Vectores continuos: funciones de densidad condicionadas

Vectores continuos: funciones de densidad condicionadas

Supongamos que X = (X₁, . . . , X_n) es un vector aleatorio continuo y se conoce el valor de una serie de componentes del vector; por ejemplo, se sabe que X_i1 = x_i1, . . . , X_ik = x_ik. Esta informaci´on puede afectar a la distribuci´on del resto de las componentes de X, dando lugar a la denominada distribuci´on condicionada de (X₁, . . . , X_i1−1, X_i1+1, . . . , X_ik−1, X_ik+1, . . . , X_n) dado X_i1 = x_i1, . . . , X_ik = x_ik.

continuo pero, a diferencia del caso discreto, no pueden deducirse de la definici´on de probabilidad condicionada de sucesos ya que, en este caso, el suceso al que se condiciona es de probabilidad nula:

Vectores continuos: funciones de densidad condicionadas

Supongamos que X = (X₁, . . . , X_n) es un vector aleatorio continuo y se conoce el valor de una serie de componentes del vector; por ejemplo, se sabe que X_i1 = x_i1, . . . , X_ik = x_ik. Esta informaci´on puede afectar a la distribuci´on del resto de las componentes de X, dando lugar a la denominada distribuci´on condicionada de (X₁, . . . , X_i1−1, X_i1+1, . . . , X_ik−1, X_ik+1, . . . , X_n) dado X_i1 = x_i1, . . . , X_ik = x_ik.

Como probamos a continuaci´on, las distribuciones condicionadas para un vector continuo son tambi´en de tipo continuo pero, a diferencia del caso discreto, no pueden deducirse de la definici´on de probabilidad condicionada de sucesos ya que, en este caso, el suceso al que se condiciona es de probabilidad nula:

P (X_i1 = x_i1, . . . , X_ik = x_ik) = 0.

continuo pero, a diferencia del caso discreto, no pueden deducirse de la definici´on de probabilidad condicionada de sucesos ya que, en este caso, el suceso al que se condiciona es de probabilidad nula:

P (X_i1 = x_i1, . . . , X_ik = x_ik) = 0.

Para deducir la distribuci´on condicionada, debe usarse un procedimiento l´ımite que ilustramos a continuaci´on para el caso bidimensional.

Vectores continuos: funciones de densidad condicionadas

Supongamos que X = (X₁, . . . , X_n) es un vector aleatorio continuo y se conoce el valor de una serie de componentes del vector; por ejemplo, se sabe que X_i1 = x_i1, . . . , X_ik = x_ik. Esta informaci´on puede afectar a la distribuci´on del resto de las componentes de X, dando lugar a la denominada distribuci´on condicionada de (X₁, . . . , X_i1−1, X_i1+1, . . . , X_ik−1, X_ik+1, . . . , X_n) dado X_i1 = x_i1, . . . , X_ik = x_ik.

Como probamos a continuaci´on, las distribuciones condicionadas para un vector continuo son tambi´en de tipo continuo pero, a diferencia del caso discreto, no pueden deducirse de la definici´on de probabilidad condicionada de sucesos ya que, en este caso, el suceso al que se condiciona es de probabilidad nula:

P (X_i1 = x_i1, . . . , X_ik = x_ik) = 0.

Para deducir la distribuci´on condicionada, debe usarse un procedimiento l´ımite que ilustramos a continuaci´on para el caso bidimensional.

Proposici´on

continuo pero, a diferencia del caso discreto, no pueden deducirse de la definici´on de probabilidad condicionada de sucesos ya que, en este caso, el suceso al que se condiciona es de probabilidad nula:

P (X_i1 = x_i1, . . . , X_ik = x_ik) = 0.

Para deducir la distribuci´on condicionada, debe usarse un procedimiento l´ımite que ilustramos a continuaci´on para el caso bidimensional.

Proposici´on

Sea X = (X₁, X₂) un vector aleatorio bidimensional con funci´on de densidad f_X y marginales f_X1 y f_X2. Si x₂ es un punto de continuidad de f_X2 tal que f_X2(x₂) > 0, y (x₁, x₂) es un punto de continuidad de f_X, se tiene:

∃ l´ım

ε→0⁺ P (X₁ ≤ x₁/x₂ − ε < X₂ ≤ x₂+ ε) = Z x1

−∞

f_X(t₁, x₂) f_X2(x₂) dt₁.

Vectores continuos: funciones de densidad condicionadas

Supongamos que X = (X₁, . . . , X_n) es un vector aleatorio continuo y se conoce el valor de una serie de componentes del vector; por ejemplo, se sabe que X_i1 = x_i1, . . . , X_ik = x_ik. Esta informaci´on puede afectar a la distribuci´on del resto de las componentes de X, dando lugar a la denominada distribuci´on condicionada de (X₁, . . . , X_i1−1, X_i1+1, . . . , X_ik−1, X_ik+1, . . . , X_n) dado X_i1 = x_i1, . . . , X_ik = x_ik.

