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Recuentos estelares, función de luminosidad y de masa

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Academic year: 2022

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Recuentos estelares, funci´ on de luminosidad y de masa

En el cap´ıtulo 2, explicamos c´omo la teor´ıa de estructura y evoluci´on estelar explica la estructura del diagrama HR. Sin embargo, aunque esta teor´ıa nos per- miten calcular la evoluci´on de una estrella de cierta masa y determinar c´omo se mueve a lo largo de su vida en el diagrama HR, no nos dice nada sobre la abun- dancia relativa de estrellas de diferentes luminosidades o diferentes masas. La t´ecnica que permite abordar este problema es la de losrecuentos estelaresque presentaremos en este cap´ıtulo. A partir de ´estos se puede determinar lafunci´on de luminosidad de las estrellas y finalmente su funci´on de masa incial. Los recuentos estelares tambi´en permiten determinar la distribuci´on espacial de las estrellas en la Vecindad Solar, en especial su densidad (n´umero de estrellas por p´arsec cubico) y su distribuci´on vertical, i.e., el n´umero de estrellas como funci´on de la altura en el plano Gal´actico.

3.1 Recuentos estelares

3.1.1 Un caso simple

Empecemos con un caso simple y pedag´ogico. Supongamos que mediante la se- lecci´on de un cierto tipo espectral MK de estrellas, podamos seleccionar una colecci´on de estrellas id´enticas (por ejemplo, una colecci´on de estrellas G2V).

Supongamos, adem´as, que la distribuci´on espacial de este tipo de estrellas es uniforme –es decir que la densidad n de estrellas de este tipo por unidad de vo- lumen es constante. Finalmente, supongamos que no hay polvo interestelar en la direcci´on de estas estrellas. Consideremos ahora un ´angulo s´olido dΩ, centrado en el Sol. El volumen contenido en este ´angulo s´olido entre las distancias r y r + dr es

dV = Ωr2dr. (3.1)

Evidentemente, si n es la densidad volum´etrica de estrellas del tipo considerado, el n´umero de estrellas de este tipo en el volumen dado por la ecuaci´on 3.1 es

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dN = ndV = nΩr2dr. (3.2) Integrando desde r = 0 hasta r = d, obtenemos el n´umero de estrellas en el

´

angulo s´olido dΩ entre nosotros y una cierta distancia d. Este n´umero es:

N (d) = Z d

0

dN = Z d

0

nΩr2dr. (3.3)

Dado que los astr´onomos ´opticos tienden a describir las estrellas mediante sus magnitudes, es deseable reescribir la ecuaci´on anterior en t´erminos de estas can- tidades. Ya que escogimos una colecci´on de estrellas id´enticas, todas tienen la misma magnitud absoluta M . Adem´as, supusimos que no hab´ıa polvo, de ma- nera que la magnitud absoluta, la magnitud aparente y la distancia de nuestras estrellas est´an relacionadas por el m´odulo de distancia (ecuaci´on 2.10). A partir de dicha ecuaci´on, podemos relacionar la distancia con las magnitudes absoluta y aparente mediante:

r = 100.2(m−M )+1 (3.4)

Reemplazando este resultado en la ecuaci´on (3.3), podemos escribir el n´umero de estrellas entre nosotros y una distancia d como el n´umero de estrellas m´as brillantes (i.e. con una magnitud num´ericamente m´as peque˜na) que una cierta magnitud aparente m:

N (m) = 1 5

Z m

−∞

n Ω 100.6(m−M )+3 dm (3.5) Es importante apreciar que en esta expresi´on, la distancia aparece solo impl´ıci- tamente, mediante la magnitud aparente m. Dado que todas las estrellas que estamos considerando tienen una magnitud absoluta M com´un, al ver hasta una distancia d solamente estaremos considerando estrellas m´as brillante que una cierta magnitud aparente m. Estrellas m´as lejanas tiene una magnitud aparente m´as d´ebil. En la expresi´on (3.5), suponemos que n y M son constantes. La ´unica variable es la magnitud aparente m de manera que podemos integrar para obtener:

N (m) = 1

3 ln 10Ω n 100.6(m−M )+3∝ 100.6m (3.6) 3.1.2 La paradoja de Olbers, derivaci´on intuitiva

Una de las ventajas de la ecuaci´on (3.6) es que permite predecir el compor- tamiento de los recuentos estelares a medida que se consideran observaciones m´as profundas1. Para ilustrar esto, consideremos dos series de observaciones que se enfoquen en la misma regi´on del cielo (es decir el mismo ´angulo s´olido dΩ) y el mismo tipo de estrellas. En la primera serie de observaciones, llegamos a una

1En astronom´ıa, se utiliza el adjetivo “profundo” para indicar que una observaci´on alcanza magnitudes mayores, es decir, estrellas cuyo brillo aparente es menor.

