Ejemplo de elecci´on de un elemento pivote con varias estrategias de pivoteo

Ejemplo de elecci´

on de un elemento pivote

con varias estrategias de pivoteo

Egor Maximenko

http://www.egormaximenko.com

I. Eliminaci´on de Gauss sin pivoteo (con pivotes diagonales).

II. Pivoteo parcial (por columna).

III. Pivoteo parcial escalado (por columna).

Ejemplo.

Est´a dada la matriz aumentada [ A | b ] de un sistema de ecuaciones lineales despu´es de un paso del m´etodo de Gauss:

       −9 7 1 3 −7 −9 0 −6 −1 8 9 −6 0 −8 −9 0 6 −1 0 8 4 2 −7 9 0 5 −7 3 4 −8        .

Ejemplo.

Est´a dada la matriz aumentada [ A | b ] de un sistema de ecuaciones lineales despu´es de un paso del m´etodo de Gauss:

       −9 7 1 3 −7 −9 0 −6 −1 8 9 −6 0 −8 −9 0 6 −1 0 8 4 2 −7 9 0 5 −7 3 4 −8        .

Elegir un pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo.

¿Qu´e parte de la matriz participa en la b´usqueda de pivotes?

No participan: el vector b,

A1,∗ (despu´es del primer paso),

A∗,1 (despu´es del primer paso).

Las entradas que pueden participar en algunas estrategias de pivoteo son:

Ejemplo.

Est´a dada la matriz aumentada [ A | b ] de un sistema de ecuaciones lineales despu´es de un paso del m´etodo de Gauss:

       −9 7 1 3 −7 −9 0 −6 −1 8 9 −6 0 −8 −9 0 6 −1 0 8 4 2 −7 9 0 5 −7 3 4 −8        .

I. Eliminaci´on de Gauss sin pivoteo, esto es, con pivotes diagonales:

Ejemplo.

Est´a dada la matriz aumentada [ A | b ] de un sistema de ecuaciones lineales despu´es de un paso del m´etodo de Gauss:

       −9 7 1 3 −7 −9 0 −6 −1 8 9 −6 0 −8 −9 0 6 −1 0 8 4 2 −7 9 0 5 −7 3 4 −8        .

Elegir un pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo.

II. Pivoteo parcial (pivoteo por columna). Comparamos entre si los n´umeros

|Ai ,2| con 2 ≤ i ≤ 5. |A2,2| = 6, |A3,2| = 8, |A4,2| = 8, |A5,2| = 5. El pivote ser´a A3,2.

Ejemplo.

Est´a dada la matriz aumentada [ A | b ] de un sistema de ecuaciones lineales despu´es de un paso del m´etodo de Gauss:

       −9 7 1 3 −7 −9 0 −6 −1 8 9 −6 0 −8 −9 0 6 −1 0 8 4 2 −7 9 0 5 −7 3 4 −8        .

II. Pivoteo parcial (pivoteo por columna). Comparamos entre si los n´umeros

|Ai ,2| con 2 ≤ i ≤ 5. |A2,2| = 6, |A3,2| = 8, |A4,2| = 8, |A_5,2| = 5. El pivote ser´a A3,2.

Ejemplo.

Est´a dada la matriz aumentada [ A | b ] de un sistema de ecuaciones lineales despu´es de un paso del m´etodo de Gauss:

       −9 7 1 3 −7 −9 0 −6 −1 8 9 −6 0 −8 −9 0 6 −1 0 8 4 2 −7 9 0 5 −7 3 4 −8        .

Elegir un pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo.

II. Pivoteo parcial (pivoteo por columna). Comparamos entre si los n´umeros

|Ai ,2| con 2 ≤ i ≤ 5. |A2,2| = 6, |A3,2| = 8, |A4,2| = 8, |A_5,2| = 5. El pivote ser´a A3,2.

Ejemplo.

Est´a dada la matriz aumentada [ A | b ] de un sistema de ecuaciones lineales despu´es de un paso del m´etodo de Gauss:

       −9 7 1 3 −7 −9 0 −6 −1 8 9 −6 0 −8 −9 0 6 −1 0 8 4 2 −7 9 0 5 −7 3 4 −8        .