Como probamos a continuaci´on, las distribuciones condicionadas para un vector continuo son tambi´en de tipo continuo pero, a diferencia del caso discreto, no pueden deducirse de la definici´on de probabilidad condicionada de sucesos ya que, en este caso, el suceso al que se condiciona es de probabilidad nula:

P (X_i1 = x_i1, . . . , X_ik = x_ik) = 0.

Para deducir la distribuci´on condicionada, debe usarse un procedimiento l´ımite que ilustramos a continuaci´on para el caso bidimensional.

Proposici´on

Sea X = (X₁, X₂) un vector aleatorio bidimensional con funci´on de densidad f_X y marginales f_X1 y f_X2. Si x₂ es un punto de continuidad de f_X2 tal que f_X2(x₂) > 0, y (x₁, x₂) es un punto de continuidad de f_X, se tiene:

∃ l´ım

ε→0⁺ P (X₁ ≤ x₁/x₂ − ε < X₂ ≤ x₂+ ε) = Z x1

−∞

f_X(t₁, x₂) f_X2(x₂) dt₁. Demostraci´on:

continuo pero, a diferencia del caso discreto, no pueden deducirse de la definici´on de probabilidad condicionada de sucesos ya que, en este caso, el suceso al que se condiciona es de probabilidad nula:

P (X_i1 = x_i1, . . . , X_ik = x_ik) = 0.

Para deducir la distribuci´on condicionada, debe usarse un procedimiento l´ımite que ilustramos a continuaci´on para el caso bidimensional.

Proposici´on

Sea X = (X₁, X₂) un vector aleatorio bidimensional con funci´on de densidad f_X y marginales f_X1 y f_X2. Si x₂ es un punto de continuidad de f_X2 tal que f_X2(x₂) > 0, y (x₁, x₂) es un punto de continuidad de f_X, se tiene:

∃ l´ım

ε→0⁺ P (X₁ ≤ x₁/x₂ − ε < X₂ ≤ x₂+ ε) = Z x1

−∞

f_X(t₁, x₂) f_X2(x₂) dt₁. Demostraci´on:

En primer lugar notamos que, puesto que x₂ es un punto de continuidad de f_X2, la funci´on de distribuci´on F_X2 es derivable en x₂ y, puesto que su derivada en dicho punto es positiva (f_X2(x₂) > 0), se tiene que x₂ es un punto de crecimiento de F_X2. Por lo tanto:

Vectores continuos: funciones de densidad condicionadas

Supongamos que X = (X₁, . . . , X_n) es un vector aleatorio continuo y se conoce el valor de una serie de componentes del vector; por ejemplo, se sabe que X_i1 = x_i1, . . . , X_ik = x_ik. Esta informaci´on puede afectar a la distribuci´on del resto de las componentes de X, dando lugar a la denominada distribuci´on condicionada de (X₁, . . . , X_i1−1, X_i1+1, . . . , X_ik−1, X_ik+1, . . . , X_n) dado X_i1 = x_i1, . . . , X_ik = x_ik.

Como probamos a continuaci´on, las distribuciones condicionadas para un vector continuo son tambi´en de tipo continuo pero, a diferencia del caso discreto, no pueden deducirse de la definici´on de probabilidad condicionada de sucesos ya que, en este caso, el suceso al que se condiciona es de probabilidad nula:

P (X_i1 = x_i1, . . . , X_ik = x_ik) = 0.

Para deducir la distribuci´on condicionada, debe usarse un procedimiento l´ımite que ilustramos a continuaci´on para el caso bidimensional.

Proposici´on

Sea X = (X₁, X₂) un vector aleatorio bidimensional con funci´on de densidad f_X y marginales f_X1 y f_X2. Si x₂ es un punto de continuidad de f_X2 tal que f_X2(x₂) > 0, y (x₁, x₂) es un punto de continuidad de f_X, se tiene:

∃ l´ım

ε→0⁺ P (X₁ ≤ x₁/x₂ − ε < X₂ ≤ x₂+ ε) = Z x1

−∞

f_X(t₁, x₂) f_X2(x₂) dt₁. Demostraci´on:

En primer lugar notamos que, puesto que x₂ es un punto de continuidad de f_X2, la funci´on de distribuci´on F_X2 es derivable en x₂ y, puesto que su derivada en dicho punto es positiva (f_X2(x₂) > 0), se tiene que x₂ es un punto de crecimiento de F_X2. Por lo tanto:

P (x₂− ε < X₂ ≤ x₂+ ε) = F_X(x₂+ ε) − F_X(x₂− ε) > 0, ∀ε > 0.

