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IDEOLOGÍA Y MATEMATICAS: EL INFINITO

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IDEOLOGÍA Y MATEMATICAS: EL INFINITO

Costa Reparaz, E.

Otto López, B. de Universidad de Oviedo

RESUMEN

El infinito es un concepto que todos utilizamos y nunca nos paramos a pensar sobre él. Existen numerosas acepciones, algunas no solo contrarias, sino contradictorias entre si, y es preciso, por lo menos señalar su existencia y su significado.

Desde Euclides, que no quería y evitaba utilizar la palabra infinito y la sustituía por “lo que no tiene fin” y frases parecidas, hasta Cantor, con la “creación” de la aritmética de los números transfinitos.

Son numerosas las ideas relacionadas con el infinito, actualidad y potencialidad, existencia del continuo, distintos tamaños de infinito, lo muy grande y lo muy pequeño, Dios, el todo...

Y, en la ciencia Económica, ¿podemos utilizar el infinito?. ¿Tiene sentido hablar del infinito en un mundo (el económico) cambiante.

Palabras clave: Infinito, continuo, infinito actual y potencial, transfinitos.

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1. INTRODUCCIÓN

El infinito puede entenderse según varias acepciones que muchas veces son incompatibles entre sí, involucran juicios de valor o hipótesis no explicitadas ni deseadas.

Para introducirnos en su definición, podemos distinguir varios aspectos, unos teleológicos, otros finalistas, algunos potenciales, otros actuales. En algún momento histórico se dio al infinito una interpretación teológica. Otra interpretación le atribuye una característica real, o de la realidad.

En ciertas expresiones se utiliza la palabra todo o cualquiera como sinónimos de infinito. Por ejemplo: todo hombre, todo triangulo... Sin embargo, existe una diferencia entre estos vocablos. En el primero todo hace referencia al numero de hombres (aunque consideremos los que han existido y existirán) que es finito mientras que en el segundo, el numero de triángulos no es finito.

Otro aspecto relacionado con la idea que estamos tratando de matizar y especificar es el concepto de lo muy pequeño. Decimos que lo muy pequeño esta relacionado con lo muy grande por razones evidentes. Si lo grande surge por un proceso de acumulación de uno más, invirtiendo esta “acumulación”, invirtiendo el proceso en el sentido de retirar una parte podemos realizar este proceso inverso infinitas veces y el resultado puede hacerse cada vez más pequeño, pero manteniendo sus características. En términos económicos se podría equiparar esta característica con la propiedad exigida por los economistas de la escuela de Laussanne, de la fina divisibilidad.

En su aspecto negativo tendríamos el cero, no el infinito negativo que tiene una interpretación de tendencia y de camino inverso al crecimiento.

Habría que distinguir dos aspectos. Uno es el infinito negativo, esto es, en el sentido negativo que representa la carencia de algo de manera que esa ausencia se hace cada vez más palmaria, exigente y dolorosa. Otro aspecto, sería el cero que es la ausencia absoluta de todo ser (entendido en su acepción más amplia, como modo de existir) o toda cualidad. Estos

“conceptos” muchas veces se confunden ya que la carencia absoluta de la bondad se puede equiparar con la maldad total, aunque son conceptos diferentes, no tener algo no significa tener lo contrario, no ser bello no implica ser feo, aunque su belleza no exista.

Euclides evitaba utilizar la palabra infinito y, en sus Elementos, para no decir “existe una cantidad infinita de... ” prefiere utilizar la expresión “una cantidad mayor que cualquier

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Los socráticos asociaban a la idea de infinito a algo malo, perverso. El infinito no solo era lo descomunal, enormemente grande, lo indefinido, sino que estaba asociado a idea negativa de desorden de caos, lo imperfecto.

En la Grecia clásica se utilizaba la expresión apeiron que significa sin fin, sin limite, lo infinito, lo ilimitado o lo carente de definición, sin medida. Por tanto, se podía interpretar que en el apeiron destacan connotaciones éticas como el caos.

Algunos autores veían en el concepto de infinito la idea aniquilación o absorción, ya que trabajando con el infinito como si fuese un numero muy grande, perteneciente a un álgebra, se podía pensar en la validez de las expresiones

, , ,...

a± ∞ = ±∞ a⋅ ∞ = ∞ a = ∞ en las que el infinito engulle al numero a.

Algunas de estas consideraciones éticas de asociar el infinito con lo malo o, por lo menos, con lo perturbador (aspecto que todavía sigue vigente) se superaron al distinguir entre el infinito actual y potencial.

El infinito potencial se caracteriza por la idea de uno más. Representa un proceso acumulativo, tan querido y utilizado en Economía. La idea fundamental de “este infinito” es que siempre hay uno más (menos), uno posterior (anterior).