III. Pivoteo parcial escalado.

Mi := max

2≤ j ≤5|Ai ,j| (2 ≤ i ≤ 5).

Comparamos los cocientes |Ai ,2| Mi : M2= 9, |A2,2| M2 = 6 9 = 2 3, M3= 9, |A3,2| M3 = 8 9, M4= 8, |A4,2| M4 = 8 8 = 1, M5= 7, |A5,2| M5 = 5 7. El elemento pivote ser´a A4,2.

Ejemplo.

Est´a dada la matriz aumentada [ A | b ] de un sistema de ecuaciones lineales despu´es de un paso del m´etodo de Gauss:

       −9 7 1 3 −7 −9 0 −6 −1 8 9 −6 0 −8 −9 0 6 −1 0 8 4 2 −7 9 0 5 −7 3 4 −8        .

Elegir un pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo.

III. Pivoteo parcial escalado.

Mi := max

2≤ j ≤5|Ai ,j| (2 ≤ i ≤ 5).

Comparamos los cocientes |Ai ,2| Mi : M2= 9, |A2,2| M2 = 6 9 = 2 3, M3= 9, |A3,2| M3 = 8 9, M4= 8, |A4,2| M4 = 8 8 = 1, M5= 7, |A5,2| M5 = 5 7. El elemento pivote ser´a A4,2.

Ejemplo.

Est´a dada la matriz aumentada [ A | b ] de un sistema de ecuaciones lineales despu´es de un paso del m´etodo de Gauss:

       −9 7 1 3 −7 −9 0 −6 −1 8 9 −6 0 −8 −9 0 6 −1 0 8 4 2 −7 9 0 5 −7 3 4 −8        .

III. Pivoteo parcial escalado.

Mi := max

2≤ j ≤5|Ai ,j| (2 ≤ i ≤ 5).

Comparamos los cocientes |Ai ,2| Mi : M2= 9, |A2,2| M2 = 6 9 = 2 3, M3= 9, |A3,2| M3 = 8 9, M4= 8, |A4,2| M4 = 8 8 = 1, M5= 7, |A5,2| M5 = 5 7. El elemento pivote ser´a A4,2.

Ejemplo.

Est´a dada la matriz aumentada [ A | b ] de un sistema de ecuaciones lineales despu´es de un paso del m´etodo de Gauss:

       −9 7 1 3 −7 −9 0 −6 −1 8 9 −6 0 −8 −9 0 6 −1 0 8 4 2 −7 9 0 5 −7 3 4 −8        .

Elegir un pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo.

III. Pivoteo parcial escalado.

Mi := max

2≤ j ≤5|Ai ,j| (2 ≤ i ≤ 5).

Comparamos los cocientes |Ai ,2| Mi : M2= 9, |A2,2| M2 = 6 9 = 2 3, M3= 9, |A3,2| M3 = 8 9, M4= 8, |A4,2| M4 = 8 8 = 1, M5= 7, |A5,2| M5 = 5 7. El elemento pivote ser´a A4,2.

Ejemplo.

Est´a dada la matriz aumentada [ A | b ] de un sistema de ecuaciones lineales despu´es de un paso del m´etodo de Gauss:

       −9 7 1 3 −7 −9 0 −6 −1 8 9 −6 0 −8 −9 0 6 −1 0 8 4 2 −7 9 0 5 −7 3 4 −8        .

III. Pivoteo parcial escalado.

Mi := max

2≤ j ≤5|Ai ,j| (2 ≤ i ≤ 5).

Comparamos los cocientes |Ai ,2| Mi : M2= 9, |A2,2| M2 = 6 9 = 2 3, M3= 9, |A3,2| M3 = 8 9, |A4,2| M4 = 8 8 = 1, |A5,2| M5 = 5 7. El elemento pivote ser´a A4,2.

Ejemplo.