De esta forma, todas las probabilidades condicionadas que aparecen en el enunciado tienen sentido. Vamos a calcularlas:

P (X₁ ≤ x₁/x₂− ε < X₂ ≤ x₂+ ε) = P (X₁ ≤ x₁, x₂− ε < X₂ ≤ x₂+ ε)

P (x₂− ε < X₂ ≤ x₂+ ε) = F_X(x₁, x₂ + ε) − F_X(x₁, x₂− ε) F_X2(x₂ + ε) − F_X2(x₂− ε) =

De esta forma, todas las probabilidades condicionadas que aparecen en el enunciado tienen sentido. Vamos a calcularlas:

P (X₁ ≤ x₁/x₂− ε < X₂ ≤ x₂+ ε) = P (X₁ ≤ x₁, x₂− ε < X₂ ≤ x₂+ ε)

P (x₂− ε < X₂ ≤ x₂+ ε) = F_X(x₁, x₂ + ε) − F_X(x₁, x₂− ε) F_X2(x₂ + ε) − F_X2(x₂− ε) =

= [F_X(x₁, x₂+ ε) − F_X(x₁, x₂− ε)] /2ε [F_X2(x₂+ ε) − F_X2(x₂− ε)] /2ε ·

Ya que (x1, x2) es punto de continuidad de fX, la funci´on de distribuci´on FX es derivable en (x1, x2), lo que garantiza la existencia del l´ımite del numerador:

Ya que (x1, x2) es punto de continuidad de fX, la funci´on de distribuci´on FX es derivable en (x1, x2), lo que garantiza la existencia del l´ımite del numerador:

∃ l´ım

ε→0⁺

F_X(x₁, x₂+ ε) − F_X(x₁, x₂− ε)

2ε = ∂F_X(x₁, x₂)

∂x₂ = ∂

∂x₂

Z x2

−∞

Z x1

−∞

fX(t1, t2)dt1dt2



= Z x1

−∞

fX(t1, x2)dt1.

De esta forma, todas las probabilidades condicionadas que aparecen en el enunciado tienen sentido. Vamos a calcularlas:

P (X₁ ≤ x₁/x₂− ε < X₂ ≤ x₂+ ε) = P (X₁ ≤ x₁, x₂− ε < X₂ ≤ x₂+ ε)

P (x₂− ε < X₂ ≤ x₂+ ε) = F_X(x₁, x₂ + ε) − F_X(x₁, x₂− ε) F_X2(x₂ + ε) − F_X2(x₂− ε) =

= [F_X(x₁, x₂+ ε) − F_X(x₁, x₂− ε)] /2ε [F_X2(x₂+ ε) − F_X2(x₂− ε)] /2ε ·

Ya que (x1, x2) es punto de continuidad de fX, la funci´on de distribuci´on FX es derivable en (x1, x2), lo que garantiza la existencia del l´ımite del numerador:

∃ l´ım

ε→0⁺

F_X(x₁, x₂+ ε) − F_X(x₁, x₂− ε)

2ε = ∂F_X(x₁, x₂)

∂x₂ = ∂

∂x₂

Z x2

−∞

Z x1

−∞

fX(t1, t2)dt1dt2



= Z x1

−∞

fX(t1, x2)dt1. De forma similar, puesto que x₂ es punto de continuidad de f_X2, la funci´on de distribuci´on F_X2 es derivable en x₂ y existe el l´ımite del denominador:

Ya que (x1, x2) es punto de continuidad de fX, la funci´on de distribuci´on FX es derivable en (x1, x2), lo que garantiza la existencia del l´ımite del numerador:

∃ l´ım

ε→0⁺

F_X(x₁, x₂+ ε) − F_X(x₁, x₂− ε)

2ε = ∂F_X(x₁, x₂)

∂x₂ = ∂

∂x₂

Z x2

−∞

Z x1

−∞

fX(t1, t2)dt1dt2



= Z x1

−∞

fX(t1, x2)dt1. De forma similar, puesto que x₂ es punto de continuidad de f_X2, la funci´on de distribuci´on F_X2 es derivable en x₂ y existe el l´ımite del denominador:

∃ l´ım

ε→0⁺

FX2(x2+ ε) − FX2(x2− ε)

2ε = dFX2(x2)

dx₂ = fX2(x2).

