UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA QUÍMICA

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA QUÍMICA

“Determinación de la temperatura óptima de salida del agua de enfriamiento de un condensador mediante un programa

computacional interactivo”

TESIS

PARA OPTAR EL TÍTULO DE INGENIERO QUÍMICO

AUTORES:

Br. HENRY HUÍMAN SOSA ASESOR:

Ing. GUILLERMO EVANGELISTA BENITES

TRUJILLO - PERÚ

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2008

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Química

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PRESENTACIÓN

SEÑORES CATEDRÁTICOS MIEMBROS DEL JURADO:

De conformidad con lo dispuesto en el Reglamento de Grados y Títulos de la Escuela Académico Profesional de Ingeniería Química de la Universidad Nacional de Trujillo, me es honroso presentar a consideración de vuestro elevado criterio el presente trabajo intitulado “Determinación de la temperatura óptima de salida del agua de enfriamiento de un condensador mediante un programa computacional interactivo”,

que sustentaré como tesis para obtener el título de Ingeniero Químico, si vuestro dictamen es favorable.

Trujillo, Enero del 2008

--- Br. Henry Huiman Sosa

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JURADO DICTAMINADOR

--- Ing. René Ramírez Ruiz

Presidente

--- Ms. Ing. Wilber Loyola Carranza

Secretario

--- Ms. Ing. Guillermo Evangelista Benites

Miembro

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DEDICATORIA

Agradezco a Dios por permitirme alcanzar una de mis metas y por su apoyo en los momentos difíciles.

A mis queridos padres:

José y Enma porque gracias a su amor, paciencia, apoyo y dedicación hoy logro

uno de mis objetivos a pesar de las dificultades, a ellos dedico los éxitos que

logre en mi carrera.

A mis hermanos:

Elver y Fanny por compartir

momentos de alegría y tristezas y por los consejos que alguna vez me brindaron.

HENRY

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AGRADECIMIENTO

Mi sincero agradecimiento a la persona del Ing. Guillermo Evangelista Benites, Asesor de al presente Tesis, por sus aportes y sugerencias para la realización de este Proyecto.

Asimismo, vaya el reconocimiento a los ingenieros de la Facultad de Ingeniería Química de la Universidad Nacional de Trujillo, que de una u otra forma colaboraron en el desarrollo de este tema.

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RESÚMEN

El objetivo principal del presente trabajo es determinar la temperatura óptima de salida del agua de enfriamiento de un condensador usando los métodos de optimización (sección dorada, Newton-Raphson, interpolación cuadrática) mediante un programa computacional interactivo

El programa computacional interactivo desarrollado “temperatura_optima” ha sido codificado en el lenguaje de programación Matlab 7.0. Este lenguaje es hoy en día una herramienta muy importante para ingenieros y científicos profesionales. La restricción impuesta en el desarrollo del software “temperatura_optima” puede ser modificado por el usuario, entrando a la codificación del mismo.

El método de optimización que alcanzó el resultado con menor número de iteraciones (seis) fue el método de interpolación cuadrática. También nos reporta un error porcentual de la temperatura óptima de salida del agua de enfriamiento (326,43 K) menor en 0,1% respecto al presentado por el libro de Orestes Mayo Abad (326,5 K).

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ABSTRACT

The main objective of this work is to determine the optimal temperature of the cooling water output of a condenser using the optimization methods (golden section, Newton- Raphson, quadratic interpolation) by means of an interactive computer program

The interactive computational program developed "temperatura_optima" has been codified in the programming language Matlab 7.0. This language is today a very important tool for professional engineers and scientists. The restriction imposed in the software development "temperatura_optima" can be modified by the user, entering the coding thereof.

The method of optimization that reached the result with the lowest number of iterations (six) was the quadratic interpolation method. It also reports a percentage error of the optimum cooling water outlet temperature (326.43 K), which is 0.1% lower than the one presented by the book by Orestes Mayo Abad (326.5 K).

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ÍNDICE

Pág.

CARÁTULA i

PRESENTACIÓN ii

JURADO DICTAMINADOR iii

DEDICATORIA iv

AGRADECIMIENTO v

RESUMEN vi

ÍNDICE vii

CAPÍTULO I: INTRODUCCIÓN 1

1.1 Realidad problemática, justificación e importancia del trabajo 1

1.2 Problema 5

1.3 Hipótesis 5

1.4 Objetivos 6

1.5 Fundamento teórico 6

1.5.1 Los inicios 6

1.5.2 La Optimización y la Ingeniería Química 8

1.5.3 Estrategia para la solución de un problema de optimización 9

1.5.4 La función objetivo 14

1.5.4.1 Criterios económicos 15

1.5.4.2 Criterios tecnológicos 15

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1.5.5 Estudio de sistema 16

1.5.5.1 Determinación de los grados de libertad de un sistema tecnológico 17

CAPÍTULO II: MATERIAL Y MÉTODOS 19

2.1 Material de estudio 19

2.2 Métodos y técnicas 20

2.2.1 Población 20

(a) Método de la Sección Dorada 20

(b) Método de Newton-Raphson 22

(c) Método de la Interpolación Cuadrática 23

2.2.2 Muestra 24

2.2.3 Variables 24

2.2.4 Procedimiento 25

CAPÍTULO III: RESULTADOS 28

CAPÍTULO IV: DISCUSIÓN 43

CAPÍTULO V: CONCLUSIONES 46

CAPÍTULO VI: RECOMENDACIONES 47

CAPÍTULO VII: BIBLIOGRAFÍA 48

ANEXOS 50

Programa principal 51

Programas secundarios 55

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CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN

1.1 Realidad problemática, justificación e importancia del trabajo.

El hombre siempre ha deseado obtener lo mejor o el máximo de lo bueno o lo menor o mínimo de lo malo. La palabra óptimo (del latín optimus) es el adjetivo superlativo de bueno y significa sumamente bueno, que no puede ser mejorado. El concepto de óptimo, aunque a veces se abusa de su significado, se ha convertido en un término técnico relacionado con mediciones cuantitativas y el análisis matemático, mientras que la palabra mejor se deja para cuestiones menos precisas. El verbo optimizar u optimar, con un sentido más profundo que mejorar, significa alcanzar el óptimo. Luego, la teoría de la optimización abarca el estudio cuantitativo del óptimo y los métodos para alcanzarlo. Dado que la optimización tiene que ver con la mejor forma de hacer las cosas, es lógico esperar que tenga muchas aplicaciones en el mundo real donde incluso pequeños cambios hacen la diferencia entre el éxito y el fracaso.