Est´a dada la matriz aumentada [ A | b ] de un sistema de ecuaciones lineales despu´es de un paso del m´etodo de Gauss:

       −9 7 1 3 −7 −9 0 −6 −1 8 9 −6 0 −8 −9 0 6 −1 0 8 4 2 −7 9 0 5 −7 3 4 −8        .

Elegir un pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo.

III. Pivoteo parcial escalado.

Mi := max

2≤ j ≤5|Ai ,j| (2 ≤ i ≤ 5).

Comparamos los cocientes |Ai ,2| Mi : M2= 9, |A2,2| M2 = 6 9 = 2 3, M3= 9, |A3,2| M3 = 8 9, M4= 8, |A4,2| M4 = 8 8 = 1, M5= 7, |A5,2| M5 = 5 7. El elemento pivote ser´a A4,2.

Ejemplo.

Est´a dada la matriz aumentada [ A | b ] de un sistema de ecuaciones lineales despu´es de un paso del m´etodo de Gauss:

       −9 7 1 3 −7 −9 0 −6 −1 8 9 −6 0 −8 −9 0 6 −1 0 8 4 2 −7 9 0 5 −7 3 4 −8        .

III. Pivoteo parcial escalado.

Mi := max

2≤ j ≤5|Ai ,j| (2 ≤ i ≤ 5).

Comparamos los cocientes |Ai ,2| Mi : M2= 9, |A2,2| M2 = 6 9 = 2 3, M3= 9, |A3,2| M3 = 8 9, |A4,2| M4 = 8 8 = 1, |A5,2| M5 = 5 7. El elemento pivote ser´a A4,2.

Ejemplo.

Est´a dada la matriz aumentada [ A | b ] de un sistema de ecuaciones lineales despu´es de un paso del m´etodo de Gauss:

       −9 7 1 3 −7 −9 0 −6 −1 8 9 −6 0 −8 −9 0 6 −1 0 8 4 2 −7 9 0 5 −7 3 4 −8        .

Elegir un pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo.

III. Pivoteo parcial escalado.

Mi := max

2≤ j ≤5|Ai ,j| (2 ≤ i ≤ 5).

Comparamos los cocientes |Ai ,2| Mi : M2= 9, |A2,2| M2 = 6 9 = 2 3, M3= 9, |A3,2| M3 = 8 9, M4= 8, |A4,2| M4 = 8 8 = 1, M5= 7, |A5,2| M5 = 5 7. El elemento pivote ser´a A4,2.

Ejemplo.

Est´a dada la matriz aumentada [ A | b ] de un sistema de ecuaciones lineales despu´es de un paso del m´etodo de Gauss:

       −9 7 1 3 −7 −9 0 −6 −1 8 9 −6 0 −8 −9 0 6 −1 0 8 4 2 −7 9 0 5 −7 3 4 −8        .

III. Pivoteo parcial escalado.

Mi := max

2≤ j ≤5|Ai ,j| (2 ≤ i ≤ 5).

Comparamos los cocientes |Ai ,2| Mi : M2= 9, |A2,2| M2 = 6 9 = 2 3, M3= 9, |A3,2| M3 = 8 9, |A4,2| 8 |A5,2| M5 = 5 7. El elemento pivote ser´a A4,2.

Ejemplo.

Est´a dada la matriz aumentada [ A | b ] de un sistema de ecuaciones lineales despu´es de un paso del m´etodo de Gauss:

       −9 7 1 3 −7 −9 0 −6 −1 8 9 −6 0 −8 −9 0 6 −1 0 8 4 2 −7 9 0 5 −7 3 4 −8        .

Elegir un pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo.

III. Pivoteo parcial escalado.

Mi := max

2≤ j ≤5|Ai ,j| (2 ≤ i ≤ 5).

Comparamos los cocientes |Ai ,2| Mi : M2= 9, |A2,2| M2 = 6 9 = 2 3, M3= 9, |A3,2| M3 = 8 9, M4= 8, |A4,2| M4 = 8 8 = 1, M5= 7, |A5,2| M5 = 5 7.

Ejemplo.