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magnitud l´ımite m, pero en la segunda, llegamos a un l´ımite una magnitud m´as profundo m0 = m + 1. Esto quiere decir que solo podemos detectar estrellas m´as brillantes que m en la primera serie de observaciones, pero que podemos detectar estrellas hasta magnitud m + 1 en la segunda. Como mencionamos anteriormente, esto es equivalente a ver estrellas m´as lejanas. La ecuaci´on (3.4) nos permite cal- cular hasta que distancia d nos permite ver una magnitud l´ımite m. La misma ecuaci´on nos permite calcular la distancia d0que corresponde a la magnitud l´ımite m0= m + 1. El cociente entre estas dos distancias es:

d0

d = 100.2(m−M )+1

100.2(m+1−M )+1 = 100.2 ≈ 1.6 (3.7) Vemos entonces que aumentar el l´ımite de detecci´on por una magnitud nos per- mite sondear hasta distancias 60% mayores. Por otro lado, la ecuaci´on (3.6) nos muestra que el cociente entre el n´umero N de estrellas que detectamos con una magnitud l´ımite m, y el n´umero N0que detectamos cuando el l´ımite de magnitud es m0 = m + 1 es:

N0

N = 100.6m

100.6(m+1) = 100.6 ≈ 4 (3.8)

Finalmente, consideremos el flujo que recibimos de estas estrellas. Las estrellas que detectamos al considerar un l´ımite de detecci´on m´as profundo ser´an (obvia- mente) m´as d´ebiles. De la definici´on de las magnitudes (ecuaci´on 2.9), podemos encontrar el cociente entre el flujo F de una estrella de magnitud m y el flujo F0 de una estrella de magnitud m + 1:

(m + 1) − m = −2.5 log 10F0

F =⇒ F0

F = 10−0.4 ≈ 0.4 (3.9) En resumen, las estrellas que detectamos al considerar un l´ımite de detecci´on una magnitud menor son (i) 4 veces m´as numerosas [ecuaci´on (3.8)], y (ii) 1/0.4 = 2.5 veces m´as d´ebiles [ecuaci´on (3.9)]. En t´erminos del flujo total, las estrellas de magnitud aparente m + 1 contribuyen 4 × 0.4 = 1.6 veces m´as que las estrellas de magnitud m. Esto es cierto para cualquier magnitud m, y nos lleva a un resultado absurdo: el flujo integrado aumenta continuamente a medida que consideremos estrellas m´as d´ebiles, y el cielo deber´ıa ser infinitamente brillante. Esto es lo que se conoce como la paradoja de Olbers. Heinrich Olbers era un m´edico alem´an que, en sus ratos de ocio, se dedicaba a hacer astronom´ıa desde el techo de su casa. Populariz´o la pregunta: ¿Por qu´e si existen un n´umero infinito de estrellas, el Universo es oscuro? En realidad, est´a es una pregunta que, al parecer, ya se hab´ıa hecho Kepler con anterioridad.

3.1.3 Paradoja de Olbers, derivaci´on m´as formal

Para obtener una formulaci´on m´as elegante de la paradoja de Olbers, es conve- niente postular que existe una funci´on de distribuci´on A(m) que nos dice cu´antas

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estrellas hay en el intervalo (m, m + dm). Con esta definici´on, podemos afirmar que la integral de A(m) desde una magnitud infinitamente brillante, hasta mag- nitud m, es precisamente la funci´on N (m) planteada en la secci´on anterior, es decir

N (m) = Z m

−∞

A(m)dm (3.10)

o bien,

A(m) = dN

dm (3.11)

N (m) se conoce como lafunci´on de recuentos estelares integrados, mientras que A(m) es la funci´on de recuentos estelares diferencial.