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Las producciones químicas de hoy en día se caracterizan por la alta complejidad y las multifacéticas operaciones del equipamiento que se utilizan en su elaboración. La alta calidad requerida por los productos de esta industria se puede obtener con un alto beneficio económico, mediante un diseño apropiado de los equipos, un planeamiento preciso de las operaciones a realizar y una observación rigurosa del régimen tecnológico determinado.

En la etapa actual dos de las tareas dentro de las más importantes de la ingeniería química son: la proyección óptima del proceso y el control óptimo del proceso, en este último caso debe considerarse la palabra control en su acepción más amplia. Es evidente que para la realización de estas tareas se requiere del conocimiento de las técnicas de optimización. En nuestros días, el volumen de las inversiones en la industria química es tan grande, que su disminución (o una recuperación más rápida de esta inversión), aunque fuese en un pequeño tanto por ciento, debida a la utilización de un equipamiento óptimamente diseñado y la selección óptima de sus condiciones de operación es altamente recomendable (Mayo, 1998).

La industria química y afín utiliza la optimización para ser más competitiva. Esta mejora normalmente lleva asociado un ahorro de costes (por ejemplo, al establecer la etapa de alimentación de una columna de destilación en función del consumo energético), una mayor eficacia de operación (por ejemplo, al fijar la temperatura de reacción que maximiza la conversión del producto principal y simultáneamente minimiza la conversión de los productos secundarios) o aspectos relacionados con la logística (por ejemplo, la industria farmacéutica debe garantizar la disponibilidad de ciertos medicamentos en todo momento, a la vez que debe gestionar sus materias primas y productos

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intermedios). Por lo tanto, queda claro que muchas de las decisiones que se toman en la operación de las plantas químicas están basadas en la aplicación de herramientas de optimización.

Los factores que han contribuido al espectacular auge en la aplicación de técnicas de optimización son:

1. Disponibilidad de ordenadores con una creciente capacidad de cálculo y el establecimiento de redes de ordenadores conectados entre sí.

2. Desarrollo de algoritmos matemáticos robustos para la optimización. La mayoría de los métodos matemáticos se desarrollaron en áreas como la investigación de operaciones y el análisis numérico, mientras que su aplicación a sistemas complejos, como los estudios en ingeniería química, fue más tardía.

3. La mejora en la predicción de los modelos de simulación de operaciones unitarias, junto con los de estimación económica, permite discernir entre alternativas similares (Puigjaner y otros, 2006).

Los ingenieros continuamente tienen que diseñar dispositivos y productos que realicen tareas de manera eficiente. Al hacerlo de esta manera, están restringidos por las limitaciones del mundo físico. Además, deben mantener costos bajos. Así, los ingenieros siempre se enfrentan a problemas de optimización que equilibren el funcionamiento y las limitaciones. Algunos ejemplos comunes son:

 Diseño de bombas y equipos de transferencia de calor con una máxima eficiencia.

 Redes de tubería óptimas.

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 Diseño de sistemas de tratamiento de residuos para cumplir con estándares de calidad del agua a bajo costo.

 Planeación del mantenimiento para minimizar costos.

 Minimización de tiempos de espera.

 Planeación de obras para el abastecimiento de agua, como presas, que permitan disminuir daños por inundación, mientras se obtienen máxima potencia hidráulica (Chapra y Canale, 2003).

El ingeniero químico participa, de una forma directa o indirecta, en otras tareas en las que requieren utilizar las técnicas de optimización tales como:

o El planeamiento óptimo de la producción de plantas multiproductos.

o La asignación de recursos y facilidades auxiliares para lograr una mayor eficiencia de la planta.

o El manejo de datos estadísticos para construir modelos de regresión.

o El planeamiento del mantenimiento de plantas.

o La mezcla de productos intermedios para la obtención de un producto final con la calidad requerida a un mínimo coste.

o El aprovechamiento óptimo de las fuentes energéticas (incluido el punto de vista exergético).

o La elaboración de los presupuestos, evaluación económica y cronogramas de construcción y puesta en marcha de plantas (Mayo, 1998).

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Justificación e Importancia del Trabajo

En nuestros días, el volumen de las inversiones en la industria química es tan grande, que su disminución (o una recuperación más rápida de esta inversión), aunque fuese en un pequeño tanto por ciento, debida a la utilización de un equipamiento óptimamente diseñado y la selección óptima de sus condiciones de operación es plenamente recomendado.

El auge de la computación y la disponibilidad cada vez mayor de máquinas computadoras de alta velocidad ha propiciado que las técnicas de optimización se hayan desarrollado y difundido en este y otros campos de aplicación (Carnahan, 1996). Se comprende, entonces, la conveniencia de aplicar técnicas de optimización para lograr la determinación de la temperatura óptima de salida del agua de enfriamiento de un condensador mediante un programa computacional interactivo.

1.2 Problema

¿En qué medida el programa computacional interactivo a desarrollar nos permite determinar la temperatura óptima de salida del agua de enfriamiento de un condensador?

1.3 Hipótesis

En general, la mayoría de las tareas de diseño, operación y análisis de plantas industriales y otros problemas asociados pueden resumirse en la determinación del mayor o menor valor de una función de una o varias variables. Es por ello, que en la práctica profesional del Ingeniero Químico están presentes, en muchas

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ocasiones, las técnicas de optimización en sus diferentes campos de aplicación.

Por lo que el desarrollo de un programa computacional interactivo nos permitirá lograr la determinación de la temperatura óptima de salida del agua de enfriamiento de un condensador.

