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Subtemas 1.1 Polígonos 1.2 Medianas, bisectrices y mediatrices 1.3 Círculos inscritos y circunscritos 1.4 Elipses, parábolas e hipérbolas 1.5 Enlaces

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Subtemas Subtemas 1.1 Polígonos 1.1 Polígonos 1.2

1.2 Medianas, Medianas, bisectrices y bisectrices y mediatricesmediatrices 1.3

1.3 Círculos iCírculos inscritos y nscritos y circunscritoscircunscritos 1.4

1.4 Elipses, paráElipses, parábolas e bolas e hipérbolashipérbolas 1.5

1.5 Enlaces entre Enlaces entre curvas y rectas (curvas y rectas (tangencias)tangencias) 1.6

1.6 Trazo de Trazo de curvas espiracurvas espiralesles 1.7

1.7 Trazo de Trazo de curvas cicloidcurvas cicloideses

Objetivo de Aprendizaje Objetivo de Aprendizaje

 Al

 Al término término del del tema tema el el estudiante estudiante comprenderá comprenderá los los axiomas, axiomas, postulados postulados yy teoremas que rigen a la geometría plana, desarrollando capacidades de teoremas que rigen a la geometría plana, desarrollando capacidades de deducción, mediante un conjunto de

deducción, mediante un conjunto de razonamientos.razonamientos.

Lectura 1. Geometría plana: algunos conceptos básicos Lectura 1. Geometría plana: algunos conceptos básicos Por: Rogero.

Por: Rogero.

Sinopsis Sinopsis

La geometría es la parte de las

La geometría es la parte de las matemáticasmatemáticas que estudia las propiedades y lasque estudia las propiedades y las medidas de las figuras en el plano o en el espacio.

medidas de las figuras en el plano o en el espacio.

La geometría plana nos relaciona con el estudio de todas las formas que se La geometría plana nos relaciona con el estudio de todas las formas que se presentan en el plano: puntos, rectas, semirrectas, rayos, trazos, ángulos y otros.

presentan en el plano: puntos, rectas, semirrectas, rayos, trazos, ángulos y otros.

Dentro de esta larga lista

Dentro de esta larga lista se encuentran los polígonos y se encuentran los polígonos y la circunferencia.la circunferencia.

1.1 Polígonos 1.1 Polígonos

Los polígonos son las superficies planas limitadas por rectas que se cortan dos a Los polígonos son las superficies planas limitadas por rectas que se cortan dos a dos.

dos.

Se clasifican en regulares, si sus lados y ángulos son iguales, e irregulares.

Se clasifican en regulares, si sus lados y ángulos son iguales, e irregulares.

Según la medida de sus lados, los polígonos pueden ser regulares e irregulares.

Según la medida de sus lados, los polígonos pueden ser regulares e irregulares.

Son polígonos regulares los que tienen todos sus lados y ángulos congruentes, es Son polígonos regulares los que tienen todos sus lados y ángulos congruentes, es decir, tienen la misma medida. Así:

decir, tienen la misma medida. Así:

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A

ABB == BBCC == CCDD == DDAA

Todos sus ángulos miden 90°.

Todos sus ángulos miden 90°.

Los polígonos irregulares tienen, a lo menos, un lado con distinta medida o sus Los polígonos irregulares tienen, a lo menos, un lado con distinta medida o sus ángulos son diferentes. Ej:

ángulos son diferentes. Ej:

Los polígonos cóncavos son aquellos que tienen alguno de sus ángulos Los polígonos cóncavos son aquellos que tienen alguno de sus ángulos interiores mayor de 180º.

interiores mayor de 180º.

Las diagonales son las rectas que unen dos vértices no consecutivos.

Las diagonales son las rectas que unen dos vértices no consecutivos.

Figura 12 Figura 12

Los Triángulos son polígonos de tres lados. La suma de sus ángulos es igual a Los Triángulos son polígonos de tres lados. La suma de sus ángulos es igual a 180º.

180º.

Se clasifican, según sus ángulos en:

Se clasifican, según sus ángulos en:

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Equiláteros.Equiláteros. Si tienen tres lados Si tienen tres lados igualesiguales

Isósceles.Isósceles. Si tienen dos lados Si tienen dos lados iguales.iguales.

Escálenos.Escálenos. Si tienen tres lados desiguales.Si tienen tres lados desiguales.

Figura 13 Figura 13

Figura 14 Figura 14 Según la magnitud relativa de sus lados en:

Según la magnitud relativa de sus lados en:

-

- Acutángulos.Acutángulos. Si tienen todos sus ángulos agudos.Si tienen todos sus ángulos agudos.

-

- Rectángulos.Rectángulos. Si tienen un ángulo recto.Si tienen un ángulo recto.

-

- Obtusángulos.Obtusángulos. Si tienen un ángulo obtuso.Si tienen un ángulo obtuso.

La notación del triángulo se realiza con letras mayúsculas para los vértices y La notación del triángulo se realiza con letras mayúsculas para los vértices y minúsculas para los lados, coincidiendo la letra de un vértice con la del lado minúsculas para los lados, coincidiendo la letra de un vértice con la del lado

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opuesto. Los ángulos se nombran con las letras griegas correspondientes.

opuesto. Los ángulos se nombran con las letras griegas correspondientes. (Fig.(Fig.