De esta forma, todas las probabilidades condicionadas que aparecen en el enunciado tienen sentido. Vamos a calcularlas:

P (X₁ ≤ x₁/x₂− ε < X₂ ≤ x₂+ ε) = P (X₁ ≤ x₁, x₂− ε < X₂ ≤ x₂+ ε)

P (x₂− ε < X₂ ≤ x₂+ ε) = F_X(x₁, x₂ + ε) − F_X(x₁, x₂− ε) F_X2(x₂ + ε) − F_X2(x₂− ε) =

= [F_X(x₁, x₂+ ε) − F_X(x₁, x₂− ε)] /2ε [F_X2(x₂+ ε) − F_X2(x₂− ε)] /2ε ·

Ya que (x1, x2) es punto de continuidad de fX, la funci´on de distribuci´on FX es derivable en (x1, x2), lo que garantiza la existencia del l´ımite del numerador:

∃ l´ım

ε→0⁺

F_X(x₁, x₂+ ε) − F_X(x₁, x₂− ε)

2ε = ∂F_X(x₁, x₂)

∂x₂ = ∂

∂x₂

Z x2

−∞

Z x1

−∞

fX(t1, t2)dt1dt2



= Z x1

−∞

fX(t1, x2)dt1. De forma similar, puesto que x₂ es punto de continuidad de f_X2, la funci´on de distribuci´on F_X2 es derivable en x₂ y existe el l´ımite del denominador:

∃ l´ım

ε→0⁺

FX2(x2+ ε) − FX2(x2− ε)

2ε = dFX2(x2)

dx₂ = fX2(x2).

Consecuentemente, existe el l´ımite del cociente y es el cociente de los l´ımites, de donde resulta la expresi´on

que se quiere demostrar. 

Ya que (x1, x2) es punto de continuidad de fX, la funci´on de distribuci´on FX es derivable en (x1, x2), lo que garantiza la existencia del l´ımite del numerador:

∃ l´ım

ε→0⁺

F_X(x₁, x₂+ ε) − F_X(x₁, x₂− ε)

2ε = ∂F_X(x₁, x₂)

∂x₂ = ∂

∂x₂

Z x2

−∞

Z x1

−∞

fX(t1, t2)dt1dt2



= Z x1

−∞

fX(t1, x2)dt1. De forma similar, puesto que x₂ es punto de continuidad de f_X2, la funci´on de distribuci´on F_X2 es derivable en x₂ y existe el l´ımite del denominador:

∃ l´ım

ε→0⁺

FX2(x2+ ε) − FX2(x2− ε)

2ε = dFX2(x2)

dx₂ = fX2(x2).

Consecuentemente, existe el l´ımite del cociente y es el cociente de los l´ımites, de donde resulta la expresi´on

que se quiere demostrar. 

Bas´andonos en el resultado de la proposici´on, a todo punto de continuidad de f_X2 verificando f_X2(x₂) > 0 asociamos la siguiente funci´on:

De esta forma, todas las probabilidades condicionadas que aparecen en el enunciado tienen sentido. Vamos a calcularlas:

P (X₁ ≤ x₁/x₂− ε < X₂ ≤ x₂+ ε) = P (X₁ ≤ x₁, x₂− ε < X₂ ≤ x₂+ ε)

P (x₂− ε < X₂ ≤ x₂+ ε) = F_X(x₁, x₂ + ε) − F_X(x₁, x₂− ε) F_X2(x₂ + ε) − F_X2(x₂− ε) =

= [F_X(x₁, x₂+ ε) − F_X(x₁, x₂− ε)] /2ε [F_X2(x₂+ ε) − F_X2(x₂− ε)] /2ε ·

Ya que (x1, x2) es punto de continuidad de fX, la funci´on de distribuci´on FX es derivable en (x1, x2), lo que garantiza la existencia del l´ımite del numerador:

∃ l´ım

ε→0⁺

F_X(x₁, x₂+ ε) − F_X(x₁, x₂− ε)

2ε = ∂F_X(x₁, x₂)

∂x₂ = ∂

∂x₂

Z x2

−∞

Z x1

−∞

fX(t1, t2)dt1dt2



= Z x1

−∞

fX(t1, x2)dt1. De forma similar, puesto que x₂ es punto de continuidad de f_X2, la funci´on de distribuci´on F_X2 es derivable en x₂ y existe el l´ımite del denominador:

∃ l´ım

ε→0⁺

FX2(x2+ ε) − FX2(x2− ε)

2ε = dFX2(x2)

dx₂ = fX2(x2).

Consecuentemente, existe el l´ımite del cociente y es el cociente de los l´ımites, de donde resulta la expresi´on

que se quiere demostrar. 

Bas´andonos en el resultado de la proposici´on, a todo punto de continuidad de f_X2 verificando f_X2(x₂) > 0 asociamos la siguiente funci´on:

f_X1/X2=x2 : R −→ R

x₁ 7−→ f_X1/X2=x2(x₁) = f_X(x₁, x₂) f_X2(x₂) ·

Esta funci´on satisface:

Es no negativa (cociente de funciones de densidad).

Esta funci´on satisface:

Es no negativa (cociente de funciones de densidad).