1.4 Objetivos

a) Desarrollar un programa computacional interactivo de optimización de funciones de una sola variable.

b) Determinar la temperatura óptima de salida del agua de enfriamiento de un condensador.

c) Analizar críticamente los resultados para comprobar si el resultado tiene significado físico y si es coherente.

1.5 Fundamento Teórico

1.5.1 Los inicios

En 1710 Leibniz utilizó por primera vez la palabra optimum en su libro

“Teodisea: Ensayos sobre la justicia de Dios, la libertad del hombre y el origen del demonio”. En ella Leibniz señala como trataba, mediante herramientas matemáticas, de llegar a conclusiones sobre la creación del mundo. En este tratado se presenta, como un argumento importante, la necesidad de que la condición de óptimo debe ser probada, lo cual se mantiene hoy en día en cualquier aplicación de la optimización.

Euler, gran matemático del siglo XVIII, escribió “Dado que la fabrica del mundo es la más perfecta y fue establecida por el más sabio Creador, nada

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ocurre en este mundo donde no salga a relucir cierta razón de máximo o mínimo”. Tal generalización, difícil de aceptar aun viniendo de una gran autoridad como la de Euler, sin embargo, se produjo formulaciones simples de ciertas leyes complejas de la naturaleza. En esa época, las leyes de la mecánica se formularon en términos de principios de mínimo. El principio de la menor acción, defendido fuertemente por Euler, indujo a Lagrange a inventar el potencial cinético y más tarde, Gauss estableció a partir del principio de la menor resistencia, la igualdad entre las fuerzas externas e internas en la estática.

Hamilton, Astrónomo Real de Irlanda, planteó un principio del mínimo simple a partir del cual se podían obtener todas las leyes de la óptica conocidas hasta el momento. Muchas de las leyes de la termodinámica química se resumen al señalar que el equilibrio químico se obtiene cuando la energía libre de Gibbs es mínima.

El esfuerzo para encontrar principios óptimos no solo se dirigió a las ciencias exactas. Adam Smith trató de explicar los fenómenos económicos complejos de la Inglaterra del siglo XVIII en términos del hombre económico, que trata de actuar siempre para maximizar el beneficio personal.

Aunque la concepción filosófica del mundo según Euler es errada, le debemos a su genio la invención y desarrollo del cálculo de variaciones y, sin dudas, hoy se llenaría de gozo al conocer los trabajos de Bellman y Pontryagin.

Por lo tanto la teoría de la optimización no solo ha contribuido a la comprensión del hombre y la naturaleza sino también a la propia teoría de la optimización.

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1.5.2 La Optimización y la Ingeniería Química

Las producciones químicas de hoy en día se caracterizaban por la alta complejidad y las multifacéticas operaciones del equipamiento que se utilizan en su elaboración. La alta calidad requerida por los productos de esta industria se puede obtener con un alto beneficio económico, mediante un diseño apropiado de los equipos, un planeamiento preciso de las operaciones a realizar y una observación rigurosa del régimen tecnológico determinado.

En la etapa actual dos de las tareas dentro de las más importantes de la ingeniería química son: la proyección óptima del proceso, en este último caso debe considerarse la palabra control en su acepción más amplia. Es evidente que para la realización de estas tareas se requiere del conocimiento de las técnicas de optimización. En nuestros días, el volumen de las inversiones en la industria química es tan grande, que su disminución (o una recuperación más rápida de esta inversión), aunque fuese en un pequeño tanto por ciento, debida a la utilización de un equipamiento óptimamente diseñado y la selección óptima de sus condiciones de operación es altamente recomendable. Por otra parte, en el ámbito internacional se realizan grandes esfuerzos para lograr un desarrollo sustentable que permita el máximo aprovechamiento de los recursos naturales.

En este sentido se desarrollan tecnologías limpias en las que no se producen residuos industriales o en el peor de los casos estos son minimizados. El auge de la computación y la disponibilidad cada vez mayor de maquinas computadoras de alta velocidad ha propiciado que las técnicas de optimización se hayan desarrollado y difundido en este y otros campos de aplicación. Se comprende, entonces, la conveniencia de aplicar técnicas de optimización para lograr los propósitos anteriormente señalados.

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La mayoría de las tareas de diseño, operación y análisis de plantas industriales y otros problemas asociados pueden resumirse en la determinación del mayor o menor valor de una función de una o más variables. Es por ello, que en la práctica profesional de Ingeniero Químico están presentes en muchas ocasiones, las técnicas de optimización en sus diferentes campos de aplicación.

Estos problemas de optimización, aunque su planteamiento suele realizarse en términos simples se convierten ocasionalmente en tareas complejas para las cuales es necesario trazar un plan o estrategia para su solución.

1.5.3 Estrategia para la solución de un problema de optimización

La mayoría de los problemas reales tienen muchas soluciones y en algunos casos puede que sea un número infinito de soluciones. El propósito de la optimización es encontrar la mejor de estas basándose en algún criterio de efectividad o comportamiento. Un problema que solo admite una solución no necesita ser optimizado. La optimización puede llevarse a cabo siguiendo diferentes estrategias que abarcan desde procedimientos analíticos o numéricos avanzados hasta la aplicación inteligente de principios aritméticos simples. Si se asume que el problema esta definido de cierta forma la optimización puede llevarse a cabo de diferentes maneras, mediante:

 Métodos analíticos que utilizan técnicas del cálculo diferencial y del cálculo de variaciones, los cuales buscan un valor extremo de una función f(x) al hallar los valores de x que hacen que las derivadas de f(x) con respecto a x sean cero. En presencia de restricciones se usan los métodos

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de Lagrange y de las variaciones restringidas. Para la aplicación de los métodos analíticos el problema debe ser formulado en términos matemáticos. Estos métodos, en general, no son satisfactorios en los casos de problemas que presentan una gran no linealidad.