Como toda funci´on de distribuci´on, la funci´on A(m) se puede utilizar para calcular valores promedios, valores totales, o momentos de alguna propiedad f (m) que dependa de la magnitud m. En particular, consideremos nuevamente el flujo de una estrella de magnitud absoluta M . Supongamos que el flujo de dicha estrella medido desde la Tierra es F0 cuando la estrella est´a localizado a 10 pc. La misma estrella a una distancia d arbitraria tendr´ıa un flujo F y una magnitud aparente m, tales que

m − M = −2.5 log10 F

F0 (3.12)

En esta ecuaci´on, M y F0 son dos constantes, de forma que podemos escribir el flujo como:

F = F (m) = F010−0.4(m−M )∝ 10−0.4m (3.13) Supongamos una poblaci´on de estrella descrita por una funci´on de recuentos estelares diferenciales A(m). Esto implica que hay un n´umero dN = A(m)dm de estrellas con magnitud entre m y m + dm. Estas estrellas tienen un flujo F (m) ∝ 10−0.4m de tal forma que estas estrellas contribuyen un flujo dF = F (m)A(m)dm ∝ 10−0.4mA(m)dm.

Regresando al caso espec´ıfico de los recuentos simples que vimos anteriormente, entonces tenemos que A(m) = dN/dm ∝ 100.6m. Esto lleva a la conclusi´on que las estrellas de magnitud m contribuyen un flujo dF ∝ 100.6m × 10−0.4mdm ∝ 100.2mdm. Finalmente, el flujo total que contribuyen es

Ftot = Z m

m=−∞

dF ∝ Z m

−∞

100.2mdm ∝ 100.2m

m

−∞

(3.14) Esta ultima expresi´on diverge si m → +∞ y encontramos de nuevo la paradoja de Olbers que el cielo deber´ıa ser infinitamente brillante.

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3.1.4 Soluci´on de la paradoja de Olbers

Hemos llegado a esta paradoja debido a dos suposiciones no muy realistas.

Primero, que la densidad de estrellas en el Universo es constante. En realidad la V´ıa L´actea tiene un tama˜no finito, de manera que la densidad de estrellas cae esencialmente a cero despu´es de una cierta distancia, correspondiente al borde externo de la Galaxia. La otra suposici´on poco realista fue el suponer que la mag- nitud de las estrellas decrece s´olo debido a su distancia, ignorando la absorci´on de la luz por el polvo interestelar.

Es interesante mencionar que la misma paradoja existe en el contexto cos- mol´ogico. Suponiendo que todas las galaxias tienen la misma magnitud abso- luta, que est´an distribuidas uniformemente en el Universo y que no hay polvo intergal´actico, obtenemos exactamente la misma ecuaci´on que en el caso de las estrellas. La soluci´on en el contexto cosmol´ogico es considerablemente m´as in- teresante: el hecho de que el cielo no sea infinitamente luminoso es una de los elementos que permiten afirmar que el Universo naci´o en un Big Bang.

Fig. 3.1. Recuentos es- telares observados en la vecindad Solar. La curva roja muestra los recuentos en una direcci´on del plano Gal´actico y la l´ınea azul en la direcci´on del polo Gal´actico. La l´ınea pun- teada muestra el compor- tamiento esperado en el caso de una densidad con- stante y en ausencia de polvo.

3.1.5 Ejemplo de recuentos estelares observados

Uno puede llevar a cabo un recuento integrado similar al caso anterior con- siderando todas las estrellas (independientemente de su tipo MK), pero en di- recciones particulares. El resultado de recuentos de este tipo en las direcciones perpendicular y paralela al disco Gal´actico se grafican en la Figura 3.1. Es in- teresante notar que la primera parte de cada curva (entre m = 5 y m = 12) se puede describir con una ley de potencias, aunque de ´ındice algo menor al 0.6 que obtuvimos en nuestro c´alculo anterior (m´as parecida a 0.45). Se puede notar tambi´en que al llegar a magnitudes grandes (estrellas m´as d´ebiles), las curvas se

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alejan de la ley de potencias. Como ya hemos mencionado, estos efectos se deben al tama˜no finito del disco Gal´actico y a la existencia de polvo interestelar en el plano de la V´ıa L´actea

Otra conclusi´on interesante e importante de la Figura 3.1 es que la gran mayor´ıa de las estrellas Gal´acticas son d´ebiles (noten como el n´umero de estrellas con magnitudes de 15 a 20 es varios ´ordenes de magnitudes mayor al n´umero de estrellas con magnitudes entre 5 y 10). Regresaremos a este punto en la secci´on 3.2. Finalmente, podemos inferir de la Figura 3.1 que el n´umero de estrellas es mayor sobre el plano Gal´actico que perpendicular a ´este. De hecho, como ya lo vimos en la secci´on 1.1, fueron los recuentos estelares los que, hist´oricamente, proporcionaron las primeras informaciones cuantitativas sobre la morfolog´ıa de nuestra Galaxia.