Es integrable (lo es, por la proposici´on, en todo intervalo de la forma (−∞, x₁], siendo (x₁, x₂) un punto de continuidad de f_X).

Z +∞

−∞

f_X1/X2=x2(x₁)dx₁ = 1

Z +∞

−∞

f_X(x₁, x₂) f_X2(x₂) dx₁ =

R+∞

−∞ fX(x1, x2)dx1

f_X2(x₂) = f_X2(x₂) f_X2(x₂) = 1.

!

↑

funci´on de densidad marginal

↑

funci´on de densidad marginal

Entonces, por la aplicaci´on del teorema de correspondencia a vectores continuos, f_X1/X2=x2 es una funci´on de densidad en R. La distribuci´on correspondiente a esta funci´on de densidad es la denominada distribuci´on de X₁ condicionada a X₂ = x₂.

Esta funci´on satisface:

Es no negativa (cociente de funciones de densidad).

Es integrable (lo es, por la proposici´on, en todo intervalo de la forma (−∞, x₁], siendo (x₁, x₂) un punto de continuidad de f_X).

Z +∞

−∞

f_X1/X2=x2(x₁)dx₁ = 1

Z +∞

−∞

f_X(x₁, x₂) f_X2(x₂) dx₁ =

R+∞

−∞ fX(x1, x2)dx1

f_X2(x₂) = f_X2(x₂) f_X2(x₂) = 1.

!

↑

funci´on de densidad marginal

Entonces, por la aplicaci´on del teorema de correspondencia a vectores continuos, f_X1/X2=x2 es una funci´on de densidad en R. La distribuci´on correspondiente a esta funci´on de densidad es la denominada distribuci´on de X₁ condicionada a X₂ = x₂.

Se deduce que la funci´on de densidad condicionada se obtiene como el cociente entre la funci´on de densidad conjunta y la marginal de la variable a la que se condiciona. A partir de ahora, usaremos la siguiente notaci´on convencional para dicha funci´on:

f_X1/X2=x2(x₁) = f (x₁/x₂), ∀x₁ ∈ R.

↑

funci´on de densidad marginal

Entonces, por la aplicaci´on del teorema de correspondencia a vectores continuos, f_X1/X2=x2 es una funci´on de densidad en R. La distribuci´on correspondiente a esta funci´on de densidad es la denominada distribuci´on de X₁ condicionada a X₂ = x₂.

Se deduce que la funci´on de densidad condicionada se obtiene como el cociente entre la funci´on de densidad conjunta y la marginal de la variable a la que se condiciona. A partir de ahora, usaremos la siguiente notaci´on convencional para dicha funci´on:

f_X1/X2=x2(x₁) = f (x₁/x₂), ∀x₁ ∈ R.

Extensi´on a vectores de dimensi´on arbitraria

Esta funci´on satisface:

Es no negativa (cociente de funciones de densidad).

Es integrable (lo es, por la proposici´on, en todo intervalo de la forma (−∞, x₁], siendo (x₁, x₂) un punto de continuidad de f_X).

Z +∞

−∞

f_X1/X2=x2(x₁)dx₁ = 1

Z +∞

−∞

f_X(x₁, x₂) f_X2(x₂) dx₁ =

R+∞

−∞ fX(x1, x2)dx1

f_X2(x₂) = f_X2(x₂) f_X2(x₂) = 1.

!

↑

funci´on de densidad marginal

Entonces, por la aplicaci´on del teorema de correspondencia a vectores continuos, f_X1/X2=x2 es una funci´on de densidad en R. La distribuci´on correspondiente a esta funci´on de densidad es la denominada distribuci´on de X₁ condicionada a X₂ = x₂.

Se deduce que la funci´on de densidad condicionada se obtiene como el cociente entre la funci´on de densidad conjunta y la marginal de la variable a la que se condiciona. A partir de ahora, usaremos la siguiente notaci´on convencional para dicha funci´on:

f_X1/X2=x2(x₁) = f (x₁/x₂), ∀x₁ ∈ R.

Extensi´on a vectores de dimensi´on arbitraria

Sea X = (X₁, . . . , X_n) un vector aleatorio continuo, y (X_i1, . . . , X_ik) un subvector con funci´on de densidad f_i1,...,ik. Si (x_i1, . . . , x_ik) es un punto de continuidad de f_i1,...,ik tal que f_i1,...,ik(x_i1, . . . , x_ik) > 0, la distribu- ci´on condicionada (X₁, . . . , X_i1−1, X_i1+1, . . . , X_ik−1, X_ik+1, . . . , X_n) dado X_i1 = x_i1, . . . , X_ik = x_ik es de tipo continuo, y su funci´on de densidad, definida sobre R^n−k, est´a dada por

f (x₁, . . . , x_i1−1, x_i1+1, . . . , x_ik−1, x_ik+1, . . . , x_n/x_i1, . . . , x_ik) = f_X(x₁, . . . , x_n) f_i1,...,ik(x_i1, . . . , x_ik)·

Ejemplo: Sea (X₁, X₂) un vector aleatorio con funci´on de densidad f (x₁, x₂) = 2, 0 < x₁ < x₂ < 1. Calcular las funciones de densidad condicionadas, funciones de distribuci´on condicionadas y

P (X1 ≥ 0.3/X2 = 0.5), P (X2 ≥ 0.5/X1 = 0.5).