 Métodos numéricos que utilizan información determinada anteriormente de forma iterativa para generar una mejor solución. Pueden usarse para resolver los problemas que no pueden ser resueltos de forma analítica, lo cual es bastante común en la práctica real.

 Métodos gráficos que, mediante la elaboración de gráficas de la función, permiten determinar directamente el valor extremo por simple inspección.

Tienen la ventaja de ser elementales y que muestran el carácter del comportamiento de la función. Por razones obvias están limitados a problemas con una o dos variables.

 Métodos experimentales que se utilizan sin la necesidad de tener un modelo matemático, mediante la obtención de valores del criterio de efectividad a partir de la experimentación con el proceso real. A partir de un conjunto de experimentos es posible definir hacia donde se encuentra el valor extremo y proseguir la experimentación de manera tal que se mejoren los resultados.

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 Casos de estudio, lo que consiste en la elaboración de varias alternativas de solución del problema y dentro de ellas obtener la mejor. No hay garantía, por lo tanto, de que se llegue a una solución óptima. Esto es solo recomendable cuando la complejidad del problema sea muy alta, la disponibilidad de medios de cómputo sea baja o nula y se requiera tomar una decisión rápida.

Para la solución de una tarea de optimización no existe una estrategia universal que pueda ser aplicada a todo tipo de problemas. La que se propone a continuación parece ser la más acertada y consta de los siguientes pasos:

1. Analizar el proceso de manera tal que se puedan definir las variables del mismo y que características del proceso son de interés desde el punto de vista técnico-económico.

En este sentido se deben seguir los pasos siguientes:

 Examine las restricciones externas, tales como: el nivel de automatización existente o requerido por el proceso, el carácter del mercado para los productos (local, nacional o internacional), la disponibilidad y calidad de las materias primas y otros recursos, las condiciones geográficas y otros aspectos que sean independientes de la tecnología que se determine utilizar.

 Escoja el sistema o subsistema a optimizar, o sea, determine el esquema tecnológico y realice un análisis de las alternativas posibles.

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 Examine la estructura del sistema (interrelación entre sus elementos y corrientes). Con ella es posible definir las variables más importantes del sistema y las relaciones entre estas, las cuales tienen su origen en límites físicos (valores inferiores y superiores permisibles), balances de masa y energía y relaciones tecnológicas. Estas relaciones se conocen como restricciones internas.

2. Definir el criterio de optimización a utilizar y expresarlo como una función matemática de las variables del proceso.

Por ejemplo: MAX (Producción) o MIN (Costo)

Esta se conoce como la función objetivo del problema. En este paso se debe, además, desarrollar un modelo matemático que relacione las variables de entrada/salida, incluyendo todas las restricciones, las cuales pueden ser de dos tipos, de acuerdo con su representación matemática.

Restricciones de igualdad gj = gj(x1, x2, …, xn) = 0 Restricciones de desigualdad gj = gj(x1, x2, …, xn) < 0 Utilice el conocimiento del proceso y los principios físicos (balances de materiales y energía), relaciones empíricas, conceptos tecnológicos implícitos y restricciones que sean imprescindibles.

Existen en general, tres tipos de modelos de acuerdo con las fuentes de información a partir de las cuales se desarrollan:

 Modelos determinísticos o fenomenológicos (se desarrollan a partir de leyes físicas).

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 Modelos estocásticos o estadísticos (parten del diseño y correlación de datos experimentales).

 Modelos mixtos (combinación de los dos anteriores).

Siempre es conveniente simular el sistema, o sea obtener resultados del modelo y validarlo con datos reales del proceso. Esto puede realizarse mediante lenguajes de simulación de propósito general o especifico, ya sean profesionales o desarrollados por el equipo encargado de la tarea.

Si la formulación del problema es muy grande, es posible en algunos casos:

 Simplificar el modelo cuidando de no desvirtuar los resultados que de él se obtienen.

 Fraccionarlo en partes más pequeñas.

3. Determinar la solución óptima del problema mediante la aplicación de un método de optimización adecuado, de acuerdo con las características de este y analizar la racionalidad de la respuesta obtenida. Si los resultados no son satisfactorios se deberá revisar el planteamiento del problema, incluyendo variables y/o restricciones no consideradas anteriormente.

4. De ser satisfactorios los resultados, entonces examine la sensibilidad de estos. Esto permite conocer como se verán afectados los resultados ante cambios de la función objetivo o de las restricciones.

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Figura 1.1 Estrategia de solución de un problema de optimización.

1.5.4 La función objetivo

En los campos de la ingeniería, la economía y las ciencias físicas, el analista se encuentra frecuentemente con la problemática de optimizar arreglos complejos de equipos, operaciones, circuitos o procesos. Su deseo es el de minimizar o maximizar cierta función, llamada la función objetivo. Esta se encuentra asociada a un criterio bien definido de efectividad que puede ser de tipo económico o netamente tecnológico. Dentro del primer tipo suelen ser los más importantes: el beneficio o ganancia que se obtiene por la realización del objeto de la optimización y el retorno sobre la inversión requerida para su implementación. El segundo tipo normalmente proviene de una simplificación de un planteamiento económico, como es el caso de los productos con un alto valor agregado, donde lo que interesa es obtener la mayor productividad o la

Identificar el problema Recolectar datos Establecer el problema

Formular modelo (s) Seleccionar modelo (s)

Validar modelo (s)

Realizar el análisis de Sensibilidad de la solución

Optimizar Analizar validez

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mayor pureza del producto. En ambos casos deben tomarse en cuenta ciertas consideraciones que se exponen mas adelante.

1.5.4.1 Criterios económicos

Para un proceso existente donde ya se realizó una inversión o su monto no es considerable, el objetivo usual es el de maximizar la ganancia económica por:

G = Ingresos – Egresos

Generalmente, los ingresos se deben a las ventas de la producción realizada y los egresos a los costos de producción. Cuando el volumen de las ventas es fijo, es evidente que el objetivo se cumple de manera similar mediante la minimización de los costos de producción, con lo que se obtiene un ahorro, y aun en este caso algunos elementos del mismo, como por ejemplo el relacionado con los salarios, que pueden mantenerse constantes y se deben eliminar del análisis con lo que se simplifica la función objetivo. En general, los diferentes criterios de efectividad económica rinden soluciones óptimas diferentes, por lo que es conveniente realizar un análisis comparativo de los resultados obtenidos por cada uno de ellos.