Es preciso destacar que esta concepción del infinito indica una tendencia, un comportamiento que nunca llega a su fin. El infinito potencial se puede considerar como perteneciente a una concepción teleológica. Obsérvese que esta idea no esta lejos de ciertos postulados éticos de perfección.

El infinito potencial es la idea utilizada en el calculo infinitesimal.

Si destacamos la “totalidad” del concepto de infinito como una unidad, como uno, tendremos la versión actual del infinito. Esta idea corresponde a “aquello cuyo mayor no puede ser pensado”1

El infinito actual se considera en su totalidad, como por ejemplo el conjunto de los números naturales, todos, no algunos, sino la totalidad de ellos.

Aunque se ha intentado separar, o no vincular, el infinito con ciertas ideas éticas, no se ha conseguido totalmente y aparecen nuevamente de una manera cíclica. Valga como ejemplo la consideración de S. Agustín o de Sto. Tomas, para quienes el infinito era un reto a lo único, que se podía considerar infinito, que es Dios.

El concepto de infinito desde la perspectiva filosófica ha sido ampliamente discutido pues induce a contradicciones y paradojas, desde Euclides, (el todo no es mayor que las partes), la paradoja de Zenon (¿cómo recorrer una infinidad de mitades en un tiempo finito?) o la Russell (el conjunto de conjuntos que no pertenecen a si mismo). O el Hotel de Hilbert.

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Fue en el siglo XVII cuando se introdujo lo que se podría llamar la concepción moderna al considerar que el mundo finito y el infinito están regidos por leyes y preceptos diferentes.

Wallis, introdujo en el siglo XVII el símbolo de infinito. No está claro si le inspiro la idea de m (mil) como un numero muy grande y de este símbolo se paso a la lemniscata, que se pueden recorrer sus puntos sin llegar al final. “Casualmente” este símbolo se utiliza, en el Tarot, para designar al Mago. Esta carta esta asociada al símbolo ℵ, que mas tarde utilizará Cantor, quien también relacionará la idea de infinito con Dios.

2. INFINITO ACTUAL

Esta concepción del infinito surge al considerarlo como una unidad. Esto es, tenemos una (en el sentido de unidad) “cosa” que es infinitamente grande o numerosa, como los números naturales o los números múltiplos de 27. Lo tratamos como si fuese un elemento que surge al superar el paso al limite. Aparece cuando ya hemos llegado , cuando tenemos el total.

Esta idea nos crea dificultades pues no tenemos un infinito, sino muchos, lo que supone dificultades para la comparación y en definitiva para la medición. En efecto, admitiendo la existencia del infinito actual, pues muchos matemáticos la negaron -como por ejemplo Cauchy, Gauss-, es fácil demostrar que tenemos varios infinitos, lo que implica que unos son diferentes de otros y, por tanto, de distintos tamaño. Esto es, tendremos unos infinitos mayores que otros.

De manera intuitiva, si consideramos los números múltiplos de 27 y los números naturales, ambos son infinitos, aunque “parece” que el primero es 27 veces más pequeño que el segundo, sin embargo, ambos son infinitamente grandes.

En términos lógicos podríamos decir que el segundo esta contenido en el primero y, teniendo en cuenta el postulado de Euclides, que establece que el todo es mayor que las partes, ambos infinitos deberían ser distintos, pero no lo son, pues tienen el mismo tamaño. Llamamos tamaño de un conjunto a su cardinal, y el cardinal de ambos conjuntos es el mismo, como demostró Cantor.

El razonamiento de Cantor es simple. Basta con comprobar que se puede establecer una correspondencia biunívoca entre el conjunto de los números naturales y el conjunto de los múltiplos de 27, de manera que estos conjuntos son equipolentes (tienen el mismo numero cardinal). De la misma forma se pueden numerar los puntos de una semicircunferencia o los puntos de una recta.

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¿Se podría establecer una correspondencia biyectiva entre los números reales y los racionales? Es evidente que no pues el conjunto de los reales no es numerable, mientras que el conjunto de los racionales si lo es, por lo que los cardinales de ambos conjuntos son diferentes, esto es no son equipolentes.

Sin embargo, cuando hablamos de los naturales o de los puntos de una recta, o de un plano, o de los números racionales o de un conjunto de Cantor estamos considerando que cada conjunto es infinito, aunque sus “tamaños” sean distintos.

Necesitamos una definición para el tamaño de estos conjuntos, pues la apelación a su numero no sirve, ya que, según hemos señalado, el mismo “numero” (nombre) sirve para designar diferentes tamaños y por tanto distintos conjuntos.

Para evitar estas dificultades definiremos el infinito diciendo que un conjunto es infinito cuando se pueda establecer una correspondencia biunívoca entre él y una parte propia de él.