• Distribuci´on de X₁ condicionada a X₂ = x₂

f (x₁, . . . , x_i1−1, x_i1+1, . . . , x_ik−1, x_ik+1, . . . , x_n/x_i1, . . . , x_ik) = f_X(x₁, . . . , x_n) f_i1,...,ik(x_i1, . . . , x_ik)·

Ejemplo: Sea (X₁, X₂) un vector aleatorio con funci´on de densidad f (x₁, x₂) = 2, 0 < x₁ < x₂ < 1. Calcular las funciones de densidad condicionadas, funciones de distribuci´on condicionadas y

P (X1 ≥ 0.3/X2 = 0.5), P (X2 ≥ 0.5/X1 = 0.5).

• Distribuci´on de X₁ condicionada a X₂ = x₂ Funci´on densidad marginal de X₂:

• Distribuci´on de X₁ condicionada a X₂ = x₂ Funci´on densidad marginal de X₂:

f_X2(x₂) = Z +∞

−∞

f (x₁, x₂)dx₁ =









 Z x2

0

2dx₁ = 2x₂ x₂ ∈ (0, 1)

0 x₂ ∈ (0, 1)./

f (x₁, . . . , x_i1−1, x_i1+1, . . . , x_ik−1, x_ik+1, . . . , x_n/x_i1, . . . , x_ik) = f_X(x₁, . . . , x_n) f_i1,...,ik(x_i1, . . . , x_ik)·

Ejemplo: Sea (X₁, X₂) un vector aleatorio con funci´on de densidad f (x₁, x₂) = 2, 0 < x₁ < x₂ < 1. Calcular las funciones de densidad condicionadas, funciones de distribuci´on condicionadas y

P (X1 ≥ 0.3/X2 = 0.5), P (X2 ≥ 0.5/X1 = 0.5).

• Distribuci´on de X₁ condicionada a X₂ = x₂ Funci´on densidad marginal de X₂:

f_X2(x₂) = Z +∞

−∞

f (x₁, x₂)dx₁ =









 Z x2

0

2dx₁ = 2x₂ x₂ ∈ (0, 1)

0 x₂ ∈ (0, 1)./

Esto indica que s´olo se puede condicionar a valores de X₂ en el intervalo (0, 1).

• Distribuci´on de X₁ condicionada a X₂ = x₂ Funci´on densidad marginal de X₂:

f_X2(x₂) = Z +∞

−∞

f (x₁, x₂)dx₁ =









 Z x2

0

2dx₁ = 2x₂ x₂ ∈ (0, 1)

0 x₂ ∈ (0, 1)./

Esto indica que s´olo se puede condicionar a valores de X₂ en el intervalo (0, 1).

Funci´on de densidad condicionada de X₁ a X₂ = x₂, x₂ ∈ (0, 1) :

f (x₁, . . . , x_i1−1, x_i1+1, . . . , x_ik−1, x_ik+1, . . . , x_n/x_i1, . . . , x_ik) = f_X(x₁, . . . , x_n) f_i1,...,ik(x_i1, . . . , x_ik)·

Ejemplo: Sea (X₁, X₂) un vector aleatorio con funci´on de densidad f (x₁, x₂) = 2, 0 < x₁ < x₂ < 1. Calcular las funciones de densidad condicionadas, funciones de distribuci´on condicionadas y

P (X1 ≥ 0.3/X2 = 0.5), P (X2 ≥ 0.5/X1 = 0.5).

• Distribuci´on de X₁ condicionada a X₂ = x₂ Funci´on densidad marginal de X₂:

f_X2(x₂) = Z +∞

−∞

f (x₁, x₂)dx₁ =









 Z x2

0

2dx₁ = 2x₂ x₂ ∈ (0, 1)

0 x₂ ∈ (0, 1)./

Esto indica que s´olo se puede condicionar a valores de X₂ en el intervalo (0, 1).

Funci´on de densidad condicionada de X₁ a X₂ = x₂, x₂ ∈ (0, 1) :

f (x₁/x₂) = f_X(x₁, x₂)

fX2(x2) = f_X(x₁, x₂) 2x2

=





 1

x₂ x₁ ∈ (0, x₂) 0 x₁ ∈ (0, x/ ₂).