1.5.4.2 Criterios tecnológicos

Como se mencionó, ciertos criterios económicos pueden ser reducidos a una forma tecnológica equivalente, que incluyen parámetros

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de diseño o de operación tales como: el volumen, el peso o el área de un equipo, el tiempo de residencia, el flujo de una corriente, el rendimiento de una reacción o el contenido de impurezas en un producto. Existen algunos casos donde el objetivo es netamente técnico, generalmente asociados a métodos estadísticos o matemáticos, como el ajuste de una superficie de respuesta a un conjunto de datos experimentales para obtener el óptimo en cuestión. En general, se debe asegurar que la relación del objetivo técnico o tecnológico con el objetivo económico sea irrefutable.

1.5.5 Estudio del sistema

Cuando se estudia un sistema, que pudiera estar integrado por un conjunto de equipos de una industria, y se desea llevar a acabo su optimización, es necesario conocer qué variables pueden ser manipuladas y en qué orden deben ser realizados los cálculos del conjunto de las ecuaciones involucradas.

En todo diseño existen variables independientes y dependientes. Estas últimas se pueden calcular a partir de las primeras. Las variables independientes pueden seleccionarse de forma racional o arbitrariamente y su número o cantidad recibe el nombre de grados de libertad, el cual define cuántas variables pueden ser manipuladas en los cálculos. La selección de estas variables y la representación posterior de estas en un diagrama de flujo de información se exponen a continuación.

La estructura modular es la forma más evidente de representar un sistema. Los grandes sistemas se caracterizan por presentar un número de componentes o subsistemas (módulos) fácilmente identificables y aislables, que

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pueden estar formados por uno o varios equipos, los cuales interaccionan para realizar una función de conjunto, como por ejemplo, la producción del azúcar, la producción de derivados del petróleo, fertilizantes, productos farmacéuticos y otros. Tales sistemas no son simples aglomeraciones de equipos que actúan independientemente, sino que se encuentran interrelacionados, y con un alto grado de independencia, de manera que la operación de cada componente depende en gran medida del resto de los componentes, como ya se verá en los sistemas secuenciales.

Para llevar a cabo una estrategia adecuada en la optimización de un sistema es necesario conocer su estructura de información. Para ello es necesario determinar en cada componente las variables de entrada, ya sean datos independientes o resultados procedentes de otro componente, las variables de diseño y las variables de salida o calculadas en el componente.

En todo diseño existen ciertas variables que no están especificadas y deben ser ajustadas por el diseñador. Sin embargo, en muchas ocasiones se toman los valores que, producto de la experiencia dan buenos resultados cuando lo correcto es optimizar la operación del proceso de manera que se obtenga del mismo el máximo beneficio económico.

1.5.5.1 Determinación de los grados de libertad de un sistema tecnológico Para la determinación de los grados de libertad de un proceso dado, se deben listar todas las variables de cada componente del sistema y las relaciones existentes entre estas. Las relaciones entre variables o relaciones de diseño pueden venir dadas por ecuaciones, programas de computadora,

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recomendaciones de fabricantes, tablas, gráficos, datos de una planta piloto, criterios de especialistas experimentados o cualquier otra fuente de información.

Las relaciones de diseño son N fuentes de información independientes, es decir, que cualquier relación que pueda derivarse de otras ya consideradas debe eliminarse.

Si existen N relaciones de diseño, de M variables del sistema, se pueden definir los grados de libertad, F por:

F = M – N

De lo anterior se derivan tres casos:

1. N > M El número de relaciones de diseño es mayor que el número de variables y se puede señalar que el problema no ha sido bien formulado y el sistema de ecuaciones no puede resolverse. Por consiguiente, es recomendable una revisión de la formulación del problema.

2. N = M No existe ningún grado de libertad y hay un número finito de valores para las variables que satisfacen las relaciones de diseño. La solución puede ser única o no y en este último caso se escoge entre estas la mejor. Cuando no hay grados de libertad no se tiene un problema de optimización.

3. N < M El sistema posee grados de libertad y puede ser optimizado. El caso en que algunas de las variables pueden ser manipuladas para lograr algún fin específico.

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CAPÍTULO II

MATERIAL Y MÉTODOS

La presente investigación, se realizó en el Laboratorio de Simulación y Control de Procesos, en la Sección de Operaciones Unitarias y en la oficina del asesor, de la Facultad de Ingeniería Química de la Universidad Nacional de Trujillo.

2.1 Material de estudio

a. Software desarrollado “temperatura _optima” codificado en el lenguaje de programación Matlab 7.0

b. Computadora Pentium IV

Velocidad del procesador : 2.8 GHz Memoria RAM : 256 Mb

Capacidad del Disco Duro : 80 Gb c. Impresora hp deskjet 3420

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2.2 Métodos y técnicas

2.2.1 Población

(a) MÉTODO DE LA SECCIÓN DORADA

Al resolver para la raíz de sólo una ecuación no lineal, la meta fue la de encontrar la variable x que diera cero en la función f(x). La optimización de una sola variable tiene como meta encontrar el valor de x que generará un extremo, ya sea un máximo o un mínimo de f(x).

La búsqueda de la sección dorada es una técnica simple de búsqueda de una sola variable de propósito general. Es similar en esencia al enfoque de la bisección para localizar raíces.

La clave para hacer eficiente este procedimiento es la mejor elección de los puntos intermedios. Esta meta se puede alcanzar al especificar que las siguientes dos condiciones se cumplan.

… (2 - 1)

…(2 - 2)

Sustituyendo la primera ecuación en la segunda tenemos:

…(2 - 3)

Si tomamos el reciproco y R = l /l , se llega a

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… (2 - 4)

… (2 - 5)

la cual se puede resolver para la raíz positiva

Algoritmo

1.- Dados dos puntos iniciales xl y xu, tales que xu > xl y exista un máximo.

