XH₁(ξ^∗(t))

+ H₂(ξ^∗(t)) c₂p₂

1/q2

XH₂(ξ^∗(t)) + H₃(ξ^∗(t)) c₃p₃

1/q3

XH₃(ξ^∗(t))

que son las ecuaciones de Hamilton para el hamiltoniano

H₀= X3 j=1

q_j

p_j(c_jp_j)^1/qjH^p_j^j/qj

Trivializando llegamos a que el hamiltoniano en SO(3) × R³se escribe como:

H₀(R, Π) = X3 j=1

q_j

p_j(c_jp_j)^1/qjΠ^p_j^j/qj

∂H

∂Π_j = 1

(c_jp_j)^1/qjΠ^1/q_j ^j Las ecuaciones de Lie-Poisson son:

( ˙Π₁, ˙Π₂, ˙Π₃) = (Π₁, Π2, Π3)×

 1

(c₁p₁)^1/q1Π^1/q₁ ¹, 1

(c₂p₂)^1/q2Π^1/q₂ ², 1

(c₃p₃)^1/q3Π^1/q₃ ³



Operando y reescribiendo las ecuaciones en t´erminos de los controles llegamos a que:

c₁p₁q₁Ω^q₁¹⁻¹Ω˙₁ = c₂p₂Ω₃Ω^q₂²− c₃p₃Ω₂Ω^q₃³ c₂p₂q₂Ω^q₂²⁻¹Ω˙₂ = c₃p₃Ω₁Ω^q₃³− c₁p₁Ω₃Ω^q1

1

c₃p₃q₃Ω^q₃³⁻¹Ω˙₃ = c₁p₁Ω₂Ω^q₁¹− c₂p₂Ω₁Ω^q₂² Obs´ervese que si p₁= p₂= p₃=2 entonces el funcional a minimizar es:

minimizar Z_t1

t₀

(c₁Ω₁(t)²+ c₂Ω₂(t)²+ c₃Ω₃(t)²) dt en este caso las ecuaciones que describen los controles son precisamente las ecuaciones del cuerpo r´ıgido:

c₁Ω˙ ₁ = c₂Ω₃Ω₂− c₃Ω₂Ω₃ c₂Ω˙ ₂ = c₃Ω₁Ω₃− c₁Ω₃Ω₁ c₃Ω˙ ₃ = c₁Ω₂Ω₁− c₂Ω₁Ω₂

En el caso c₁= c₂ = c₃, se tiene que las ´unicas soluciones son Ω_i(t) = Ω_i=constante. As´ı, debemos encontrar una curva R(t)verificando:

˙R(t) = R(t)(Ω1E₁+ Ω₂E₂+ Ω₃E₃), R(t0), R(t₁)fijados o, lo que es lo mismo: R(t) = R(t₀)e^{(t−t0) ˆΩ}con

R(t₁) =R(t₀)e^{(t1−t0) ˆΩ}. As´ı, R(t₀)⁻¹R(t₁) = e^{(t1−t0) ˆΩ}. Llamando r =

q

Ω²₁+ Ω²₂+ Ω²₃

R(t1)R(t0)⁻¹ = I +sin(t1− t₀)r

(t₁− t₀)r Ω +ˆ 1 − cos(t1− t₀)r (t₁− t₀)²r² Ωˆ²

=







1 0 0 0 1 0 0 0 1





+sin(t₁− t₀)r (t₁− t₀)r







0 −Ω₃ Ω₂ Ω₃ 0 −Ω₁

−Ω₂ Ω₁ 0







−1 − cos(t1− t₀)r (t1− t0)²r²







Ω²₂+ Ω²₃ −Ω₁Ω₂ −Ω₁Ω₃

−Ω₁Ω₂ Ω²₁+ Ω²₃ −Ω₂Ω₃

−Ω1Ω3 −Ω2Ω3 Ω²₁+ Ω²₂