Funci´on de distribuci´on condicionada de X₁ a X₂ = x₂, x₂ ∈ (0, 1) :

F (x₁/x₂) = Z x1

−∞

f (t₁/x₂)dt₁ =



















0 x₁ < 0

Z x1

0

1

x₂dt₁ = x₁

x₂ x₁ ∈ [0, x₂)

1 x₁ ≥ x₂.

P (X₁ ≥ 0.3/X₂ = 0.5):

Funci´on de distribuci´on condicionada de X₁ a X₂ = x₂, x₂ ∈ (0, 1) :

F (x₁/x₂) = Z x1

−∞

f (t₁/x₂)dt₁ =



















0 x₁ < 0

Z x1

0

1

x₂dt₁ = x₁

x₂ x₁ ∈ [0, x₂)

1 x₁ ≥ x₂.

P (X₁ ≥ 0.3/X₂ = 0.5):

Notemos que el suceso al que se condiciona es de probabilidad nula (X₂ es una variable continua) y, por tanto, esta probabilidad debe entenderse referida a la distribuci´on condicionada de X₁ a X₂ = 0.5, cuya funci´on de densidad es

f (x₁/x₂ = 0.5) =







2 x1 ∈ (0, 0.5) 0 x₁ ∈ (0, 0.5)./

P (X₁ ≥ 0.3/X₂ = 0.5):

Notemos que el suceso al que se condiciona es de probabilidad nula (X₂ es una variable continua) y, por tanto, esta probabilidad debe entenderse referida a la distribuci´on condicionada de X₁ a X₂ = 0.5, cuya funci´on de densidad es

f (x₁/x₂ = 0.5) =







2 x1 ∈ (0, 0.5) 0 x₁ ∈ (0, 0.5)./ Por tanto:

Funci´on de distribuci´on condicionada de X₁ a X₂ = x₂, x₂ ∈ (0, 1) :

F (x₁/x₂) = Z x1

−∞

f (t₁/x₂)dt₁ =



















0 x₁ < 0

Z x1

0

1

x₂dt₁ = x₁

x₂ x₁ ∈ [0, x₂)

1 x₁ ≥ x₂.

P (X₁ ≥ 0.3/X₂ = 0.5):

Notemos que el suceso al que se condiciona es de probabilidad nula (X₂ es una variable continua) y, por tanto, esta probabilidad debe entenderse referida a la distribuci´on condicionada de X₁ a X₂ = 0.5, cuya funci´on de densidad es

f (x₁/x₂ = 0.5) =







2 x1 ∈ (0, 0.5) 0 x₁ ∈ (0, 0.5)./ Por tanto:

P (X₁ ≥ 0.3/X₂ = 0.5) = Z +∞

0.3

f (x₁/x₂ = 0.5)dx₁ = Z 0.5

0.3

2dx₁ = 0.4.

P (X₁ ≥ 0.3/X₂ = 0.5):

Notemos que el suceso al que se condiciona es de probabilidad nula (X₂ es una variable continua) y, por tanto, esta probabilidad debe entenderse referida a la distribuci´on condicionada de X₁ a X₂ = 0.5, cuya funci´on de densidad es

f (x₁/x₂ = 0.5) =







2 x1 ∈ (0, 0.5) 0 x₁ ∈ (0, 0.5)./ Por tanto:

P (X₁ ≥ 0.3/X₂ = 0.5) = Z +∞

0.3

f (x₁/x₂ = 0.5)dx₁ = Z 0.5

0.3

2dx₁ = 0.4.

• Distribuci´on condicionada de X₂ a X₁ = x₁

Funci´on de distribuci´on condicionada de X₁ a X₂ = x₂, x₂ ∈ (0, 1) :

F (x₁/x₂) = Z x1

−∞

f (t₁/x₂)dt₁ =



















0 x₁ < 0

Z x1

0

1

x₂dt₁ = x₁

x₂ x₁ ∈ [0, x₂)

1 x₁ ≥ x₂.

P (X₁ ≥ 0.3/X₂ = 0.5):

Notemos que el suceso al que se condiciona es de probabilidad nula (X₂ es una variable continua) y, por tanto, esta probabilidad debe entenderse referida a la distribuci´on condicionada de X₁ a X₂ = 0.5, cuya funci´on de densidad es

f (x₁/x₂ = 0.5) =







2 x1 ∈ (0, 0.5) 0 x₁ ∈ (0, 0.5)./ Por tanto:

P (X₁ ≥ 0.3/X₂ = 0.5) = Z +∞

0.3

f (x₁/x₂ = 0.5)dx₁ = Z 0.5

0.3

2dx₁ = 0.4.