2.- Se escogen dos puntos interiores x1 y x2 de acuerdo con la razón dorada,

d = R(xu – xl) … (2 - 6) x1 = xl + d … (2 - 7) x2 = xu - d … (2 - 8)

3.- La función se evalúa en los puntos interiores es decir x1, x2, xu, y xl

 Si f(x1) es mayor que f(x2) entonces hacemos xl = x2;

 Si no xu = x1;

4.- Repetir los pasos 2 y 3 hasta convergencia.

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(b) MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

El objetivo de este método es calcular el máximo o mínimo de una función, haciendo uso de una aproximación cuadrática dada por la serie de Taylor. Dicha aproximación cuadrática es:



₀



⁰



₀



²

0

0 2

) ( ' ) '

( ' ) ( )

( f x x x

x x x f x f x

q     

…(2 - 9)

El máximo o mínimo de la función q(x) lo calculamos haciendo q’(x) = 0. Haciendo esto obtenemos

 

) ( ' '

) ( '

0 )

( ' ' ) ( '

0 0 0

0 0

0

x f

x x f

x

x x x f x f







 … (2 - 10)

… (2 - 11)

Note que la ecuación resultante es muy similar a la utilizada en el método de Newton Raphson si la función f(x) es sustituida por f’(x).

Algoritmo

1.- Dado un valor inicial x0 y una función cuyas primera y segunda derivada existan.

2.- Calculamos la i-ésima aproximación utilizando la fórmula siguiente:

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''( ) ) ( '

1 1 1



  



i i i

i f x

x x f

x

… (2 - 12) 3.- Repetimos el paso dos hasta convergencia.

(c) MÉTODO DE LA INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA

La interpolación cuadrática tiene la ventaja del hecho que un polinomio de segundo orden con frecuencia proporciona una buena aproximación a la forma de f(x) cercana un óptimo.

Este método al igual que el de Muller hacen una aproximación cuadrática de un polinomio, así f(x) = Ax² + Bx + C. Para esta función el mínimo o máximo se localiza en

A x B

B dx Ax

x df

2

0 ) 2

(







 … (2 - 13)

… (2 -14)

Se puede mostrar que después de un manejo algebraico el valor de x3 que minimiza la ecuación es:

           

^]

[

2 ₀ ₁ ₂ ₁ ₂ ₀ ₂ ₀ ₁

2 1 2 0 2 2

0 2 2 1 2

2 2 1 0

3 f x x x f x x x f x x x

x x x f x x x f x x x x f

















 

… (2 - 15)

Algoritmo

1.- Dados tres puntos x0, x1 y x2 dentro de los cuales existe un mínimo

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(33)

y x0 < x1 < x2

2.- Calculamos la aproximación cuadrática y su mínimo x3 utilizando la ecuación anterior.

3.- Si x0 < x3 < x1, los nuevos puntos de búsqueda son x0, x3 y x1, si no el intervalo de búsqueda es x1, x3 y x2

4.- Se repiten los pasos hasta que la diferencia entre x0 y x2 sea pequeña.

2.2.2 Muestra

Para efectos de aplicar el software “temperatura_optima” y discutir las soluciones numéricas para problemas de determinación de la temperatura óptima de salida del agua de enfriamiento de un condensador mediante un programa computacional interactivo, se considera un condensador que utiliza agua de enfriamiento disponible a la temperatura de 294 K para la condensación total del vapor saturado M que se encuentra a 350 K.

2.2.3 Variables:

Dependientes: Temperatura óptima de salida del agua de enfriamiento.

Independientes: Costo unitario del agua de enfriamiento, horas de operación al año, flujo del vapor que condensa, costo unitario del condensador, factor de depreciación y mantenimiento.

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(34)

2.2.4 Procedimiento:

El valor de la temperatura de salida del agua de enfriamiento, t2, influye en el diseño del condensador, ya que a mayor valor de t2, menor será el flujo de agua necesaria y menor será el costo variable asociado con el consumo de esta facilidad auxiliar, de acuerdo con:



a

/

W

v

C W H

C 

… (2 - 16) y



₂ ₁

 C  t

₂

t

₁



M t

t C W Q

pw

 

  

… (2 - 17) Donde:

Cv : Costos variables. $/año

Cw : Costo variable unitario del agua de enfriamiento, $25,60/1000 m³ W : Flujo del agua de enfriamiento, kg/h

Ha : Horas de operación al año, 6000 h/año  : Densidad del agua, 1000 kg/m³

Q : Flujo de calor transferido, J/h

Cpw: Calor especifico del agua, 4,2 kJ/kg.K M : Flujo del vapor que condensa, 2268 kg/h

 : Calor de condensación del vapor, 4,65x10⁵ J/kg

Por otra parte, a mayor valor de t2, menor será el área de transferencia de calor y menor será el costo fijo asociado con la depreciación y mantenimiento del condensador, dado por:

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(35)

DM C

F

C A f

C 

… (2 - 18)

 

 







 

2 1 1 2

ln T t t T

t U t

A M 

… (2 - 19) Donde:

Cf : Costos fijos, $/año

Cc : Costo unitario del condensador, $ 366/m² A : Área de transferencia de calor, m²

fDM: Factor de depreciación y mantenimiento, 0,20/año

U : Coeficiente global de transferencia de calor, 284 J/m².s.K

La suma de ambos términos permite determinar el diseño óptimo del condensador y rinde la función objetivo siguiente:

F

V

C

C C  

… (2 - 20)

D M C

a

W

W H C A f

C  C 



… (2 - 21)

Reemplazando ecuaciones (2) y (4) en ecuación (6)

    ^ _ ^  ^ _ ^



 

 

2 1 1

2 1

2

ln T t t T t

t U

M f C t

t C

M H

C C

^C ^DM

PW a

W







… (2 -22)

Esta es una función de t2 solamente, debido a que las demás variables son constantes. Además, se considera unimodal ya que esta

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(36)

conformada por la suma de dos términos: el primero monótono creciente y el segundo monótono decreciente

T t

t

₁



₂



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(37)

CAPÍTULO III RESULTADOS

Los resultados que a continuación se presentan corresponden al ejemplo 4.2 página 4.15 del texto Técnicas Básicas de Optimización (Mayo, 1998).