Esta definición es compatible con la existencia de distintos infinitos. Para demostrarlo basta con aplicar la regla de la diagonal.

Aceptar esta definición de infinito implica la necesidad de introducir y matizar un nuevo aspecto del infinito que es el que se conoce con el nombre de infinito potencial.

3. INFINITO POTENCIAL

Esta concepción del infinito corresponde a una interpretación teleológica del infinito.

En efecto, la teleología estudia las causas finales y el infinito potencial trata de alcanzar su final, sabiendo que nunca llegará, pues siempre hay más, ya sean números, pasos, intervalos...

El infinito potencial esta vinculado a la reiteración de un proceso que nunca finaliza, dando lugar a numerosos problemas y paradojas, desde la de Aquiles y la tortuga a la de Zenon, sobre la imposibilidad del movimiento (¿cómo dar infinitos pasos en un tiempo limitado?).

Esta concepción del infinito potencial es la que se liga con la idea de limite, o mejor con la operación de paso al limite. Obsérvese que ambos conceptos sólo existen como tendencia, en potencia, ya que los dos son inaccesibles, lo que implica que no deben considerarse como sinónimos las expresiones infinito e ilimitado.

De manera análoga no debe concluirse que cuando un conjunto está contenido en otro el primero es menor. Piense en el conjunto de los números naturales y el de los números pares. En principio podría parecer que hay el doble de números naturales que de pares. Sin embargo, ambos conjuntos tienen el mismo número de elementos.

Esta idea queda aclarada si por tamaño de un conjunto entendemos su cardinal, de manera que un conjunto contenido en otro puede tener el mismo tamaño que el primero. En este sentido se rompe el postulado de que el todo es mayor que las partes. La solución a esta aparente antinomia es aceptar que estar contenido no supone ser más pequeño, tener menor

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tamaño. En términos “euclideos” se podría ampliar su postulado diciendo que el todo es mayor o igual que las partes.

4. TRANSFINITOS DE CANTOR

Las concepciones actual y potencial del infinito, como hemos dicho, surgieron para evitar problemas (en parte teológicos) y paradojas que imposibilitasen el avance del conocimiento.

Ciertos matemáticos, como Gauss, negaron la existencia del infinito actual, admitiendo solo la posibilidad del infinito potencial. Para este autor no se podía admitir el hablar del infinito completo, “ya que en matematicas no esta permitido”.

Cantor observó que se podía establecer una correspondencia biyectiva entre los puntos de un segmento y los de un rectángulo, lo que comunico a su maestro Kronecker, quien respondió con la famosa frase “lo veo pero no lo creo”. Kronecker, defensor de las teorías constructivista, sostenía la idea de que “Dios creó el numero natural, el resto es obra de los hombres”.

Este trabajo de Cantor fue el origen de la separación entre el maestro y el discípulo, ya que Kronecker “perdió” el trabajo que Cantor había mandado para que se publicase en el Journal de Crelle y tardo mucho tiempo en ver la luz (¿intervino Dedekind, en la aparición?).

Este enfrentamiento entre maestro y discípulo llegó a unos limites no deseados. Se dijo de Cantor que era un charlatán científico, renegado, corruptor de la juventud. Poincaré, ante las ideas de Cantor de poder hablar de una aritmética de los números transfinitos, llegó a decir que era una enfermedad y que ya se curaría (las matematicas y Cantor, que tuvo varias crisis maniaco depresivas, y esta enfermedad le llevo a pensar que Dios le había revelado la existencia de los números transfinitos, por lo que debían ser tratados no sólo desde la perspectiva matemática, sino en un ámbito más amplio, como el teológico).

Las ideas de Cantor de que había unos infinitos más infinitos que otros, además de llevar al escándalo, condujo a la formalización y ampliacion de ciertos conceptos como el de cardinalidad y ordinalidad. No voy a profundizar en estos conceptos pues son de sobra conocidos.

Permítaseme señalar que los cardinales nos indican el tamaño del conjunto sin ordenar.

Esto es, sin prestar atención al orden. Al conjunto de los números naturales lo designó Cantor con el nombre de ℵ0.

Los ordinales nos informarán sobre el tamaño del conjunto cuando los elementos de éste están bien ordenados. Esto es, toda parte no vacía tiene un elemento mínimo. El primer ordinal

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transfinito lo designo Cantor por

ω

2. Una vez obtenido el primer transfinito podemos obtener los siguientes sin mas que añadir 1 al anterior, de esta manera tendremos

ω ω ω ω

ω +1, +2,..., + =2 ,...

ω ω

⋅ ,...,

ω

ω.