3.2 Funci´on de luminosidad

3.2.1 Formulaci´on m´as general de los recuentos estelares

La descripci´on de los recuentos estelares que presentamos hasta ahora consid- era casos simplificados. Siempre supusimos una densidad constante. Adem´as, solo consideramos un tipo MK (en las secciones 3.1.1 hasta 3.1.4), o bien (en la secci´on 3.1.5) juntamos todas las estrellas sin poner atenci´on en su tipo MK.

Ahora presentaremos una formulaci´on m´as general del problema, en casos donde la densidad no es constante, y tomando en cuenta la clasificaci´on MK de forma explicita.

El numero de estrellas de tipo MK S, de magnitud absoluta entre M y M + dM contenido en el volumen dV centrado en la posici´on r se puede escribir como:

dN = ΦS(M, r)dV dM. (3.15)

En la ecuaci´on (3.15), la funci´on ΦS(M, r) encapsula dos tipos de informaci´on distintos. Por un lado, describe el n´umero de estrellas contenido en el volumen dV (es decir la densidad de estrellas en el punto r). Por otro lado, incorpora la descripci´on de la abundancia relativa de las estrellas como funci´on de su magnitud absoluta M . Es com´un separar estos dos aspectos, escribiendo

ΦS(M, r) = φS(M )n(r). (3.16) Aqu´ı, la funci´on n(r) describe solamente la densidad de estrellas en el punto r y se conoce como la funci´on de densidad, mientras que la funci´on φS(M ) solo describe la abundancia relativa de estrellas de diferentes magnitudes absolutas y se conoce como la funci´on de luminosidad. Es importante mencionar que la separaci´on de variables que expresa la ecuaci´on (3.16) implica que la funci´on de luminosidad es independiente de la posici´on. Est´a es una hip´otesis que hace- mos pero que podr´ıa no ser valida. Combinando las dos ecuaciones anteriores, obtenemos:

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dN = φS(M )dM n(r)dV. (3.17) La funci´on de luminosidad que aparece en las ecuaciones (3.16) y (3.17) es la funci´on de luminosidad para el tipo MK S considerado. Si contamos todas las estrellas independientemente de su tipo MK (es decir, si sumamos todos los tipos MK), obtenemos:

dN =X

S

φS(M )dM n(r)dV = φ(M )dM n(r)dV. (3.18) La funci´on φ(M ) definida de esta forma es lafunci´on de luminosidad general estelar.

Es importante notar que la funci´on de luminosidad es una funci´on de la magnitud absoluta (o de la luminosidad L; de ah´ı su nombre), de tal forma que los n´umeros dN en las ecuaciones (3.15), (3.17), y (3.18) corresponden a recuentos expresados como funci´on de M . En cambio, los recuentos descritos en la secci´on 3.1 son funciones de la magnitud aparente m. Veamos ahora como relacionar estas dos formulaciones.

La magnitud absoluta de una estrella se relaciona con su magnitud aparente mediante el modulo de distancias. Si incluimos el efecto del polvo y si suponemos que la extinci´on interestelar es una funci´on monot´onica, a(r), de la distancia a la estrella, podemos escribir esta relaci´on como:

m − M = 5 log10r − 5 + a(r). (3.19) En la practica, es valido suponer que la extinci´on es una funci´on monot´onica de la distancia si el ´angulo solido que consideramos es suficientemente peque˜no.

Consideremos un ´angulo solido Ω. Las estrellas de magnitud absoluta M lo- calizadas dentro de un peque˜no volumen dV = Ωr2dr de este ´angulo solido producir´an una cierta magnitud aparente m dada por la ecuaci´on (3.19). Por definici´on de la funci´on de luminosidad, el n´umero de estrellas con magnitud ab- soluta entre M y M + dM en el volumen dV es [φ(M )dM ].[n(r)dV ]. Todas estas estrellas producir´an una magnitud aparente m, dentro de un peque˜no rango dm.