Considere un condensador que utiliza agua de enfriamiento disponible a la temperatura de 294 K para la condensación total del vapor saturado M que se encuentra a 350 K, según se muestra esquemáticamente en la siguiente figura:

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(38)

Gráfica Nº 1: Pantalla de Presentación

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(39)

Gráfica Nº 2: Pantalla de ingreso de datos y selección del método de la Sección Dorada

Gráfica Nº 3: Pantalla de resultados

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(40)

Reporte de resultados

DETERMINACIÓN DE LA TEMPERATURA ÓPTIMA DE SALIDA DEL AGUA DE ENFRIAMIENTO DE UN CONDENSADOR

POR EL MÉTODO DE LA SECCIÓN DORADA

================================================

Ingreso de datos ---

Temperatura supuesta de salida del agua de enfriamiento, 300.00 K Costo variable unitario del agua de enfriamiento, 0.02560 $/m^3 Horas de operación al año, 6000.00 h/año

Flujo del vapor que condensa, 2268.00 kg/h

Calor de condensación del vapor, 465000.00 kJ/kg

Densidad del agua, 1000.00 kg/m^3

Calor específico del agua, 4.20 kJ/kg.K

Temperatura de entrada del agua de enfriamiento, 294.00 K Costo unitario del condensador, 366.00 $/m^2

Factor de depreciación y mantenimiento, 0.20 año^(-1) Temperatura del vapor saturado, 350.00 K

Coeficiente global de transferencia de calor, 284.00 J/m^2.h.K

BÚSQUEDA DE LA SECCIÓN DORADA

============================================================

i xL f(xL) xU f(xU) d

============================================================

1 295.00 39929.48 349.00 6227.46 33.37 2 315.63 3487.47 349.00 6227.46 20.63 3 315.63 3487.47 336.25 3422.70 12.75 4 323.50 3222.44 336.25 3422.70 7.88 5 323.50 3222.44 331.38 3256.11 4.87 6 323.50 3222.44 328.37 3212.03 3.01 7 325.36 3206.57 328.37 3212.03 1.86 8 325.36 3206.57 327.22 3205.46 1.15 9 326.07 3204.43 327.22 3205.46 0.71 10 326.07 3204.43 326.79 3204.42 0.44 11 326.35 3204.17 326.79 3204.42 0.27 12 326.35 3204.17 326.62 3204.23 0.17 13 326.35 3204.17 326.51 3204.17 0.10 14 326.41 3204.16 326.51 3204.17 0.06 15 326.41 3204.16 326.47 3204.16 0.04 16 326.41 3204.16 326.45 3204.16 0.02 17 326.43 3204.16 326.45 3204.16 0.02 18 326.43 3204.16 326.44 3204.16 0.01

============================================================

Temperatura óptima de salida del agua de enfriamiento: t2 = 326.43 K Costo mínimo de operación del condensador: C = $ 3204.16/año

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(41)

Gráfica Nº 4: Opción para ejecutar nuevamente el software “temperatura_optima”

Gráfica Nº 5: Pantalla de ingreso de datos y selección del método de Newton Raphson

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(42)

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(43)

POR EL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

================================================

Temperatura supuesta de salida del agua de enfriamiento, 300.00 K

Costo variable unitario del agua de enfriamiento, 0.02560 $/m^3

Horas de operación al año, 6000.00 h/año

Temperatura de entrada del agua de enfriamiento, 294.00 K

Costo unitario del condensador, 366.00 $/m^2

Factor de depreciación y mantenimiento, 0.20 año^(-1)

Temperatura del vapor saturado, 350.00 K

RESULTADOS ---

===================================================

i to f(to) f´(to) f´´(to)

===================================================

1 300.00 7854.34 -1057.37 357.49 2 302.96 5774.91 -465.50 107.74 3 307.28 4443.68 -201.55 33.47 4 313.30 3651.66 -82.61 11.47 5 320.50 3281.61 -27.23 5.33 6 325.61 3205.57 -3.46 4.23 7 326.43 3204.16 -0.02 4.19

===================================================

Temperatura óptima de salida del agua de enfriamiento: t2 = 326.43 K Costo mínimo de operación del condensador: C = $ 3204.16/año

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Gráfica Nº 7: Pantalla de ingreso de datos y selección del método de Interpolación Cuadrática

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(45)

POR EL MÉTODO DE INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA

================================================

Temperatura supuesta de salida del agua de enfriamiento, 300.00 K

Costo variable unitario del agua de enfriamiento, 0.02560 $/m^3

Horas de operación al año, 6000.00 h/año

Temperatura de entrada del agua de enfriamiento, 294.00 K

Costo unitario del condensador, 366.00 $/m^2

Factor de depreciación y mantenimiento, 0.20 año^(-1)

Temperatura del vapor saturado, 350.00 K

INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA

========================

=============================================================

i to t1 t2 t3 f(t3)

=============================================================

1 295.00 300.00 349.00 324.64 3210.96 2 300.00 324.64 349.00 327.10 3205.10 3 324.64 327.10 349.00 326.08 3204.42 4 324.64 326.08 327.10 326.44 3204.16 5 326.08 326.44 327.10 326.43 3204.16 6 326.08 326.43 326.44 326.43 3204.16

=============================================================

Temperatura óptima de salida del agua de enfriamiento: t2 = 326.43 K

Costo mínimo de operación del condensador: C = $ 3204.16/año

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(46)

Gráfica Nº 9: Efecto del incremento del vapor que condensa (Flujo del vapor que condensa, M = 2468 kg/h)

Gráfica Nº 10: Pantalla de resultados (Flujo del vapor que condensa, M = 2468 kg/h)