Cantor planteo y no resolvió el llamado problema del continuo. Entre ℵ0, cardinal de los enteros y 20, el cardinal de los reales ¿existe algún cardinal intermedio? Gödel y Cohen demostraron que la teoría del continuo se puede tomar como cierta o no sin que afecte a la teoría de conjuntos.

El infinito actual no sólo no es paradójico, sino que es coherente, lo que nos obligará realizar una reconsideración de la formulación, utilización y revisión del concepto de infinito.

5. INFINITO Y ECONOMÍA

En el Análisis Económico el infinito se utiliza fundamentalmente en dos tipos de problemas, el la Teoría de los Multiplicadores y en la Teoría de la Estabilidad.

La concepción, unas veces ocultada y, casi siempre, implícita del infinito en la teoría de multiplicador es claramente un infinito actual, pues se esta pensando el proceso cuando ya ha terminado, cuando ha acabado el efecto y el proceso se ha convertido en la suma de una serie.

Se podría argüir que en el proceso de multiplicador keynesiano, por ejemplo, se piensa en que el proceso se realiza “una vez más”, por tanto se trataría de un infinito potencial. En cuanto al proceso, el razonamiento es cierto, pero, sin embargo, es falaz, pues esta argumentación sirve para explicarlo o describirlo, pero su resultado es la inversión dividida por la propensión marginal al ahorro, es decir, cuando ha terminado y se toma el proceso en su totalidad.

Este efecto económico lo podemos complicar más. Consideremos, por ejemplo, que tenemos diferentes inversiones autónomas, esto es, distintos valores iniciales. Podemos tener

entonces distintos ordinales. En efecto, si comparamos 1000+

i

 

⋅

1 2

1000 1 con

1000+

1

1 2

1000 1

+

 

⋅

i

tendríamos

ω

diferentes, pues hemos cambiado el periodo de

vencimiento o capitalización pasando de un periodo a dos. Si considerásemos todos los posibles momentos de capitalización o de vencimiento del proceso, tendríamos un ℵ0.

En la teoría de la estabilidad asintótica también aparece el infinito, pero en este caso es potencial, pues, por la definición de estabilidad asintótica, tenemos un proceso en el que el

2 No deja de ser curioso que el jesuita y paleontólogo, Teilhard de Chardin, también hable en sus obras del punto

ω

, aunque con un sentido distinto: teológico.

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tiempo va aumentando, añadiéndose una unidad, admitiendo su discrecionalidad, que hace que el tiempo crezca cada vez más.

No vamos a entrar en la polémica sobre si existe el infinito, ya sea actual o potencial:

Sin embargo, permítaseme indicar que en la naturaleza entendida como realidad no existen ni el infinito actual ni el potencial. Si en el mundo de la realidad no podemos afirmar que algo es infinito o que lo puede ser, en el mundo social, y la Economía es una ciencia que tiene su desarrollo y razón de ser en la sociedad, tampoco podemos afirmar su existencia, lo que implica que podemos estar induciendo o cometiendo errores al utilizarlo.

¿Qué sentido tiene en la realidad económica que un proceso dura eternamente?

Piénsese, por ejemplo, en la creación de dinero bancario. Este proceso ¿será eterno? Y limpio, esto es, no desencadenará nuevos procesos acumulativos, lo que dificultaría (quizá impediría) la convergencia del proceso.

El infinito potencial de la teoría de la estabilidad supone encerrar el proceso evolutivo del fenómeno económico en un mundo impermeable y ajeno a toda influencia exterior para, de una manera iterativa y repetitiva, ir generando puntos o datos de una magnitud económica, que nunca responderá a la realidad de cada momento temporal, pues en las ciencias sociales no se puede aislar un fenómeno ni de la influencia del fenómeno en sí mismo ni de la evolución que él mismo genera en su propia evolución, esto es, en su retroalimentación.

¿En que condiciones podemos equiparar la duración de un fenómeno económico con el infinito, ya sea actual, potencial o simplemente infinito?

Como se ha dicho en la introducción, estos problemas no se limitan sólo al infinito, sino que habría que ampliarlos a la teoría de limites y al cero.

6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

• DAUBEN J. W (1995) “Georg Cantor”. Investigación y Ciencia, temas, 1. pp.94-105

• DELAHAYE, J-P (2001) “El carácter paradójico del infinito” Investigación y Ciencia, temas, 23.pp. 36-44

• LORENZO, J(2001) “El infinito matemático”. Investigación y Ciencia, temas, 23.pp4-9

• ORTIZ, J. R. (1994) “El concepto de in finito” Asociación Matemática Venezolana. Boletín Vol.I, Nº2.

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• SOLAECHE, M.C. (1995) « La controversia entre L. Kronecker y G. Cantor acerca del infinito” Divulgaciones Matematicas. pp. 115-120

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