Pero est´as no son las ´unicas estrellas que producir´an una magnitude aparente entre m y m + dm, sino que estrellas intr´ınsecamente m´as brillantes pero m´as lejanas y estrellas intr´ınsecamente m´as d´ebiles pero m´as cercanas tambi´en pueden producir magnitudes aparentes dentro de este rango. Formalmente, podemos es- cribir el numero total de estrellas que produciran una magnitud aparente entre m y m + dm como:

dN = Z

0

φ(M [m, r, a(r)])dM n(r)Ωr2dr. (3.20)

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En este ecuaci´on, escribimos M expl´ıcitamente como una funci´on de m, r, y a(r) para recordarnos que solo estamos considerando aquellas estrellas cuya combi- naci´on de M , r, y a(r) producen una magnitud aparente entre m y m + dm.

Utilizando el hecho de que |dM/dm| = 1 (ecuaci´on 3.19), obtenemos:

dN = Z

0

φ(M [m, r, a(r)]) n(r)Ωr2drdm. (3.21) Este es el n´umero total de estrellas con magnitud aparente entre m y m + dm en el angulo solido Ω, y corresponde justamente a lo que calculamos en la secci´on 3.1. As´ı, obtenemos la relaci´on entre las funciones de recuentos de la secci´on 3.1 y la funciones de densidad y de luminosidad:

A(m) = Z

0

φ(M [m, r, a(r)]) n(r)Ωr2dr. (3.22) En principio, la ecuaci´on (3.22) permite calcular las funciones de densidad y de luminosidad a partir de recuentos estelares, aunque esto es dif´ıcil en la practica porque dicha ecuaci´on es una ecuaci´on integral.

3.2.2 Funci´on de luminosidad estelar general

A partir de recuentos estelares llevados a cabo en la vecindad Solar, se puede determinar la funci´on de luminosidad general estelar definida en la secci´on 3.2.1.

Un ejemplo puede encontrarse en la Tabla 3.16 del libro de Binney & Merrifield (1998) que se muestra gr´aficamente en la parte izquierda de la Figura 3.2. Lo primero que podemos notar en esta grafica es que las estrellas m´as abundantes de la vecindad Solar son estrellas d´ebiles, con magnitudes visuales absolutas entre 12 y 16. Son, en su mayor´ıa, enanas K y M –estrellas menos masivas que el Sol. Las estrellas m´as luminosas son mucho menos abundantes; por ejemplo, las estrellas con Mv = 1 son 500 veces menos abundantes que las estrellas con Mv = 14. A bajas luminosidades, las funci´on de luminosidad se aplana, o empieza a disminuir.

Es importante mencionar, sin embargo, que esta parte de baja luminosidad de la funci´on de luminosidad es la m´as dif´ıcil de determinar y la m´as incierta. La determinaci´on de la funci´on de luminosidad a magnitudes a´un muy d´ebiles (MV mayor que 20) es un campo de investigaci´on particularmente activo, ya que los objetos que se encuentran en esta parte son objetos sub-estelares.

Vimos en el cap´ıtulo 2 que la luminosidad de las estrellas en la secuencia principal depende principalmente y fuertemente de su masa. Considerando la forma de la funci´on de luminosidad, vale la pena preguntarse cu´ales son las estrellas que m´as contribuyen a la luminosidad total, y cu´ales son las que dominan la masa, de la poblaci´on estelar en la vecindad Solar. La respuesta a esta pregunta depende claramente de un balance: las estrellas m´as masivas son individualmente masivas y muy luminosas, pero son pocas. La parte derecha de la Figura 3.2 muestra el comportamiento acumulativo de la luz y de la masa, como funci´on de MV. En un diagrama como este, las estrellas que m´as contribuyen corresponden a la mayor

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Fig. 3.2. Izquierda: Funci´on de luminosidad general de las estrellas en la vecindad Solar. El eje vertical corresponde al logaritmo del n´umero de estrellas por p´arsec c´ubico y se muestra como funci´on de la magnitud absoluta en la banda V . Derecha: Diagrama cumulativo del comportamiento de la luz integrada y de la masa total producidas por estrellas en la vecindad Solar.

pendiente de la curva, mientras una zona plana donde la funci´on acumulada se satura corresponde a estrellas que ya no contribuyen apreciablemente a la variable considerada (luz total o masa).