14) 14)

1.2 Medianas, bisectrices y mediatrices 1.2 Medianas, bisectrices y mediatrices

Medianas Medianas

Las medianas son las rectas que unen los vértices del triángulo con los puntos Las medianas son las rectas que unen los vértices del triángulo con los puntos medios de los lados opuestos. Se cortan en el baricentro, que es el centro medios de los lados opuestos. Se cortan en el baricentro, que es el centro geométrico del triángulo. El Baricentro se encuentra a 2/3 del vértice y 1/3 del geométrico del triángulo. El Baricentro se encuentra a 2/3 del vértice y 1/3 del punto medio del lado opuesto.

punto medio del lado opuesto. (Fig. 17)(Fig. 17) Mediatrices

Mediatrices

Las mediatrices del triángulo son las mediatrices de sus lados. Se cortan en un Las mediatrices del triángulo son las mediatrices de sus lados. Se cortan en un punto que equidista de los vértices llamado circuncentro, que es el centro de la punto que equidista de los vértices llamado circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita.

circunferencia circunscrita. (Fig. 15)(Fig. 15) Bisectrices

Bisectrices

Las bisectrices del triángulo se cortan en un punto notable del triángulo llamado Las bisectrices del triángulo se cortan en un punto notable del triángulo llamado incentro, que por equidistar de los lados es el centro de la circunferencia inscrita.

incentro, que por equidistar de los lados es el centro de la circunferencia inscrita.

(Fig. 16) (Fig. 16)

Figura 15 Figura 15

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Figura 16 Figura 16

Figura 17 Figura 17

1.3 Círculos inscritos y circunscritos 1.3 Círculos inscritos y circunscritos

Los polígonos y la circunferencia se relacionan de acuerdo a la posición que Los polígonos y la circunferencia se relacionan de acuerdo a la posición que ocupan los primeros con respecto a la circunferencia. Es así como tenemos las ocupan los primeros con respecto a la circunferencia. Es así como tenemos las siguientes situaciones.

siguientes situaciones.

Polígono inscrito a la circunferencia.

Polígono inscrito a la circunferencia. En este caso los vértices del polígono sonEn este caso los vértices del polígono son puntos de la circunferencia y ésta queda circunscrita al polígono. Los lados del puntos de la circunferencia y ésta queda circunscrita al polígono. Los lados del polígono son cuerdas de la

polígono son cuerdas de la circunferencia.circunferencia.

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Polígono circunscrito a la circunferencia.

Polígono circunscrito a la circunferencia. Todos los lados del polígono sonTodos los lados del polígono son tangentes de la circunferencia. La circunferencia queda inscrita al

tangentes de la circunferencia. La circunferencia queda inscrita al polígono.polígono.

1.4 Elipses

1.4 Elipses, parábolas , parábolas e hipérbolas e hipérbolas

Las curvas cónicas son

Las curvas cónicas son las secciones producidas por un plano secante sobrelas secciones producidas por un plano secante sobre una superficie cónica de revolución. (Fig. 31)

una superficie cónica de revolución. (Fig. 31)

Figura 31 Figura 31

Una superficie cónica de revolución es la generada por una recta que gira Una superficie cónica de revolución es la generada por una recta que gira alrededor de un eje,

alrededor de un eje, e e , fijo con el que se corta en un , fijo con el que se corta en un puntopunto V V ..

Dependiendo del ángulo que forme el plano secante con el eje de la superficie Dependiendo del ángulo que forme el plano secante con el eje de la superficie cónica, se producen las distintas curvas cónicas.

cónica, se producen las distintas curvas cónicas. (Fig. 32)(Fig. 32)

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Figura 32 Figura 32

Si el ángulo es mayor, igual o menor que el semiángulo del vértice de la superficie Si el ángulo es mayor, igual o menor que el semiángulo del vértice de la superficie cónica, se producen, respectivamente, una elipse, una parábola o una

cónica, se producen, respectivamente, una elipse, una parábola o una hipérbola.hipérbola.

Elipse Elipse

Las elipses poseen los

Las elipses poseen los siguientes elementos:siguientes elementos: (Fig. 33)(Fig. 33)

Ejes de simetría. Son perpendiculares en sus puntos medios. El valor del eje Ejes de simetría. Son perpendiculares en sus puntos medios. El valor del eje mayor 

mayor AA' AA' eses 2a 2a y el del eje menor y el del eje menor BB' 2b.BB' 2b. El punto de intersección de los ejes esEl punto de intersección de los ejes es el centro de simetría.

el centro de simetría.

Focos.

Focos. Son dos puntos fijosSon dos puntos fijos F y F' F y F' , situados sobre el eje mayor y simétricos, situados sobre el eje mayor y simétricos respecto al eje menor.

respecto al eje menor. FF' FF' es igual aes igual a 2c.2c.

Radios vectores.