Est´a dada la matriz aumentada [ A | b ] de un sistema de ecuaciones lineales despu´es de un paso del m´etodo de Gauss:

       −9 7 1 3 −7 −9 0 −6 −1 8 9 −6 0 −8 −9 0 6 −1 0 8 4 2 −7 9 0 5 −7 3 4 −8        .

Elegir un pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo.

III. Pivoteo parcial escalado.

Mi := max

2≤ j ≤5|Ai ,j| (2 ≤ i ≤ 5).

Comparamos los cocientes |Ai ,2| Mi : M2= 9, |A2,2| M2 = 6 9 = 2 3, M3= 9, |A3,2| M3 = 8 9, M4= 8, |A4,2| M4 = 8 8 = 1, |A5,2| 5

Ejemplo.

Est´a dada la matriz aumentada [ A | b ] de un sistema de ecuaciones lineales despu´es de un paso del m´etodo de Gauss:

       −9 7 1 3 −7 −9 0 −6 −1 8 9 −6 0 −8 −9 0 6 −1 0 8 4 2 −7 9 0 5 −7 3 4 −8        .

Elegir un pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo.

IV. Pivoteo completo.

Se busca el m´aximo valor absoluto entre los n´umeros

|A_{i ,j}| (2 ≤ i , j ≤ 5), esto es, en toda la parte activa de A.

El pivote ser´a A2,5.

Ejemplo.

Est´a dada la matriz aumentada [ A | b ] de un sistema de ecuaciones lineales despu´es de un paso del m´etodo de Gauss:

       −9 7 1 3 −7 −9 0 −6 −1 8 9 −6 0 −8 −9 0 6 −1 0 8 4 2 −7 9 0 5 −7 3 4 −8        .

IV. Pivoteo completo.

Se busca el m´aximo valor absoluto entre los n´umeros

|A_{i ,j}| (2 ≤ i , j ≤ 5), esto es, en toda la parte activa de A. El pivote ser´a A2,5.

Ejemplo.

Est´a dada la matriz aumentada [ A | b ] de un sistema de ecuaciones lineales despu´es de un paso del m´etodo de Gauss:

       −9 7 1 3 −7 −9 0 −6 −1 8 9 −6 0 −8 −9 0 6 −1 0 8 4 2 −7 9 0 5 −7 3 4 −8        .

Elegir un pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo.

¿Par qu´e sirven estrategias de pivoteo? Encontrar un pivote no nulo. Disminuir errores de redondeo.

Pivoteo humano (parcial o completo).

Trabajando con n´umeros racionales, es c´omodo elegir pivotes de tal manera que despu´es de las operaciones

los denominadores no sean muy grandes.

Ejemplo.

Est´a dada la matriz aumentada [ A | b ] de un sistema de ecuaciones lineales despu´es de un paso del m´etodo de Gauss:

       −9 7 1 3 −7 −9 0 −6 −1 8 9 −6 0 −8 −9 0 6 −1 0 8 4 2 −7 9 0 5 −7 3 4 −8        .

¿Par qu´e sirven estrategias de pivoteo? Encontrar un pivote no nulo. Disminuir errores de redondeo.

Pivoteo humano (parcial o completo).

Trabajando con n´umeros racionales, es c´omodo elegir pivotes de tal manera que despu´es de las operaciones

los denominadores no sean muy grandes.

Ejemplo.

Est´a dada la matriz aumentada [ A | b ] de un sistema de ecuaciones lineales despu´es de un paso del m´etodo de Gauss:

       −9 7 1 3 −7 −9 0 −6 −1 8 9 −6 0 −8 −9 0 6 −1 0 8 4 2 −7 9 0 5 −7 3 4 −8        .

Elegir un pivote para el segundo paso aplicando varias estrategias de pivoteo.

¿Par qu´e sirven estrategias de pivoteo? Encontrar un pivote no nulo. Disminuir errores de redondeo.

Pivoteo humano (parcial o completo).

Trabajando con n´umeros racionales, es c´omodo elegir pivotes de tal manera que despu´es de las operaciones

los denominadores no sean muy grandes.