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(47)

Gráfica Nº 11: Efecto del incremento del vapor que condensa (Flujo del vapor que condensa, M = 2668 kg/h)

Gráfica Nº 12: Pantalla de resultados (Flujo del vapor que condensa, M = 2668 kg/h)

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(48)

Gráfica Nº 13: Efecto de la disminución de la temperatura de entrada del agua de enfriamiento

(Temperatura de entrada del agua de enfriamiento, t1 = 290 K)

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(49)

Gráfica Nº 15: Efecto de la disminución de la temperatura de entrada del agua de enfriamiento

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(50)

Gráfica Nº 17: Efecto del incremento de la temperatura del vapor saturado (Temperatura del vapor saturado, T = 355 K)

Gráfica Nº 18: Pantalla de resultados (Temperatura del vapor saturado, T = 355 K)

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(51)

Gráfica Nº 19: Efecto del incremento de la temperatura del vapor saturado (Temperatura del vapor saturado, T = 360 K)

Gráfica Nº 20: Pantalla de resultados (Temperatura del vapor saturado, T = 360 K)

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(52)

CAPÍTULO IV DISCUSIÓN

El programa computacional interactivo “temperatura_optima”, codificado en el lenguaje de programación Matlab 7.0, permite determinar la temperatura óptima de salida del agua de enfriamiento de un condensador.

Al programa “temperatura_optima” se le debe suministrar los siguientes datos:

Parámetros de operación:

o Costo variable unitario del agua de enfriamiento, $/m³ o Horas de operación al año, h/año

o Flujo del vapor que condensa, M

o Temperatura de entrada del agua de enfriamiento, K o Costo unitario del condensador, $/m²

o Factor de depreciación y mantenimiento, año^-1 o Temperatura del vapor saturado, K

o Coeficiente global de transferencia de calor, J/m².h.K

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(53)

Constantes:

o Calor de condensación del vapor, kJ/kg o Densidad del agua, kg/m³

o Calor específico del agua, kJ/kg.K

Valor supuesto para la iteración:

o Temperatura supuesta de salida del agua de enfriamiento, K

Se hicieron 7 corridas del software “temperatura_optima” para diferentes valores de flujo del vapor que condensa, temperatura de entrada del agua de enfriamiento y temperatura del vapor saturado cuyos resultados nos permiten afirmar que:

1. De los resultados presentados en las Gráficas Nº 8, 10 y 12 empleando el método de la Interpolación Cuadrática, se observa que al incrementar flujo del vapor que condensa no influye en el valor de la temperatura de salida del agua de enfriamiento y se aprecia un incremento del 8,82% en el costo mínimo de operación del condensador para el primer caso y 17,64% para el segundo caso.

2. De los resultados presentados en las Gráficas Nº 8, 14 y 16 empleando el método de la Interpolación Cuadrática, se observa que al disminuir la temperatura de entrada del agua de enfriamiento se aprecia una disminución del 0,52% en el valor de la temperatura de salida del agua de enfriamiento para el primer caso y 1,03% para el segundo caso. Además decrece en un

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(54)

6,67 % en el costo mínimo de operación del condensador para el primer caso y 12,50 % para el segundo caso.

3. De los resultados presentados en las Gráficas Nº 8, 18 y 20 empleando el método de la Interpolación Cuadrática, se observa que al incrementar la temperatura del vapor saturado se aprecia un incremento del 0,89 % en el valor de la temperatura de salida del agua de enfriamiento para el primer caso y 1,78 % para el segundo caso. Además se aprecia una disminución del 8,20 % en el costo mínimo de operación del condensador para el primer caso y 15,15 % para el segundo caso.

4. De los resultados obtenidos por el software “temperatura_optima”

presentados en la gráfica Nº 8, y los reportados por Orestes Mayo (1998), hay una pequeñísima variación de la temperatura de salida del agua de enfriamiento.

5. El método de optimización que alcanzó el resultado con menor número de iteraciones fue el método de Interpolación Cuadrática, la cual se tomó como base para la elaboración de la Tabla N° 1.

Tabla Nº 1: Temperatura óptima de salida del agua de enfriamiento, K y costo mínimo de operación del condensador, $/año

Libro de

Orestes Mayo Abad Software “temperatura_optima” Porcentaje de variación

326,5 K 326,43 K 0,021 %

$ 3204,17 $ 3204,16 0,00031 %

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(55)

CAPÍTULO V CONCLUSIONES

1. El error porcentual de la temperatura óptima obtenida por el programa computacional interactivo (software) “temperatura_optima” usando el método de interpolación cuadrática, es menor en 0,1% respecto al presentado por el libro de Orestes Mayo Abad.

2. Este software nos permitirá minimizar los costos de operación de condensación en las industrias de procesos del país.

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(56)

CAPÍTULO VI

RECOMENDACIONES

1. Para tesis futuras se recomienda tomar como base los métodos de optimización utilizados en esta investigación.

2. También se recomienda extender este programa para casos en que se utilicen otros métodos de optimización.

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(57)

CAPÍTULO VII BIBLIOGRAFÍA

1. Báez, D. 2006. MATLAB con aplicaciones a la Ingeniería, Física y Finanzas.

Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C.V. México.

2. Cengel, Y. 2004. Transferencia de Calor. Segunda Edición. McGraw- Hill/Interamericana Editores, S.A. de C.V. México.

3. Chapra, S. y Canale, R. 2003. Métodos Numéricos para Ingenieros. Cuarta Edición. McGraw-Hill Interamericana. México.

4. Gilat, A. 2006. Matlab Una introducción con ejemplos prácticos. Editorial Reverté, S.A. España.

5. Happel, J. y Jordan, D. 1981. Economía de los Procesos Químicos. Editorial Reverté, S.A. España.

6. Jiménez G., A. 2003.Diseño de procesos en Ingeniería Química. Editorial Reverté, S.A. España.

7. Mathews, J. and Fink, K. 1999. Numerical Methods Using Matlab. Third Edition. Prentice-Hall. USA