• Distribuci´on condicionada de X₂ a X₁ = x₁ Funci´on densidad marginal de X₁:

fX1(x1) = Z +∞

−∞

f (x1, x2)dx2 =









 Z 1

x1

2dx₂ = 2 − 2x₁ x₁ ∈ (0, 1)

0 x₁ ∈ (0, 1)./

Esto indica que s´olo se puede condicionar a valores de X₂ en el intervalo (0, 1).

fX1(x1) = Z +∞

−∞

f (x1, x2)dx2 =









 Z 1

x1

2dx₂ = 2 − 2x₁ x₁ ∈ (0, 1)

0 x₁ ∈ (0, 1)./

Esto indica que s´olo se puede condicionar a valores de X₂ en el intervalo (0, 1).

Funci´on de densidad de X₂ a X₁ = x₁, x₁ ∈ (0, 1):

f (x₂/x₁) = f_X(x₁, x₂)

f_X1(x₁) = f_X(x₁, x₂) 2 − 2x₁ =





 1

1 − x₁ x₂ ∈ (x₁, 1) 0 x₂ ∈ (x/ ₁, 1).

f (x₂/x₁) = f_X(x₁, x₂)

f_X1(x₁) = f_X(x₁, x₂) 2 − 2x₁ =





 1

1 − x₁ x₂ ∈ (x₁, 1) 0 x₂ ∈ (x/ ₁, 1).

Funci´on de distribuci´on condicionada de X2 a X1 = x1, x1 ∈ (0, 1):

fX1(x1) = Z +∞

−∞

f (x1, x2)dx2 =









 Z 1

x1

2dx₂ = 2 − 2x₁ x₁ ∈ (0, 1)

0 x₁ ∈ (0, 1)./

Esto indica que s´olo se puede condicionar a valores de X₂ en el intervalo (0, 1).

Funci´on de densidad de X₂ a X₁ = x₁, x₁ ∈ (0, 1):

f (x₂/x₁) = f_X(x₁, x₂)

f_X1(x₁) = f_X(x₁, x₂) 2 − 2x₁ =





 1

1 − x₁ x₂ ∈ (x₁, 1) 0 x₂ ∈ (x/ ₁, 1).

Funci´on de distribuci´on condicionada de X2 a X1 = x1, x1 ∈ (0, 1):

F (x₂/x₁) = Z x2

−∞

f (t₂/x₁)dt₂ =



















0 x₂ < x₁

Z x2

x1

1

1 − x₁dt₂ = x2− x1

1 − x₁ x₂ ∈ [x₁, 1)

1 x₂ ≥ 1.

f (x₂/x₁) = f_X(x₁, x₂)

f_X1(x₁) = f_X(x₁, x₂) 2 − 2x₁ =





 1

1 − x₁ x₂ ∈ (x₁, 1) 0 x₂ ∈ (x/ ₁, 1).

Funci´on de distribuci´on condicionada de X2 a X1 = x1, x1 ∈ (0, 1):

F (x₂/x₁) = Z x2

−∞

f (t₂/x₁)dt₂ =



















0 x₂ < x₁

Z x2

x1

1

1 − x₁dt₂ = x2− x1

1 − x₁ x₂ ∈ [x₁, 1)

1 x₂ ≥ 1.

P (X₂ ≥ 0.5/X₁ = 0.5) :

fX1(x1) = Z +∞

−∞

f (x1, x2)dx2 =









 Z 1

x1

2dx₂ = 2 − 2x₁ x₁ ∈ (0, 1)

0 x₁ ∈ (0, 1)./

Esto indica que s´olo se puede condicionar a valores de X₂ en el intervalo (0, 1).

Funci´on de densidad de X₂ a X₁ = x₁, x₁ ∈ (0, 1):

f (x₂/x₁) = f_X(x₁, x₂)

f_X1(x₁) = f_X(x₁, x₂) 2 − 2x₁ =





 1

1 − x₁ x₂ ∈ (x₁, 1) 0 x₂ ∈ (x/ ₁, 1).

Funci´on de distribuci´on condicionada de X2 a X1 = x1, x1 ∈ (0, 1):

F (x₂/x₁) = Z x2

−∞

f (t₂/x₁)dt₂ =



















0 x₂ < x₁

Z x2

x1

1

1 − x₁dt₂ = x2− x1

1 − x₁ x₂ ∈ [x₁, 1)

1 x₂ ≥ 1.

P (X₂ ≥ 0.5/X₁ = 0.5) : Ya que

f (x₂/x₁ = 0.5) =







2 x₂ ∈ (0.5, 1) 0 x2 ∈ (0.5, 1)./

se tiene:

P (X₂ ≥ 0.5/X₁ = 0.5) = Z +∞

0.5

f (x₂/x₁ = 0.5)dx₂ = Z 1

0.5

2dx₂ = 1.