La Figura 3.2 demuestra que las estrellas que m´as contribuyen a la luz total tienen en promedio MV = 0; son principalmente estrellas B de secuencia principal, y gigantes M y K. La luz acumulada deja de aumentar alrededor de MV = 5, lo que indica que las estrellas m´as d´ebiles que este limite no contribuyen apreciablemente a la luz total generada por las estrellas en la vecindad Solar. En contraste, la masa estelar en la vecindad Solar est´a dominada por estrellas relativamente d´ebiles, con MV entre 3 y 15. Estas estrellas son principalmente estrellas G, K y M, de secuencia principal, con masas similares o menores que la del Sol (recuerda que MV para el Sol es 4.83). Estrellas menos luminosas que MV = 15 ya no contribuyen a la masa total.

En resumen, las estrellas que dominan la luz son las estrellas intr´ınsicamente brillantes, mientras que son estrellas de luminosidad modesta las que contribuyen mayormente a la masa total. Aunque esta conclusi´on se obtiene espec´ıficamente para la vecindad Solar, es muy probable que sea valida en la totalidad del disco Gal´actico, y en los discos de galaxias externas. Para los estudios extragal´acticos, es, de hecho, algo preocupante que la distribuci´on de luz no sea una indicaci´on directa de la distribuci´on de masa. No puede uno basarse en el brillo relativo de diferentes partes de una galaxia en im´agenes para inferir la distribuci´on de masa en dicha galaxia.

Sumando la contribuci´on de todas las estrellas en la vecindad Solar, uno obtiene que, en promedio, cada pc cubico en la vecindad Solar contiene 0.356 M y emite una luminosidad de 0.532 L . Esto implica, en particular, que el cociente de masa a luz es, en promedio de ΥV = 0.67 M /L . Esto puede adoptarse como el cociente de masa a luz t´ıpico de un disco gal´actico. Es, sin embargo un limite inferior al verdadero cociente de masa la luminosidad ya que solo toma

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en cuenta las estrellas detectadas en los sondeos realizados. Es probable que exista objetos adicionales (e.g. enanas blancas, objetos sub-estelares, etc.) que contribuyan poco a la luminosidad pero apreciablemente a la masa total, y que en su conjunto aumentar´ıan este valor.

3.2.3 Funci´on de luminosidad por tipo MK

Adem´as de la funci´on de luminosidad general, es interesante considerar la funci´on de luminosidad de cada tipo espec´ıfico de estrellas. Debido a que, al separar las estrellas en sus tipos espectrales MK, tendremos un n´umero mucho m´as reducido de estrellas, las funciones de luminosidad por tipo estelar tienen mayor incer- tidumbre que la funci´on de luminosidad general. T´ıpicamente, la forma de la funci´on de luminosidad si uno se restringe a un tipo MK espec´ıfico es gaussiana (Figura 3.3), centrada en una magnitud M0caracter´ıstica de la clase considerada.

La dispersi´on de esas distribuciones alrededor del valor central es t´ıpicamente 0.4 magnitudes, y resulta principalmente del hecho que las estrellas de un tipo dado abarcan un cierto intervalo de masas, y entonces de magnitudes.

Una caracter´ıstica que se observa de la Figura 3.3 es que estas distribuciones se encuentran sistem´aticamente sesgadas (skewed, en ingl´es) hacia magnitudes num´ericamente grandes. Es decir, las distribuciones no son sim´etricas respecto al valor donde se encuentra el m´aximo, sino que existe un exceso sistem´atico de estrellas d´ebiles respecto a las estrellas brillantes. En parte, este efecto se debe a que, a´un para un solo tipo espectral, hay siempre m´as estrellas d´ebiles que brillantes.

Fig. 3.3. Funci´on de luminosidad para 4 tipos MK distintos. Los histogramas punteados muestran los conteos reales, mientras que los histogramas continuos muestran los datos de- spu´es de corregir por el sesgo de Malmquist (ver tarea 3); las curvas son los mejores ajustes Gaussianos en cada caso.

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