Radios vectores. Son los segmentos comprendidos entre los puntos de la elipseSon los segmentos comprendidos entre los puntos de la elipse y los focos.

y los focos. La suma de los radios vectores La suma de los radios vectores correspondientes a un mismo punto escorrespondientes a un mismo punto es igual a

igual a 2a.2a.

Circunferencia principal.

Circunferencia principal. Es la que tiene su centro en el centro de la elipse yEs la que tiene su centro en el centro de la elipse y radio igual al semieje mayor.

radio igual al semieje mayor.

Circunferencias Focales.

Circunferencias Focales. Son las circunferencias con centro en los focos y radioSon las circunferencias con centro en los focos y radio igual a

igual a 2a.2a.

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Figura 33 Figura 33

Figura 34 Figura 34

La elipse es una curva cerrada y plana. Se define como el lugar geométrico de los La elipse es una curva cerrada y plana. Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual al eje mayor 

constante e igual al eje mayor 2a 2a ..

Sea

Sea Pn Pn un punto cualquiera de la elipse, se cumple que:un punto cualquiera de la elipse, se cumple que:

PnF + PnF' = 2a  PnF + PnF' = 2a 

Para determinar los focos

Para determinar los focos F y F' F y F' de una elipse conocidos los ejes, se hace centrode una elipse conocidos los ejes, se hace centro en un extremo del eje menor,

en un extremo del eje menor, B B por ejemplo, y se traza un arco de radio igual alpor ejemplo, y se traza un arco de radio igual al semieje mayor 

semieje mayor  a a . La intersección del arco con el eje mayor son los focos de la. La intersección del arco con el eje mayor son los focos de la elipse.

elipse. (Fig. 32)(Fig. 32) Sabiendo que

Sabiendo que B B es un punto de la elipse, se cumple que:es un punto de la elipse, se cumple que:

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BF + BF' = 2a, como BF=BF', por estar B en un eje de simetría, resulta que  BF + BF' = 2a, como BF=BF', por estar B en un eje de simetría, resulta que  BF=BF'=a 

BF=BF'=a ..

Trazado de la elipse. Método de los puntos.

Trazado de la elipse. Método de los puntos.

Este método se basa en la definición de la elipse.

Este método se basa en la definición de la elipse.

 A

 A partir de partir de uno uno de de los los focos focos y y hasta hasta el el centro centro de de la la elipse, elipse, dividimos el dividimos el eje eje mayor mayor  AA' 

AA' , en segmentos complementarios cuya suma es, en segmentos complementarios cuya suma es 2a 2a ..

A1 + 1A' = A2 + 2A' = A3 + 3A' = 2a  A1 + 1A' = A2 + 2A' = A3 + 3A' = 2a 

Estos segmentos son las medidas de los radios vectores de un mismo punto.

Estos segmentos son las medidas de los radios vectores de un mismo punto.

Hallamos los puntos que distan

Hallamos los puntos que distan A1A1 de un foco yde un foco y 1A' 1A' del otro, y así, con los demásdel otro, y así, con los demás segmentos.

segmentos. (Fig. 35)(Fig. 35)

El trazado de la elipse se realiza a mano alzada.

El trazado de la elipse se realiza a mano alzada.

Figura 35 Figura 35

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Figura 36 Figura 36

Método de afinidad Método de afinidad

Dibujados los ejes, se trazan las circunferencias de centro en

Dibujados los ejes, se trazan las circunferencias de centro en O O  y radios losy radios los semiejes de la elipse.

semiejes de la elipse. (Fig. 36)(Fig. 36)

Por los extremos de los diámetros de la circunferencia mayor trazamos paralelas Por los extremos de los diámetros de la circunferencia mayor trazamos paralelas al eje menor y por los extremos de los diámetros de la menor, paralelas el eje al eje menor y por los extremos de los diámetros de la menor, paralelas el eje mayor.

mayor.

Los puntos de intersección pertenecen a la

Los puntos de intersección pertenecen a la elipse.elipse.

Parábola Parábola

La parábola es una curva abierta y plana.

La parábola es una curva abierta y plana. Se Se define como el lugar geométrico dedefine como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta fija llamada directriz. Siendo

fija llamada directriz. Siendo Pn Pn un punto cualquiera de la parábola, se cumpleun punto cualquiera de la parábola, se cumple que:

que:

PnF = Pnd  PnF = Pnd 

La parábola puede considerarse una elipse que tiene su centro en el infinito, y por  La parábola puede considerarse una elipse que tiene su centro en el infinito, y por  tanto, sólo tiene un foco y un vértice real. La circunferencia principal tiene su tanto, sólo tiene un foco y un vértice real. La circunferencia principal tiene su centro en el infinito y pasa por el vértice, es pues, la recta perpendicular al eje centro en el infinito y pasa por el vértice, es pues, la recta perpendicular al eje mayor que pasa por el vértice. La circunferencia focal es una recta que coincide mayor que pasa por el vértice. La circunferencia focal es una recta que coincide con la directriz, ya que tiene su centro en

con la directriz, ya que tiene su centro en el foco del infinito. El vértice equidista delel foco del infinito. El vértice equidista del foco y de la directriz.

foco y de la directriz. (Fig. 37)(Fig. 37)

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